等式性质与不等式性质

课题 等式性质与不等式性质 一 等式的性质 二 不等式的性质 1．不等式的定义 用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 2．判断两个实数大小的理论依据 对于任意实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的方法是： abab0abab0 abab0 由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了． 3.不等式的基本性质 性质1 ab,bcac 性质2 abacbc 性质3 ab,c0acbc 性质4 ab,c0acbc 利用以上基本性质，可以得到不等式的下列性质： 性质5 ab,cdacbd 性质6 ab0,cd0acbd 性质7 ab0ab,(nN,n2). 性质8 ab0nnnanb,(nN,n2). 题型1 不等式的证明 ee例1 若a>b>0，c. 2a－cb－d2[解析] e[b－d2－a－c2]eb－d＋a－cb－d－a＋cee证法一：－＝＝＝2222a－cb－da－cb－da－c2b－d2e[a＋b－c＋d][b－a＋c－d]. a－c2b－d2 ∵a>b>0，c0，c＋d<0，b－a<0，c－d<0，∴(a＋b)－(c＋d)>0，(b－a)＋(c－d)<0. eeee∵e<0，∴e[(a＋b)－(c＋d)][(b－a)＋(c－d)]>0.又∵(a－c)2(b－d)2>0，∴－>0，∴>. a－c2b－d2a－c2b－d2ea－c2b－d2证法二：＝. ∵c－d>0.∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，∴(a－c)2>(b－d)2>0， ea－c2b－d2ea－c2b－d2eeee∴0<<1，∴0<<1.又∵<0，<0，∴>. ea－c2a－c2b－d2a－c2b－d2b－d2变式1：已知a>b>0，c－d>0.∴0<－<－.又∵a>b>0，∴－>－>0. cddc

3－a3－b3a3b3a3b∴>，即－>－.两边同乘以－1，得<. dcdcdc 题型2 比较大小（差比法、商比法） 1、差比法 例2 设x∈R，比较x3与x2－x＋1的大小 解析：x3－(x2－x＋1)＝(x3－x2)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)， ∵x2＋1＞0，∴当x＞1时，x3＞x2－x＋1； 当x＝1时，x3＝x2－x＋1； 当x＜1时，x3＜x2－x＋1. 变式2 ：．已知x＜1，比较x3－1与2x2－2x的大小． 解析：∵x3－1－(2x2－2x) ＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2 1232＝(x－1)(x－x＋1)＝(x－1)[x－2＋]＜0， 4∴x3－1＜2x2－2x. 例3．比较ab5与2aba4a的大小； 解：222ab2252aba24aa2b22ab1a24a4 22ab1a20． 其中等号当且仅当ab1,a 变式3：已知a是实数，试比较2，即a2,b1时成立． 21与1a的大小． 1a当a解：∵ a21(1a)∴ 1a1a0时，1(1a)； 1a 当a1且a0时，11(1a)； 当a1时，(1a)． 1a1aaaa1，则ab；若1，则ab；若1，则ab；反之成立． bbb小结：①作差；②变形；③判断差的符号（与两个实数本身的符号无关）． ２．商比法：对任意两个正实数a、b，若a2b2例4．设ab0，试比较2ab2与ab的大小． aba2b222(ab)2a22abb2ab2解：ab0,ab0. 又． 2ababa2b2ab

a2b2aba2abbab0，∴ 上式大于1，∴ 2>． 2abab2222变式4 ：若ab0，比较aabb与abba的大小． a解法一：a∵ bbabba＝abbb(aabbab) ab0，∴ ab0,bb0，ab0,aabbab．∴ abbaaabb． aabbaabbaaba解法二：ba()()()．ab0，1,ab0． babbab根据函数aayax(a1)在Ｒ上是增函数，则()ab()01． bbaabbba1且abba0，则aabb＜abba． ab说明：（1）用求差比较结果时，通常是做因式分解，利用各因式的符号判断，或是配方利用非负数的性质进行判断． （2）用求商比较结果时应注意与1的大小时，通常不等式两边是以积商幂的形式出现，求商时应注意分母必须a大于零，且注意研究比值特征，利用函数性质来判断．例5：已知－6变式6：设解：设f(x)ax2bx，1f(1)2且2f(1)4．求f(2)的取值范围． f(1)ab,f(1)ab,f(2)4a2b． f(2)mf(1)nf(1)， 即4a2bm(ab)n(ab)(mn)a(nm)b． 4mnm1．f(2)f(1)3f(1)． 2nmn3由1f(1)2得，63f(1)12． 5f(2)f(1)3f(1)14． 练习： 1．已知cb>0，下列不等式中必成立的一个是( ) A．a＋c>b＋d B．a－c>b－d C．ad 解析：∵c－d.又∵a>b>0，∴a－c>b－d.故选B. 2．下列说法正确的个数为( ) ①若a>|b|，则a>b；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b>0，c<0，则>. A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①∵a>|b|≥0，∴a>b成立，∴①正确； ②取a＝2，b＝1，c＝3，d＝－2，则2－3<1－(－2)，故②错误； ③取a＝4，b＝1，c＝－1，d＝－2，则4×(－1)<1×(－2)，故③错误； 11cc④∵a>b>0，∴0<<且c<0，∴>， 2222abcdccababab∴④正确．答案：B 3．若x≠2且y≠－1，则M＝x＋y－4x＋2y的值与－5的大小关系是( ) A．M>－5 B．M<－5 C．M＝－5 D．不能确定 解析：M－(－5)＝x＋y－4x＋2y＋5＝(x－2)＋(y＋1)，∵x≠2且y≠－1，∴(x－2)＋(y＋1)>0，∴M>－5.故选A. 4．设a>b>1，c<0，给出下列三个结论： ①>；②aloga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是( ) A．① B．①② C．②③ D．①②③ 11ccccc解析：由a>b>1，c<0得<，>；幂函数y＝x(c<0)是减函数，所以ab－c，所以logb(a22222222ccabccabab

－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，①②③均正确，选D. 5．若a0，a－c<0，a－b<0， ∴a－b>0.答案：A c－ba－c26．若a>1，且m＝loga(a＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系为( ) A．n>m>p B．m>p>n C．m>n>p D．p>m>n 解析：∵a>1，∴a＋1>2a,2a>a－1. 已知m＝loga(a＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)， ∴m、n、p的大小关系为m>p>n.答案：B 7．已知a>b>c>0，求证：证明：因为所以22ba－ba－ca－c>b>c. ba－ba－c－b＝bb－cbcb－c，－＝.又a>b>c>0，则a－c>0，a－b>0，b－c>0，a－ba－ca－ca－ca－cbb－cb－cbbbcbbc>0，>0，即－>0，－>0，所以>>. a－ba－ca－ca－ba－ca－ca－ca－ba－ca－c8．设f(x)＝(4a－3)x＋b－2a，x∈，若f(0)≤2，f(1)≤2，求a＋b的取值范围． 解：∵f(0)＝b－2a，f(1)＝b＋2a－3， 且f(0)≤2，f(1)≤2， ∴a＝f1－f0＋34，b＝f1＋f0＋323f⇒a＋b＝1＋f0＋917≤. 4417∴a＋b的取值范围是－∞，. 4