微积分习题讲解与答案

1.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程： (1)x(y)2yyxy0 (2) xyxyy0 (3)xy4y(sinx)y0 (4)解 (1) 1阶 非线性 (2) 1阶 线性 (3) 3阶 线性 (4) 1阶 线性

2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1) xyycosx,y222dppsin2 dsinx x (2) (1x2)yxy2x,y2C1x2 (C为任意常数) (3) y2yy0,yCe (C为任意常数) (4) y(12)y12y0,yC1e22x1xC2e2x (C1 ,C2为任意常数)

(5) (x2y)y2xy,xxyyC (C为任意常数) (6) (xyx)yxyyy2y0,yln(xy) 解 (1) 是，左=x2xcosxsinxsinxcosx=右 2xx2 (2) 是，左=(1x)Cx1x2xx(2C1x2)2x=右

x (3) 是，左=Ce2CeCe0=右 (4) 是，左=

2x21x(C11eC22)(12)(C11e1xC22e2x)12(C1e1xC2e2x)0 2ex=右

(5) 是，左=(x2y)2xy2xy右

x2y2xy2xy32xyy2yyxy2 (6) 是，左=(xyx) 32xyxxyx(xyx)(xyx)2xy2xy32xyxy2(y22y)(xyx)0 =

(xyx)2(xyx)2(xyx)2 = 右 3.求下列微分方程的解

d2ydy2; (2) 2cosx; (1) dxdx(1y2)x (3) (1y)dx(1y)dy0 (4) y 2(1x)y解 (1) dy2dx,y2xC (2)

ydxcosxdx,ysinxC

1112ydx(sinxC)dx,ycosxCxC

(3)

1y(1y)2dydx 1y1ydydx

解得 dy21ydydx

即 y2ln|1y|xC

(4)

yxdy1y2(1x2)dx

222 解得 ln(1y)ln(1x)C1

1y22C整理得 21x4.已知曲线yf(x)经过原点，并且它在点(x,y)处的切线的斜率等于2x，试求这条曲线的方程。

22解 已知 y2x

解得 y23xC 3 又知曲线过原点，得C0 所求曲线方程为y23x 3习题

1.用分离变量法求下列微分方程的解

(1) y4xy (2) xyylny0 (3) y10xy (4) secxtanydxsecytanxdy0

22 (5)

xydxdy0,y|x01 (6) ye2xy,y|x00 1y1x解 (1)

1ydy4xdx 解得 y(x2C)2

(2)

dydx 解得 yeCx ylnyxy (3) 10dy10xdx 解得 10y10xC 即 10x10yC

sec2ysec2xdydx 解得 ln|tany|ln|tanx|C1 (4) tanytanx 整理得 tanxtanyC

(5)

y(1y)dyx(1x)dx 解得

5 612131213yyxxC 2323 由于 y|x01 ，解得 C 则

121312135yyxx 23236 (6) edyedx 解得 ey2xy12xeC 2 由于 y|x00 则 C 原方程解为 2ey3 23e2x

2.求下列齐次方程的解 (1) xyylndyxyy (2) dxxyx (3) xyy (5) yx22y2x20 (4) x2dy(y2xyx2)dx

dydyxy (6) x(x2y)yy20,y|x11 dxdxy，代入方程得 xuxduulnu dx解 (1) 令u分离变量得

dudx

u(lnu1)x两边积分得

ln|lnu1|ln|x|C1

整理得 |lnu1|C2|x| 将uy回代，即得原方程通解 xlny1Cx xydyx (2) 原式可化为 ydx1x1令uy，代入方程得 xuxdu1u dx1u分离变量得

(1-u)dudx x1u2两边积分得

1arctanuln(1u2)ln|x|C12 将uy回代，即得原方程通解 xyy22arctanln(12)lnx2C

xx整理得 2arctanyln(x2y2)C x2dyyy1 (3) 原式可化为

dxxx令uy，代入方程得 xxduu21 dx分离变量得

duu21两边积分得

dx xln|uu21|ln|x|C1

即 |uu21|C|x|

将uy回代，即得原方程通解 xyy1Cx xx2dyyy(4) 原式可化为 1

dxxx令u2y，代入方程得 xuxduu2u1 dx分离变量得

dudx 2u2u1x两边积分得

1ln|x|C1 1u即 x将u1Ce1u

y回代，即得原方程通解 xxCexxy

(5) y2(x2xy)dy0dxydyy2x dxxyx2y1x2yduu2令 u,则ux

xdxu1udxx(1u)du0

1udxduuxC1 ln|xu|uC1

xueC1uce,yce

2uyxydyy2x(6) 原式可化为 

令uyx，代入方程得 分离变量得

两边积分得

即 将uyx回代，即得原方程通解 将y|x11代入得C=2 于是，特解为

1.求下列微分方程的通解 (1) yyex (2) (3) (x21)y2xy4x2 (4) dxx22xy12yxuxdudxu212u

(12u)duduu2xx

lnu2uln|x|C1

u2uCx y2xyCx

y2xy2x

习题

xyyx23x2y12xx2y1

(5) ylnydx(xlny)dy0 (6) (2xy)y2y

解 (1) 这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程

2dyy0 dx的通解。分离变量得

dydx y两端同时积分，得

ln|y|xC1

得通解为

yCex

用常数变易法，把C换成C(x)，即

yC(x)ex

两边微分，得

dyC(x)exC(x)ex dx代入原方程，得

C(x)1

两端同时积分，得

C(x)xC

故所求微分方程通解为

yxCex

其中C为任意常数。 (2) P(x)12,Q(x)x3 xxP(x)dxP(x)dxQ(x)edxC 则 ye112xdxxdxedxCx3exeln|x|(x23x2)dxC11332xx2xCx32

或：这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程

dyy0 dxx的通解。分离变量得

dydx yx两端同时积分，得

ln|y|ln|x|C1

得通解为

y用常数变易法，把C换成C(x)，即

C xy两边微分，得

C(x) xdyC(x)xC(x) dxx2代入原方程，得

C(x)x23x2

两端同时积分，得

C(x)故所求微分方程通解为

1332xx2xC 321332xx2xC2 y3x其中C为任意常数。

2x4x2,Q(x)2(3) P(x)2 x1x1P(x)dxP(x)dxQ(x)edxC 则 ye2x2xx21dx4x2x21dxedxC2ex1eln(x21)4xdxC2

143xCx21312x,Q(x)1 2x(4) P(x)P(x)dxP(x)dxQ(x)edxC 则 yee12xx2dx11lnx2122xdxlnx2xxxdxCedxCee1111122xxxxe2edxCxeedCxx112xxxeeCx1Ce21x1x

(5) 原式可化为

dxx111 P(y),Q(y) dyylnyyylnyyP(y)dyP(y)dyQ(y)edyC 则 xe111ylnydy1ylnydyedyCeln|lny|eln|lny|dyCeyy

11112lnydyClnyClnyylny2dxxy1y P(y),Q(y) dyy2y2(6) 原式可化为

P(y)dyP(y)dyQ(y)edyC 则 xee1dyy1yydyydyCeln|y|eln|y|dyCe22

y1|y|dyC2|y|

1yyC22.某种商品的消费量X随收入I的变化满足方程

dXXaeI （a是常数） dI当I0时，XX0，求函数XX(I)的表达式。

解原式可化为

dXXaeI P(I)1,Q(I)aeI dIP(I)dIP(I)dIQ(I)edIC 则 Xe1dIeII1dIeaeedICadICeaIC

I又当I0时，XX0，得 CX0

I则原方程解为 XeaIX0

习题

1.某商品的需求函数与供给函数分别为

QdabP,QscdP(其中a,b,c,d,均为正常数)

假设商品价格P是时间t的函数，已知初始价格P(0)P0，且在任一时刻t，价格P(t)的变化率与这一时刻的超额需求QdQs成正比（比例常数为k>0）

(1)求供需相等时的价格Pe（均衡价格） （2）求价格P(t)的表达式

（3）分析价格P(t)随时间的变化情况 解 （1）当QdQs时，即

abPcdP，得PPeac bd （2）由于

dPk(QdQs)k[(abP)(cdP)]，即 dtdPk(bd)Pk(ac) dt方程通解为

PacCek(bd)tPeCek(bd)t bd已知价格P(0)P0，代入得 CP0Pe，于是

P(t)Pe(P0Pe)ek(bd)t

（3）由于

tlimP(t)lim[Pe(P0Pe)ek(bd)t]Pe

t2.已知某种商品的需求价格弹性为ppe1，其中p为价格，Q为需求量，且当Qp=1时，需求量Q=1，试求需求函数关系。

解 设需求关系式为QQ(p)，则由题设知

p即

Q(p)pep1 Q(p)Q(p)Q(p)此微分方程通解为

1Q(p)pep p111pdpppdpQ(p)edpC(p1)epC eep将Q(1)=1代入，得C=1，故所求需求函数为

Q(p)p1p1e pp3. 设某厂生产某种产品，随产量的增加，其总成本的增长率正比于产量与常数2之和，反比于总成本，当产量为0时，成本为1，求总成本函数。

解 设产量为x，总成本为C，比例系数为1，则依题意有

dyx2y dxy|1x0解此微分方程，得

y2(x2)2C

把初始条件y|x01代入解得C3 于是总成本函数为

y2(x2)23

4.在宏观经济研究中，发现某地区的国民收入y，国民储蓄S和投资I均是时间t的函数，且储蓄额S是国民收入的

11，投资额为国民收入增长率的。若当t=0时，国民收入

310为5亿元，试求国民收入函数（假定在时间t的储蓄额全部用于投资）

解 依题意得

S因为储蓄额全部用于投资，故有

11dyy,I 103dtSI

即国民收入函数应满足方程

1dy1y 3dt10解得yCe3t10

将初始条件y|t05代入上式，得C5 于是y5e3t10

习题

1、求下列微分方程通解

(1) y2 (2) ysinx

(3) y(y)0 (4) (x1)y2xy0 解 (1) y2dx2xC1 y(2xC1)dxxC1xC2

(2) ysinxdxcosxC1 y(cosxC1)dxsinxC1xC2 (3) 令yp,yp，原方程降阶为

222dpp20 dx分离变量得

dpdx 2p两边积分得

1xC1 pp即

1

C1xy1

C1x所以

y1dxln|C1x|C2 C1x(4) 令yp,yp，原方程降阶为

dp2x2p0 dxx1分离变量得

dp2x2dx px1两边积分得

ln|p|ln(x21)C

pC1(x21)

即

yC1(x21)

所以

1yC1(x21)dxC1x3xC2

3

2求解初值问题

32(1x)yyln(x1)yy(1) . (2)  2y(0)0,y(0)0y(3)1,y(3)1解 (1) 设yp，则ypdp，代入原方程，得 dyp分离变量得

dp32y dy2pdp32ydy 2积分得

p2y3C，即 yy3C

2由 y(3)1,y(3)1 得 C0 则 y3y2，由y0知y单调增加，于是y3y2

再积分一次，可得通解

2y12xC1

由 y(3)1 得 C15

2即 y

5x2(2) 令yp,则yp,原方程化为

(x1)ppln(x1)

p1ln(x1) 属于一阶线性方程 px1x1dxln(x1)x11edxC1

x1pe 1dxx1Cx1 ln(x1)dxC1ln(x1)1x1x1由y(0)0得 C10

xyln(x1)dxC2 x1 (x1)ln(x1)2xln(1x)C2 又由 y(0)0 得 C20 初值问题的解为

y(x1)ln(x1)2xln(1x)

习题

1.求下列方程通解

(1) y2y3y0 (2) y7y12y0

(3) y6y9y0 (4) yyy0 解 (1) y2y3y0

解 特征方程为

2230

解得两个不同实根13,21，所求方程的通解为

yC1e3xC2ex

其中C1,C2是任意常数 (2) y7y12y0

解 特征方程为

27120

解得两个不同实根13,24，所求方程的通解为

yC1e3xC2e4x

其中C1,C2是任意常数 (3) y6y9y0 解 特征方程为

2690

其特征根123为二重实根，所求方程通解为

y(C1C2x)e3x

其中C1,C2是任意常数 (4) yyy0 解 特征方程为

210

解得两个共轭虚根11313i,2i，所求方程通解为 2222x33y(C1cosxC2sinx)e2

221其中C1,C2是任意常数

2.求方程y2y3y0满足初始条件y|x01,y|x01的特解 解 特征方程为

2230

解得两个共轭虚根112i,212i，所求方程通解为

y(C1cos2xC2sin2x)ex

由初始条件y|x01,y|x01得C11 又由

y(excos2x)C2(exsin2x) e(cos2x2sin2x)C2e(sin2x2cos2x)由y|x01，得C2xx

2

于是满足初始条件的特解为

y(cos2x2sin2x)ex

3.求微分方程y2y3y3x1的一个特解

解 f(x)3x1(3x1)e的根，得

0x，其中n1,0不是特征方程2302yaxb

为所给方程的一个特解，直接将y代入原方程，得

3ax2a3b3x1

比较系数得

3a3 2a3b1解得a1,b1 31即为所求特解 3x所以yx4.求微分方程y2yy12xe的通解

解 f(x)12xe，其中n1,1对应的齐次方程为

xy2yy0

特征方程230有二重特征根1 齐次方程通解为

2yC1exC2xex

由于1是重特征根，所以设非齐次方程特解为

yx2(axb)ex

直接将y代入原方程，得

(2b6ax)ex12xex

比较系数得

6a12 2b0解得a2,b0，因此y2xe为所给方程的一个特解，从而所求方程通解为

3xyC1exC2xex2x3ex

其中C1,C2是任意常数

5.求方程y4y4ycos2x的通解

解 对应齐次方程为

y4y4y0

它的特征方程440有重根

2122

故对应齐次方程的通解为

ye2x(C1C2x)

由于02i不是特征根，因此设所给方程的特解为

yasin2xbcos2x

代入原方程得

8bsin2x8acos2xcos2x

比较系数得

8b0 8a1解得a11,b0，因此ysin2x为所给方程的一个特解，从而通解为 881ye2x(C1C2x)sin2x

8习题

1. 设某种产品就要推向市场，t时刻的销量为x(t)，由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，t时刻产品销售的增长率

dx与x(t)成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的dt市场容量N，统计表明

dx与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N- x(t)也成正比，试给出dtx(t)的方程，并求销量达到多少时最为畅销。

解

dxkx(Nx) dt其中k为比例系数，分离变量积分，可得

x(t)由

N

1CekNtdxCN2kekNt dt(1CekNt)2以及

d2xCN3k2ekNt(CekNt1) 2kNt2dt(1Ce)dxd2xN0；当0，即销量x(t)单调增加；当x(t)当x(t)N时，有时，22dtdtd2xd2xNNx(t)时，20；当x(t)时，20；即当销量达到最大需求量N的一

22dtdt半时，产品最为畅销，当销量不足N的一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减少。

2、某商品的价格由供求关系决定，若供给量S与需求量Q均是价格P的线性函数：

S13P,Q4P

若价格P是时间t(年)的函数，且已知在时刻t时，价格P的变化率与过剩需求QS成正比，比例系数为2，试求价格P与时间t(年)的函数关系，且已知初始价格P02元，问当t0.3年时价格应为多少？

解 依题意，得

dP2(QS)2(54P) dt解得

P3 45Ce8t 4由已知P02，代入得C于是P538te 44则当t0.3时，P(0.3)1.32

习题

1、计算下列各题的差分

2n（1）ynf(n)n3 （2）ynn(n1)(n2)(nm1)

解 (1) yn(n1)23n1n23n3n(2n26n3) (2)ynn(n1)(n2)(nm1)

解 yn(n1)n(n1)(nm2)n(n1)(n2)(nm1)

n(n1)(nm2)[(n1)(nm1)]

mn(n1)(nm2)2、求下列差分方程的通解

2（1）yn1ynn3 （2）yn12yn2n1 n（3）yn12yn32 （4）yn15yn1

解 （1） 因a1，对应齐次方程通解为

yC1nC （C为任意常数）

2设y(n)a0na1n代入原方程，有

a0(n1)2a1(n1)a0n2a1nn3

比较系数得a0,a1所求方程通解为

12515，所以y(n)n2n 22215y(n)Cn2n

22C为任意常数

（2） 因a2，对应齐次方程通解为

yC2n （C为任意常数）

2设y(n)a0na1na2代入原方程，有

a0(n1)2a1(n1)a22a0n22a1n2a2n21

比较系数得

a02,a14,a25

故有y(n)2n4n5 所求方程通解为

2y(n)C2n2n24n5

（3）对应齐次方程通解为

yC(2)n （C为任意常数）

又f(n)32，即b3,d2，且ad40，因此，原方程的特解为

ny(n)故原方程通解为

b3dn2n ad4yC(2)n（4）对应齐次方程通解为

3n2 4yC(5)n （C为任意常数）

又f(n)1，即b1,d0，且ad0，因此，原方程的特解为

y(n)故原方程通解为

b1dn ad6y(n)3、求下列二阶差分方程的通解

1C(5)n 6（1）2yn2yn1yn0 （2）yn22yn12yn0

1（3）yn22yn1yn3 （4）4yn24yn1yn5

2解 (1) 特征方程 210得特征根

2n11,2从而得到方程的通解

1 21ynC1(1)nC2

2其中C1,C2为任意常数。 （2）原方程对应的特征方程为

n2220

特征方程有两个共轭复根

11i,21i

且r2,tan1，即sin22,cos, 224知方程有两个特解

y1(n)于是原方程通解为

2cos4n,y(n)2sinn

4nn2y(n)其中C1,C2为任意常数。

2CcosnC4n12sinn 4（3）特征方程为210

解得重根121，于是原方程通解为

2yn(C1C2n)1

n其中C1,C2为任意常数。

下面求非齐次方程特解

因为f(n)3，则q1，且不是特征根

则形式特解为ynA1n01，代入原方程

nA12A1A13

比较系数得 A13 4于是yn3 4原方程通解为

y(n)yny(n)3(C1C2n)(1)n 4其中C1,C2为任意常数。 （4）特征方程为4410 解得重根1221，于是原方程通解为 21yn(C1C2n)

2其中C1,C2为任意常数。 下面求非齐次方程特解

n11 因为f(n)5，则q，是重根

22n1则形式特解为ynA1n2，代入原方程

214A1(n2)22n2n14A1(n1)22n111A1n5

222nn比较系数得 A15 251于是ynn2

22原方程通解为

n511y(n)yy(n)n2(C1C2n)

222nnn其中C1,C2为任意常数。