微积分习题

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 积分表 ∫kdx=kx+C 1x∫xμdx=1+C 1∫xdx=ln|x|+C ∫∫11x2dx=arctanx+C dx=arcsinx+C ∫secxdx=tanx+C ∫cscxdx=-cotx+C ∫secxtanxdx=secx+C ∫cscxcotxdx=-cscx+C ∫edx=e+C 22xx11x2ax∫adx=lna+C x∫cosx dx=sinx+C ∫sinx dx=-cosx+C ∫x∫∫21a2dx=1arctanx+C aa∫sinhxdx=coshx+C ∫coshxdx=sinhx+C ∫secxdx=ln|sex+tanx|+C ∫cscxdx=ln|cscx-cotx|+C ∫∫11ax1x2a222dx=arcsinx+C axa22dx=ln(x+x2a2) dx=1lnxa2axa+C 1x2a2dx=lnxx2a2+C  积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得  设函数f(t)连续，函数φ(x),ψ(x)可导，则  分部积分公式

 定积分求平面图形的面积极坐标：面积  定积分求体积

旋转体的体积：VAa2bab1[()]2d

[f(x)]dx；Vb22[(y)]dyba

平行截面为已知的立体的体积：VaA(x)dx

 平面曲线的弧长

直角坐标：sab1y2dx

参数方程：s极坐标：s 平均值

2(t)2(t)dt

2()2()d

1babb算术平均值：ydx af(x)加权平均值：fdxaf(x)(x)bdxa(x)b2

均方根平均值：

1badx 电流：Iaf(x)1T2i(t)dt0T

 可分离变量的微分方程

初值问题：y0yg(y)dyxx0f(x)dx

 一阶线性微分方程

dy+P（x）y=Q(x) 的通解公式 dx初值问题：

yex0xP(x)dxxxP(x)dxx0Q(x)edxy0x0  齐次型方程

ydyyu 令dxxx 伯努利方程

1a令zy



dyduuxdxdx



dz(1a)P(x)z(1a)Q(x) dx 可降阶的二阶微分方程

yf(x)

dp dx2) yf(x,y) 设yp 则yp3) yf(y,y) 设yp 则ydpdpdydpp dxdydxdydppf(y,p) 方程化为 dy 二阶线性微分方程

d2ydyp(x)q(x)yf(x) 一般形式：2dxdx1) 齐次方程，即f(x)=0时

如果y1,y2是方程（左=0）的两个线性无关的特解，那么y=C1y1+C2y2 2) 非齐次方程，即f(x)≠0时

y＊是二阶非齐次微分方程的一个特解，Y=C1y1+C2y2是方程所对应的齐

次方程的通解，那么y=Y+y 二阶常系数齐次线性微分方程

形式：ypyqy0 写出特征方程求出解r1,r2

rxrxyCeCe当方程Δ>0时， 1212＊

r2prq0

rxyCCxeΔ=0时， 121r1,2Δ<0时，

xC1cosxC2sinx yei，则

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