2015-2016学年辽宁省葫芦岛一中高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1．已知A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则分别是： （1）（3）
； （2）f：x→y=x﹣2； ； （4）f：x→y=|x﹣2|．
其中能够成一 一映射的个数是（ ） A．1
2．已知f（x﹣1）=2x﹣5，且f（a）=6，则a等于（ ） A．﹣ B．
3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（ ） A． 4．化简A．
5．对于幂函数关系是（ ） A．
＞
B．
＜
，若0＜x1＜x2，则
，
大小
B．x
的结果是（ ） C．1
D．x2
B．
C．f（x）=2﹣x﹣2x
D．
C．
D．﹣
B．2
C．3
D．4
C．
= D．无法确定
6．已知lga+lgb=0，函数f（x）=ax与函数g（x）=﹣logbx的图象可能是（ ）
7．已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（ ） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
8．设函数f（2x）的定义域是[2，4]，则函数A．[1，2]
9．设函数f（x）满足对任意的m，n∈Z+都有f（m+n）=f（m）•f（n）且f（1）=2，则
（ ）
A．2011 B．2010 C．4020 D．4022
B．
C．[2，8]
D．[8，32]
的定义域为（ ）
10．若函数f（x）=，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围
是（ ）
A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞）
11．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=下四个结论正确的是（ ） A．函数f（x）的值域为（0，1]
（x＞0），则给出以
D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
B．函数f（x）没有零点
C．函数f（x）是（0，+∞）上的减函数
D．函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时＜a≤
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．12．函数y=ax﹣1+1（a＞0且a≠1）的图象必经过定点 ． 13．化简2
14．设函数f（x）=x2+（m﹣1）x+1在区间[0，2]上有两个零点，则实数m的取值范围是 ．
15．下列各式： （1）
（2）已知loga＜1，则
；
；
5
+lg5lg2+lg22﹣lg2的结果为 ．
（3）函数y=2x的图象与函数y=﹣2﹣x的图象关于原点对称； （4）函数f（x）=
的定义域是R，则m的取值范围是0＜m＜4；
（5）函数y=ln（﹣x2+x）的递增区间为（﹣∞，]． 正确的有 ．（把你认为正确的序号全部写上）
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．设集合A={x|﹣7≤2x﹣5≤9}，S={x|k+1≤x≤2k﹣1}， （1）若S≠∅且S⊆A，求k的取值范围： （2）当A∩S=∅时，求k的取值范围．
17．vkm/h）据气象中心观察和预测：发生于M第的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度（0）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为时间t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km） （1）直接写出v（km/h）关于t（h）的函数关系式； （2）当t=20h，求沙尘暴所经过的路程s（km）；
（3）若N城位于M地的正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
18．已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，且f（0）=3． （1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[﹣1，1]时，f（x）≥2mx恒成立，求实数m的取值集合．
19．已知f（x）为偶函数，且x＞0时，
（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明； （2）若f（x）在
上的值域是
，求a的值；
．
（3）求x∈（﹣∞，0）时函数f（x）的解析式．
20．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下面三个条件： ①对任意正数a，b，都有f（a）+f（b）=f（ab）； ②当x＞1时，f（x）＜0； ③f（2）=﹣1 （I）求f（1）和
的值；
（II）试用单调性定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数； （III）求满足f（log4x）＞2的x的取值集合．
21．已知函数f（x）=log9（9x+1）+kx（k∈R）是偶函数． （1）求k的值；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线（3）设
点，求实数a的取值范围．
没有交点，求b的取值范围；
，若函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共
2015-2016学年辽宁省葫芦岛一中高一（上）期中数学试
卷
参与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1．已知A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则分别是： （1）（3）
； （2）f：x→y=x﹣2； ； （4）f：x→y=|x﹣2|．
其中能够成一 一映射的个数是（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】映射．
【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】考察各个选项中的对应是否满足一一映射的定义，即当x在集合A中任意取一个值，在集合B中都有唯一确定的一个值与之对应，反之，当x在集合B中任意取一个值，在集合A中都有唯一确定的一个值与之对应，可得答案．
【解答】解：对于（1）中的对应，当x在集合A={x|0≤x≤4}中任意取一个值x，在集合B={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个值与之对应，故是映射．
对于（3）中的对应，当x在集合A={x|0≤x≤4}中任意取一个值x，在集合B={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个值
与之对应，故是映射．
对于（4）中的对应，当x在集合A={x|0≤x≤4}中任意取一个值x，在集合B={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个值|x﹣2|与之对应，故是映射．
其中，（4）中的对应由于集合A中的元素0和4，在集合B中都是元素2和它对应．故其不是一一映射，
而（2）中，因为集合A中的元素0，在集合B中没有元素和它对应．故它不是映射． 故选：B．
【点评】本题考查映射的定义，通过举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
2．已知f（x﹣1）=2x﹣5，且f（a）=6，则a等于（ ） A．﹣ B．
C．
D．﹣
【考点】函数解析式的求解及常用方法． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据题意，令2x﹣5=6，求出x的值，再计算对应a的值． 【解答】解：∵f（x﹣1）=2x﹣5，且f（a）=6， ∴令2x﹣5=6， 解得x=∴a=×
， ﹣1=．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的解析式以及利用函数的解析式求值的应用问题，是基础题目．
3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（ ） A．
B．
C．f（x）=2﹣x﹣2x
D．
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】根据反比例函数在定义域内的单调性，奇函数定义域的特点，以及奇函数的定义，函数导数符号和函数单调性的关系即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项． 【解答】解：A．反比例函数
在定义域内没有单调性；
B．f（x）定义域为{x|x≤0}，不关于原点对称，不是奇函数； C．f（x）定义域为R，f（﹣x）=2x﹣2﹣x=﹣f（x）； ∴该函数为奇函数； f′（x）=﹣2﹣xln2﹣2xln2＜0； ∴该函数在定义域内为减函数； ∴该选项正确；
D．f（﹣x）=f（x）； ∴该函数不是奇函数． 故选C．
【点评】考查反比例函数在定义域内的单调性，奇函数定义域的特点，奇函数的定义，以及函数导数符号和函数单调性的关系． 4．化简A．
B．x
的结果是（ ） C．1
D．x2
【考点】有理数指数幂的化简求值． 【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】利用有理数指数幂的运算性质和运算法则，把等价转化为，由此
能求出结果． 【解答】解：
=
==x0 =1． 故选C．
【点评】本题考查有理数指数幂的运算性质和运算法则，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
5．对于幂函数关系是（ ）
，若0＜x1＜x2，则
，
大小
A．＞ B．＜
C． = D．无法确定
【考点】幂函数的图像． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据幂函数
在（0，+∞）上是增函数，图象是上凸的，则当0＜x1＜x2
，由此可得结论．
时，应有＞
【解答】解：∵幂函数在（0，+∞）上是增函数，图象是上凸的，
∴当0＜x1＜x2时，应有故选：A．
＞．
【点评】本题主要考查幂函数的单调性，幂函数的图象特征，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．
6．已知lga+lgb=0，函数f（x）=ax与函数g（x）=﹣logbx的图象可能是（ ）
【考点】对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】由lga+lgb=0，则得到lgab=0，即ab=1，然后根据指数函数和对数函数的性质即可判断函数的图象．
【解答】解；解：∵lga+lgb=0， ∴lgab=0，即ab=1，b=
∵函数f（x）=ax与函数g（x）=﹣logbx
∴函数f（x）=ax与函数g（x）=logax， a＞1，f（x）与g（x）都是单调递增， 0＜a＜1，f（x）与g（x）都是单调递减， ∴f（x）与g（x）单调相同， 故选：C
【点评】本题主要考查指数函数和对数函数的图象的判断，利用对数的运算法则确定ab=1是解决本题的关键，根据函数单调性的对应关系解决本题即可．
7．已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（ ） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 【考点】不等式比较大小． 【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由函数y=2x在R上是增函数可得a＞b＞20=1，再由c=2log52=log54＜log55=1，从而得到a，b，c的大小关系
【解答】解：由于函数y=2x在R上是增函数，a=21.2，b=（）﹣0.8 =20.8，1.2＞0.8＞0， ∴a＞b＞20=1．
再由c=2log52=log54＜log55=1， 可得 a＞b＞c， 故选A．
【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
8．设函数f（2x）的定义域是[2，4]，则函数A．[1，2]
B．
C．[2，8]
D．[8，32]
的定义域为（ ）
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】先求出2x的范围即的范围，从而求出x的范围即可． 【解答】解：∵函数f（2x）的定义域是[2，4]， ∴4≤2x≤16，
∴4≤≤16， 则函数故选：D．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查指数函数的性质，是一道基础题．
9．设函数f（x）满足对任意的m，n∈Z+都有f（m+n）=f（m）•f（n）且f（1）=2，则
（ ）
A．2011 B．2010 C．4020 D．4022 【考点】抽象函数及其应用． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】由已知可得
=f（1）=2，代入要求的式子化简可得．
的定义域为[8，32]，
【解答】解：∵函数f（x）满足对任意的m，n∈Z+都有f（m+n）=f（m）•f（n）且f（1）=2，
∴f（m+1）=f（m）•f（1），变形可得∴故选：C
【点评】本题考查抽象函数，得出
=f（1）=2是解决问题的关键，属基础题．
=f（1）=2，
=2010f（1）=4020
10．若函数f（x）=，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围
是（ ）
A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞）
D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
【考点】对数值大小的比较． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论．
【解答】解：由题意
．
故选C．
【点评】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题．分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，也要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错．
11．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=下四个结论正确的是（ ） A．函数f（x）的值域为（0，1] B．函数f（x）没有零点
C．函数f（x）是（0，+∞）上的减函数
D．函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时＜a≤ 【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】新定义；分类讨论；定义法；函数的性质及应用． 【分析】当0＜x＜1时，[x]=0，f（x）=0，故A，B错误； C中f（0.3）=0，f（1.3）＞0，可排除C； D中因为f（x）=实数根，且a≥0．
﹣a，有且仅有3个零点，则方程
=a在（0，+∞）上有且仅有3个
（x＞0），则给出以
=a，在[x]=1时，只能有一个f（x）不同的[x]对应不同的a值，对式子变形可得只需讨论
[x]=3，则有＜a≤1；若[x]=4，则有＜a≤1．最后确定a的范围． 【解答】解：当0＜x＜1时，[x]=0，f（x）=0，故A，B错误； C中f（0.3）=0，f（1.3）＞0，故C错误； D中因为f（x）=则方程
﹣a，有且仅有3个零点，
＜a≤1，
=a在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且a≥0．
=0，不合题意；
∵x＞0，∴[x]≥0； 若[x]=0，则若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1， ∴∴且
＜
≤1，
＜a≤1，
随着[x]的增大而增大．
故不同的[x]对应不同的a值， 故有[x]=1，2，3． 若[x]=1，则有＜a≤1； 若[x]=2，则有＜a≤1； 若[x]=3，则有＜a≤1； 若[x]=4，则有＜a≤1．
要使有三个实数根，即[x]=1，2，3． ∴＜a≤． 故选D．
【点评】考查了定义法和抽象函数，难点是对题意的理解和分类讨论．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．12．函数y=ax﹣1+1（a＞0且a≠1）的图象必经过定点 （1，2） ．
【考点】指数函数的图像变换．
【分析】由指数函数的定义可知，当指数为0时，指数式的值为1，故令指数x﹣1=0，解得x=1，y=2，故得定点（1，2）． 【解答】解：令x﹣1=0，解得x=1， 此时y=a0+1=2，故得（1，2） 此点与底数a的取值无关，
故函数y=ax﹣1+1（a＞0且a≠1）的图象必经过定点（1，2） 故答案为 （1，2）
【点评】本题考点是指数型函数，考查指数型函数过定点的问题．解决此类题通常是令指数为0取得定点的坐标．属于指数函数性质考查题． 13．化简2
5
+lg5lg2+lg22﹣lg2的结果为 25 ．
【考点】对数的运算性质． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出． 【解答】解：原式==25+lg2（lg5+lg2）﹣lg2 =25．
【点评】本题考查了对数的运算法则、lg2+lg5=1，属于基础题．
14．设函数f（x）=x2+（m﹣1）x+1在区间[0，2]上有两个零点，则实数m的取值范围是 ．
【考点】函数的零点与方程根的关系． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】当f（x）在[0，2]上有两个零点时，即方程x2+（m﹣1）x+1=0在区间[0，2]上有两个不相等的实根，由此构造关于m的不等式组，解不等式组可求出m的取值范围． 【解答】解：当f（x）在[0，2]上有两个零点时，
此时方程x2+（m﹣1）x+1=0在区间[0，2]上有两个不相等的实根，
+lg5lg2+lg22﹣lg2
则，
解得
实数m的取值范围故答案为：
，
【点评】本题考查二次函数与方程之间的关系，二次函数在给定区间上的零点问题，要注意函数图象与x轴相切的情况，属于中档题．
15．下列各式： （1）
（2）已知loga＜1，则
；
；
（3）函数y=2x的图象与函数y=﹣2﹣x的图象关于原点对称； （4）函数f（x）=
的定义域是R，则m的取值范围是0＜m＜4；
（5）函数y=ln（﹣x2+x）的递增区间为（﹣∞，]． 正确的有 （3） ．（把你认为正确的序号全部写上） 【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用． 【分析】（1）应先算括号内，再乘方，结果应为
，
（2）已知loga＜1，对底数a分类讨论：当a＞1时，恒成立，当0＜a＜1时，已知loga＜logaa，可得a＜；
（3）函数y=2x的中，使x，y都取相反数可得：﹣y=2﹣x，即y=﹣2﹣x， （4）函数f（x）=
讨论：可得△＜0，或m=0，
的定义域是R，故mx2+mx+1＞0恒成立，需对二次项系数
（5）函数y=ln（﹣x2+x）的定义域为（0，1），单调区间应在定义域内． 【解答】解：（1）应先算括号内，再乘方，结果应为
，故错误；
（2）已知loga＜1，当a＞1时，恒成立，当0＜a＜1时，已知loga＜logaa，可得a＜，故错误；
（3）函数y=2x的中，使x，y都取相反数可得：﹣y=2﹣x，即y=﹣2﹣x，故正确； （4）函数f（x）=m=0，故错误；
（5）函数y=ln（﹣x2+x）的定义域为（0，1）故错误； 故答案为（3）．
【点评】考查了乘方的运算，对数函数参数的讨论问题，图象的对称问题，二次函数恒大于零问题．属于基础题型，应熟练掌握．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．设集合A={x|﹣7≤2x﹣5≤9}，S={x|k+1≤x≤2k﹣1}， （1）若S≠∅且S⊆A，求k的取值范围： （2）当A∩S=∅时，求k的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用；集合的表示法． 【专题】计算题；分类讨论；综合法；集合．
的定义域是R，故mx2+mx+1＞0恒成立，可得△＜0，或
【分析】（1）若S≠∅且S⊆A，可得，即可求k的取值范围：
（2）当A∩S=∅时，分类讨论，即可求k的取值范围． 【解答】解：（1）A={x|﹣7≤2x﹣5≤9}={x|﹣1≤x≤7}， ∵S≠∅且S⊆A，
∴，
∴2≤k≤4；
（2）S=∅，则2k﹣1＜k+1，∴k＜2；
S≠∅，则或，∴k＞6．
综上所述，k＜2或k＞6．
【点评】本题考查集合的运算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
17．vkm/h）据气象中心观察和预测：发生于M第的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度（0）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为时间t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km） （1）直接写出v（km/h）关于t（h）的函数关系式； （2）当t=20h，求沙尘暴所经过的路程s（km）；
（3）若N城位于M地的正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
【考点】分段函数的应用．
【专题】应用题；函数的性质及应用．
【分析】（1）由题意可得v=；
（2）沙尘暴所经过的路程s可看成图中梯形的面积，从而求解； （3）由题意可得，﹣t2+70t﹣550=650，从而求解． 【解答】解：（1）由图可得，
v=
（2）当t=20h，v=30， S=×（10+20）×30=450，
即t=20h时，沙尘暴所经过的路程为450km； （3）由（2）得，0≤t≤20时，S＜650，
当20＜t≤35时， S=450+
令﹣t2+70t﹣550=650， 解得，t=30，
即在沙尘暴发生30h后间它将侵袭到N城．
【点评】本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，同时考查了分段函数的应用，属于中档题．
18．已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，且f（0）=3． （1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[﹣1，1]时，f（x）≥2mx恒成立，求实数m的取值集合． 【考点】二次函数的性质． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=3，f（x+1）﹣f（x）=2ax+a+b=2x﹣1，可求a，b，c，进而可求函数f（x）；
（2）由m∈[﹣1，1]时，不等式f（x）≥2mx恒成立，可得x2﹣2x+3﹣2mx≥0在x∈[﹣1，1]=﹣2mx+上恒成立，令g（m）（x2﹣2x+3），结合一次函数的性质可得从而可求m的范围．
【解答】解：解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），…..1 分 ∵f（0）=3， ∴c=3，…．
又f（x+1）﹣f（x）=2ax+a+b=2x﹣1， ∴a=1，b=﹣2，…． 故f（x）=x2﹣2x+3…．
（2）因为m∈[﹣1，1]时，不等式f（x）≥2mx恒成立， 即x2﹣2x+3﹣2mx≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立． 令g（m）=﹣2mx+（x2﹣2x+3），
，
=﹣t2+70t﹣550，
则由得：m∈[﹣3，1]，
故实数m的取值范围为：[﹣3，1]
【点评】本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的恒成立求解参数问题一般转化为求解函数的最值，及利用转化与化归思想把所求二次函数转化为关于m的一次函数进行求解
19．已知f（x）为偶函数，且x＞0时，
（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明； （2）若f（x）在
上的值域是
，求a的值；
．
（3）求x∈（﹣∞，0）时函数f（x）的解析式．
【考点】奇偶性与单调性的综合；函数解析式的求解及常用方法． 【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】（1）利用函数的单调性的定义进行判断和证明即可
（2）由（1）可知函数f（x）在区间[，2]上的单调性，结合单调性及已知函数的 值域可求a
（3）可设x∈（﹣∞，0），则﹣x∈（0，+∞），结合已知x＞0时的函数解析式及函数为偶函数可求
【解答】（本小题满分14分）
解：（1）函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．．… 证明如下： 任取0＜x1＜x2 f（x1）﹣f（x2）==
=
．…
∵0＜x1＜x2
∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数..…
（2）由（1）知函数f（x）在区间[，2]上是增函数，值域为[∴f（）=，f（2）=2，．…
]，．…
即，解得a=..…
（3）设x∈（﹣∞，0），则﹣x∈（0，+∞）， ∴f（﹣x）=
．…
=
..…
又因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（﹣x）=
【点评】本题综合考查了函数的单调性、函数的奇偶性及函数的值域等知识的综合应用，解题的关键是熟练掌握函数的基本知识
20．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下面三个条件： ①对任意正数a，b，都有f（a）+f（b）=f（ab）； ②当x＞1时，f（x）＜0； ③f（2）=﹣1 （I）求f（1）和
的值；
（II）试用单调性定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数； （III）求满足f（log4x）＞2的x的取值集合． 【考点】抽象函数及其应用．
【专题】综合题；函数思想；定义法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）令a=b=1，代入计算即可求得f（1）=0；令a=b=2，求得f（4）=﹣2，令a=4，b=，即可得到所求值；
（Ⅱ）运用单调性的定义证明，注意运用条件可得＞1，即有f（）＜0；
（Ⅲ）f（log4x）＞2即为f（log4x）＞可得不等式组，解得即可得到所求集合．
，由（Ⅱ）f（x）在（0，+∞）上是减函数，
【解答】解：（Ⅰ）令a=b=1，可得2f（1）=f（1），
解得f（1）=0；
令a=b=2，可得2f（2）=f（4）=﹣2， 令a=4，b=，可得f（4）+f（）=f（1）=0， 即有f（）=﹣f（4）=2；
（Ⅱ）证明：设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2， 可得
＞1，即有f（
）＜0，
则f（x2）=f（x1•）=f（x1）+f（）＜f（x1），
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数； （Ⅲ）f（log4x）＞2即为 f（log4x）＞
，
由（Ⅱ）f（x）在（0，+∞）上是减函数
所以，即为，
解得，
）．
故不等式的解集为（1，
【点评】本题考查抽象函数的运用，考查赋值法求函数值的方法和运用单调性的定义证明得到，同时考查解不等式，注意运用单调性和函数的定义域，属于中档题和易错题．
21．已知函数f（x）=log9（9x+1）+kx（k∈R）是偶函数． （1）求k的值；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线（3）设
点，求实数a的取值范围．
【考点】函数奇偶性的性质；函数与方程的综合运用． 【专题】计算题．
没有交点，求b的取值范围；
，若函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共
【分析】（1）因为f（x）为偶函数所以f（﹣x）=f（x）代入求得k的值即可； （2）函数与直线没有交点即
无解，即方程log9（9x+1）﹣x=b
无解．令g（x）=log9（9x+1）﹣x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．推出g（x）为减函数得到g（x）＞0，所以让b≤0就无解．
（3）函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，即联立两个函数解析式得到方程，方程只有一个解即可．
【解答】解：（1）因为y=f（x）为偶函数，所以∀x∈R，f（﹣x）=f（x）， 即log9（9﹣x+1）﹣kx=log9（9x+1）+kx对于∀x∈R恒成立． 即立
即（2k+1）x=0恒成立， 而x不恒为零，所以（2）由题意知方程
．
即方程log9（9x+1）﹣x=b无解．
恒成
令g（x）=log9（9x+1）﹣x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点． 因为
任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则
，从而．
于是
，即g（x1）＞g（x2），
所以g（x）在（﹣∞，+∞）是单调减函数． 因为
，所以
．所以b的取值范围是（﹣∞，0]．
有且只有一个实数根．
（记为（*））有且只有一个正根．
（3）由题意知方程令3x=t＞0，则关于t的方程若a=1，则
，不合，舍去；
若a≠1，则方程（*）的两根异号或有两相等正根．
由或﹣3；但，不合，舍去；而；
方程（*）的两根异号⇔（a﹣1）•（﹣1）＜0，即﹣a+1＜0，解得：a＞1． 综上所述，实数a的取值范围{﹣3}∪（1，+∞）．
【点评】考查学生运用函数奇偶性的能力，以及函数与方程的综合运用能力．
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