流体力学与流体机械复习

流体⼒学与流体机械复习chapter 1 绪论基本要求：

掌握流体的连续介质模型、流体的主要物理性质：易流动性、密度与重度、黏性与理想流体模型、压缩性与不可压模型、表⾯张⼒特性；掌握⽜顿内摩擦定律应⽤以及作⽤在流体上的⼒的两种形式：质量⼒与表⾯⼒⼀、流体的主要物理性质

惯性与重⼒特性：掌握流体的密度ρ和容重（重度）γ；

（1）惯性是物体具有的反抗改变它原有运动状态的物理特性，质量是物体惯性⼤⼩时度量，常以符号m 表⽰。当物体受其它物体作⽤⽽改变运动状态时，它反抗改变原来的运动状态⽽作⽤在其它物体上的反作⽤⼒称为惯性⼒，惯性⼒的表达式为：Ｆ＝－Ｍa 式中物体的质量为Ｍ，加速度为a ，负号表⽰惯性⼒的⽅向与物体的加速度⽅向相反。

密度是单体体积流体具有的质量，流体的密度常⽤符号ρ表⽰。请注意在国际单位制和⼯程单位制中质量和密度的单位，我国规定推荐使⽤国际单位制，但在⼯程中还有不少地⽅使⽤⼯程单位制，因此物理量两种单位制的表达都应掌握。（2）流体的重量与容量：

地球对物体的万有引⼒称为重⼒，或称为物体具有的重量，常⽤符号G 表⽰。单位体积流体所具有的重量称为容重，也称为重度，容重⽤符号γ表⽰。流体的密度和容重随温度和压强的改变⽽变化，但这种变化很⼩，通常可以视作常数。⽔的密度ρ＝1000kg ／m 3，⽔的容重γ＝9800N ／m 3。

2．粘滞性：流体的粘滞性是流体在流动中产⽣能量损失的根本原因。当流体流动时，流体质点之间存在着相对运动，这时质点之间会产⽣内摩擦⼒反抗它们之间的相对运动，流体的这种性质称为粘滞性，这种内摩擦⼒也称为粘滞⼒。 描述流体内部的粘滞⼒规律的是⽜顿内摩擦定律

⽜顿内摩擦定律的内容叙述如下：当流体内部的液层之间存在相对运动时，相邻液层间的内摩擦⼒F 的⼤⼩与流速梯度和接触⾯⾯积A 成正⽐，与流体的性质（即粘滞性）有关，⽽与接触⾯上的压⼒⽆关。

式中µ是表征流体粘滞性⼤⼩的动⼒粘滞系数，单位是（N·s ／m 2）。另⼀形式的粘滞系数⽤ν表⽰，称为运动粘滞系数，它的单位是（m 2／s 或cm 2／s ）。即： ρµν= 需要强调的是：⽜顿内摩擦定律只适⽤于⽜顿流体和层流运动，⽜顿流体是指在dy du µτ=

温度不变的情况下切应⼒与流速梯度成正⽐，这时粘滞系数µ为常数。关于⽜顿流体与⾮⽜顿流体分类不要求掌握！对于静⽌流体，流体质点之间没有相对运动，因⽽也就不存在粘滞性。

可压缩性：流体受到的外界压⼒变化⽽引起流体体积改变的特性称为流体的压缩性。流体压缩性的⼤⼩，可⽤体积压缩系数βp 或体积弹性系数K 表⽰，即dp V dVp -=β或 p k β1= 流体的压缩性很⼩，除了在⽔击等压强急剧变化的⽔⼒过程中（即在研究⽔击时需要考虑），⼀般都忽略⽔的可压缩性，即把⽔当作不可压缩的流体来看待。 表⾯张⼒特性：进⾏模型试验时需要考虑。

在液体与⽓体间的分界⾯，即液体的⾃由液⾯，其表⾯特性在某些情况下应予考虑。

⾃由液⾯附近的液体受到来⾃⽓体和液体内部的引⼒，但液体⼀侧的引⼒较⼤，在引⼒差作⽤下，⾃由液⾯的液体呈现出收缩和承受张⼒的性质，即具有表⾯张⼒特性。也就是说，由于受内、外两侧分⼦引⼒不平衡，使⾃由液⾯上液体分⼦受有极其微⼩的拉⼒。表⾯张⼒只存在于液体的⾃由表⾯，液体内部并不存在。表⾯张⼒以表⾯张⼒系数σ表⽰，是指在⾃由⾯单位长度上所受拉⼒的数值，单位为N/m ，其值与液体种类及温度有关。

表⾯张⼒是仅在液体⾃由表⾯存在的局部⽔⼒现象，它使液体表⾯有尽量缩⼩的趋势，对体积⼩的液体，表⾯缩⼩趋于球体状，如荷叶上的⽔珠等。⼀般情况下，表⾯张⼒对液体运动的影响可以忽略不计。但在特殊情况下，如细玻璃管内的⽑细现象使⽔柱升⾼或汞柱降低，对液位和压强量测造成误差，有⾃由表⾯和较⼤曲率的⼩流量运动和微⼩⽔滴的形成球状，这些情况下表⾯张⼒的影响必须考虑。（关于表⾯张⼒的拉普拉斯⽅程属于提⾼知识不要求掌握！）

综上所述，液体的各种物理特性，它们各⾃不同程度地影响着液体的运动，其中惯性、重⼒和粘滞性是重要的影响因素，⽽液体的可压缩性和表⾯张⼒只有在⼀些特殊问题中才需要考虑。特别需要强调的是：粘滞性对流体的影响⼗分重要⽽且极其复杂，它使得分析和研究流体的运动规律变得⾮常困难。为了简化问题，便于从理论上研究和分析流体的运动，在流体⼒学引⼊了“理想流体”的概念

下⾯我们介绍流体⼒学的两个基本假设：⼆、连续介质和理想流体假设

连续介质：流体是由流体质点组成的连续体,可以⽤连续函数描述流体运动的物理量。理想流体：忽略粘滞性的流体。

“理想流体”是为了简化对流体运动的研究⽽引进的⼀种假设，即认为这是⼀种完全没有粘滞性的流体。这样，先按理想流体分析研究流体的运动，从理论上求得其运动规律，以揭⽰实际流体运动的概况和趋势。再根据实际流体的具体情况考虑粘滞性的影响，对理想流体的运动规律进⾏修正，就可以得到实际流体的运动规律。需要注意的是，理想流体是⼀种实际上并不存在的假想的流体，引进理想

流体就仅是⽔⼒学研究的⼀种⽅法。三、作⽤在流体上的两类作⽤⼒

流体⽆论处于平衡或运动状态，都受到各种⼒的作⽤。作⽤在流体上的⼒包括重⼒、惯性⼒、粘滞⼒、压⼒、表⾯张⼒等，按⼒的作⽤⽅式可以分为质量⼒（重⼒、惯性⼒）和表⾯⼒（粘滞⼒、压⼒、表⾯张⼒）两类，这种分类是为了便于进⾏流体运动受⼒分析，进⽽可以导出流体平衡或运动状态下的基本关系式。掌握单位质量⼒和单位⾯积表⾯⼒（压强p和切应⼒ ，）的含义及相应的单位与量纲，尤其是不同运动过程中的单位质量⼒的不同形式。例⼦在后⾯说明！第⼀章复习题⼀、选择填空题

1．流体单位质量⼒是（）

A．单位⾯积流体受到的⼒。B．单位体积流体受到的质量⼒。C．单位质量流体受到的质量⼒。D．重量。

2、⼀列⽕车在⽔平直道上匀速⾏使时，车内质量为m的流体所受到的单位质量⼒为( )；⼀封闭容器盛有⽔，当其从空中⾃由下落时（不计空⽓阻⼒），其单位质量⼒为（）；当其以加速度g向上运动时（不计空⽓阻⼒），其单位质量⼒为（）；3、在国际单位制中流体⼒学基本量纲不包括（）。A．时间B．质量C．长度D．⼒4、下述哪些⼒属于质量⼒( )

惯性⼒B．粘性⼒C．弹性⼒D．表⾯张⼒E．重⼒5、连续介质假设意味着。

A流体分⼦互相紧连；B．流体的物理量是连续函数；C．流体分⼦间有空隙；D．流体不可压缩6、静⽌流体剪切⼒。

A不能承受；B. 可以承受；C. 能承受很⼩的；D. 具有粘性时可承受7、流体的粘性与流体的⽆关。

A分⼦内聚⼒；B分⼦动量交换；C温度；D速度梯度8、流体的粘性是

9、遵循⽜顿内摩擦定律的流体称为

10、流体在静⽌时，不能承受任何微⼩的切应⼒，抵抗剪切变形的特性，称为，⽽在运动的⽴项流体中，其切应⼒的⼤⼩为。

11、温度对流体粘性的影响是，随温度的升⾼，流体的粘度，⽓体的粘度。12、在静⼒平衡时不能承受的物质是流体。⼆、判断题

1、粘滞性是流体的固有物理属性，它只有在流体静⽌状态下才能显⽰出来，并且是引起流体能量损失的根源。2、所谓理想流体，就是把⽔看作绝对不可压缩、不能膨胀、有粘滞性、没有表⾯张⼒的连续介质。3、流体是⼀种承受任何微⼩切应⼒都会发⽣连续的变形的物质。4、⽜顿流体就是理想流体

5、理想流体就是不考虑粘滞性的实际不存在的理想化的流体。（）三、思考题与概念

1、引⼊连续介质假定的意义是什么（也即为何要在流体⼒学研究中引⼊连续介质假设）？2、密度是如何定义的？它随温度和压强如何变化？3、容重是如何定义的？它随哪些因素变化？4、⽐重的概念？

6、密度和容重之间有何关系？

7、何谓流体的粘滞性？其主要成因是什么？它对流体的运动有何意义？8、⽜顿内摩擦定律的内容是什么？

9、空⽓与⽔的动⼒粘滞系数随温度的变化规律是否相同？试解释原因。10、试证明粘滞切应⼒与剪切变形⾓速度成正⽐？11、表⾯张⼒的概念？其产⽣的原因是什么？

12、为什么较细的玻璃管中的⽔⾯呈凹⾯，⽽⽔银则呈凸⾯？并且⽔会形成⽑管上升，⽽⽔银则是⽑管下降？13、静⽌流体是否具有粘滞性?

14、作⽤于流体上的⼒按表现形式可以分为⼏类？各是什么？按物理性质⼜可分为哪些？

15、已知液体中的流速分布u-y 如下图所⽰的三种情况：（a ）：均匀分布；（b ）：线性分布；（c ）：抛物线分布，试定性画出上述三种情况下的切应⼒y -τ分布图。

计算

16、为什么液体的粘性随温度升⾼⽽减⼩，⽓体的粘性随着温度的升⾼⽽增加？ 答： 流体的粘性是流体分⼦间的动量交换和内聚⼒作⽤的结果。液体温度升⾼时，分⼦间的内聚⼒减⼩，⽽动量交换对液体的粘性作⽤是不⼤的，因此液体温度增加，粘性减⼩。⽽⽓体分⼦间距较液体⼤得多，⽓粘性主要是由分⼦间热运动造成的动量交换引起的，⽓体温度增加时，动量交换加剧，因此粘性增⼤。

1、如图，在两块相距20mm 的平板间充满动⼒粘度为0.065（N·s ）/m 2的油，如果以1m/s 速度拉动距上平板5mm ，⾯积为0.5m 2的薄板（不计厚度），求需要的拉⼒。

2、两平⾏平板间距δ=0.5mm ，其间充满密度ρ=900kg/m 3的流体，下平板固定，

本题可进⼀步增进对第四章有关层流流动切应⼒，紊流流动的两种应⼒的不同作⽤区域的知识的了解与掌握。上平板在切应⼒τ=2Pa 的作⽤下，以速度u=0.25m/s 的速度平移，试求该流体的动⼒粘度µ及运动粘度υ。Chapter2 流体静⼒学

本章研究处于静⽌和相对平衡状态下流体的⼒学规律。【基本要求】

l . 理解静⽔压强的两个重要的特性和等压⾯的性质。

2. 掌握静⽔压强基本公式和物理意义，会⽤基本公式进⾏静⽔压强计算。

3．掌握静⽔压强的单位和三种表⽰⽅法：绝对压强、相对压强和真空度；理解位臵⽔头、压强⽔头和测管⽔头的物理意义和⼏何意义。4. 了解静⽔压强的测量⽅法和原理。

5．会画静⽔压强分布图，并熟练应⽤图解法和解析法计算作⽤在平⾯上的静⽔总压⼒。6．会正确绘制压⼒体剖⾯图，掌握曲⾯上静⽔总压⼒的计算。【重点】

l . 静⽔压强的特性及有关基本概念。

2. 重⼒作⽤下静⽔压强基本公式和静⽔压强的计算。3. 静⽔压强分布图和平⾯上的静⽔总压⼒的计算。4. 压⼒体的构成和曲⾯上静⽔总压⼒的计算。2.1 静⽔压强及其特性

静⽌流体作⽤在每单位受压⾯积上的压⼒称为静⽔压强，单位为（N ／m 2），也称为帕斯卡（Pa ）。某点的静⽔压强p 可表⽰为：

A P p A ??=→?lim 0 （2-l ） 静⽔压强有两个重要特性：（1）静⽔压强的⽅向垂直并且指向受压⾯；（2）静⽌流体内任⼀点沿各⽅向上的静⽔压强⼤⼩都相等，或者说每⼀点的静⽔压强仅是该点坐标的函数，与受压⾯的⽅向⽆关，可表⽰为p ＝p （x ，y ，z ）。这两个特性是计算任意点静⽔压强、绘制静⽔压强分布图和计算平⾯与曲⾯上静⽔总压⼒的理论基础。2.2 等压⾯

流体中由压强相等的各点所构成的⾯（可以是平⾯或曲⾯）称为等压⾯，静⽌流体的⾃由表⾯就是等压⾯。对静⽌流体进⾏受⼒分析，导出流体平衡微分⽅程和压强全微⽅程，根据等压⾯定义，可得到等压⾯⽅程式：X d x ＋Y d y ＋Z d z ＝0（2-2）

式中：X 、Y 、Z 是作⽤在流体上的单位质量⼒在x 、y 、z 坐标轴上的分量，并且 zW Z y W Y x W X ??=??=??=，，（2-3） 其中：W 是⼒势函数。

等压⾯有两个特性：（1）等压⾯就是等势⾯：（2）等压⾯与质量⼒正交。2.3重⼒作⽤下的静⽔压强基本公式

重⼒作⽤下的静⽔压强基本公式（⽔静⼒学基本公式）为h p p γ+=0 （2-4）

式中：0p —流体⾃由表⾯上的压强，h —测压点在⾃由⾯以下的淹没深度，γ —流体的容重。

该式表明：静⽌流体内任⼀点的静⽔压强由两部分组成，⼀部分是流体表⾯压强0p ，它将等值地传递到流体内每⼀点；另⼀部分是⾼度为h 的液柱产⽣的压强γ h 。该式还表明，静⽔压强沿⽔深呈线性分布。对于连通器，⽔深相同的点组成的⾯是等压⾯；当⾃由表⾯是⽔平⾯时，等压⾯也是⽔平⾯。2.4绝对压强、相对压强和真空度

以设想完全没有⼤⽓存在的绝对真空为零计量的压强称为绝对压强p ′；以当地⼤⽓压作为零点计量的压强是相对压强p ，若当地⼤⽓压强⽤绝对压强表⽰为p a ，则相对压强与绝对压强的关系为：p ＝p ′－p a （2-5）

当液⾯与⼤⽓相连通时，根据相对压强的定义，液⾯压强可表⽰为0p ＝0，根据式（2-4），静⽌流体中某点的相对压强为：h p γ=（2-6）

这是⽤相对压强表⽰的静⽔压强基本公式，该式也可表⽰为：γp h =（2-7）

即⽤液柱的⾼度表⽰某点的压强，这是压强表⽰的⼀种⽅法，也是⽤测压管量测某点压强的依据。

当流体中某点的绝对压强⼩于当地⼤⽓压强，该点的相对压强为负值，则称该点存在真空。负压的绝对值称为真空压强h v ，即γγγp p pp h a vv '

-=-==（2-8）

请注意：绝对压强永远是正值，相对压强可正也可负，真空压强（真空度）不能为负值。最⼩的真空压强为零，这时相对压强也为 0，⽽绝对压强 p ′=1⼯程⼤⽓压＝98kN ／m 2，⽤液柱⾼度表⽰绝对压强32/8.9/98m kN m kN p h ='

='γ＝10m ⽔柱。 压强的计量单位表⽰有三种：（1）⽤应⼒单位表⽰：N ／m 2（Pa ）或 kN ／m 2（kPa ）；

（2）⽤⼤⽓压的倍数表⽰：即⽤p a 的倍数表⽰( p a = 98kN ／m 2 )；（3）⽤液柱⾼度表⽰：即⽶⽔柱⾼度（mH 2O ）或毫⽶⽔银柱⾼度（mmHg ）。它们之间的关系为：1p a ＝98 kN ／m 2，O mH p w a2101=γ，mmHg p Hg a 7361=γ2.5 ⽔头和单位势能

重⼒作⽤下静⽔压强基本公式可表⽰为：)(00z z p p -+=γ或 z ⼗p ＝C （2-9）

式中：z 0和z 分别是液⾯和流体村某点相对于某个基准⾯的位臵⾼程，常数C =z 0+p 。

该式表⽰重⼒作⽤下静⽌流体内任⼀点的（z +γp ）都相等。z 和γp 都是长度量，⽽且都具有能量的含义，z 是单位重量流体所具有的位能，γp 是单位重量流体具有的压能。⽔⼒学中习惯⽤“⽔头”来称呼这些具有能量意义的长度量，即z 称为位臵⽔头（即单位重量流体具有的位臵势能），p 称为压强⽔头（单位重量流体具有的压强势能），⽽（z ⼗γp ）称为测压管⽔头（表⽰单位重量流体具有的总势能）。

因此，⽔静⼒学基本⽅程也可表述为：静⽌流体中各点的测压管⽔头是常数。该⽅程反映了静⽌流体中的能量分布规律。2.6压强的测量和计算

测量流体的压强，可以⽤压⼒表（机械式压强量测仪表）、压⼒传感器（电测⽅法）等量测仪器，也可以⽤⽔静⼒学原理设计的测压管、⽐压计、U 型⽔银测压计等量测仪器和⽅法。静⽔压强的量测和计算的理论依据是⽔静⼒学基本公式和连通器中等压⾯关系。

2. 7静⽔压强分布图

静⽔压强分布图可以形象地反映受压⾯上的压强分布情况，并能据此计算矩形平⾯上的静⽔总压⼒。⽤⽐例线段表⽰压强的⼤⼩，根据静⽔压强特性，⽤垂直受压⾯的箭头表⽰静⽔压强的⽅向，根据静⽔压强沿⽔深是线性分布，绘出平⾯上两点的压强并把其端线相连，即可确定平⾯上静⽔压强分布，这样绘制的图形就是静⽔压强分布图。静⽔压强分布图参见教材上p30图2-26。

需要指出的是：当受压⾯两侧均有流体作⽤或⼀侧与⼤⽓相接触，这时可以⽤受压⾯两侧静⽔压强分布图进⾏合成，得到相对压强分布图。在相对压强分布图中，当表⽰压强⽅向的箭头背向受压⾯时，说明它代表受压⾯两侧合压强的⽅向；当外侧是⼤⽓压强时，这时说明受压⾯上的相对压强是负压或存在真空。

曲⾯上的静⽔压强分布图

静⽔压强分布图绘制规则：

1. 按照⼀定的⽐例尺，⽤⼀定长度的线段代表静⽔压强的⼤⼩；2. ⽤箭头标出静⽔压强的⽅向，并与该处作⽤⾯垂直。

受压⾯为平⾯的情况下，压强分布图的外包线为直线；当受压⾯为曲线时，曲⾯的长度与⽔深不成直线函数关系，故压强分布图外包线亦为曲线。2.8作⽤在平⾯上静⽔总压⼒

（1）对于矩形平⾯，应⽤静⽔压强分布图可求出作⽤在平⾯上静⽔总压⼒的⼤⼩为P ＝Ω b （2-10）

式中Ω=γL (h 1+h 2) /2是静⽔压强分布图的⾯积，b 和L 分别是矩形平⾯的⽔平宽度和长度，h 1和h 2分别是矩形平⾯上边和底边处的⽔深。

静⽔总压⼒是平⾏⼒系的合成，根据静⽔压强的特性，静⽔总压⼒的⽅向垂直指向该平⾯。静⽔总压⼒的作⽤点D （⼜称压⼒中⼼）位于纵向对称轴上，D 到底边的距离e 为2

12123h h h h L e ++=（2-11）

这样作⽤在平⾯上静⽔总压⼒的三个要素——⼤⼩、⽅向、作⽤点都可以确定了。在应⽤式（2－ll ）进⾏计算时需要注意h 1和h 2的含义。（2）⽤解析法求作⽤在任意形状平⾯上的静⽔总压⼒

作⽤在任意形状平⾯上总压⼒的⼤⼩等于该平⾯⾯积与其形⼼处静⽔压强的乘积，即：P = p c A =γh c A （2-l2）

总压⼒的作⽤点（压⼒中⼼）D 点的坐标为： -Ay I y y c c c D +=-（2-l3） 或者：

A y I y y e c c c D =-=1（2-l4） 式中：p c 是平⾯形⼼处的静⽔压强；h c 是平⾯形⼼c 在液⾯下的淹没深度；D y 是压⼒中⼼D 距ox 轴的距离；y c 为形⼼距ox 轴的距离：I c 为⾯积A 对过形⼼c 的⽔平轴的惯性矩，矩形平⾯的I c =bh /12，圆形断⾯的I c =πd 4/；e 1为偏⼼矩，即压⼒中⼼ D 到形⼼c 的距离。2.9作⽤在曲⾯上的静⽔总压⼒

求作⽤在曲⾯上的静⽔总压⼒P ，可先求出其⽔平分⼒P x 和铅垂分⼒P z ，然后合成为总压⼒P 。（1）静⽔总压⼒的⽔平分⼒P x 等于作⽤在该曲⾯的铅垂投影⾯A x 上的静⽔总压⼒，即P x =p c A x =γh c A x （2-15）

式中h c 是投影⾯A x 的形⼼点⽔深。P x 的⽅向垂直于投影⾯A x ，作⽤点位于A x 压⼒中⼼。

（2）静⽔总压⼒的铅垂分⼒P z 等于曲⾯所托压⼒体的⽔重。压⼒体是由三部分表⾯围成的体积V ：即受压的曲⾯、通过曲⾯的边缘向液⾯或液⾯的延长⾯作的铅垂⾯和⾃由液⾯或⾃由液⾯的延长⾯。这时静⽔总压⼒的铅垂分⼒P z 为： P z ＝γV （2-16）

铅垂分⼒P z 的⽅向按如下原则确定：当压⼒体与流体在受压曲⾯的同侧时，P z 的⽅向向下：当压⼒体与流体在受压曲⾯的两侧，则它的⽅向向上，并且它的作⽤线通过压⼒体的形⼼。（3）作⽤在曲⾯上的静⽔总压⼒P 为22z x P P P +=（2-17）

总压⼒与⽔平⽅向的夹⾓α为 -)(x z P P arctg =α-（2-18）

请注意，在许多⼯程问题中，如重⼒坝的稳定分析，通常不需要求总压⼒，⽽是直接⽤⽔平分⼒和铅垂分⼒来分析的。对于三维曲⾯（不要求，附带⼀句），除了有x ⽅向⽔平分⼒P x ，还有y ⽅向⽔平分⼒P y ，P y 的计算⽅法同P x 。

根据作⽤在曲⾯上静⽔总压⼒的计算原理可以证明：浸没在⽔中的物体受到静⽔压⼒的合⼒F 等于物体在⽔中所排开⽔体的重量，即F =γV ，V 是物体的体积，

⽽且合⼒的⽅向向上。F也称为物体受到⽔的浮⼒，浮⼒的作⽤线通过物体所排开⽔体的形⼼，这就是著名的阿基⽶德定律。根据物体受到的重⼒G和浮⼒F 间⼤⼩的对⽐，可以确定物体是处在沉浮或随遇平衡状态。2.10 液体的平衡微分⽅程

流体平衡微分⽅程即欧拉平衡⽅程，其推导见教材p35。

上式的物理意义：

处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表⾯⼒分量与质量⼒分量彼此相等。即压强沿轴向的变化率（）等于轴向单位体积上的质量⼒的分量（ρX，ρY，ρZ）。流体平衡微分⽅程的综合式因为p = p(x,y,z)

（2-19）式各项依次乘以d x,d y,d z后相加得：

（2-20）

2.11 液体的相对平衡

相对平衡：指各流体质点彼此之间及流体与器⽫之间⽆相对运动的相对静⽌或相对平衡状态。因为质点间⽆相对运动，所以流体内部或流体与边壁之间都不存在切应⼒。基本公式

（2-20）

对于流体做匀加速直线运动，上式仍可应⽤，只是流体在做匀加速直线运动时，只是质量⼒除重⼒外，还受到惯性⼒的作⽤。此时：考虑惯性⼒与重⼒在内的单位质量⼒为X= -a ；Y=0 ；Z= -g将以上代⼊得

（2-20）积分上式得

积分通式：（2-21）（2-19）压强全微分

流体做等⾓速度旋转运动的压强分布通式

由

积分通式：

（2-22）本章复习题选择填空题

1、在平衡流体中，质量⼒与等压⾯（）A．重合；B．平⾏；C．斜交；D．正交。

2、.在重⼒作⽤下静⽌流体中，等压⾯是⽔平⾯的条件是( )。A.同⼀种流体B.相互连通C.不连通

D.同⼀种流体，相互连通

3、根据静⽔压强的特性，静⽌液体中同⼀点各⽅向的压强（）数值相等; (2) 数值不等;(3) 仅⽔平⽅向数值相等;(4)铅直⽅向数值最⼤。4、液体中某点的绝对压强为100kN/m2，则该点的相对压强为（）（1）1 kN/m2（2）2 kN/m2（3）5 kN/m2（4）10 kN/m2

5、图⽰容器中有两种液体，密度ρ2>ρ1，则A、B 两测压管中的液⾯必为( ) (1) B 管⾼于A 管；(2) A 管⾼于B 管；(3) AB 两管同⾼。6、盛⽔容器a 和b 的测压管⽔⾯位臵如图(a)、(b) 所⽰，其底部压强分别为p a和p b。若两容器内⽔深相等，则p a和p b的关系为（）( 1) p a> p b(2) p a

7、三种液体盛有容器中，如图所⽰的四条⽔平⾯，其中为等压⾯的是

8、⾦属压⼒表的读数是A.绝对压强；B.相对压强；

C.绝对压强加当地⼤⽓压强；D.相对压强加当地⼤⽓压强。9、如图所⽰，p表⽰绝对压强，

p表⽰⼤⽓压强，试在图中括号内填写所表⽰a的压强。

10、作⽤于静⽌（绝对平衡）液体上的⾯积⼒有，质量⼒有⼆、判断题

1、直⽴平板静⽔总压⼒的作⽤点与平板的形⼼不重合。（√）2、静⽌流体中同⼀点各⽅向的静⽔压强数值相等。（√）

3、静⽌⽔体中,某点的真空压强为50kPa，则该点相对压强为-50 kPa。(√)4、⽔深相同的静⽌⽔⾯⼀定是等压⾯。(√)5、静⽔压强的⼤⼩与受压⾯的⽅位⽆关。(√)

6、图中矩形⾯板所受静⽔总压⼒的作⽤点与受压⾯的形⼼点O重合。(×)

7、流体静压强的⽅向不⼀定垂直于受⼒⾯的内法线⽅向。

8、若平衡流体在x、y、z⽅向的单位质量⼒分别为X=5、Y=4、Z=3，则等压⾯⽅程为5x+4y+3z=0。（）C (c) 盛有不同种类溶液的连通器D C D ⽔油B

B (b) 连通器被隔断A A (a) 连通容器 回答与思考题1、静⽔压⼒的特性是什么？试加以证明。

2、流体静⼒学基本⽅程的推导及各种表达形式的意义？（推导不做掌握要求）3、什么是等压⾯？重⼒作⽤下等压⾯必须具备的充要条件是什么？4、什么是绝对压强、相对压强、真空及真空度？5、Cp

z =+γ中的p 是绝对压强还是相对压强？

6、常⽤的压强量测仪器有哪些？（了解）7、压强的表⽰⽅法有⼏种？其换算关系怎样？8、从能量观点说明Cp

z =+γ的意义？

9、绘制压强分布图的理论依据及其绘制原则是什么？

10、压强分布图的斜率等于什么？什么情况下压强分布图为矩形？11、作⽤于平⾯上静⽔总压⼒的求解⽅法有哪些？各适⽤于什么情况？12、怎样确定平⾯静⽔总压⼒的⼤⼩、⽅向及作⽤点？13、在什么情况下，压⼒中⼼与受压⾯形⼼重合？

14、压⼒体由哪⼏部分组成？压⼒体内有⽔还是⽆⽔，对静⽔总压⼒沿铅垂⽅向分⼒的⼤⼩和⽅向有何影响？15、曲⾯静⽔总压⼒的⼤⼩、⽅向、作⽤点如何确定？

16、⽔静⼒学的全部内容对理想流体和实际流体都适⽤吗？（⼀句话）

17、三个封闭容器中的⽔深H 和⽔⾯压强P 0均相等，（1）：容器放在地⾯上；（2）：容器以加速度g ⾃由下落；（3）：容器以加速度g 向上运动；试定性给出上述三种情况下的平衡流体内部静⽔压强分布的表达式并画出三种情况下作⽤在容器侧壁AB 上的静⽔压强分布图。(图同学们试着画，篇幅原因，不能给出)18、图中三种不同情况，试问：A-A 、B-B 、C-C 、D-D 中哪个是等压⾯？哪个不是等压⾯？为什么？静⽔压强分布图与压⼒体的绘制（1）绘制静⽔压强分布图

（2）绘制压⼒体（画出压⼒体，并标出⽅向）。

计算题

1、计算平⾯上的静⽔总压⼒和曲⾯上的静⽔总压⼒。（书上第⼆章作业题如2-29）2、利⽤压强计算公式计算任意点的压强。（第⼆章作业题）3、液体相对平衡的压强分布规律计算（第⼆章作业题）4、如右图，求作⽤在直径D =2.4m ，长B =1m 的圆柱上的总压⼒在⽔平及垂直⽅向的分⼒和压⼒

中⼼。

教材page49-50，2-41、2-47、2-48 掌握曲⾯静⽔压强分布图的绘制(作业题)Chapter3 ⼀元流体动⼒学基础【基本要求】

1、了解描述流体运动的拉格朗回法和欧拉法的内容和特点。

2、理解流体运动的基本概念，包括流线和迹线，元流和总流，过⽔断⾯、流量和断⾯平均流速，⼀元流、⼆元流和三元流等。3、掌握流体运动的分类和特征，即恒定流和⾮恒定流，均匀流和⾮均匀流，渐变流和急变流。4、掌握并能应⽤恒定总流连续性⽅程。

5、掌握恒定总流的能量⽅程，理解恒定总流能量⽅程和动能修正系数的物理意义，了解能量⽅程的应⽤条件和注意事项，能熟练应⽤恒定总流能量⽅程进⾏计算。6、理解测压管⽔头线、总⽔头线、测压管⽔头、流速⽔头、总⽔头和⽔头损失的关系。

7、掌握恒定总流的动量⽅程及其应⽤条件和注意事项，掌握动量⽅程投影表达式和⽮量投影正负号的确定⽅法，会进⾏作⽤在总流上外⼒的分析，并能应⽤恒定总流的动量⽅程、能量⽅程和连续⽅程进⾏计算，解决⼯程实际问题。【学习重点】

l、流体运动的分类和基本概念。

2、恒定总流的连续性⽅程、能量⽅程和动量⽅程及其应⽤是本章的重点，也是本课程讨论⼯程⽔⼒学问题的基础。3、恒定总流能量⽅程的应⽤条件和注意事项，并会⽤能量⽅程进⾏⽔⼒计算。

4、恒定总流动量⽅程的应⽤条件和注意事项，重点掌握⽮量投影形式和影响⽔体动量变化的作⽤⼒。5、能应⽤恒定总流的连续⽅程、能量⽅程和动量⽅程进⾏⽔⼒计算。【内容提要和学习指导】3.1 概述

本章讨论流体运动的基本规律，建⽴恒定总流的基本⽅程——连续性⽅程、能量⽅程和动量⽅程，作为解决⼯程实际问题的基础。由于实际流体流动时质点间存在着相对运动，因⽽必须考虑流体的粘滞性，⽽流体运动要克服粘滞性，必然导致流体能量的损耗，这就是流体运动的⽔头损失。关于⽔头损失放在chapter 4。3.2描述流体运动的拉格朗⽇⽅法和欧拉⽅法

（l）拉格朗⽇⽅法也称为质点系法，它是跟踪并研究每⼀个流体质点的运动情况，把它们综合起来就能掌握整个流体运动的规律。这种⽅法形象直观，物理概念清晰，但是对于易流动（易变形）的流体，需要⽆穷多个⽅程才能描述由⽆穷多个质点组成的流体的运动状态，这在数学上难以做到，⽽且也没有必要。对于固体运动，特别是简化为刚体运动，虽然刚体由⽆穷多个质点构成，但质

点之间具有固定的位臵和距离，这时只需要研究刚体上两个质点的运动就可以反映刚体的运动状态，所以拉格朗⽇法在固体⼒学中较多应⽤。

（2）欧拉法：流体流动所占据的空间称为流场。在流体⼒学中，我们只关⼼不同的流体质点在通过流场中固定位臵时的运动状态。例如河道某断⾯处，不同时间的⽔位、流量和流速；管道中某处的流速和压强等。我们并不关⼼这个流体质点怎么来的，下⼀步⼜流到哪⾥去。把某瞬时通过流场各个固定点的流体质点

运动状态综合起来，就能反映流体在某个时刻流场内的运动状况。这种描述流体运动的⽅法称为欧拉法，也称为流场法，这是⽔⼒学中常⽤的⽅法。这种⽅法物理意义不如拉格朗⽇法直观，因为欧拉法研究的对象是随时间⽽变的，但是对我们研究流场的运动状况较为⽅便。 3.3 流体运动分类和基本概念（l ）恒定流和⾮恒定流

流场中流体质点通过空间点时所有的运动要素都不随时间⽽变化的流动称为恒定流；反之，只要有⼀个运动要素随时间⽽变化，就是⾮恒定流。⾮恒定流的流速、压强等运动要素是时间的函数，由于描述流体运动的变量增加，使得⽔流运动分析更加复杂。虽然⾃然界的⽔流绝⼤部分是⾮恒定流，但在⼀定条件下，常将⾮恒定流简化为恒定流进⾏讨论。本课程主要讨论恒定流运动。（2）迹线和流线

迹线是流体质点运动的轨迹，它是某⼀个质点不同时刻在空间位臵的连线，迹线必定与时间有关。流线是某⼀瞬间在流场中画出的⼀条曲线，在这个时刻位于曲线上各个质点的流速⽅向与该曲线相切。流线是从欧拉法引出的，也是我们要重点理解的概念。对于恒定流，流线的形状不随时间⽽变化，这时流线与迹线重合；对于⾮恒定流，流线形状随时间改变，这时流线与迹线⼀般不重合。流线有两个重要的性质，即流线不能相交，也不能转折，否则交点（或转折）处的质点就有两个流速⽅向，也可以说某瞬时通过流场中的任⼀点只能画⼀条流线。流线的形状和疏密反映了某瞬时流场内流体的流速⼤⼩和⽅向，流线密处表⽰流速⼤，流线疏处流速⼩。（3）元流和总流

元流是横断⾯积⽆限⼩的流束，它的表⾯是由流线组成的流管。由⽆数个元流组成的宏观⽔流称为总流。与元流或总流的流线正交的横断⾯称为过⽔断⾯。过⽔断⾯的形状可以是平⾯（当流线是平⾏的直线时）或曲⾯（流线为其它形状）。单位时间内流过某⼀过⽔断⾯的流体体积称为流量，流量⽤ Q 表⽰，单位为（m 3／s ）。

引⼊元流的概念⽬的有两个：⼀、元流的横断⾯积d A ⽆限⼩，因此d A 上各点的运动要素（点流速u 和压强p ）都可以当作常数；⼆、元流作为基本⽆限⼩单位，通过积分运算可求得总流的运动要素。元流的流量为d Q =u d A ，则通过总流过⽔断⾯的流量 Q 为：==A u d A dQ Q （3-1）（4）断⾯平均流速

⼀般情况下组成总流的各元流过⽔断⾯上的点流速是不相等的，⽽且有时流速分布很复杂。为了简化问题的讨论，引⼊了断⾯平均流速V 的概念。这是恒定总流分析⽅法的基础，也称为⼀元流动分析法，即认为流体的运动要素只是⼀个空间坐标（流程坐标）的函数。断⾯平均流速 V 等于通过总流过⽔断⾯的流量 Q 除以过⽔断⾯的⾯积 A ，即 V ＝Q ／A 。（5）均匀流与⾮均匀流

流线是相互平⾏的直线的流动称为均匀流。这⾥有两个条件，即流线既要相互平⾏，⼜必须是直线，其中有⼀个条件不能满⾜，这个流动就是⾮均匀流。流动的恒定、⾮恒定是相对时间⽽⾔，均匀、⾮均匀是相对空间⽽⾔；恒定流可是均匀流，也可以是⾮均匀流，⾮恒定流也是如此，但是明渠⾮恒定均匀流是不存在的，请注意区分。

均匀流具有下列特征：l ）过⽔断⾯为平⾯，且形状和⼤⼩沿程不变；2）同⼀条流线上各点的流速相同，因此各过⽔断⾯上平均流速V 相等；3）同⼀过⽔断⾯上各点的测压管⽔头为常数（即动⽔压强分布与静⽔压强分布规律相同，具有z +p =C 的关系）。（6）渐变流与急变流

根据流线的不平⾏和弯曲程度，⾮均匀流⼜分为两类：流线不平⾏但流线间夹⾓较⼩，或者流线弯曲但弯曲程度较⼩（即曲率半径较⼤），这种流动称为⾮均匀渐变流，简称渐变流；反之称为急变流。把⾮均匀流区分为渐变流和急变流是为了简化对⾮均匀流的讨论，可以把渐变流同⼀个过⽔断⾯上的测压管⽔头（z +γp ）近似当作常数，这⼀点在讨论恒定总流能量⽅程时要应⽤到。对于急变流，同⼀过⽔断⾯上各点的z +γp ≠C 。3．4恒定总流的连续性⽅程

根据质量守恒定律可以导出没有分叉的不可压缩流体⼀元恒定总流任意两个过⽔断⾯的连续性⽅程有下列形式。Q 1＝Q 2 或 V 1A 1＝V 2A 2（3-2）V 2/ V 1＝A 1/ A 2（3-3）

上式说明：任意两个过⽔断⾯的平均流速与过⽔断⾯的⾯积成反⽐。对于有分叉的恒定总流，连续性⽅程可以表⽰为：∑Q 流⼊＝∑Q 流出（3-4）

连续性⽅程是⼀个运动学⽅程，没有涉及作⽤⼒的关系，通常应⽤连续⽅程来计算某⼀已知过⽔断⾯的⾯积和断⾯平均流速或者已知流速求流量，它是⽔⼒学中三个最基本的⽅程之⼀。3.5恒定总流的能量⽅程（l ）恒定元流的能量⽅程：

根据物理学动能定理或⽜顿第⼆定律，可以导出恒定元流两个过⽔断⾯之间的能量关系式为z 1+γ1p +u 12/2g = z 2+γ2p +u 22/2g + h w ′（3-5）

式中：z 是相对某个基准⾯单位重量流体具有的位能，称为位臵⽔头：γp 是单位重量流体具有的压能，称为压强⽔头；（z +γp ）是单位重量流体具有的位能和压能之和，称为总势能或测压管⽔头；u 2/2g 表⽰单位重量流体具有的动能，称为流速⽔头；h w ′表⽰单位重量流体从1断⾯流到2断⾯克服由流体粘滞性引起的阻⼒⽽损失的能量，称为⽔头损失。

式（3－5）表⽰⽔流在流动过程中，单位重量流体具有的位能、压能和动能的相互转换和守恒关系。理想流体不存在粘滞性，所以理想流体流动中h w ′＝0，表⽰流体机械能的守恒。但实际⽔流都有粘滞性，因此h w ′≠0，说明⽔流沿流动⽅向机械能总是在减少的。应⽤毕托管测某点的流速，其理论依据就是恒定元流的能量⽅程，参见教材第58页例3－3。

（2）恒定总流的能量⽅程

将恒定元流的能量⽅程沿总流的2个过⽔断⾯积分，并且引⼊过⽔断⾯处⽔流是均匀流或者渐变流的条件，就可得到恒定总流的能量⽅程（称为伯努利⽅程）z 1+γ1p +α1V 12/2g = z 2+2p +α2V 22/2g + h w （3-6）

请注意：积分过程中⽤到均匀流和渐变流条件，表明同⼀过流断⾯上各点的测压管⽔头具有（z ⼗γp ）=C 的性质；⽤断⾯平均流速V 替代过⽔断⾯上的实际流速，计算单位重量流体具有的动能并不相等，因此就必须引进动能修正系数α，使得g u g V 2222=α或表⽰为：

A V dA u A 33?=α（3-7） 在式（3-6）中，u 2/2g 表⽰过⽔断⾯上单位重量流体具有的平均动能，同样h w 表⽰单位重量流体从1断⾯流到2断⾯平均的⽔头损失。

恒定总流能量⽅程是⽔⼒学三个基本⽅程之⼀，是最重要最常⽤的基本⽅程，它与连续⽅程联解可以求断⾯上的平均流速或平均压强，它们与后⾯讨论的恒定总流动量⽅程联解，可以计算⽔流对边界的作⽤⼒，在确定建筑物荷载和⽔⼒机械功能转换中⼗分有⽤。（3）恒定总流能量⽅程的图⽰，⽔头线和⽔⼒坡度

恒定总流能量⽅程各项的量纲都是长度量，因此可以⽤⽐例线段表⽰位臵⽔头、压强⽔头、流速⽔头的⼤⼩。各断⾯的位臵⽔头、测压管⽔头和总⽔头端点的连线分别称为位臵⽔头线、测压管⽔头线和总⽔头线（见教材第 71页图3-28）。位臵⽔头线与测压管⽔头线、测压管⽔头线与总⽔头线之间的距离分别表⽰该过⽔断⾯上各点的平均压强⽔头和平均流速⽔头。所以画出⽔流的⽔头线可以清楚地表⽰沿流程各个断⾯位能、压能和动能的变化关系，它在分析有压管道各个断⾯的压强变化⼗分重要。

假如⽔流从1断⾯流到2断⾯的平均⽔头损失为h w ，流程长度为l ，则将单位长度上的⽔头损失定义为⽔⼒坡度J ，它也表⽰总⽔头线的斜率：J ＝h w1-2 / l （3-8）

J 是没有单位的纯数，也称为⽆量纲数。根据⽔头线表⽰的能量转换关系，恒定总流能量⽅程的⼏何意义可以这样来描述：对于理想流体（h w ＝0），总⽔头线是⼀条⽔平线；对于实际流体（h w＞０），总⽔头线总是⼀条下降的曲线或直线，它下降的数值等于两个过⽔断⾯之间⽔流的⽔头损失。请注意：测压管⽔头线不⼀定是下降的曲线，需要由位能与压能的相互转换情况来确定其形状。对于均匀流，流速⽔头沿程不变，总⽔头线与测压管⽔头是相互平⾏的直线。（4）应⽤恒定总流能量⽅程的条件和注意事项

在推导恒定总流能量⽅程的过程中曾经引⼊过⼀些条件，这些条件了恒定总流能量⽅程的使⽤范围，同时在应⽤能量⽅程解决⼯程实际问题时还必须处理好⼀些具体事项，现归纳说明如下。l ）恒定总流能量⽅程的应⽤条件

a ）流体流动必须是恒定流，⽽且是不可压缩流体（ρ＝常数）；b ）作⽤在流体上的质量⼒只有重⼒；

c）建⽴能量⽅程的两个过⽔断⾯都必须位于均匀流或渐变流段，但该两个断⾯之间的某些流动可以是急变流。

d）在推导能量⽅程的过程中，两个计算断⾯之间没有流量的汇⼊或流出。如果有流量的汇⼊或分流，也可以建⽴相应的能量⽅程式，参见书上第页，但这时确定⽔头损失⾮常困难。2）应⽤恒定总流能量⽅程需要注意的具体问题

a）为了计算能量⽅程中的位臵⽔头，必须确定基准⾯。基准⾯可以任意选择，但尽可能使所选的基准⾯能简化能量⽅程，便于求解。例如所选基准⾯使z ＝0，这样能量⽅程项数减少。还必须强调，同⼀个能量⽅程只能选择同⼀个基准，否则能量⽅程就不能成⽴。

b）计算压强⽔头p，既可选择绝对压强也可选⽤相对压强，但两个断⾯必须选⽤⼀致。实际⼯程计算中⼀般采⽤相对压强较为⽅便。

c）因为渐变流过⽔断⾯上各点的（z⼗p）值相等，在过⽔断⾯上要选好代表点，便于计算测压管⽔头（z⼗p）。对于管流，代表点通常取在管轴线上；对明渠⽔流，代表点取⾃由表⾯上，这⾥的相对压强为零，所以（z⼗γp）= z。

d）选取过⽔断⾯除了满⾜渐变流条件外，还应使所选断⾯上未知量尽可能少，这样可以简化能量⽅程的求解过程。

e）求解能量⽅程必须确定动能修正系数α。α值与断⾯流速分布有关，流速分布越均匀，值趋向于1，断⾯流速分布不同，α值也不同。严格地讲两个断⾯上的α１与α２

是不相等的，但是实际⼯程中的动能系数⼤多在 1.05~1.10之间，⼀般都取α１=α２

= 1计算。对于流速分布相当不均匀的⽔流，动能修正系数远⼤于1，这将在第四章讨论。

f）能量⽅程中⽔头损失h w 是⼗分重要⼜⾮常复杂的⼀项，不能正确地计算流体流动的h w，能量⽅程难以解决实际问题。关于h w的讨论和计算也将在第四章专门讨论。g）当⼀个问题中有2~3个未知数的时候，能量⽅程需要和连续⽅程、动量⽅程组成⽅程组联合求解。3.6恒定⽓体流动能量⽅程

这⾥p1，p2称为静压；

称为动压。（ρa-ρ）g为单位体积⽓体所受有效浮

⼒，（z2-z1）为⽓体沿浮⼒⽅向升⾼的距离，乘积（ρa-ρ）g（z2-z1）为1-1断⾯相对于2-2断⾯单位体积⽓体的位能，称为位压。3.7恒定总流动量⽅程

恒定总流动量⽅程主要⽤于求解⽔流对固体边界的作⽤⼒。（1）恒定总流动量⽅程

根据动量定理可导出恒定总流的动量⽅程式为以相对压强计算的⽓流能量⽅程