一.选择题
1.（2018•某某某某•3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（﹣k+1）=0，然后解一次方程即可．
【解答】解：根据题意得△=（﹣2）2﹣4（﹣k+1）=0，解得k=0．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
2.（2018•某某某某•3分）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB=4，CE=2BE，tan∠AOD=，则k的值为（ ）
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word
A．3 B．2
C．6 D．12
【分析】由tan∠AOD==可设AD=3A.OA=4a，在表示出点D.E的坐标，由反比例函数经过
点D.E列出关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．
【解答】解：∵tan∠AOD==，
∴设AD=3A.OA=4a，
则BC=AD=3a，点D坐标为（4a，3a），
∵CE=2BE，∴BE=BC=a，
∵AB=4，∴点E（4+4a，a），
∵反比例函数y=经过点D.E，∴k=12a2=（4+4a）a，解得：a=或a=0（舍），则k=12×=3，
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D.E的坐
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word 标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．
3.（2018•某某某某市•3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出m≤3，由m为正整数结合该方程的根都是整数，即可求出m的值，将其相加即可得出结论．
【解答】解：∵a=1，b=2，c=m﹣2，关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有实数根
∴△=b2﹣4ac=22﹣4（m﹣2）=12﹣4m≥0，
∴m≤3．
∵m为正整数，且该方程的根都是整数，
∴m=2或3．
∴2+3=5．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的整数解，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
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word 4.（2018•某某•4分）下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣3，
∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，
∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5. （2018•乌鲁木齐•4分）宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为100元？设房价定为x元．则有（ ）
A．（180+x﹣20）（50﹣）=100 B．（x﹣20）（50﹣）=100
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word C．x（50﹣）﹣50×20=100 D．（x+180）（50﹣）﹣50×20=100
【分析】设房价定为x元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得．
【解答】解：设房价定为x元，
根据题意，得（x﹣20）（50﹣）=100．
故选：B．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．
6. （2018•某某•3分）欧几里得的《原本》记载.形如
,
,
,再在斜边上截取
的方程的图解法是：画，使
.则该方程的一个正根是（）
A. 的长. B. 的长 C.
的长 D. 的长
【答案】B
【解析】【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长,
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word 即可发现结论.
【解答】用求根公式求得：
∵
∴
∴
AD的长就是方程的正根.
故选B.
【点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.
6. （2018•某某某某•3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程角形的周长是（ ）
的两根，则该等腰三
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】试题分析：∵，
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word ∴，
即，，
①等腰三角形的三边是2，2，5，
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，
三角形的周长是2+5+5=12；
即等腰三角形的周长是12．故选A．
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质．
7. （2018•某某某某•3分）已知关于x的一元二次方程（ ）
有两个相等的实根，则k的值为
A. B. C. 2或3 D. 或
【答案】A
【解析】分析：根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的方程，解之即可得
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word 出结论．
详解：∵方程有两个相等的实根，
∴△=k2-4×2×3=k2-24=0，
解得：k=．
故选：A．
点睛：本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．
8. （2018•某某某某•3分）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100
【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．
【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨
，2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
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word 即：80（1+x）（1+x）=100或80（1+x）2=100．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
9. （2018·某某龙东地区·3分）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】设共有x个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．
【解答】解：设共有x个班级参赛，根据题意得：
=15，
解得：x1=6，x2=﹣5（不合题意，舍去），
则共有6个班级参赛．
故选：C．
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word 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，关键是准确找到描述语，根据等量关系准确的列出方程．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
10.（2018•某某A卷•4分）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（ ）
A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1或b=﹣（a+1），当b=a+1时，﹣1是方程x2+bx+a=0的根；当b=﹣（a+1）时，1是方程x2+bx+a=0的根．再结合a+1≠﹣（a+1），可得出1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，
∴，
∴b=a+1或b=﹣（a+1）．
当b=a+1时，有a﹣b+1=0，此时﹣1是方程x2+bx+a=0的根；
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word 当b=﹣（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根．
∵a+1≠0，
∴a+1≠﹣（a+1），
∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
11.（2018•某某B卷•4分）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（ ）
A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1或b=﹣（a+1），当b=a+1时，﹣1是方程x2+bx+a=0的根；当b=﹣（a+1）时，1是方程x2+bx+a=0的根．再结合a+1≠﹣（a+1），可得出
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word 1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，
∴，
∴b=a+1或b=﹣（a+1）．
当b=a+1时，有a﹣b+1=0，此时﹣1是方程x2+bx+a=0的根；
当b=﹣（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根．
∵a+1≠0，
∴a+1≠﹣（a+1），
∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
12.（2018•某某•3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值X围是（ ）
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word A．m＜ B．m≤ C．m＞ D．m≥
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值X围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
∴m＜．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
1.. （2018•某某某某•3分）某种植基地 2016 年蔬菜产量为 80 吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，求蔬菜产𝑥，则可列方程为
A.80(1 +𝑥):=100 B.100(1 − 𝑥):=80
C.80(1 +2𝑥)=100 D.80(1 +𝑥:)=100
【答案】 A
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
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word 【解析】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为𝑥，根据 2016 年蔬菜产量为 80 吨，则 2017 年蔬菜产量为80(1 + 𝑥)吨，2018 年蔬菜产量为80(1 + 𝑥) (1 + 𝑥)吨. 预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，即80(1 + 𝑥)(1 + 𝑥) = 100，即80(1 + 𝑥):= 100.
故选 A.
【点评】此题考查了一元二次方程的应用(增长率问题).解题的关键是在于理清题目的意思， 找到 2017 年和 2018 年的产量的代数式，根据条件找出等量关系式，列出方程.
14.（2018•某某贵港•3分）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【分析】据根与系数的关系α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．
【解答】解：∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，
∴α+β﹣αβ=﹣1﹣2=﹣3，
故选：D．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数关系的公式
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word
是关键．
15.（2018•某某某某•4分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（ ）
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解．
【解答】解：x2﹣4x+3=0，
分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=3，
故选：C．
16.（2018•某某某某•3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2=5，那么b的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
【分析】直接利用根与系数的关系得出x1+x2=﹣b，x1x2=﹣3，进而求出答案．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，
∴x1+x2=﹣b，
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word x1x2=﹣3，
则x1+x2﹣3x1x2=5，
﹣b﹣3×（﹣3）=5，
解得：b=4．
故选：A．
16.（2018年某某省某某市）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（ ）
A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根
C．无实数根 D．不能确定
【分析】先计算判别式得到△=（k+3）2﹣4×k=（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到△＞0，然后可判断方程根的情况．
【解答】解：△=（k+3）2﹣4×k=k2+2k+9=（k+1）2+8，
∵（k+1）2≥0，
∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，
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word
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
17.（2018某某湘西州4.00分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3 D．4
【分析】设方程的另一个解为x1，根据两根之和等于﹣，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一个解为x1，
根据题意得：﹣1+x1=2，
解得：x1=3．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、
17 / 50
word
两根之积等于是解题的关键．
18.（2018•某某•4分）下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣3，
∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，
∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
19. （2018•乌鲁木齐•4分）宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客
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word
居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为100元？设房价定为x元．则有（ ）
A．（180+x﹣20）（50﹣）=100 B．（x﹣20）（50﹣）=100
C．x（50﹣）﹣50×20=100 D．（x+180）（50﹣）﹣50×20=100
【分析】设房价定为x元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得．
【解答】解：设房价定为x元，
根据题意，得（x﹣20）（50﹣）=100．
故选：B．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．
二.填空题
1. （2018·某某某某·3分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为 2 ．
【分析】根据根与系数的关系得出a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，求出即可．
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word 【解答】解：设方程的另一个根为a，
则根据根与系数的关系得：a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，
解得：a=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
2. （2018·某某某某·4分）关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是 1 ．
【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴22﹣4m=0，
∴m=1，
故答案为：1．
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word
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△=0，此题难度不大．
3.（2018•某某某某•3分）若x1.x2为方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则x1+x2= ﹣1 ．
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
4.（2018•某某某某•3分）一元二次方程x2﹣x=0的根是 x1=0，x2=1 ．
【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：方程变形得：x（x﹣1）=0，
可得x=0或x﹣1=0，
解得：x1=0，x2=1．
21 / 50
word 故答案为：x1=0，x2=1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
5.（2018•某某某某•3分）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n= ﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入x2+mx+2n=0得到4+2m+2n=0得n+m=﹣2，然后利用整体代入的方法进行计算．
【解答】解：∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根，
∴4+2m+2n=0，
∴n+m=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
6.（2018•某某某某市•3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值X围是 3＜m≤5 ．
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word
【分析】根据根的判别式△＞0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值X围．
【解答】解：依题意得：，
解得3＜m≤5．
故答案是：3＜m≤5．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（A.B.c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．
7.（2018•某某聊城市•3分）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3=0有两个相等的实根，则k的值是．
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△=0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出k的值．
【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3=0有两个相等的实根，
∴，
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word
解得：k=．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
8. （2018•达州•3分）已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，则值为．
的
【分析】将n2+2n﹣1=0变形为﹣﹣1=0，据此可得m，是方程x2﹣2x﹣1=0
=m+1+可得．
的两根，由韦达定理可得m+=2，代入
【解答】解：由n2+2n﹣1=0可知n≠0．
∴1+﹣=0．
∴﹣﹣1=0，
又m2﹣2m﹣1=0，且mn≠1，即m≠．
∴m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根．
24 / 50
word
∴m+=2．
∴=m+1+=2+1=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根及韦达定理．
9.（2018•资阳•3分）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=．
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，
∴m2﹣2m=0且m≠0，
解得，m=2．
故答案是：2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．
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word 11.（2018•某某黔西南州•3分）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形周长是 13 ．
【分析】求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．
【解答】解：x2﹣6x+8=0，
（x﹣2）（x﹣4）=0，
x﹣2=0，x﹣4=0，
x1=2，x2=4，
当x=2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，
当x=4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4=13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是确定第三边的大小，三角形的两边之和大于第三边，分类讨论思想的运用，题型较好，难度适中．
12.(2018某某省某某市)（3分）已知关于x的方程x2+3x﹣m=0的一个解为﹣3，则它的另一个解是 0 ．
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【分析】设方程的另一个解是n，根据根与系数的关系可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出方程的另一个解．
【解答】解：设方程的另一个解是n，
根据题意得：﹣3+n=﹣3，
解得：n=0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
13.2018某某某某3.00分）已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为 2 ．
【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之和等于﹣，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一个根为m，
根据题意得：1+m=3，
解得：m=2．
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故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣是解题的关键
14. （2018某某某某3.00分）关于x的一元二次方程x2﹣kx+1=0有两个相等的实数根，则k= ±2 ．
【分析】根据题意可得△=0，进而可得k2﹣4=0，再解即可．
【解答】解：由题意得：△=k2﹣4=0，
解得：k=±2，
故答案为：±2．
【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
15. （2018•达州•3分）已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，则
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的
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值为．
【分析】将n2+2n﹣1=0变形为﹣﹣1=0，据此可得m，是方程x2﹣2x﹣1=0
=m+1+可得．
的两根，由韦达定理可得m+=2，代入
【解答】解：由n2+2n﹣1=0可知n≠0．
∴1+﹣=0．
∴﹣﹣1=0，
又m2﹣2m﹣1=0，且mn≠1，即m≠．
∴m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根．
∴m+=2．
∴=m+1+=2+1=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m，是方
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word 程x2﹣2x﹣1=0的两根及韦达定理．
16. （2018•资阳•3分）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=．
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，
∴m2﹣2m=0且m≠0，
解得，m=2．
故答案是：2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．
三.解答题
1. （2018·某某江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·7分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2=0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
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（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求m的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的X围，再在此X围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，再利用（x1﹣x2）
2+m2=21
得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，接着解关于m的方程，然后利用（1）
中m的X围确定m的值．
【解答】解：（1）根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥﹣，
所以m的最小整数值为﹣2；
（2）根据题意得x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，
∵（x1﹣x2）2+m2=21，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2=21，
∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，
整理得m2+4m﹣12=0，解得m1=2，m2=﹣6，
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∵m≥﹣，
∴m的值为2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．
2. （2018·某某随州·7分）己知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值X围；
（2）若+=﹣1，求k的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的取值X围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣2k﹣3.x1x2=k2，结合出关于k的分式方程，解之经检验即可得出结论．
+=﹣1即可得
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+3）2﹣4k2＞0，
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解得：k＞﹣．
（2）∵x1.x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0的实数根，
∴x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，
∴+==﹣=﹣1，
解得：k1=3，k2=﹣1，
经检验，k1=3，k2=﹣1都是原分式方程的根．
又∵k＞﹣，
∴k=3．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合关于k的分式方程．
+
=﹣1找出
3.（2018•某某某某•8分）如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．
（1）求线段AD的长；
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（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．
【分析】（1）解方程求出点A的坐标，根据勾股定理计算即可；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+bx+2，根据二次函数的性质求出点C′的坐标，根据题意求出直线CC′的解析式，代入计算即可．
【解答】解：（1）由x2﹣4=0得，x1=﹣2，x2=2，
∵点A位于点B的左侧，∴A（﹣2，0），
∵直线y=x+m经过点A，∴﹣2+m=0，解得，m=2，
∴点D的坐标为（0，2），
∴AD==2；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+bx+2，
y=x2+bx+2=（x+）2+2﹣，则点C′的坐标为（﹣，2﹣），
∵CC′平行于直线AD，且经过C（0，﹣4），
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∴直线CC′的解析式为：y=x﹣4，
∴2﹣=﹣﹣4，
解得，b1=﹣4，b2=6，
∴新抛物线对应的函数表达式为：y=x2﹣4x+2或y=x2+6x+2．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的性质、抛物线与x轴的交点的求法是解题的关键．
4.（2018•某某东营市•8分）关于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角．
（1）求sinA的值；
（2）若关于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△=25sin2A﹣16=0，解得sinA=；
2≥0，（2）利用判别式的意义得到100﹣4（k2﹣4k+29）≥0，则﹣（k﹣2）所以k=2，
把k=2代入方程后解方程得到y1=y2=5，则△ABC是等腰三角形，且腰长为5．
分两种情况：当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，利用三角形函数求
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出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出BC即得到△ABC的周长；
当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，利用三角函数求出AD得到AC的长，从而得到△ABC的周长．
【解答】解：（1）根据题意得△=25sin2A﹣16=0，
∴sin2A=，
∴sinA=或 ，
∵∠A为锐角，
∴sinA=；
（2）由题意知，方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0有两个实数根，
则△≥0，
∴100﹣4（k2﹣4k+29）≥0，
∴﹣（k﹣2）2≥0，
∴（k﹣2）2≤0，
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又∵（k﹣2）2≥0，
∴k=2，
把k=2代入方程，得y2﹣10y+25=0，
解得y1=y2=5，
∴△ABC是等腰三角形，且腰长为5．
分两种情况：
当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=AC=5
∵sinA=，
∴AD=3，BD=4∴DC=2，
∴BC=．
∴△ABC的周长为；
当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，
∵sinA=，
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∴A D=DC=3，
∴AC=6．
∴△ABC的周长为16，
综合以上讨论可知：△ABC的周长为或16．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了解直角三角形．
5. （2018•某某•8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值X围．
【分析】由方程根的个数，利用根的判别式可得到关于a的不等式，可求得a的取值X围，再由根与系数的关系可用a表示出x1x2和x1+x2的值，代入已知条件可得到关于a的不等式，则可求得a的取值X围．
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【解答】解：∵该一元二次方程有两个实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4×1×a=4﹣4a≥0，
解得：a≤1，
由韦达定理可得x1x2=a，x1+x2=2，
∵x1x2+x1+x2＞0，
∴a+2＞0，
解得：a＞﹣2，
∴﹣2＜a≤1．
【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，掌握根的个数与根的判别式的关系及一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键．
6. （2018•某某•10分）设一次函数B（-1，-1）
（是常数，）的图象过A（1，3），
（1）求该一次函数的表达式；
（2）若点（2a+2，a2）在该一次函数图象上，求a的值；
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（3）已知点C（x1， y1），D（x2， y2）在该一次函数图象上，设m=（x1-x2）（y1-y2），判断反比例函数
的图象所在的象限，说明理由。
【答案】（1）根据题意，得，解得k=2，b=1
所以y=2x+1
（2）因为点（2a+2，a2）在函数y=2x+1的图像上，所以a2=4a+5
解得a=5或a=-1
（3）由题意，得y1-y2=（2x1+1）-（2x2+1）=2（x1-x2）所以m=（x1-x2）（y1-y2）=2（x1-x2）2≥0，
所以m+1＞0
所以反比例函数的图像位于第一、第三象限
【考点】因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，反比例函数的性质
【解析】【分析】（1）根据已知点的坐标，利用待定系数法，就可求出一次函数的解析式。
（2）将已知点的坐标代入所求函数解析式，建立关于a的方程，解方程求解即可。
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（3）先求出y1-y2=2（x1-x2），根据m=（x1-x2）（y1-y2），得出m=2（x1-x2）2≥0，从而可判断m+1的取值X围，即可求解。
7. （2018•某某•10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连
结CD。
（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数；
（2）设BC=a，AC=b；①线段AD的长度是方程由。
的一个根吗？说明理
②若线段AD=EC，求的值．
【答案】（1）因为∠A=28°，所以∠B=62°又因为BC=BD，所以∠BCD= ×（180°-62°）=59°
∴∠ACD=90°-59°=31°
（2）因为BC=a，AC=b，所以AB= 所以AD=AB-BD=
①因为= =0
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所以线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根。
②因为AD=EC=AE=
所以是方程x2+2ax-b2=0的根，
所以，即4ab=3b
因为b≠0，所以=
【考点】一元二次方程的根，等腰三角形的性质，勾股定理，圆的认识
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据已知可得出△BCD是等腰三角形，可求出∠BCD的度数，从而可求得∠ACD的度数。
（2）根据已知①BC=a，AC=b，利用勾股定理可求出AB的值，①再求出AD的长，再根据AD是原方程的一个根，将AD的长代入方程，可得出方程左右两边相等，即可得出结论；②根据已知条件可得出AD=EC=AE= ，将代入方程化简可得出4ab=3b，就可求出a与b之比。
8. （2018•某某某某•12分）某地异地安置，并规划投入资金逐年增加，
年为做好“精准扶贫”，投入资金年在
年的基础上增加投入资金
万元用于万元.
（1）从年到年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
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（2）在年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于
户（含第
户）每户每天奖励元，
万元用于优先搬迁
租房奖励，规定前房
天计算，求
户以后每户每天奖励元，按租
年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.
【答案】（1）从年该地至少有
年到年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为；（2）
户享受到优先搬迁租房奖励.
【解析】分析：（1）设年平均增长率为x，根据：2015年投入资金给×（1+增长率）
2=2017
年投入资金，列出方程求解可得；
（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据：前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万，列不等式求解可得．
详解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为，根据题意得
，
解得：或（舍），
答：从年到年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为；
（2）设年该地有户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意得，
∵，∴，
，
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解得：，
答：年该地至少有户享受到优先搬迁租房奖励.
点睛：本题主要考查一元二次方程与一元一次不等式的应用，由题意准确抓住相等关系并据此列出方程或不等式是解题的关键．
9. （2018•某某某某•6分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值X围；
（2）给k取一个负整数值，解这个方程．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，然后解不等式即可；
（2）在（1）中的k的X围内取﹣2，方程变形为x2﹣2x=0，然后利用因式分法解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，
解得k＞﹣3；
（2）取k=﹣2，则方程变形为x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=2．
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10. （2018•某某某某•9分）山地自行车越来越受中学生的喜爱．一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元，二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元．
（1）求二月份每辆车售价是多少元？
（2）为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售，网店仍可获利35%，求每辆山地自行车的进价是多少元？
【分析】（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据数量=总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据利润=售价﹣进价，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，
根据题意得：=，
解得：x=900，
经检验，x=900是原分式方程的解．
答：二月份每辆车售价是900元．
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（2）设每辆山地自行车的进价为y元，
根据题意得：900×（1﹣10%）﹣y=35%y，
解得：y=600．
答：每辆山地自行车的进价是600元．
11. （2018·某某某某·5分）解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．
【分析】移项后提取公因式x﹣3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．
【解答】解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），
移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，
整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0，
x﹣3=0或2﹣3x=0，
解得：x1=3或x2=．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是先移项，然后提取公因式，避免两边同除以x﹣3，这样会漏根．
12.（2018•某某B卷•10分）空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木
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栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．
（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．
如图1，求所利用旧墙AD的长；
（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩
形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．
【分析】（1）按题意设出AD，表示AB构成方程；
（2）根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论s与菜园边长之间的数量关系．
【解答】解：（1）设AD=x米，则AB=
依题意得，
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解得x1=10，x2=90
∵a=20，且x≤a
∴x=90舍去
∴利用旧墙AD的长为10米．
（2）设AD=x米，矩形ABCD的面积为S平方米
①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意
得：
S=，0＜x＜a
∵0＜α＜50
∴x＜a＜50时，S随x的增大而增大
当x=a时，S最大=50a﹣
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②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得
S=，a≤x＜50+
当a＜25+＜50时，即0＜a＜时，
则x=25+时，S最大=（25+）2=
当25+≤a，即时，S随x的增大而减小
∴x=a时，S最大=
综合①②，当0＜a＜时，
﹣（）=
＞，此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为
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平方米
当时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等．
∴当0＜a＜时，围成长和宽均为（25+）米的矩形菜园面积最大，最大面积为
平方米；
当为（
时，围成长为a米，宽为（50﹣）米的矩形菜园面积最大，最大面积）平方米．
【点评】本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变量大小关系．
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