地震波的吸收

1.对吸收的概括说明

弹性介质是实际介质的近似，实际介质对地震波有吸收。使波传播时能量很快衰减。地震波的能量不可逆地转化成了热能散发掉叫做吸收。

目前公认岩石颗粒之间的内摩擦力是吸收的主要原因，这种内摩擦力也叫粘滞力。

不同的介质中，内摩擦力所遵守的规律不同，其中沃尹特（Voigt）的假设比较有代表性。

2．沃尹特（Voigt）假设下的波动方程 （1）沃尹特假设

前面讨论的完全弹性介质中的波动方程是在应力与应变成正比（虎克定律）的条件下得到的。

沃尹特假设：应力与应变的关系包括两部分，一部分是应力与应变成正比的满足虎克定律的应变，另一部分是应力与应变的时间变化率成比例的粘滞效应。

（2）沃尹特假设的粘弹介质中的波动方程

2u1u (6.1-45) 2()2u2t3ttgradijk

xyz是粘滞系数。

对（6.1-45）求散度，可得纵波的波动方程为：

242[(2)]2 (6.1-46)

3tt对（6.1-45）求旋度，可得横波的波动方程为：

2 2rotu()2rotu (6.1-47)

tt3.沃尹特粘弹介质中一维谐波方程的求解

1

中国地质大学（北京） 应用地震学—§1.3(C) 备课教师：段云卿 （1）求解

分析平面谐波沿X方向传播，以纵波为例。 假设纵波的位移位是：

(x,t)0exj(t)v0ej(tKx) (6.1-48)

vwuvwu （注：波沿x方向传播，=0，=0）

zxyzxyi0j0kuivjwk) (注：ugradxx又uu22K2 (6.1-49)

xx将(6.1-49)代入(6.1-46)，得

2(2)K2jK2

42K （'） (6.1-50)

43(2)j(2)j24323将上式有理化，得

K22{j} 111222222222222[(2)][(2)][(2)]2 (6.1-51) (2)222  β

2

2[(2)]22212cos

[(2)]22212sin

tan

2 2

中国地质大学（北京） 应用地震学—§1.3(C) 备课教师：段云卿 tan1() 2这样，(6.1-51)可写成

K22[(2)222]12exp[jtan1()] 2（ejcosjsin ejcosjsin）

24K[](2)222或K[1141exp[jtan1()]

2224114]{cos[tan1()]jsin[tan1()]} (6.1-52) 222(2)2222令R表示上式中的实数部分，α表示虚数部分，

24则 R[](2)22224[](2)2221141cos[tan1()] (6.1-53)

2241sin[tan1()] (6.1-54)

22于是 KRj (6.1-55) 将(6.1-55)代入(6.1-48)，得

(x,t)0exej(tRx) (6.1-56)

(2)对上述求解过程的大致说明

假设的解为(x,t)0e 真正的解为(x,t)0ej(tKx) （6.1-48）

xej(tRx) （6.1-56）

二者的差别在于衰减项ex，这正是吸收项。

吸收作用的实测结果是随传播距离的增加振幅呈指数衰减，我们正希望最终的解当中出现ex。

分析（6.1-48）只有K变成复数才能出现ex项，可以认为沃尹特已经按这套思路去处理了。

另一点要说明的就是：沃尹特假设下的波动方程（6.1-46）无法求解。所以沃尹特先假设解为（6.1-48）的形式，然后代入（6.1-46）来确定K值。最

3

中国地质大学（北京） 应用地震学—§1.3(C) 备课教师：段云卿 终确定的kRj达到了开始的设想。

（3） 沃尹特介质中的波动方程解（6.1-56）的物理意义 ①有频散

波在沃尹特介质中传播速度是频率的函数，即有频散。

Vk1141[]cos[tan()]222(2)2212 （6.1-57）

均匀介质：Vp2 ，Vs 不同频率的波传播速度不同，结果会改变波剖面的长度。例如：前进中的队伍。 ②波的吸收与频率有关

从解（6.1-56）可见，α是吸收系数。

24[]222(2)141sin[tan1()] (6.1-54)

22介质对不同频率的波吸收不同，（6.1-54）与频率的关系不直观。 目前公认的结果为：

在地震勘探范围内，f<200HZ，α=α0f 高频吸收重，低频吸收轻。 4．品质因数

（1）品质因数的定义

在一个周期内（或传播一个波长的距离内）波动所损耗的能量ΔE与总能量E之比的倒数叫品质因数Q。

即 1E （6.1-62）

Q2E或

2E QE(2)品质因数Q的物理意义

Q值是一个无量纲的量。

Q值越大，介质的吸收越小，介质越接近于完全弹性介质。

4

中国地质大学（北京） 应用地震学—§1.3(C) 备课教师：段云卿 Q值越小，介质的吸收越大。 (3)品质因数Q与吸收系数α之间的关系

设波的初始振幅为A，能量E∝A2

则波传播λ距离后振幅为Ae-αλ，能量E∝A2e-2αλ ΔE∝A2-A2e-2αλ

E1e2 E11e2VpTVp Q2f注：展级数，去高次项。

Qf 吸收系数与品质因数成反比。 Vp当Q值与频率f无关时，则上式成为：

fVpQ0f 这是目前地震频带内公认的结果。

（4） 说明

①用吸收系数研究介质的吸收不方便

因为α与频率有关，所以吸收系数α与震源有关,也与介质有关。 ②用Q值研究介质的吸收较方便

当0f时（在地震频带内经得起实际考验）

则Q值与频率无关，即Q值与震源无关，Q值只与介质有关。即：Q= Q(x,y,z)。又因为Q值横向变化不大，近似有Q= Q(z)。 ③李庆忠经验公式

2.2Q14Vp (Vp单位取km/s)

Vp2.22.2)3.516Vp106 (Vp单位取m/s) 或Q14(1000说明:李氏公式并不是用Vp求取Q，而是可大致了解Q值趋势。不过有工区的 VP资料，可用这个公式建立初始Q值模型，进行理论模型的研究。

5

中国地质大学（北京） 应用地震学—§1.3(C) 备课教师：段云卿 (5)地震中几点经验

① 介质对高频的吸收比对低频的吸收厉害（用0f说明） ② 浅层的吸收比深层的吸收历害。 因为， 浅层：V小，Q小，α大 深层：V大，Q大，α小 ③ 砂岩含油气时比不含油气吸收历害。 有油气，VP小，Q小，α大。

六、说明

§1.3难度较大，该节概括了《弹性力学》的主要内容。

要求了解波动方程的形式，了解波动方程求解的思路。公式不要求推导，但物理概念要清楚。

6