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1．(安徽第18题)观察以下等式：
1010+×=1 12121111第2个等式：++×=1
23231212第3个等式：++×=1
34341313第4个等式：++×=1
45451414第5个等式：++×=1
5656第1个等式：+
……
按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：
；
(2)写出你猜想的第n个等式：用含n的等式表示)，并证明．
【分析】以序号n为前提，依此观察每个分数，可以用发现，每个分母在n的基础上依次加1，每个分子分别是1和n﹣1
【解答】解：（1）根据已知规律，第6个分式分母为6和7，分子分别为1和5故应填：
（2）根据题意，第n个分式分母为n和n+1，分子分别为1和n﹣1故应填：证明：∴等式成立
【点评】本题是规律探究题，同时考查分式计算．解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来．
=
2．（甘肃定西17题）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为 πa ．
【分析】首先根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，再利用弧长公式求出周长为
×3=πa．
的长=
的长=
的长=
=
，那么勒洛三角形的
【解答】解：如图．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，∴
的长=
的长=
的长=
=
，
∴勒洛三角形的周长为故答案为πa．
×3=πa．
【点评】本题考查了弧长公式：l=为R），也考查了等边三角形的性质．
（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径
3.（广西省桂林18题）将从1开始的连续自然数按右图规律排列： 规定位于第m行，第n列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）......按此规律，自然数2018记为
【分析】根据表格可知，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．用2018除以4，根据除数与余数确定2018所在的行数，以及是此行的第几个数，进而求解即可．
【解答】解：由题意可得，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列． ∵2018÷4=504…2，504+1=505，∴2018在第505行，
∵奇数行的数字从左往右是由小到大排列， ∴自然数2018记为（505，2）．故答案为（505，2）．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，通过观察得出表格中的自然数的排列规律是解题的关键．
4．（广州中考第10题）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图5所
2
示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第次移动到An，则△OA2A2018的面积是( m) ． (A)504 (B)
10111009 (C) (D)1009
22y 1
1 O A2A3A6 A7A10A11A1A4A5A8A9A12x 【分析】由OA4n=2n知OA2018=+1=1009，据此得出A2A2018=1009﹣1=1008，
据此利用三角形的面积公式计算可得． 【解答】解：由题意知OA4n=2n，∵2018÷4=504…2，∴OA2018=
+1=1009，
∴A2A2018=1009﹣1=1008，
则△OA2A2018的面积是×1×1008=504m2，故选：A．
【点评】本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可得．
5．(贵州遵义第15题).现有古代数学问题:“今有牛五羊二值金八两；牛二羊五值金六两，则 牛一羊一值金 二 两.
【分析】设一牛值金x两，一羊值金y两，根据“牛五羊二值金八两；牛二羊五值金六两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，两方程相加除以7，即可求出一牛一羊的价值．
【解答】解：设一牛值金x两，一羊值金y两，根据题意得：
，
（①+②）÷7，得：x+y=2．故答案为：二．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6.(河北第7题) 有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质
量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（ ）
A．B
C． D．
【分析】直接利用已知盘子上的物体得出物体之间的重量关系进而得出答案． 【解答】解：设
的质量为x，
的质量为y，
的质量为：a，
假设A正确，则，x=1.5y，此时B，C，D选项中都是x=2y，故A选项错误，符合题意．故选：A．
【点评】此题主要考查了等式的性质，正确得出物体之间的重量关系是解题关键．
7.（湖北施恩 16题）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”.如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为
个．
【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从右到左的数分别为2、0×6、3×6×6、2×6×6×6、1×6×6×6×6，然后把它们相加即可． 【解答】解：2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6=1838，故答案为：1838．
8.（湖北荆门第17题） 将数1个1，2个成一列：
111，3个，…，n个（n为正整数）顺次排23n111111,,,,,,2233311,,,nn，记a11，a211，a3，…，S1a1，S2a1a2， 22S3a1a2a3，…，Sna1a2an，则S2018．
【分析】由1+2+3+…+n=结合+2=2018，可得出前2018个数里面，2个
，进而可得出S2018=1×1+2
包含：1个1，2个，3个，…，63个×+3×+…+63×
+2×
=63
，此题得解． ，
+2=2018，
，2个
，
【解答】解：∵1+2+3+…+n=
∴前2018个数里面包含：1个1，2个，3个，…，63个
∴S2018=1×1+2×+3×+…+63×故答案为：63
．
+2×=1+1+…+1+=63．
【点评】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数列中数的排列规律找出“前2018个数里面包含：1个1，2个，3个，…，63个键．
，2个
”是解题的关
9.（湖北宜昌第8题）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则a，b，c的值分别为（ ）
A．a=1，b=6，c=15 B．a=6，b=15，c=20 C．a=15，b=20，c=15 D．c=20，b=15，c=6
【分析】根据图形中数字规模：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可得a、b、c的值．
【解答】解：根据图形得：每个数字等于上一行的左右两个数字之和， ∴a=1+5=6，b=5=10=15，c=10+10=20，
故选：B．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
10．（湖南省常德第8题）阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号2×2阶行列式，并且规定：1）=﹣6+2=﹣4．二元一次方程组
=a×d﹣b×c，例如：
称为
=3×（﹣2）﹣2×（﹣
的解可以利用2×2阶行列式表示
为：；其中D=，Dx=，Dy=．
问题：对于用上面的方法解二元一次方程组（ ） A．D=C．Dy=27
=﹣7
时，下面说法错误的是
B．Dx=﹣14
D．方程组的解为
【分析】分别根据行列式的定义计算可得结论． 【解答】解：A、D=B、Dx=C、Dy=
=﹣7，正确；
=﹣2﹣1×12=﹣14，正确；=2×12﹣1×3=21，不正确；
D、方程组的解：x=故选：C．
==2，y===﹣3，正确；
【点评】本题是阅读理解问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，理解题意，直接运用公式计算是本题的关键．
11．（湖南省娄底第12题）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[3.9]=3，[﹣1.8]=﹣2．令关于k的函数f（k）=[﹣[]=1．则下列结论错误的是（ ）A．f（1）=0
B．f（k+4）=f（k）
C．f（k+1）≥f（k）D．f（k）=0或1]﹣[]（k是正整数）．例：f（3）=[
]
【分析】根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：f（1）=[f（k+4）=[正确；
C、当k=3时，f（3+1）=[
]﹣[]=1﹣1=0，而f（3）=1，故选项C错误；
]﹣[
]﹣[]=0﹣0=0，故选项A正确；]=[
+1]﹣[+1]=[
]﹣[]=f（k），故选项B
D、当k=3+4n（n为自然数）时，f（k）=1，当k为其它的正整数时，f（k）=0，所以D选项的结论正确；故选：C．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、函数值，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的结论是否成立．
12．（山东省滨州第12题）如果规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]=2，那么函数y=x﹣[x]的图象为（ ）
A．B
C．D．
【分析】根据定义可将函数进行化简． 【解答】解：当﹣1≤x＜0，[x]=﹣1，y=x+1当0≤x＜1时，[x]=0，y=x当1≤x＜2时，[x]=1，y=x﹣1…… 故选：A．
【点评】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解[x]的定义，然后对函数进行化简，本题属于中等题型．
13．（山东德州第17题）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆ b=例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3=则x◆y= ．
【分析】根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：解得：∵x＜y，∴原式=5×12=60故答案为：60
，
=5．若x，y满足方程组
，，
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．
13．（山东省泰安第16题）观察“田”字中各数之间的关系：
则c的值为 ．
【分析】依次观察每个“田”中相同位置的数字，即可找到数字变化规律，再观察同一个“田”中各个位置的数字数量关系即可．
【解答】解：经过观察每个“田”左上角数字依此是1，3，5，7等奇数，此位置数为15时，恰好是第8个奇数，即此“田”字为第8个．观察每个“田”字左下角数据，可以发现，规律是2，22，23，24等，则第8数为28．观察左下和右上角，
每个“田”字的右上角数字依次比左下角大0，2，4，6等，到第8个图多14．则c=28+14=270
故应填：270或28+14
【点评】本题以探究数字规律为背景，考查学生的数感．解题时注意同等位置的数字变化规律，用代数式表示出来．
15．（山东淄博第17题）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是 ．
【分析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，推出第45行、第8列的数是2025﹣7=2018；【解答】解：观察图表可知：第n行第一个数是n2，∴第45行第一个数是2025，
∴第45行、第8列的数是2025﹣7=2018，故答案为2018．
【点评】本题考查规律型﹣数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题．
16．（四川自贡第17题）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有 个○．
【分析】每个图形的最下面一排都是1，另外三面随着图形的增加，每面的个数也增加，据此可得出规律，则可求得答案． 【解答】解： 观察图形可知：
第1个图形共有：1+1×3，第2个图形共有：1+2×3，第3个图形共有：1+3×3，…，
第n个图形共有：1+3n，
∴第2018个图形共有1+3×2018=6055，故答案为：6055．
【点评】本题为规律型题目，找出图形的变化规律是解题的关键，注意观察图形的变化．
17．（浙江义乌第8题）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20=5，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据规定的运算法则分别计算出每个选项第一行的数即可作出判断． 【解答】解：A、第一行数字从左到右依次为1、0、1、0，序号为1×23+0×22+1×21+0×20=10，不符合题意；
B、第一行数字从左到右依次为0，1，1，0，序号为0×23+1×22+1×21+0×20=6，符合题意；
C、第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为1×23+0×22+0×21+1×20=9，不符合题意；
D、第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为0×23+1×22+1×21+1×20=7，不符合题意； 故选：B．
【点评】本题主要考查图形的变化类，解题的关键是根据题意弄清题干规定的运算规则，并将图形的变化问题转化为数字问题．
18.（山西第21题）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办消去.著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y，使得AXBYXY.（如图）解决这个问题的操作步骤如下： 第一步，在CA上作出一点D，使得CDCB，连接BD.第二步，在CB上取一点Y'，作Y'Z//CA，交BD于点Z'，并在AB上取一点A'，使Z'A'Y'Z'.第三步，过点A作AZ//A'Z'，交BD于点Z.第四步，过点Z作ZY//AC，交BC于点Y，再过点Y作YX//ZA，交AC于点X. 则有AXBYXY. 下面是该结论的部分证明： 证明：∵AZ//A'Z'，∴BA'Z'BAZ， 又∵A'BZ'ABZ.∴BA'Z'∴BAZ. Z'A'BZ'.ZABZY'Z'BZ'Z'A'Y'Z'同理可得.∴.YZBZZAYZ∵Z'A'Y'Z'，∴ZAYZ. 任务：（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形AXYZ的形状，并加以证明；
，在（1）的基础上完成AXBYXY的证明过程；（2）请再仔细阅读上面的操作步骤．．．．（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，这里运用了下面一种图形的变化是_ D（或位似）_______.A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似
【分析】（1）四边形AXYZ是菱形．首先由“两组对边相互平行的四边形是平行四边形”推知四边形AXYZ是平行四边形，再由“邻边相等的平行四边形是菱形”证得结论；
（2）利用菱形的四条边相等推知AX=XY=YZ．根据等量代换得到AX=BY=XY．（3）根据位似变换的定义填空．【解答】解：（1）四边形AXYZ是菱形．证明：∵ZY∥AC，YX∥ZA，∴四边形AXYZ是平行四边形．∵ZA=YZ，
∴平行四边形AXYZ是菱形．
（2）证明：∵CD=CB，∴∠1=∠3．∵ZY∥AC，∴∠1=∠2．∴∠2=∠3．∴YB=YZ．
∵四边形AXYZ是菱形，∴AX=XY=YZ．∴AX=BY=XY．
（3）通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，此时四边形BA'Z'Y'∽四边形BAZY，所以该变换形式是位似变换．故答案是：D（或位似）．
【点评】考查了相似综合题型，掌握菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，位似变换，位似图形的两个图形必须是相似形．
19.（山西2题）“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果.下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（ ）
A．《九章算术》 B．《几何原本》 C．《海岛算经》 D．《周髀算经》
【分析】根据数学常识逐一判别即可得．
【解答】解：A、《九章算术》是中国古代数学专著，作者已不可考，它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的；
B、《几何原本几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作；C、《海岛算经》是中国学者编撰的最早一部测量数学著作，由刘徽于三国魏景元四年所撰；
D、《周髀算经》原名《周髀》，是算经的十书之一，中国最古老的天文学和数学
著作； 故选：B．
【点评】本题主要考查数学常识，解题的关键是了解我国古代在数学领域的成就．
20．（贵州黔东南第25题）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．
例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？
我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6 6n个 ． ×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是 60个 、请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：
（1）第5个点阵中有 61 个圆圈；第n个点阵中有 （3n2﹣3n+1）个圆圈． （2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．
【分析】根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；
（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；
按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，
（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．
【解答】解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；
（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3+1=7个，第3个点阵中有：3×6+1=17个，第4个点阵中有：4×9+1=37个，第5个点阵中有：5×12+1=60个，…
第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，故答案为：60，3n2﹣3n+1；
（2）3n2﹣3n+1=271，n2﹣n﹣90=0，（n﹣10）（n+9）=0，n1=10，n2=﹣9（舍），
∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．
【点评】本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．
21.（贵州遵义第16题）每一层三角形的个数与层数的关系如下图所示，则第2018层的三角形个数为_________
【分析】根据题意和图形可以发现随着层数的变化三角形个数的变化规律，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得， 第1层三角形的个数为：1，
第2层三角形的个数为：3， 第3层三角形的个数为：5， 第4层三角形的个数为：7， 第5层三角形的个数为：9， ……
第n层的三角形的个数为：2n﹣1，
∴当n=2018时，三角形的个数为：2×2018﹣1=4035，故答案为：4035．
【点评】本题考查规律型：图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中三角形个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．
22.（山东聊城第17题）若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.6]1，[]3，
[2.82]3等. [x]1是大于x的最小整数，对任意的实数x都满足不等式[x]x[x]1. ①，利用这个不等式①，求出满足[x]2x1的所有解，其所有解
为
．
【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，[x]=2x﹣1，∴2x﹣1≤x＜2x﹣1+1，解得，0＜x≤1，∵2x﹣1是整数，∴x=0.5或x=1，
故答案为：x=0.5或x=1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，会解答一元一次不等式．
23．（山东潍坊第15题）用教材中的计算器进行计算，开机后依次按下把显示结果输入如图的程序中，则输出的结果是 ．
，
【分析】先根据计算器计算出输入的值，再根据程序框图列出算式，继而根据二次根式的混合运算计算可得．
【解答】解：由题意知输入的值为32=9，则输出的结果为[（9÷3）﹣=（3﹣=9﹣2=7
故答案为：7．
【点评】本题主要考查计算器﹣基础知识，解题的关键是根据程序框图列出算式，并熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
）×（3+
）
]×（3+
）
24．（山东枣庄第18题）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
第1行 第2行 第3行 第4行 9 2 8 1 3 7 4 6 5 10 11 12 13 14 15 16 第5行 25 24 23 22 21 20 19 18 17 …
则2018在第
行．
【分析】通过观察可得第n行最大一个数为n2，由此估算2018所在的行数，进一步推算得出答案即可．
【解答】解：∵442=1936，452=2025，∴2018在第45行．故答案为：45．
【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
25、（四川遂宁第22题）请阅读以下材料：已知向量 1○2○3○
利用上述所给条件解答问题： 如：已知
，求角a的大小
（角a的取值范围是0 0 满足下列条件： 解: 又 解a的值为60 0 请仿照以上解答过程，完成下列问题： ，求角a的大小 已知 【分析】模仿例题，根据关于cosα的方程即可解决问题．【解答】解：∵||== = = =，cosα =1， ∴⊗=||×||cosα= 又∵⊗=x1x2+y1y2=l×1+0×（﹣1）=1∴ cosα=1 ， ∴cosα=∴α=45° 【点评】本题考查平面向量、坐标与图形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题，属于中考常考题型． 36．（四川宜宾第13题）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，（结果保留根号） 则S= ． 【分析】根据正多边形的定义可得出△ABO为等边三角形，根据等边三角形的性质结合OM的长度可求出AB的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S的值．【解答】解：依照题意画出图象，如图所示． ∵六边形ABCDEF为正六边形，∴△ABO为等边三角形，∵⊙O的半径为1，∴OM=1，∴BM=AM=∴AB= ， ×1=2 ． ， ∴S=6S△ABO=6××故答案为：2 ． 【点评】本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键． 27．（浙江嘉兴第24题）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． （1）概念理解： 如图1，在△ABC中，AC=6，BC=3，∠ACB=30°，试判断△ABC是否是”等高底”三角形，请说明理由． （2）问题探究： 如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是”等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC，连结AA′交直线BC于点D．若点B是△AA′C的重心，求 的值． （3）应用拓展： 如图3，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的 倍．将△ABC绕点C按顺时针 方向旋转45°得到△A'B'C，A′C所在直线交l2于点D．求CD的值． ． 【分析】（1）过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，依据∠ACB=30°，AC=6，可得AD=AC=3，进而得到AD=BC=3，即△ABC是“等高底” 三角形； （2）依据△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，可得AD=BC，依据△ABC关于BC所在直线的对称图形是△A'BC，点B是△AA′C的重心，即可得到BC=2BD，设BD=x，则AD=BC=2x，CD=3x，由勾股定理得AC=（3）①当AB=AC=2 ；当AC= x，即可得到 x= = =或CD= ； BC时，画出图形分两种情况分别求得CD= BC时，画出图形分两种情况讨论，求得CD=AB=BC=2． 【解答】解：（1）△ABC是“等高底”三角形； 理由：如图1，过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC=90°， ∵∠ACB=30°，AC=6，∴AD=AC=3，∴AD=BC=3， 即△ABC是“等高底”三角形； （2）如图2，∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”， ∴AD=BC， ∵△ABC关于BC所在直线的对称图形是△A'BC，∴∠ADC=90°， ∵点B是△AA′C的重心，∴BC=2BD， 设BD=x，则AD=BC=2x，CD=3x， 由勾股定理得AC=∴ = = ； x， （3）①当AB=BC时， Ⅰ．如图3，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F， ∵“等高底”△ABC的“等底”为BC，l1∥l2，l1与l2之间的距离为2，AB=∴BC=AE=2，AB=2∴BE=2，即EC=4，∴AC=2 ， ， BC， ∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，∴∠DCF=45°，设DF=CF=x，∵l1∥l2，∴∠ACE=∠DAF，∴ = =，即AF=2x， ， x= ． ∴AC=3x=2∴x= ，CD= Ⅱ．如图4，此时△ABC等腰直角三角形， ∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C， ∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD=②当AC= AC=2 ． BC时， Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形， ∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，∴A'C⊥l1，∴CD=AB=BC=2； Ⅱ．如图6，作AE⊥BC于E，则AE=BC， ∴AC=BC=AE， ∴∠ACE=45°， ∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°，得到△A'B'C时，点A'在直线l1上，∴A'C∥l2，即直线A'C与l2无交点，综上所述，CD的值为 ，2 ，2． 【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据分类讨论的思想进行解答． 28．（贵州贵阳第18题）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与 之间关系的方法： ∵sinA=，sinB=∴c=∴ = 、 、 ，c= 根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究之间的关系，并写出探究过程． 【分析】三式相等，理由为：过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义表示出AD，在直角三角形ADC中，利用锐角三角函数定义表示出AD，两者相等即可得证．【解答】解： = = ，理由为： 过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在Rt△ABD中，sinB=在Rt△ADC中，sinC=∴csinB=bsinC，即同理可得则 = == ，即AD=csinB，，即AD=bsinC，=， ． ， 【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
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