立体几何专题——二面角

1 定义法

即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！.

例1. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的大小为 .

例2. 如图2(1)，在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：BP=1：2.如图2(2)，将△AEF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连接A1B、A1P.求二面角B-A1P-F的大小(用反三角函数值表示).

2 三垂线法

这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义. 此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角l，过面内一点P作PA⊥于A，作AB⊥l于B，连接PB，由三垂线定理得PB⊥l，则∠PBA为二面角lA B

A 图3

B Q

P 图2(1)

P E E F C

B Q

M P

F C

A A1

A D O B

图1

C

A1 D1

O1 C1

B1 图2(2)

l



 E B1

的平面角，故称此法为三垂线法.

例3. 如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：二面角A1－AB－B1的大小.

3 垂面法

l F A1  图4

B 事实上，图1中的平面COC1、图2(2)中的平面QMF、图3中的平面PAB、图4中的平面A1FE都是相关二面角棱的垂面，这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.在某些情况下用这种方法可取得良好的效果.

P

239例4. 空间的点P到二面角l的面、及棱l的距离分别为4、3、，  3A 求二面角l的大小.

C B

 l

图5

4 面积法

如图1，设二面角C-BD-C1的大小为，则在Rt△COC1中，

C1

A1

E C B1 H  D A B 图6

M G 1COBDSCOcos2CBD，在某些情况下用此法特别方便.

C1O1SC1BDC1OBD2例5. 如图6，平面外的△A1B1C1在内的射影是边长为1的正三角形ABC，且AA1=2，BB1=3，CC1=4，求△A1B1C1所在的平面与平面所成锐二面角的大小.

5 变式二面角的求法

以上列举了求解二面角的四种基本方法，但在现实中，问题往往不是那么简单与单纯，而是有诸多的变化，“源于基本方法，适应各种变化”就是我们总的策略. 5.1 “无棱”二面角的求法

严格地说，任何二面角都是有棱的，“无棱”其实是指二面角的棱处于隐含的状态.对于这样的问题，有两种处理办法：

(1)用面积法，见例5；

(2)找出隐含的棱，此法可称为“找棱法”.

在例5中，延长C1B1和C1A1分别交CB和CA的延长线于G、H，连GH.作CM⊥GH于M，连C1M，C1M⊥GH，则∠CMC1是所求二面角的平面角.

5.2 平面图形折转后的二面角的求法

例6. 如图7(1)，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图7(2).

(Ⅰ)求证：AC⊥BO1；(Ⅱ)求二面角O-AC-O1的大小.

5.3 求二面角转移法

转化是重要的数学思想之一，当所求的二面角为钝角时，可先求其“补角”.转移也是一种转化，就是将待求的二面角转移到另一个简单的环境之中，从而得解.

例7. 如图8，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1

A

O 图7(1) D O1 E B A O

C D O1

C F E B

图7(2)

的一点，EA⊥EB1，已知AB=2，BB1=2，BC=1，∠BCC1=，求(Ⅰ)略；(Ⅱ)二面角

3A-EB1-A1的平面角的正切值.

C A G B D

E 图8

A1

B1

C1