如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（1，0），点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P在第二象限的抛物线上，连接PC、PO，线段PO交线段BC于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若△PCE的面积为S1，△OCE的面积为S2，当＝时，求点P的坐标；
（3）已知点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接BN，点H在x轴上，当∠HCB＝∠NBC时，
①求满足条件的所有点H的坐标；
②当点H在线段AB上时，点Q是线段BH外一点，QH＝1，连接BQ，将线段BQ绕着点Q顺时针旋转90°，得到线段QM，连接MH，直接写出线段MH的取值范围．
在接
在
中，
的右侧以
点是直线上的一动点(不与点.点
是
重合)，连
.
为斜边作等腰直角三角形的中点，连接
[问题发现] （1）如图(1)，当点
是
的中点时，线段
与
的数量关系是______，
与
的位置关系是______；
[猜想论证]
（2）如图（2），当点
在边
上且不是
的中点时，(1)中的结论是否仍然成立？若
成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由． [拓展应用] （3）若直接写出
，其他条件不变，连接
的面积．
.当
是等边三角形时，请
如图1，抛物线线
与抛物线相交y轴于点C，抛物交x轴负半轴于点N，
与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线
．
的解析式与k的值；
交y轴于点M，且 （1）求抛物线（2）抛物线
的对称轴交x轴于点D，连接，在x轴上方的对称轴上找一点E，使以
的长；
于点Q，若落在y轴
点A，D，E为顶点的三角形与（3）如图2，过抛物线点
是点Q关于直线
相似，求出
上的动点G作轴于点H，交直线
的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点
上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由．
如图，二次函数两点，与轴交于点（1）若（2）若，求
，顶点为
（、为参数，其中．
）的图象与轴交于、
的值（结果用含的式子表示）；
与轴交于点，且．求抛物线的解析式； 是等腰三角形，直线（3）如图，已知为直径的圆经过点
，、，并交轴于
分别是、
和两点，求
上的动点，且
的最大值．
，若以
若一次函数次函数
的图象与轴，轴分别交于A，C两点，点B的坐标为的图象过A，B，C三点，如图（1）．
，二
（1）求二次函数的表达式； （2）如图（1），过点C作恰好平分
．求直线
轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（轴左侧），若的表达式；
交
于点F，连接
，
（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在轴右侧），连接
．
①当
时，求点P的坐标；①求
的最大值．
我们把方程(x- m)2+(y-n)2=r2称为圆心为(m，n)、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为(1,-2)、半径长为3的圆的标准方程是(x- 1)2+(y+2)2=9．在平面直角坐标系中,圆C与轴交于点A．B．且点B的坐标为(8．0),与y轴相切于点D(0, 4)，过点A,B,D的抛物线的顶点为E．
(1)求圆C的标准方程；
(2)试判断直线AE与圆C的位置关系，并说明理由．
已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与y轴交于C点，交x轴于A、B，且OB＝OC． （1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线l：y＝x+b（b＜0）交x轴于M，交y轴于N．将①MON沿直线l翻折，
得到①MPN，点O的对应点为P．若O的对应点P恰好落在抛物线上，求直线l的解析式； （3）如图2，将原抛物线向左平移1个单位，向下平移t个单位，得到新抛物线C1．若直线y＝m与新抛物线C1交于P、Q两点，点M是新抛物线C1上一动点，连接PM，并将直
线PM沿y＝m翻折交新抛物线C1于N，过Q作QT①y轴，交MN于点T，求的值．
如图，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式； （2）若过原点
的直线
与直线
分别交抛物线
于点
、
，
①当时，试求的面积；
总是经过一定点．
①试证明：不论实数取何值，直线
如图所示，二次函数的图像（记为抛物线
，
，且
）与y轴交于点C，与
．
x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为（1）若
，
，且过点
，求该二次函数的表达式；
的判别式
．求证：当
时，二
（2）若关于x的一元二次方程次函数
的图像与x轴没有交点．
（3）若物线的
，点P的坐标为，过点P作直线l垂直于y轴，且抛
交于点D，若
顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线
，求
的最小值．
如图，直线与x轴交于A，与y轴交于B，抛物线经过点A，且与y轴交于点C（0，4），P为x轴上一动点，按逆时针方向作∆CPE，使∆CPE∽∆AOB．
（1）求抛物线解析式．
（2）若点E落在抛物线上，求出点P的坐标．
（3）若∆ABE是直角三角形，直接写出点P的坐标．
ABC为等边三角形，以AB边为腰作等腰RtABD，∠BAD=90，AC与BD交于点E，连接CD，过点D作DF⊥BC交BC延长线于点A．
（1）如图1，若DF＝1，AB= ；AE= ；
（2）如图2，将CDF绕点D顺时针旋转至△C1DF1的位置，点C，F的对应点分别为C1，F1，当DC1平分∠EDC时，DC1与AC交于点M，在AM上取点N，使AN＝DM，连接DN，求tan∠NDM的值．
（3）如图3，将CDF绕点D顺时针旋转至C1DF1的位置，点C，F的对应点分别为C1，F1，连接AF1、BC1，点G是BC1的中点，连接AB．求
的值
如图，已知抛物线 （1）求
经过点，．
的值，并将抛物线解析式化成顶点式；
，点
为抛物线上一动点．求证：以
为圆心，
为半径的圆与直
（2）已知点线
相切；
（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一动点，作直线
的解析式．
，与抛物线交于点．当
时，请直接写出直线
如图，在
中，
，
，点D是BC边上一动点，连接AD，把
AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：；
时，分别延长CF，BA，相交于点
（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当
G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论； （3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使
的值最小．当
的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．
如图，已知抛物线
（1）求该抛物线的解析式；
经过，，三点．
（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段①求直线
的解析式；
于点E，若．
②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧．点R是直线角形，求点P的坐标．
上的动点，若
是以点Q为直角顶点的等腰直角三
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（，0）和点B（1，），
与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA=∠DAC，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AB． ①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；
②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF=∠MFO时，请直接写出线段BM的长．
如图，四边形是正方形，点为对角线
，
的中点． 的中点
，
，连接
，则
与
（1）问题解决：如图①，连接，分别取
的数量关系是_____，位置关系是____； （2）问题探究：如图①，三角形，连接
，点
，
是将图①中的分别为
，
绕点
按顺时针方向旋转
，
．判断
得到的
的
的中点，连接
形状，并证明你的结论； （3）拓展延伸：如图①，三角形，连接的边长为1，求
，点
是将图①中的
，
绕点
按逆时针方向旋转
，
．若正方形
得到的
，分别为的面积．
的中点，连接
如图1，四边形的对角线，相交于点，，．
图1 图2 （1）过点
作
交沿； ，求证：
．
于点
，求证：
．
；
（2）如图2，将①求证：①若
翻折得到
在交边
中，于点F，连接
，．
．点D在边上，且，
（1）特例发现：如图1，当（2）探究证明：如图2，当
时，①求证：时，请探究
；①推断：_________．；
的度数是否为定值，并说明理由；
（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当于点P，交
于点K，若
，求
的长
时，过点D作的垂线，交
Rt①OBC在直角坐标系内的位置如图所示，点C在y轴上，①OCB＝90°，反比例函数y＝(k＞0)在第一象限内的图象与OB边交于点D(m，3)，与BC边交于点E(n，6)． (1)求m与n的数量关系；
(2)连接CD，若①BCD的面积为12，求反比例函数的解析式和直线OB的解析式；
(3)设点P是线段OB边上的点，在(2)的条件下，是否存在点P，使得以B、C、P为项点的三角形与①BDE相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．