新高考2021届高考数学小题必练17新定义类创新题(含答案)

高考数学小题必练

高考数学试题坚持以能力为立意，全面考查学生的数学知识、方法和数学思想．以“新定义”为背景的创新试题，通过在试题中给出新的定义，考查学生的现场学习能力(即自学能力)、阅读理解能力、探究与猜想等创新能力，并考查类比迁移、数形结合和归纳转化等数学思想方法．

1．【2020全国Ⅱ卷】若序列a1a201周期序列在通信技术中有着重要应用，且存在正整数m，使得aimai(i1,2,an满足ai{0,1}(i1,2,)，

)成立，则称其为01周期序列，并称满足aimai(i1,2,)的

an，

最小正整数m为这个序列的周期，对于周期为m的01序列a1a21nC(k)a1aik(k1,2,mi1,m1)是描述其性质的重要指标，下列周期为5的01序列中，满足

1C(k)(k1,2,3,4)的序列是（）

5A．11010【答案】C 【解析】由aim对于选项A，

B．11011

C．10001

D．11001

15ai知，序列ai的周期为m，由已知，m5，C(k)aiaik,k1,2,3,4，

5i1151111C(1)aiai1(a1a2a2a3a3a4a4a5a5a6)(10000)，

5i1555515112C(2)aiai2(a1a3a2a4a3a5a4a6a5a7)(01010)，不满足；

5i1555对于选项B，

15113C(1)aiai1(a1a2a2a3a3a4a4a5a5a6)=(10011)，不满足；

5i1555对于选项D，

1

15112C(1)aiai1(a1a2a2a3a3a4a4a5a5a6)(10001)，不满足，

5i1555故选C．

【点睛】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，根据定义将各选项一一代入，然后分别判断即可． 2．【2020山东卷】信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量X所有可能的取值为1,2,,n，

nn且P(Xi)pi0i1,2,,n)，pi1，定义X的信息熵H(X)pilog2pi，（）

i1i1A．若n1，则H(X)0

B．若n2，则H(X)随着Pi的增大而增大 C．若pi1n(i1,2,,n)，则H(X)随着n的增大而增大

D．若n2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,,m，且P(Yj)pjp2m1j(j1,2,,m)，则H(X)H(Y) 【答案】AC

【解析】对于A选项，若n1，则i1，p11，所以H(X)(1log21)0， 所以A选项正确；

对于B选项，若n2，则i1,2,p21p1，所以H(X)[p1log2p1(1p1)log2(1p1)]， 当p114时，H(X)(11334log244log24)； 当p333114时，H(X)(4log1244log24)， 两者相等，所以B选项错误； 对于C选项，若p1in(i1,2,,n)，则H(X)(111nlog2n)nlog2nlog2n，

则H(X)随着n的增大而增大，所以C选项正确；

对于D选项，若n2m，随机变量Y的所有可能的取值为1,2,,m，且P(Yj)pjp2m1j

(j1,2,,m)，

2

H(X)pilog2pipilog2i1i12m2m1 pip1log211p2log2p1p2p2m1log21p2m1p2mlog21， p2m(pmpm1)log21pmpm1H(Y)(p1p2m)log211(p2p2m1)log2p1p2mp2p2m1p2m1log2p1log211p2log2p1p2mp2p2m1,2m)，所以

11p2mlog2，

p2p2m1p1p2m由于pi0(i1,2,1111log2，所以log2， pipip2m1ipipip2m1i所以pilog2故选AC．

11pilog2，所以H(X)H(Y)，所以D选项错误， pipip2m1i【点睛】本题主要考查新定义“信息熵”的理解和应用，需要结合对数运算、对数函数及不等式性质进行求解．

一、单选题．

1．设向量a(a1,b1)，b(a2,b2)，定义一种运算“”．向量ab(a1,b1)(a2,b2)(a2b1,a1b2)，已知m(2,)，n(,0)，点P(x,y)在ysinx的图象上运动，点Q在y f(x)的图象上运动且满足

12π3OQmOPn（其中O为坐标原点），则y f(x)的最小值为（）

A．1 【答案】B

【解析】由题意知，点P的坐标为(x,sinx)， 则OQmOPn(x,2sinx)(,0)(xB．2

C．2

D．

1 212π312π,2sinx)， 3又因为点Q在y f(x)的图象上运动，所以点Q的坐标满足y f(x)的解析式，

3

即f(x)2sinxf(x)2sin(2x故应选B．

12π32π)，所以函数y f(x)的最小值为2， 3*2．数列{an}满足：对任意的nN*且n3，总存在i,jN，使得anaiaj(ij,in,jn)，则称

数列{an}是“T数列”，现有以下四个数列：①{2n}；②{n2}；③{3n}；④{(列”的有（） A．0个 【答案】C

【解析】令an2n，则ana1an1(n3)，所以数列{2n}是“T数列”；

B．1个

C．2个

D．3个

15n1)}，其中是“T数222令ann，则a11，a24，a39，所以a3a1a2，所以数列{n}不是“T数列”； na29，a327，所以a3a1a2，所以数列{3n}不是“T数列”； 令an3，则a13， 令an(15n115n115n215n3)，则an()()()an1an2(n3)， 222215n1)}是“T数列”， 2所以数列{(综上，“T数列”的个数为2．

二、多选题． 3．在R上定义运算：描述中正确的有（） A．a有最大值

abcdadbc，若不等式

x1a1a3x1对任意实数x恒成立，则下列实数a的

11 2211 2B．a有最大值

211 211 2C．a有最小值【答案】BC

D．a有最小值【解析】原不等式等价于x(x1)(a3)(a1)1，即xx1(a1)(a3)对任意实数x恒成立，

2又xx1(x)2122555211112，∴a22a3，解得． a444224

x2y24．能够把椭圆C:“亲和函数”，1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f(x)称为椭圆C的

48下列函数是椭圆C的“亲和函数”的是（） A．f(x)xx 【答案】BC

【解析】椭圆的中心为原点，选项BC中函数是奇函数且图像关于原点对称，过原点，故是亲和函数； 选项A非奇非偶函数，选项D为偶函数，故不是亲和函数．

三、填空题．

32B．f(x)ln5x C．f(x)sinx 5xD．f(x)eexx

a,ab45．定义运算ab，则关于正实数x的不等式4(x)5(2x)的解集为．

xb,ab【答案】(1,) 【解析】∵aba,ab444，x4，∴4(x)x，

xxxb,ab55,0x2同理可得5(2x)，

52x,x2∴不等式4(x)5(2x)的解集为(1,)．

6．设全集U{1,2,3,4,5,6}，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．（1）若

4xM{2,3,6}，则UM表示6位字符串为_______．（2）若A{1,3}，集合AB表示的字符串为101001，

则满足条件的集合B的个数为_______个． 【答案】100110，4

【解析】①M表示的6位字符串是011001，则②若A{1,3}，集合AUM表示的6位字符串为100110；

B表示的字符串为101001，

∴集合B可能是{6}，{1,6}，{3,6}，{1,3,6}，故满足条件的集合B有4个．

7．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式

5

方面留下了很多宝贵的成果，设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f(x)，f(x)在(a,b)的导函数为f(x)，

4xt3若在(a,b)上f(x) 0恒成立，则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”，已知f(x)x3x2在(1,4)432上为“凸函数”，则实数t的取值范围是． 【答案】[51,) 8322【解析】f(x)xtx3x，f(x)3x2tx3，

x4t332∵函数f(x)xx在(1,4)上是“凸函数”，∴在(a,b)上，f(x)0恒成立，

432∴3x22tx30，即t31(x)， 2x令g(x)31(x)，显然g(x)在(1,4)上单调递增， 2x5151，∴t， 88∴g(x)g(4)故答案为[51,)． 88．如果定义在R上的函数f(x)满足：对于任意x1x2，都有x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，

3x则称f(x)为“H函数”．给出下列函数：①yxx1；②y3x2(sinxcosx)；③ye1；

ln|x|,x0f(x)④，其中“H函数”的个数是． 0,x0【答案】②③

【解析】∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)恒成立， ∴不等式等价为(x1x2)[f(x1)f(x2)]0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的不减函数（即无递减区间）．

2①函数yxx1，则y2x1，在[322,]函数为减函数，不满足条件； 22②y3x2(sinxcosx)，

πy32cosx2sinx32(sinxcosx)322sin(x)0，函数单调递增，满足条件；

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③yex1是定义在R上的增函数，满足条件；

ln|x|,x0④f(x)，x1时，函数单调递增，当x1时，函数单调递减，不满足条件，

0,x0故答案为②③．

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