2019年3月第13卷第1期伊犁师范学院学报（自然科学版）
JournalofYiliNormalUniversity（NaturalScienceEdition）Mar.2019
Vol.13No.1
Burgers方程的一些线性化差分格式
徐婉婷，高雪凝，黄鹏展*
（大学数学与系统科学学院，乌鲁木齐
830046）
摘要：针对Burgers方程，研究了基于局部修正Crank-Nicolson方法的一些线性化差分格式，
这些格式都是可以显式求解的隐格式.数值试验表明，其中的一个线性化格式能在几乎相同的计算时间内得到精度较好的数值结果.
关键词：Burgers方程；局部修正Crank-Nicolson方法；非线性项；数值比较中图分类号：O241.82
文献标识码：A
文章编号：1673—999X（2019）01—0012—04
0引言
Burgers方程是一个双曲——抛物型非线性偏微分方程，它描述了物理问题中对流和耗散流之间的综合过程，在黏性介质声波、有限电导磁流波、水资源污染、湍流理论研究以及交通流模型等问题都有着广泛的应用［1-2］.
针对Burgers方程这一非线性对流扩散问题，由于它有众多的实际应用价值，并且很好地数值求解它具有较大的困难.所以，一直以来它的数值解法都吸引着许多研究者的关注.王文洽给出了求解Burgers方程适合并行处理的交替分段隐格式，讨论了方法的线性化绝对稳定性［3］；接着，他又研究了该方程的一类交替分组方法［4］.盛秀兰构建了一个两层线性化隐式差分格式，差分解在最大模意义下关于时间和空间是二阶收敛的［5］.
最近，文献［6］给出了Burgers方程的局部修正Crank-Nicolson方法，该方法是无条件稳定的显式格式.但是该文对Burgers方程的非线性项做了最为简单的线性化处理，故而计算不够精确.本文主要在文献［6］的基础上，给出了一些不同的线性化处理方式，以期减少差分格式的误差.
1基于局部修正Crank-Nicolson方法的一些线性化差分格式
考虑一维空间的Burgers方程
∂u∂u∂2u+u=ν2,x∈(0,1),t∈[0,T],∂t∂x∂xu(x,0)=u0(x),x∈[0,1],
（1.1）（1.2）
初值条件为
收稿日期：2017-03-09
基金项目：国家自然科学基金资助项目（11401511）；国家级大学生创新训练计划项目（201610755044）.作者简介：徐婉婷（1997—），女，大学数学与系统科学学院学生，主要从事偏微分方程数值解研究.
*
通信作者：黄鹏展（1983—），男，大学数学与系统科学学院副教授，博士，主要从事偏微分方程数值解研究.
第1期边界条件为
徐婉婷，高雪凝，黄鹏展：Burgers方程的一些线性化差分格式
13（1.3）
u(0,t)=u(1,t)=0,t∈(0,T],
其中，ν>0是黏性系数，u0是给定的一个函数.
设h为空间网格步长，xj=jh,j=1,2⋯,M-1.再设时间步长τ=T/N,tn=nτ,n=1,2⋯,N.网格比λ=
τ［6］
，应用局部修正Crank-Nicolson方法，可得24h
U(tn+1)=C(λ)U(tn)，
nnT
这里的U(tn)=[un1,u2,⋯,uM-1],以及
M-1
1M-1
-1
C(λ)=(∏(I-λAi)(I+λAi)+∏(I-λBi)-1(I+λBi)).
2i=1i=1
（1.4）
Ai的形式如下：
æ-4ν
çç0A1=çç⋮
ççè0æ0ç⋮çAi=ç0
ççè0AM-1
2ν-han1
0⋮000⋮0⋯⋯⋱⋯0ö÷0÷÷，⋮÷÷÷0ø
⋯
⋱2ν+hani
-4ν
2ν-hani
⋱0ö÷⋮÷÷.0÷÷÷-4νø
⋯
æ0çç⋮=çç0ççè0
⋯⋯⋯0⋮000⋮02ν+hanM-1
0ö
÷÷
0÷,i=2,3,⋯,M-2，⋮÷÷0ø
另外的矩阵Bi=AM-i.矩阵元素中的an在文献［6］中，作者i为Burgers方程非线性项中u的逼近.事实上，
n
做了最为简单的线性化处理，取an即用un［6］中的数值试验可以发现，这种处理i=ui，i来直接近似u.从文献
方法得到的数值结果不太精确.
为了得到较为精确的数值结果，以下我们提出了基于局部修正Crank-Nicolson方法的4种新的线性化格式：
nn
格式Ⅰ：在（1.4）中，取ani=(ui+1+ui-1)/2.nnn格式Ⅱ：在（1.4）中，取ani=(ui+1+ui+ui-1)/3.n格式Ⅲ：在（1.4）中，取ani=ui/(1+
这里的
M-1
1M-1
-1i)-1(I+λBˉˉi)).格式Ⅳ：在（1.4）中，取C(λ)=(∑(I-λAi)(I+λAi)+∑(I-λB
2i=1i=1n
æhu2+4νçç0A1=çç⋮çç
0è
τn
(uni-ui-1)).2hhun1-2ν
0⋮000⋮0⋯⋯⋱⋯0ö÷0÷÷，⋮÷÷÷0ø
14伊犁师范学院学报（自然科学版）
⋱
-huni-2ν0⋮0000⋮0
0ö÷÷
0÷,i=2,3,⋯,M-2,⋮÷÷0ø
2019年
æ0ç⋮çAi=ç0
ççè0
⋯⋯⋯⋯
n
h(uni+1-ui-1)+4νhuni-2ν⋱
⋯
AM-1
以及
æ0
çç⋮=çç0ççè0
-hunM-1-2ν⋯⋯⋱⋯
0ö÷0÷÷,⋮÷÷÷0ø
0⋮0
-hunM-2
0
⋮0
ö÷÷÷÷.÷÷+4νø
æ4νçç0ˉA1=çç⋮ççè0-2ν0⋮0
æ0ç⋮⋱ç
ˉi=ç0⋯-2ν4ν-2ν⋯A
ç⋱çè0
00öæ0⋯0
çç⋮÷⋮⋮⋮÷ˉ÷AM-1=çç0⋯0÷.00ç÷ç÷0⋯0-2ν4νèøi=AM-i,Bˉi=AˉM-i.另外的矩阵B
0ö
÷÷
0÷,i=2,3,⋯,M-2,⋮÷÷0ø
由于将大型矩阵分解成一些简单的矩阵形式，虽然差分格式（1.4）中出现了求逆过程，但可以直接正确
地求出它的表达式，没有误差，从而不需要求解以大型矩阵为系数矩阵的方程组，所以这些格式有计算量少、隐式格式显式求解的性质.
2数值实验
为了验证格式的精确性和可靠性，我们考虑方程（1.1）～（1.3）的定解问题，给出这些新格式在不同的节点的误差比较.
数值例子：有如下一维空间的Burgers方程：
∂2u∂uì∂u=ν2,x∈(0,1),t∈[0,T],ï+u
∂t∂x∂xï
（2.1）íu(x,0)=sin(πt),x∈[0,1],ï
ï
îu(0,t)=u(1,t)=0, t∈(0,T].
该方程有无穷级数形式的精确解：
F
u(x,t)=4πν.（2.2）
D+E这里，
111∞∞
F=∑j=1jIj()sin(jπx)exp(-j2π2νt)，D=2∑j=1Ij()cos(jπx)exp(-j2π2νt)，E=I0()，
2πν2πν2πνIj(x)是第一类第j阶修正的Bessel函数，j=35时，其中，它可用来近似无穷级数（2.2）.
第1期徐婉婷，高雪凝，黄鹏展：Burgers方程的一些线性化差分格式
15由表1，我们可以看出，格式Ⅳ在几乎相同的计算时间下得到精度较好的数值结果.
表1
xi
h=0.01，λ=0.01和ν=0.01时，当T=1，数值例子在5种格式下绝对误差和CPU时间的比较
格式文献［6］9.4433E-052.3461E-045.2242E-041.0301E-031.8186E-032.9347E-034.4060E-036.2344E-038.1517E-038.1517E-0321.5937
格式Ⅰ8.9594E-052.2470E-045.0738E-041.0098E-031.7932E-032.9039E-034.3697E-036.1922E-038.2201E-038.2201E-0320.6719
格式Ⅱ1.2687E-042.5932E-045.3492E-041.0306E-031.8093E-032.9179E-034.3835E-036.2069E-038.1104E-038.1104E-0320.0937
格式Ⅲ6.1862E-057.5165E-056.4994E-054.3387E-041.0958E-032.1008E-033.4809E-035.2424E-037.0914E-037.0914E-0321.1718
格式Ⅳ2.9486E-054.5977E-059.4620E-051.9515E-043.6272E-046.0729E-049.3253E-041.3329E-031.5228E-031.5228E-0321.2812
0.10.20.30.40.50.60.70.80.9最大误差CPU时间
参考文献：
［1］许晓革.非线性发展方程的变系数均衡作用法与变系数Burgers方程的解［J］.数学的实践与认识，2005，35：156-159.［2］鲁晓莉，赵书博，黄鹏展.Burgers方程的级数解［J］.伊犁师范学院学报（自然科学版），2015，9：15-20.［3］王文洽.Burgers方程的一种并行计算方法［J］.计算物理，2001，18：385-3.［4］王文洽.Burgers方程的一类交替分组方法［J］.应用数学和力学，2004，25：213-220.
［5］盛秀兰.Burgers方程的一个新的差分格式［J］.江苏师范大学学报（自然科学版），2010，30：39-43.
［6］HUANGPeng-zhan，ABDUWALIAbdurishit.TheModifiedLocalCrank–Nicolsonmethodforoneandtwodimensional
Burgers’equations［J］.ComputersandMathematicswithApplications，2010，59：2452-2463.
【责任编辑：张建国】
SomeLinearizationFiniteDifferenceSchemesofBurgersEquation
XuWanting,GaoXuening,HuangPengzhan*
(CollegeofMathematicsandSystemScience,XinjiangUniversity,Urumqi,Xinjiang830046,China)
Abstract:Abstract:Inthispaper,basedonthemodifiedlocalCrank-Nicolsonmethod,wedesignsomelinearizationfinitedifference
schemesforsolvingtheBurgersequation.Newdifferenceschemesareimplicitschemeswhichcanbesolvedexplicitly.Numericalexperimentsshowthat,comparedwithotherschemes,oneschemecangetbetternumericalresultsunderalmostthesamecomputedtime.
Keywords:words:Burgersequation;theModifiedLocalCrank–Nicolsonmethod;nonlinearterm;numericalcomparisons