一类面积最小值问题的解法

维普资讯 http://www.cqvip.com 第７卷第６期　泰州职业技术学院学报　Ｖｏ１．７　Ｎｏ．６　２００７年１２月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｔａｉｚｈｏｕ　Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　Ｄｅｃ．２００７　一类面积最小值问题的解法　侯晓星　（泰州师范高等专科学校，江苏泰州２２５３００）　摘要：针对一类面积最小值问题，利用方程　）　ｂ）＋（　—ａ　（　）－０的解以及函数在ａ，６］区　间内的上凸函数的概念，给出了这类问题的求解方法。　关键词：上凸函数；面积；最小值　中图分类号：Ｏ１７４　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７１—０１４２（２００７）０４—００１９—０２　闭ｘＥｆｎ－Ｊ［０，６１上的上凸函数厂（　）与它的切线以及　＝ａ，ｙ＝厂（ｂ）所围成的面积最小值是否存在？如果存　在，又将如何进行求解？为了解决这一类问题，先给出相关的定义和引理。　定义设．厂（　）为闭区间ａ，６］上的函数，如果对于　，６］中的任意两点　。，　以及满足ａｌ＋ａ２＝ｌ的非负　实数，都有如下的不等式成立　．八ａｌｘ１＋ａｐｅｘ２）≥ａ１．八　１）＋　．八　２）　我们称厂（　）为闭区间　，６１上的上凸函数，称一厂（　）为下凸函数。　引理１ｔ　１　设．厂（　）为闭区间ａ，６】上的上凸函数，任取筑∈ａ，ｂ］，ｉ＝１，２，３，满足ｘｌ＜ｘ　３时，则有：　ｆ（ｘ　）一ｆ（ｘ。）、ｆ（ｘ，）一ｆ（ｘ　）　２一　１　３一　２　引理２设厂（　）为闭Ｉｘｆｎｑ［０，６】上的上凸函数，任取定Ｘ０∈（０，ｂ）有如下性质：　（１　ｘ。）　ｘ。）存在，并且　ｘ。）　ｘ。）；　（２）当ｃ∈Ｉｆ＋　ｘ。）√　ｘ。）］时√　）≤ｃ（　—　。）七厂（　。），　∈［０，ｂ］　引理２可以由引理１直接证明。　定理脚设　）为Ｉ￣ＩＸｆｎ－Ｊ［ａ，ｈｉ＿ｔ：的上凸函数，在ａ，ｂ）内可微，且　０）　ｂ）Ｉ＞０，且在ａ，ｂ）内　ｆ　（　）＜０，记　）的切线与　）和ｘ＝ａ，ｙ　ｂ）所围成阴影部分的面积为５，那么存在ｔ。∈ａ，６］，使得ｓ（ｔ。）　为５的最小值。其中ｔ　是下面方程的解　厂（　）一厂（ｂ）＋（　一０）厂　（　）＝ｏ　（１）　最小面积司以表不为　ｓ（ｔ。）＝２（￡。一０）【　￡。）－＝　ｂ）卜Ｉ【　）＿＝，（ｂ）］　（２）　证明首先我们来说明ｔ。是存在的。令　）＝（　一０）【厂（　）　ｂ）］，由　０）＝　ｂ）＝０，运用罗尔定理知：存在ｔ。∈ａ，６１使得　（　）＝０　即：　ｔ。）　ｂ）＋（￡。一ａ）ｆ　。）＝０　ｔ∈（０，６），５（￡）的表达式为：　．　５（ｆ）＝　［ｆ＋　【厂（　）＋（州）／　）　６）卜』　【厂（　）　６）］　图１最小面积示意图　二　￡）　６）＋（　￡）／　（￡）］　一Ｊ。　）　６）］　下面来证明５（ｔ）≥５（　）　作者简介：侯晓星（１９７８一），女，江苏靖江人，讲师，硕士研究生，研究方向为基础数学　维普资讯 http://www.cqvip.com ２０　泰州职业技术学院学报　第６期　首先，Ｓ（ｔｏ）　ｔｏ）－ｆ（ｂ）＋（ａ－ｔｏ）ｆ　（ｔｏ）卜Ｊ。　）－ｙ（ｂ）］ｄｘ　［一２（ｔｏ－口）　（ｔｏ）　）　６）　。　＝２（ｔｏ－ａ）［ｆ（％）　ｂ）卜Ｊ　）　ｂ）】　由引理２可知　ｔ０）　￡）　（ｔ）（ｔｏ－ｔ），ｔ∈ａ，ｂ）　上式两边同时添加　ｂ）得　ｔｏ）　ｂ）　￡）　ｂ）　（￡）（￡ｏ－－叶　￡）　再移项得　ｔ。）　ｂ）　（￡）（　）　￡）　ｂ）　（￡）（　￡）　（３）　由题设ｆ　（￡）＜０，ｔ∈ａ，ｂ）　ｔ。）　ｂ）因此由（３）式得　一　２ｆ　ｔ（）　　≤　‘　一　２ｆ　ｔ（）　　（４）　又由算术一几何平均值不等式得：　￣ｔｏ）－ｆ（ｂ）】＋【－ｆ（ｔ）（ｔｏ－ａ）］＞１２、／　而　（５）　将、（５试代入（４）式得到：　６）］（　）≤　（６）　由（６）式，我们得到了５（￡）≥ｓ（　）。　证毕。　例：在抛物线　似　＋６　＋ｃ　ａ＜０，ｃ＞０，　∈（一　，　）】上求一点，使该点处的切线与所给曲线及　ｂ一　一）所围面积最小，并求此最小面积。　Ｚａ　，ｙ　二Ｉ　。　０　解：由于题中抛物线在所属区间内是上凸函数，则运用定理，所求面积最小值点ｔ。所满足的方程是　似２＋ｂｘ＋ｃ＋（　＋　）（２似＋６）：０，解得￡０：＝下－３ｂ－Ｎ／３ｂ＝－１２ａｃ，　Ｚａ　Ｕａ　＝　匝　最小面积为ｓ（　）＝２（ｔｏ＋　Ｚａ　ｔｏ）一』．Ｊｂ　（似２ａ：＋６　＋ｃ）　＝　Ｄｕａ－　三（２、／丁－３）　一——　特别地，令上题抛物线中ｎ＝一１，ｂ＝０，ｃ：１，则要在第一象限求该抛物线），＝　＋１上一点，使该点处的　切线与所给曲线及两坐标轴所围面积最小，运用以上定理的结论，很快可以求得在点（　｝，争）处最　小面积ｓ＝　（２、／　一３）。　参考文献：　【１】华东师范大学数学系．高等数学【Ｍ】．北京：高等教育出版社，２００１　［２］舒阳春．高等数学中的若干问题解析【Ｍ】．北京：科学出版社，２００５．　Ｗａｙｓ　ｔｏ　Ｆｉｇｕｒｅ　ｏｕｔ　Ｓｏｍｅ　Ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ　Ａｂｏｕｔ　Ａｒｅａ　Ｍｉｎｉｍｕｍ　ＨｏＵ　Ｘｉａｏ－ｘｉｎｇ　（Ｔａｉｚｈｏｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｔａｉｚｈｏｕ　Ｊｉａｎｇｓｕ　２２５３０￣Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｉｍｉｎｇ　ａｔ　ｓｏｍｅ　ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ　ａｂｏｕｔ　ａｒｅａ　ｍｉｎｉｍｕｍ，ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ　ｓｏｍｅ　ｗａｙｓ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｋｅｙ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　‘　）　６）＋（　一口　（　）＝０”ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ｏｆ　ｈｔｅ　ｃｏｎｖｅｘ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｎ　ｉｎｔｅｒｖａ１．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｃｏｎｖｅｘ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ａｒｅａ；ｍｉｎｉｍｕｍ　（责任编辑施翔）