一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不给分）
1．（4分）下列多边形是中心对称图形的是（ ） A．等腰梯形
B．等边三角形
C．正方形
D．正五边形
2．（4分）一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，分别将它们标上1，2，3，4，随机摸出标号为3的小球的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
3．（4分）如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D．若AC＝5，BD＝3，则AB的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（4分）抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标是（1，3），点A（2，y1），B（3，y2）在抛物线上，则下列大小比较正确的是（ ） A．y1＞y2 C．y1＝y2
B．y1＜y2
D．无法比较y1，y2的大小
5．（4分）用配方法解方程x2+2x﹣1＝0，变形正确的是（ ） A．（x+1）2＝0
B．（x﹣1）2＝0
C．（x+1）2＝2
D．（x﹣1）2＝2
6． （4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：3，BC＝8，那么DE的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
7．（4分）某函数图象如图所示，则该函数解析式可能为（ ）
A．y＝﹣ B．y＝ C．y＝﹣ D．y＝
8．（4分）如图，抛物线S1与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），将它向右平移2个单位得新抛物线S2，点M，N是抛物线S2上两点，且MN∥x轴，交抛物线S1于点C，已知MN＝3MC，则点C的横坐标为（ ）
A． B． C． D．1
9．（4分）如图，矩形木框ABCD中，AB＝2AD＝4，将其按顺时针变形为▱ABC′D′，当∠AD′B＝90°时，四边形对称中心O经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）学生会8位干部每次轮流3位干部对同学的日常规范进行检查．每两次检查后，由轮流到的第1位干部公布检查情况.8位干部依次记为a1，a2，a3，…，a8，具体为：第1次由a1，a2，a3三位干部轮值，且不需公布检查情况；第2次由a4，a5，a6三位干部轮值，且由a4公布检查情况；第3次由a7，a8，a1三位干部轮值，且不需公布检查情况；依此下去…，则第124次轮值的干部与公布情况应该为（ ） A．a2，a3，a4，且由a2公布 C．a2，a3，a4，且不需公布
B．a8，a1，a2，且由a8公布 D．a8，a1，a2，且不需公布
二、填空题（本大题共有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转，得到△EDC．若∠BCD＝50°，则∠ACE＝ °
12．（5分）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝ ． 13．（5分）圆锥底面的半径为5cm，高为12cm，则圆锥的侧面积为 cm2． 14．（5分）如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，点B在双曲线y＝（x＞0）上，且AB∥x轴，BC∥y轴，点C在x轴上，则△ABC的面积为 ．
15．（5分）运动会入场式上，某班队列为m行n列的矩形方阵．当队伍行进到表演区时， 队列进行变形，行数增大2，列数减小3，恰好组成正方形方阵，则该班同学有 人．16．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2
，tanB＝3，点D为边AB上一动点，在直
线DC上方作∠EDC＝∠ECD＝∠B，得到△EDC，则CE最小值为 ．
三、解答题（本大题有8小题，第17-20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（1，3）．
（1）画出将△OAB绕原点顺时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点A1，B1的坐标；（2）画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA2B2，并写出点A2，B2的坐标．
19．（8分）现如今，“垃圾分类”已逐渐推广．如图，垃圾一般可分为：可回收物，厨余垃圾，有害垃圾，其它垃圾．甲拿了一袋有害垃圾，乙拿了一袋厨余垃圾，随机扔进并排的4个垃圾桶．
（1）直接写出甲扔对垃圾的概率；
（2）用列表或画树形图的方法求甲、乙两人同时扔对垃圾的概率．
20．（8分）在一次数学综合实践活动中，同学们测量了学校教学楼的高度．如图，CD是高为2m的平台，在D处测得楼顶B的仰角为45°，从平台底部向教学楼方向前进4m到达E处，测得楼顶B的仰角为60°．求教学楼AB的高度（结果保留根号）．
21．（10分）已知一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝图象相交于A（2，4），B（n，﹣2）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集；
（3）点C（a，b），D（a，c）（a＞2）分别在一次函数和反比例函数图象上，且满足CD＝2，求a的值．
22．（12分）春节即将来临，某企业接到一批礼品生产任务，约定这批礼品的出厂价为每件6元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小王第x天生产的礼品数量为y件，y与x满足如下关系：y＝（1）小王第几天生产的礼品数量为390件？
（2）如图，设第x天生产的每件礼品的成本是z元，z与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若小王第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润＝出厂价﹣成本）
23．（12分）定义：角的内部一点到角两边的距离比为1：2，这个点与角的顶点所连线段称为这个角的二分线．如图1，点P为∠AOB内一点，PA⊥OA于点A，PB⊥OB于点B，且PB＝2PA，则线段OP是∠AOB的二分线．
（1）图1中，OP为∠AOB的二分线，PB＝4，PA＝2，且OA+OB＝8，求OP的长；
（2）如图2，正方形ABCD中，AB＝2，点E是BC中点，证明：DE是∠ADC的二分线；
（3）如图3，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，且∠CAB＜∠CAD，∠BDC＜∠BDA，若AC，BD分别是∠DAB，∠ADC的二分线，证明：四边形ABCD是矩形． 24．（14分）如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝OB，点D是上一动点，点E是CD中
点，连接BD分别交OC，OE于点F，G． （1）求∠DGE的度数； （2）若
＝，求
的值；
（3）记△CFB，△DGO的面积分别为S1，S2，若＝k，求的值．（用含表示）
k的式子
2018-2019学年浙江省台州市天台县九年级（上）期末数学试卷
参与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不给分）
1．（4分）下列多边形是中心对称图形的是（ ） A．等腰梯形
B．等边三角形
C．正方形
D．正五边形
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形．故选项错误； B、不是中心对称图形．故选项错误； C、是中心对称图形．故选项正确； D、不是中心对称图形．故选项错误． 故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（4分）一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，分别将它们标上1，2，3，4，随机摸出标号为3的小球的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】由一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4，
∴随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3”的概率为：， 故选：C．
【点评】此题主要考查了概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
3．（4分）如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D．若AC＝5，BD＝3，则AB的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】因为AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D，所以AP＝AC，BD＝BP，所以AB＝AP+BP＝AC+BD＝5+3＝8．
【解答】解：∵AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D． ∴AP＝AC，BD＝BP， ∴AB＝AP+BP＝AC+BD， ∵AC＝5，BD＝3， ∴AB＝5+3＝8． 故选：D．
【点评】本题考查圆的切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理．
4．（4分）抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标是（1，3），点A（2，y1），B（3，y2）在抛物线上，则下列大小比较正确的是（ ） A．y1＞y2 C．y1＝y2
B．y1＜y2
D．无法比较y1，y2的大小
【分析】由解析式可知抛物线开口向上，对称轴为x＝1，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：由抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标是（1，3），可知抛物线开口向上，对称轴为x＝1，由最大值y＝3，
∵A（2，y1），B（3，y2）在抛物线上， ∵1＜2＜3，
∴点A，B在对称轴的右边，故y随x的增大而增大， ∴y1＜y2， 故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a＜0，抛
物线开口向下；对称轴为直线x＝﹣轴右侧，y随x的增大而减小．
，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称
5．（4分）用配方法解方程x2+2x﹣1＝0，变形正确的是（ ） A．（x+1）2＝0
B．（x﹣1）2＝0
C．（x+1）2＝2
D．（x﹣1）2＝2
【分析】先把常数项移到方程右侧，两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【解答】解：x2+2x＝1， x2+2x+1＝2， （x+1）2＝2． 故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
6． （4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：3，BC＝8，那么DE的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴
＝
，
∵AD：DB＝1：3， ∴
＝，
∵BC＝8， ∴DE＝2， 故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
7．（4分）某函数图象如图所示，则该函数解析式可能为（ ）
A．y＝﹣ B．y＝ C．y＝﹣ D．y＝
【分析】根据函数的定义可以解答本题．
【解答】解：由函数的定义可知，每一个给定的x，都有唯一确定的y值与其对应的才是函数，
选项A、B、C中的函数解析式，不论x取正数或负数，函数y的值可能为负数，不符合函数图象，只有选项D符合， 故选：D．
【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确函数的定义，利用数形结合的思想解答．
8．（4分）如图，抛物线S1与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），将它向右平移2个单位得新抛物线S2，点M，N是抛物线S2上两点，且MN∥x轴，交抛物线S1于点C，已知MN＝3MC，则点C的横坐标为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据题意和二次函数的性质、平移的性质可以求得点C的横坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线S1与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）， ∴抛物线S1的对称轴为直线x＝
＝﹣1，
∵抛物线S1向右平移2个单位得新抛物线S2，点M，N是抛物线S2上两点，且MN∥x轴，交抛物线S1于点C，MN＝3MC， ∴CN＝2MC，CN＝2， ∴MN＝3，
∴点C与在抛物线S1上的对称点的距离为3， ∴点C的横坐标为：﹣1+＝， 故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数和平移的性质解答．
9．（4分）如图，矩形木框ABCD中，AB＝2AD＝4，将其按顺时针变形为▱ABC′D′，当∠AD′B＝90°时，四边形对称中心O经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图，取AB的中点D，连接DO，DO′．证明DO＝1，推出点O的运动轨迹是以D为圆心的弧（图中红线），求出圆心角，利用弧长公式计算即可． 【解答】解：如图，取AB的中点D，连接DO，DO′．
在Rt△AD′B中，∵∠AD′B＝90°，AB＝2AD， ∴cos∠BAD′＝∴∠BAD′＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∴∠DAD′＝30°， ∵AD＝DB，DO＝OB， ∴OD＝AD＝1，
∴点O的运动轨迹是以D为圆心的弧（图中红线）， ∵∠ODB＝90°，∠O′DB＝∠DAB＝60°，
＝，
∴∠ODO′＝30°，
∴四边形对称中心O经过的路径长为故选：D．
【点评】本题考查轨迹，平行四边形的性质，矩形的性质，中心对称等知识，解题的关键是正确寻找点O的运动轨迹，属于中考常考题型．
10．（4分）学生会8位干部每次轮流3位干部对同学的日常规范进行检查．每两次检查后，由轮流到的第1位干部公布检查情况.8位干部依次记为a1，a2，a3，…，a8，具体为：第1次由a1，a2，a3三位干部轮值，且不需公布检查情况；第2次由a4，a5，a6三位干部轮值，且由a4公布检查情况；第3次由a7，a8，a1三位干部轮值，且不需公布检查情况；依此下去…，则第124次轮值的干部与公布情况应该为（ ） A．a2，a3，a4，且由a2公布 C．a2，a3，a4，且不需公布
B．a8，a1，a2，且由a8公布 D．a8，a1，a2，且不需公布 ＝
．
【分析】根据题意可知，每次三个同学，每两次公布一次成绩，一共有8名干部，从而可以求得第124次轮值的干部与公布情况，本题得以解决． 【解答】解：∵124×3÷8＝46…4，
∴第124次轮值的干部为a2，a3，a4，由a2公布， 故选：A．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的变化规律．二、填空题（本大题共有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转，得到△EDC．若∠BCD＝50°，则∠ACE＝ 50 °
【分析】根据旋转的性质可得∠DCE＝∠ABC，即可得∠ACE＝∠BCD＝50°． 【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针方向旋转，得到△EDC， ∴△ABC≌△EDC， ∴∠DCE＝∠ACB，
∴∠DCE﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD， ∴∠ACE＝∠BCD＝50°， 故答案为：50
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
12．（5分）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝ ﹣2 ． 【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入x2+mx+2n＝0得到4+2m+2n＝0得n+m＝﹣2，然后利用整体代入的方法进行计算．
【解答】解：∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0的一个根， ∴4+2m+2n＝0， ∴n+m＝﹣2， 故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
13．（5分）圆锥底面的半径为5cm，高为12cm，则圆锥的侧面积为 65π cm2． 【分析】根据圆锥的侧面积公式：S＝πrl，直接代入数据求出即可． 【解答】解：由圆锥底面半径r＝5cm，高h＝12cm， 根据勾股定理得到母线长l＝
＝13cm，
根据圆锥的侧面积公式：πrl＝π×5×13＝65π， 故答案为：65π．
【点评】此题主要考查了圆锥侧面积公式，熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．
14．（5分）如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，点B在双曲线y＝（x＞0）上，且AB∥x轴，BC∥y轴，点C在x轴上，则△ABC的面积为 ．
【分析】作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，延长BA交y轴于点D，如图，根据反比例函
数比例系数k的几何意义得S
矩形AEOD
＝1，S
矩形BFOD
＝4，于是得到S矩形AEFB＝3，然后
根据矩形的性质和三角形面积公式易得S△ABC＝S△FAB＝1.5．
【解答】解：作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，延长BA交y轴于点D，如图， ∵AB∥x轴，
∴S矩形AEOD＝1，S矩形BFOD＝4， ∴S矩形AEFB＝4﹣1＝3， ∴S△FAB＝1.5， ∴S△ABC＝S△FAB＝1.5． 故答案为1.5．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的面积，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
15．（5分）运动会入场式上，某班队列为m行n列的矩形方阵．当队伍行进到表演区时， 队列进行变形，行数增大2，列数减小3，恰好组成正方形方阵，则该班同学有 36 人．【分析】设组成正方形方队时有x行和x列，则队列变换前为（x﹣2）行，（x+3）列，根据队形变换前后人数不变列出方程求解即可．
【解答】解：设组成正方形方队时有x行和x列，则队列变换前为（x﹣2）行，（x+3）列，
根据题意得：（x﹣2）（x+3）＝x2， 解得：x＝6，
所以共有6×6＝36人， 故答案为：36．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解队形变换前后人数不变，难度不大．
16．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2
，tanB＝3，点D为边AB上一动点，在直
线DC上方作∠EDC＝∠ECD＝∠B，得到△EDC，则CE最小值为 6 ．
【分析】作AM⊥BC于M，CN⊥AB于N．由△EDC∽△ABC，推出＝
，推出DC最小时，EC的值最小．
＝，推出
【解答】解：作AM⊥BC于M，CN⊥AB于N．
∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴BM＝MC，∠B＝∠ACB， ∴tanB＝
＝3，设AM＝3k，BM＝k，
在Rt△ABM中，40＝9k2+k2， ∴k2＝4， ∵k＞0， ∴k＝2，
∴BM＝CM＝2，BC＝4， ∵CN⊥AB， ∴∠CNB＝90°， ∴tanB＝
＝3，设BN＝m，CN＝3m，
则有，10m2＝16， ∵m＞0， ∴m＝
，
∴CN＝，
∵∠EDC＝∠ECD＝∠B＝∠ACB， ∴△EDC∽△ABC， ∴∴
＝＝
， ＝
，
∴DC最小时，EC的值最小，
∵当CD与CN重合时CD的值最小，此时CD＝∴EC的最小值＝故答案为6．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题有8小题，第17-20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）
【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程． 【解答】解：△＝22﹣4×（﹣3）＝16， x＝
，
×2
÷4＝6，
，
所以x1＝1，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（1，3）．
（1）画出将△OAB绕原点顺时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点A1，B1的坐标；（2）画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA2B2，并写出点A2，B2的坐标．
B的对应点A1、B1，【分析】（1）根据网格特点和旋转的性质画出A、从而得到△OA1B1，再写出点A1，B1的坐标；
（2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A2，B2的坐标，然后描点即可得到△OA2B2．
【解答】解：（1）如图，△OA1B1为所作，点A1，B1的坐标分别为（0，﹣2），（3，﹣1）；
（2）如图，△OA2B2为所作，点A2，B2的坐标分别为（﹣2，0），（﹣1，﹣3）；
【点评】本题考查了作图：旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
19．（8分）现如今，“垃圾分类”已逐渐推广．如图，垃圾一般可分为：可回收物，厨余垃圾，有害垃圾，其它垃圾．甲拿了一袋有害垃圾，乙拿了一袋厨余垃圾，随机扔进并排的4个垃圾桶．
（1）直接写出甲扔对垃圾的概率；
（2）用列表或画树形图的方法求甲、乙两人同时扔对垃圾的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式求出甲投放的垃圾正确的概率； （2）首先利用列表法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【解答】解：（1）记可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾分别为A，B，C，D， ∵垃圾要按A，B，C、D类分别装袋，甲扔了一袋垃圾有4种等可能结果，其中扔对的只有1种结果，
∴甲扔对垃圾的概率为；
（2）记可回收物桶为A，厨余垃圾桶为B，有害垃圾桶为C，其他垃圾桶为D．
A B C D B C D （B，A） （C，A） （D，A） （A，A） （B，B） （C，B） （D，B （A，B） （B，C） （C，C） （D，C） （A，C） （B，D） （C，D） （D，D） （A，D）由表可知共有16种等可能结果，其中甲、乙两人同时扔对垃圾的只有1种结果， ∴甲、乙两人同时扔对垃圾的概率为
．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20．（8分）在一次数学综合实践活动中，同学们测量了学校教学楼的高度．如图，CD是高为2m的平台，在D处测得楼顶B的仰角为45°，从平台底部向教学楼方向前进4m到达E处，测得楼顶B的仰角为60°．求教学楼AB的高度（结果保留根号）．
【分析】设AE为x米，根据正切的概念用x表示出AB和DE，结合图形列式计算． 【解答】解：设AE为x米， 在Rt△BAE中，tan∠AEB＝解得，AB＝∴BE＝
x，
，即tan60°＝
，
x﹣2，
∵∠BDF＝45°， ∴BF＝DF， 则x+4＝解得，x＝3则AB＝
x﹣2， +3，
，
）米．
x＝9+3
答：教学楼AB的高度为（9+3
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义和仰角俯角的概念是解题的关键．
21．（10分）已知一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝图象相交于A（2，4），B（n，﹣2）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集；
（3）点C（a，b），D（a，c）（a＞2）分别在一次函数和反比例函数图象上，且满足CD＝2，求a的值．
【分析】（1）将点A，点B坐标代入反比例函数解析式可求m，n的值，用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据函数图象的性质可求不等式kx+b﹣＜0的解集；
（3）将点C，点D坐标代入函数解析式，根据CD＝2，可求a的值． 【解答】解：（1）∵反比例函数y＝图象过点A（2，4）， ∴m＝2×4＝8，
∴反比例函数解析式为：y＝， ∵点B在反比例函数图象上， ∴n＝
＝﹣4
∴点B（﹣4，﹣2） 根据题意得：解得：k＝1，b＝2， ∴一次函数解析式为：y＝x+2 （2）∵kx+b﹣＜0 ∴kx+b＜
∴一次函数图象在反比例函数图象的下方， ∴x＜﹣4 或 0＜x＜2
（3）∵点C（a，b），D（a，c）（a＞2）分别在一次函数和反比例函数图象上 ∴b＝a+2，c＝ ∵CD＝2，a＞2
∴a+2﹣＝2 ∴a＝2
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求函数解析式，函数图象性质，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
22．（12分）春节即将来临，某企业接到一批礼品生产任务，约定这批礼品的出厂价为每件6元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小王第x天生产的礼品数量为y件，y与x满足如下关系：y＝（1）小王第几天生产的礼品数量为390件？
（2）如图，设第x天生产的每件礼品的成本是z元，z与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若小王第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润＝出厂价﹣成本）
【分析】（1）把y＝390代入y＝25x+90，解方程即可求得；
（2）根据图象求得成本z与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答． 【解答】解：（1）∵6×40＝240，
∴前六天中第6天生产的礼品最多达到240只， 将390代入25x+90得：25x+90＝390， ∴x＝12，
答：第12天生产的礼品数量为390只； （2）当0≤x＜10时，z＝3，
当10≤x≤20时，设z＝kx+b，将（10，3）和（20，4）代入，得
解得：，∴z＝x+2；
当0≤x≤6时，w＝（6﹣3）×40x＝120x，w随x的增大而增大， ∴当x＝6时最大值为720元；
当6＜x≤10时，w＝（6﹣3）×（25x+90）＝75x+270，w随x的增大而增大， ∴当x＝10时最大值为1020元； 当10＜x≤20时，w＝（6﹣
x﹣2）（25x+90）＝﹣x2+91x+360，
对称轴为：直线x＝18，天数为整数，将x＝18代入得w＝1188元；
综上所述，w与x的函数表达式为w＝，
答：第18天利润最大，最大利润为1188元．
【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用二次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．
23．（12分）定义：角的内部一点到角两边的距离比为1：2，这个点与角的顶点所连线段称为这个角的二分线．如图1，点P为∠AOB内一点，PA⊥OA于点A，PB⊥OB于点B，且PB＝2PA，则线段OP是∠AOB的二分线．
（1）图1中，OP为∠AOB的二分线，PB＝4，PA＝2，且OA+OB＝8，求OP的长； （2）如图2，正方形ABCD中，AB＝2，点E是BC中点，证明：DE是∠ADC的二分线；
（3）如图3，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，且∠CAB＜∠CAD，∠BDC＜∠BDA，若AC，BD分别是∠DAB，∠ADC的二分线，证明：四边形ABCD是矩形． OB＝b，【分析】（1）设OA＝a，则a+b＝8 ①，根据勾股定理可得b2+16＝a2+4 ②，组成方程组可求a，b的值，即可求OP的长；
（2）过点E作EF⊥AD于点F，可证四边形CDFE为矩形，FE＝CD＝2，且CE＝1，
根据定义可证DE是∠ADC的二分线；
（3）分别过点C，B作CM⊥直线AD于点M，BN⊥直线AD于点N，根据角的二分线的定义可得BN＝CM＝2BC，可证四边形NBCM是矩形，可得∠NBC＝∠MCB＝90°，根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即点N与点A重合，点D与点M重合，可得四边形ABCD是矩形． 【解答】解：（1）设OA＝a，OB＝b， 则a+b＝8 ①， ∵PA⊥OA，PB⊥OB， ∴OP2＝OB2+BP2＝OA2+AP2， ∴b2+16＝a2+4 ②， 由①②组成方程组，
解得：
∴OP2＝OB2+BP2＝∴OP＝
（2）如图，过点E作EF⊥AD于点F，
在正方形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°， ∴四边形CDFE为矩形， ∴FE＝CD＝2， ∵点E为BC中点， ∴CE＝1， ∴FE＝2CE，
∴DE是∠ADC的二分线
（3）如图，分别过点C，B作CM⊥直线AD于点M，BN⊥直线AD于点N，
∵AB∥CD，∠ABC＝90°， ∴∠BCD＝90°， ∵AC是∠DAB二分线， ∴BN＝2BC，
∵BD是∠ADC的二分线， ∴CM＝2BC， ∴BN＝CM，
∵CM⊥AD，BN⊥AD， ∴BN∥CM，
∴四边形NBCM是平行四边形， ∵CM⊥AD，
∴四边形NBCM是矩形， ∴∠NBC＝∠MCB＝90°，
∴点N与点A重合，点D与点M重合， ∴四边形ABCD是矩形
【点评】本题是四边形综合题，考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 24．（14分）如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝OB，点D是点，连接BD分别交OC，OE于点F，G． （1）求∠DGE的度数； （2）若
＝，求
的值；
上一动点，点E是CD中
（3）记△CFB，△DGO的面积分别为S1，S2，若表示）
＝k，求的值．（用含k的式子
【分析】（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得∠DGE的度数；
（2）根据题意，三角形相似、勾股定理可以求得
的值；
（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表示出
的值．
【解答】解：（1）∵BC＝OB＝OC， ∴∠COB＝60°，
∴∠CDB＝∠COB＝30°， ∵OC＝OD，点E为CD中点， ∴OE⊥CD， ∴∠GED＝90°， ∴∠DGE＝60°；
（2）过点F作FH⊥AB于点H 设CF＝1，则OF＝2，OC＝OB＝3 ∵∠COB＝60° ∴OH＝∴HF＝
＝1， OH＝
，HB＝OB﹣OH＝2，
＝
，
在Rt△BHF中，BF＝
由OC＝OB，∠COB＝60°得：∠OCB＝60°， 又∵∠OGB＝∠DGE＝60°， ∴∠OGB＝∠OCB，
∵∠OFG＝∠CFB， ∴△FGO∽△FCB， ∴∴GF＝∴
， ， ；
（3）过点F作FH⊥AB于点H， 设OF＝1，则CF＝k，OB＝OC＝k+1， ∵∠COB＝60°， ∴OH＝∴HF＝
在Rt△BHF中， BF＝
，
，
，HB＝OB﹣OH＝k+，
由（2）得：△FGO∽△FCB， ∴
，即
，
∴GO＝，
过点C作CP⊥BD于点P ∵∠CDB＝30° ∴PC＝CD， ∵点E是CD中点， ∴DE＝CD， ∴PC＝DE， ∵DE⊥OE，
∴．
【点评】本题是一道圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答．
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