北师大版八年级下册数学期中试卷
一．选择题（共 10 小题）
1．已知实数 x， y 满足 是（
）A ． 20 或 16
，则以 x， y 的值为两边长的等腰三角形的周长
B． 20C． 16 D ．以上答案均不对
2．如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=30 °， E 为 BC 延长线上一点，∠ ABC 与∠ ACE 的平 分线相交于点 D ，则∠ D 的度数为（
）
A ． 15° B． 17.5°C． 20° D． 22.5°
3．如图，在△ PAB 中，PA=PB，M ，N ，K 分别是 PA，PB ，AB 上的点，且 AM=BK ，BN=AK ，
若∠ MKN=44 °，则∠ P 的度数为（ A ． 44° B． 66° C． 88° D． 92° 4．如图所示，底边 BC 为 2 则△ ACE 的周长为（ A．2+2
B．2+
）
） C．4
）
，顶角 A 为 120°的等腰△ ABC 中， DE 垂直平分 AB 于 D，
D． 3
5．如图， D 是直角△ ABC 斜边 BC 上一点， AB=AD ，记∠ CAD= α，∠ ABC= β．若 α=10°， 则 β的度数是（
A ． 40° B． 50° C． 60° D．不能确定 6．已知不等式组
的解集是 x≥ 1，则 a 的取值范围是（
）
A ． a＜ 1 B ． a≤ 1 C． a≥ 1 D． a＞ 1
7．当 0＜ x＜ 1 时， x 、 x、 的大小顺序是（
2
2
2）
D．x＜ x
2
A ． x B． ＜ x＜ x C．
＜ x
＜
8．在关于 x、 y 的方程组 数轴上应表示为（
）
中，未知数满足 x≥0， y＞ 0，那么 m 的取值范围在
第1页（共 24页）
A．
D．
B． C．
9．如图，△ ABC 中， AB=6 ， BC=4 ，将△ ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△ BC ，延长 BC 交 AE 于点 D，则线段
CD 的长为（
）
AEF ，使得 AF ∥
A．4B．5
C． 6 D． 7
2
2
10．若 ab=﹣3， a﹣ 2b=5，则 a b﹣ 2ab 的值是（ A．﹣ 15 B．15 C． 2 D．﹣ 8 二．填空题（共
）
10 小题）
11．分解因式： 2a（ b+c）﹣ 3（ b+c）= ．
12．如图，△ ABC 中， BC=5cm ，将△ ABC 沿 BC 方向平移至△ A ′B′C′的对应位置时， A′B′ 恰好经过 AC 的中点 O，则△ ABC 平移的距离为
cm．
13．如图，在 Rt △ ABC 中，∠ B=90 °，AB=BC=2 ，将△ ABC 绕点 C 顺时针旋转 △DEC ，则 AE 的长是 14．不等式组
．
有 3 个整数解，则 m 的取值范围是
．
60°，得到
15．若关于 x 的一元一次不等式组 有解，则 a 的取值范围是 ．
2016
16．若不等式组
的解集是﹣ 1＜ x＜ 1，则（ a+b）=．
17．如图，△ ABC 中， AC=8 ，BC=5 ， AB 的垂直平分线
DE 交 AB 于点 D，交边 AC 于点
E，则△ BCE 的周长为 ．
18．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 48°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．
第2页（共 24页）
19．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在四边形 BC=DC ， AC 与 BD 相交于点 O，下列判断正确的有
ABCD 中， AB=AD ，
．（填序号）．
① AC ⊥ BD ；② AC 、BD 互相平分； ③ AC 平分∠ BCD ；④ ∠ ABC= ∠ ADC=90 °；⑤ 筝形 ABCD 的面积为
．
20．在△ ABC 中， AB=AC=5 ， BC=8 ，点 P 是 BC 上的动点，过点 PE⊥ AC 于 E，则 PD+PE= 三．解答题（共 10 小题） 21．解不等式组
，并写出它的所有整数解．
P 作 PD⊥AB 于点 D，
．
22．分解因式
32
（1） x﹣ 6x+9x ；
2
（ 2） a（ x﹣ y）+4（ y﹣x）．
第3页（共 24页）
23．如图，在平面直角坐标系中，△ C（﹣ 4，1）
ABC 的三个顶点分别为 A （﹣ 1，﹣ 1）， B（﹣ 3，3），
（1）画出△ ABC 关于 y 轴对称的△ A 1B1C1，并写出点 （2）画出△ ABC 绕点 A 按逆时针旋转
B 的对应点 B 1 的坐标；
90°后的△ AB 2C2，并写出点 C 的对应点 C2 的坐标．
24．倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进 B 两种型号健身器材的购买单价分别为每套 购买．
A ，B 两种型号的健身器材若干套，
A ，
310 元， 460 元，且每种型号健身器材必须整套
（ 1）若购买 A ，B 两种型号的健身器材共 50 套，且恰好支出 20000 元，求 A ，B 两种型号健身器
材各购买多少套？
（2）若购买 A ，B 两种型号的健身器材共 50 套，且支出不超过 18000 元，求 A 种型号健身器材至少要购买多少套？
25．某水果商行计划购进
价格 类型 A B
（1）若该商行进贷款为
60 40
A 、 B 两种水果共 200 箱，这两种水果的进价、售价如下表所示：
售价（元 /箱）
进价（元 / 箱）
70 55
1 万元，则两种水果各购进多少箱？
B 种水果进货箱数的
，应怎样进货才能使这批
（2）若商行规定 A 种水果进货箱数不低于
水果售完后商行获利最多？此时利润为多少？
第4页（共 24页）
26．如图，已知直线 y1=﹣ x+1 与 x 轴交于点 A ，与直线 y2=﹣ x 交于点 B． （ 1）求△ AOB 的面积；
（ 2）求 y1＞ y2 时 x 的取值范围．
27．如图，已知∠ BAC=90 °， AD ⊥BC 于点 D，∠ 1=∠ 2， EF∥ BC 交 AC 于点 F．试说明 AE=CF ．
28．如图，在△ ABC 中， DM 、EN 分别垂直平分 EN 相交于点 F．
（1）若△ CMN 的周长为 15cm，求 AB 的长； （2）若∠ MFN=70 °，求∠ MCN 的度数．
AC 和 BC ，交 AB 于 M 、N 两点， DM 与
第5页（共 24页）
29．在△ ABC 中， AB 边的垂直平分线
l1 交 BC 于 D ，AC 边的垂直平分线 l2 交 BC 于 E，
l 1 与 l2 相交于点 O．△ ADE 的周长为
6cm．（1）求 BC 的长；
（2）分别连结 OA 、OB、 OC，若△ OBC 的周长为 16cm，求 OA 的长．
30．如图，△ ABC 与△ AED 中，∠ E= ∠C， DE=BC ， EA=CA ，过DE 交 CB 的延长线于点 G，连接 AG ． （1）求证： GA 平分∠ DGB ； （2）若 S 四边形 DGBA=6， AF=
，求 FG 的长．
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A 作 AF ⊥ DE 垂足为 F，
北师大版八年级下册数学期中试卷
参与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1．（ 2016?安顺）已知实数 x， y 满足 三角形的周长是（ A．20 或 16 B．20 C． 16
D．以上答案均不对
）
，则以 x， y 的值为两边长的等腰
【分析】 根据非负数的意义列出关于 x、y 的方程并求出 x、y 的值，再根据 x 是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【解答】 解：根据题意得
，
解得
，
（ 1）若 4 是腰长，则三角形的三边长为： 4、 4、 8，不能组成三角形；
（ 2）若 4 是底边长，则三角形的三边长为： 4、8、 8，能组成三角形，周长为 4+8+8=20． 故选 B．
【点评】 本题考查了等腰三角形的性质、
非负数的性质及三角形三边关系；
解题主要利用了
非负数的性质， 分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．
2．（ 2016?枣庄）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=30 °， E 为 BC 延长线上一点，∠ ABC 与∠ ACE 的平分线相交于点
D，则∠ D 的度数为（
）
A ． 15° B． 17.5°C． 20° D． 22.5° 【分析】 先根据角平分线的定义得到∠
1=∠ 2，∠ 3=∠ 4，再根据三角形外角性质得∠
1+∠
2=∠ 3+∠ 4+∠ A ，∠ 1= ∠ 3+∠ D，则 2∠1=2∠ 3+∠A ，利用等式的性质得到∠ D= ∠ A，然
后把∠ A 的度数代入计算即可．
【解答】 解：∵∠ ABC 的平分线与∠ ACE 的平分线交于点
D，
第7页（共 24页）
∴∠ 1=∠ 2，∠ 3=∠ 4， ∵∠ ACE= ∠A +∠ ABC ， 即∠ 1+∠ 2=∠ 3+∠ 4+∠ A ， ∴ 2∠ 1=2∠3+∠ A ， ∵∠ 1=∠ 3+∠ D，
∴∠ D= ∠ A=
×30°=15 °．
故选 A．
【点评】 本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是 180°和三角形外角性质进行分析．
3．（ 2016?泰安）如图，在△ PAB 中， PA=PB ， M ，N ， K 分别是 PA，PB ， AB 上的点，且 AM=BK ， BN=AK ，若∠ MKN=44 °，则∠ P 的度数为（
）
A ． 44° B． 66° C． 88° D． 92°
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ A= ∠B ，证明△ AMK ≌△ BKN ，得到∠ AMK= ∠BKN ，根据三角形的外角的性质求出∠ A= ∠MKN=44 °，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】 解：∵ PA=PB ， ∴∠ A=∠B，
在△ AMK 和△ BKN 中，
，
∴△ AMK ≌△ BKN ， ∴∠ AMK= ∠BKN ，
∵∠ MKB= ∠ MKN +∠ NKB= ∠ A+∠ AMK ， ∴∠ A= ∠ MKN=44 °，
∴∠ P=180°﹣∠ A ﹣∠ B=92 °， 故选： D．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、 全等三角形的判定和性质、 三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．
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4．（ 2016?雅安）如图所示，底边 BC 为 2 分 AB 于 D，则△ ACE 的周长为（ ）
，顶角 A 为 120°的等腰△ ABC 中， DE 垂直平
A．2+2 B．2+ C．4 D． 3
【分析】 过 A 作 AF ⊥ BC 于 F，根据等腰三角形的性质得到∠ 根据线段垂直平分线的性质得到 ∵AB=AC ，∠ A=120 °， ∴∠ B=∠ C=30 °， ∴AB=AC=2 ，
∵DE 垂直平分 AB ， ∴BE=AE ， ∴AE +CE=BC=2 故选： A．
，
，
∴△ ACE 的周长 =AC +AE +CE=AC +BC=2 +2
BE=AE ，即可得到结论．
【解答】 解：过 A 作 AF ⊥BC 于 F，
B= ∠ C=30°，得到 AB=AC=2 ，
【点评】 本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含
30 度角的直角三角形性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．
5．（2016?庄河市自主招生） 如图，D 是直角△ ABC 斜边 BC 上一点， AB=AD ，记∠ CAD= α， ∠ABC= β．若 α=10 °，则 β的度数是（ ）
A ． 40° B． 50° C． 60° D．不能确定
【分析】 根据 AB=AD ，可得出∠ B= ∠ADB ，再由∠ ADB= α+∠C，可得出∠ C=β﹣ 10°，再根据三角形的内角和定理得出 β即可． 【解答】 解：∵ AB=AD ， ∴∠ B=∠ ADB ，
∵α=10 °，∠ ADB= α+∠C， ∴∠ C=β﹣ 10°，
第9页（共 24页）
∵∠ BAC=90 °， ∴∠ B+∠C=90 °， 即 β+β﹣ 10°=90°， 解得 β=50 °， 故选 B．
【点评】 本题考查了等腰三角形的性质、 三角形的内角和定理以及三角形外角的性质， 是基础知识要熟练掌握．
6．（ 2016?来宾）已知不等式组 的解集是 x≥1，则 a 的取值范围是（ ）
A ． a＜ 1 B ． a≤ 1 C． a≥ 1 D． a＞ 1
【分析】 利用不等式组取解集的方法判断确定出 【解答】 解：∵等式组
的解集是 x≥1，
a 的范围即可．
∴ a＜ 1， 故选 A
【点评】 此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
7．（ 2016?大庆）当 0＜ x＜ 1 时， x 、 x、 的大小顺序是（
2
2
2
2）
A ． x B． ＜ x＜ x C． ＜ x D．x＜ x ＜
【分析】 先在不等式 0＜ x＜ 1 的两边都乘上 x，再在不等式 所得结果进行判断即可．
【解答】 解：当 0＜x＜ 1 时，
0＜ x＜ 1 的两边都除以 x，根据
2
在不等式 0＜ x＜ 1 的两边都乘上 x，可得 0＜ x＜ x，
在不等式 0＜ x＜ 1 的两边都除以 x，可得 0＜1＜ ， 又∵ x＜ 1，
2∴x、 x、
故选 A
2
的大小顺序是： x＜ x＜ ．
【点评】 本题主要考查了不等式， 解决问题的关键是掌握不等式的基本性质． 不等式的两边
同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若
a＞ b，且 m＞ 0，那么 am＞
bm 或 ＞ ．
8．（ 2016?绵阳）在关于 x、 y 的方程组 的取值范围在数轴上应表示为（
）
中，未知数满足 x≥ 0，y＞ 0，那么 m
第 10 页（共 24 页）
A．
D．
B． C．
【分析】 把 m 看做已知数表示出方程组的解，根据 轴上即可．
x≥ 0， y＞ 0 求出 m 的范围，表示在数
【解答】 解：
，
① ×2﹣ ② 得： 3x=3m +6，即 x=m +2， 把 x=m +2 代入 ② 得： y=3 ﹣m， 由 x≥ 0， y＞ 0，得到
，
解得：﹣ 2≤ m＜ 3， 表示在数轴上，如图所示：
，
故选 C
【点评】 此题考查了解一元一次不等式组， 二元一次方程组的解， 以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（ 2016?朝阳）如图， △ ABC 中，AB=6 ，BC=4 ，将△ ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△ AEF ， 使得 AF ∥ BC ，延长 BC 交 AE 于点 D，则线段
CD 的长为（
）
A．4
B．5 C．6 D．7
=
，求出 BD 即可解决问题．
【分析】 只要证明△ BAC ∽△ BDA ，推出 【解答】 解：∵ AF ∥ BC， ∴∠ FAD= ∠ ADB ， ∵∠ BAC= ∠ FAD ， ∴∠ BAC= ∠ ADB ， ∵∠ B=∠B，
∴△ BAC ∽△ BDA ， ∴
= ，
∴ = ，
∴ BD=9 ，
∴CD=BD ﹣ BC=9 ﹣4=5 ， 故选 B．
第 11 页（共 24 页）
【点评】 本题考查平行线的性质、旋转变换、 相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，属于中考常考题型．
2 2
10．（ 2016?赵县模拟）若 ab=﹣3， a﹣ 2b=5，则 a b﹣2ab 的值是（ A．﹣ 15 B．15 C．2 D．﹣ 8 【分析】 直接将原式提取公因式 ab，进而分解因式得出答案． 【解答】 解：∵ ab=﹣ 3， a﹣ 2b=5， a b﹣ 2ab =ab（a﹣ 2b） =﹣3× 5= ﹣ 15． 故选： A．
2
2
）
【点评】 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 二．填空题（共 10 小题）
11．（2016?南京）分解因式： 2a（b+c）﹣ 3（b+c） = 【分析】 直接提取公因式 b+c 即可． 【解答】 解：原式 =（b+c）（ 2a﹣3）， 故答案为：（ b+c）（ 2a﹣ 3）．
【点评】 此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．
（ b+c）（ 2a﹣ 3）
．
12．（2016?泰州）如图，△ ABC 中， BC=5cm ，将△ ABC 沿 BC 方向平移至△ A ′B′C′的对应位置时， A ′B′恰好经过 AC 的中点 O，则△ ABC 平移的距离为 2.5 cm．
【分析】 根据平移的性质：对应线段平行，以及三角形中位线定理可得 出 BB ′即为所求．
【解答】 解：∵将△ ABC 沿 BC 方向平移至△ ∴A ′B′∥ AB ， ∵O 是 AC 的中点， ∴B ′是 BC 的中点，
∴BB ′=5÷ 2=2.5（ cm）． 故△ ABC 平移的距离为 2.5cm． 故答案为： 2.5．
【点评】 考查了平移的性质，平移的基本性质：
A ′B′C′的对应位置，
B′是 BC 的中点，求
① 平移不改变图形的形状和大小；
② 经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 13．（ 2016?巴彦淖尔）如图，在
Rt △ ABC 中，∠ B=90 °，AB=BC=2 ，将△ ABC 绕点 C 顺时
+
．
针旋转 60°，得到△ DEC，则 AE 的长是
第 12 页（共 24 页）
【分析】 如图，连接 AD ，由题意得： CA=CD ，∠ ACD=60 °，得到△ ACD 为等边三角形根
据 AC=AD ，CE=ED ，得出 AE 垂直平分 DC ，于是求出 EO= DC= 最终得到答案 AE=EO +OA=+ 【解答】 解：如图，连接 AD ， ∴△ ACD 为等边三角形， ∵∠ ABC=90 °， AB=BC=2 ， ∴AC=AD=2
，
∵AC=AD ， CE=ED ， ∴AE 垂直平分 DC ， ∴EO=
DC=
．
，OA=AC ?sin60°= ，
由题意得： CA=CD ，∠ ACD=60 °，
∴AD=CA ，∠ DAC= ∠ DCA= ∠ ADC=60 °；
， OA=CA ?sin60°=
+ ，
，
∴AE=EO +OA= 故答案为
+ ．
【点评】本题考查了图形的变换﹣旋转， 等腰直角三角形的性质， 等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．
14．（ 2016?龙东地区）不等式组 有 3 个整数解，则 m 的取值范围是 2＜ m≤ 3 ．
【分析】 首先确定不等式组的整数解，然后根据只有这三个整数解即可确定． 【解答】 解：不等式的整数解是 故答案是： 2＜ m≤ 3．
【点评】 本题考查了一元一次不等式组的解法： 解一元一次不等式组时， 一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大 中间找；大大小小找不到．
0， 1， 2．则 m 的取值范围是 2＜ m≤ 3．
第 13 页（共 24 页）
15．（ 2016?如皋市校级二模）若关于 x 的一元一次不等式组 取值范围是
a＜ 1 ．
有解，则 a 的
【分析】 不等式组中两不等式分别求出解集，由不等式组有解确定出 【解答】 解：不等式整理得：
a 的范围即可．
，
由不等式有解，得到 则 a 的范围是 a＜ 1，故答案为： a＜ 1
a＜ 1，
【点评】 此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
2016
16．（ 2016?枣阳市模拟） 若不等式组
【分析】 解出不等式组的解集，与已知解集﹣ 加求出 2016 次方，可得最终答案．
的解集是﹣ 1＜ x＜ 1，则（ a+b） = 1 ．
1＜ x＜ 1 比较，可以求出 a、 b 的值，然后相
【解答】 解：由不等式 x﹣ a＞2 得 x＞ a+2，由不等式 b﹣ 2x＞0 得 x＜ ∵﹣ 1＜ x＜1，
b，
∴ a+2=﹣ 1， b=1 ∴ a=﹣ 3， b=2，
2016
2016
∴（ a+b） =（﹣ 1） 故答案为 1．
=1．
【点评】 本题是已知不等式组的解集，
求不等式中另一未知数的问题．
可以先将另一未知数
当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得零一个未知数．
17．（ 2016?长沙）如图，△ ABC 中， AC=8 ， BC=5 ， AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，则△ BCE 的周长为 13 ．
【分析】 根据线段的垂直平分线的性质得到 【解答】 解：∵ DE 是 AB 的垂直平分线， ∴EA=EB ，
EA=EB ，根据三角形的周长公式计算即可．
则△ BCE 的周长 =BC +EC+EB=BC +EC+EA=BC +AC=13 ，故答案为： 13．
【点评】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质， 个端点的距离相等是解题的关键．
第 14 页（共 24 页）
掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两
18．（ 2016?通辽）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 48°，则该等腰三角形的底角的度数为 69°或 21° ．
【分析】 分两种情况讨论： ① 若∠ A ＜ 90°；② 若∠ A ＞ 90°；先求出顶角∠ BAC ，再利用三角形内角和定理即可求出底角的度数． 【解答】 解：分两种情况讨论： ① 若∠ A ＜ 90°，如图 1 所示： ∵BD ⊥AC ，
∴∠ A +∠ ABD=90 °， ∵∠ ABD=48 °，
∴∠ A=90 °﹣ 48°=42 °， ∵ AB=AC ，
∴∠ ABC= ∠ C=
（ 180°﹣ 42°） =69°；
② 若∠ A ＞ 90°，如图 2 所示：
同① 可得：∠ DAB=90 °﹣48°=42°， ∴∠ BAC=180 °﹣ 42°=138 °， ∵ AB=AC ， ∴∠ ABC= ∠ C=
（ 180°﹣ 138°）=21 °；
综上所述：等腰三角形底角的度数为 故答案为： 69°或 21°．
69°或 21°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义； 注意分类讨论方法的运用，避免漏解．
19．（ 2016?南京一模）两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形． 中，AB=AD ，BC=DC ，AC 与 BD 相交于点 O，下列判断正确的有
如图， 在四边形 ABCD
①③⑤
．（填序号）．
① AC ⊥ BD ；② AC 、BD 互相平分； ③ AC 平分∠ BCD ；④ ∠ ABC= ∠ ADC=90 °；⑤ 筝形
ABCD 的面积为 ．
第 15 页（共 24 页）
【分析】 根据题意 AB=AD ，BC=DC ，AC 与 BD 相交于点 O 可以证明△ ABC ≌△ ADC 、△
ABO ≌△ ADO ，可得 AC 、 BD 互相垂直， AC 平分∠ BAD 、∠ BCD ． 【解答】 解：∵在△ ABC 与△ ADC 中，
，
∴△ ABC ≌△ ADC （ SSS）．
∴∠ BAO= ∠ DAO ，∠ BCO= ∠ DCO ，即 AC 平分∠ BCD ．故 ③ 正确； ∵AC 平分∠ BAD 、∠ BCD ，△ ABD 与△ BCD 均为等腰三角形， ∴AC 、 BD 互相垂直，但不平分．故
① 正确， ② 错误；
222
当 AC ≠ AB +BC 时，∠ ABC ≠ 90°．同理∠ ADC ≠90°．故 ④ 错误；
∵AC 、 BD 互相垂直，
∴筝形 ABCD 的面积为：
AC ?BO+ AC ?OD= AC ?BD ．
故⑤ 正确；
综上所述，正确的说法是 ①③⑤ 故答案是： ①③⑤
．
．
【点评】 本题考查线段垂直平分线的性质、 三角形全等的判定方法， 判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、 SAS、 ASA 、AAS 、HL ．再运用全等三角形的性质可得相应的结论．
20．（ 2016?龙岩模拟）在△ ABC 中， AB=AC=5 ， BC=8 ，点 P 是 BC 上的动点，过点
P 作
PD⊥ AB 于点 D， PE⊥ AC 于 E，则 PD+PE= ．
【分析】 作 AF ⊥ BC 于 F，根据等腰三角形三线合一的性质得出 BF=CF= BC=4 ，然后根
据勾股定理求得 AF=3 ，连接 AP，由图可得： SABC =SABP+SACP ，代入数值，解答出即可． 【解答】 解：作 AF⊥ BC 于 F， ∵ AB=AC ，
第 16 页（共 24 页）
∴ BF=CF= BC=4 ，
∴AF=
=3．
连接 AP，
由图可得， SABC =SABP+SACP，
∵PD ⊥AB 于 D， PE⊥ AC 于 E， AB=AC=5 ， ∵S△ APB+S△APC=S△ ABC ，
∴ × 5×PD + × 5×PE= × 8×3，
∴PD +PE=
． ．
故答案为
【点评】 本题主要考查了等腰三角形的性质， 解答时注意， 将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．
三．解答题（共 10 小题）
21．（ 2016?南通）解不等式组 ，并写出它的所有整数解．
【分析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集， 【解答】 解：
从而可以求得它的所有整数解．
由① ，得 x＜2， 由② ，得 x＞﹣ 4， 故原不等式组的解集是﹣
4＜x＜ 2，
x= ﹣ 3，﹣ 2，﹣ 1， 0， 1．
解一元一次不等式组， 解题的关键是明确解
∴这个不等式组的所有整数解是 一元一次不等式的方法．
22．（ 2016?邹平县一模）分解因式
32
（ 1） x﹣ 6x+9x ；
2
（ 2） a（ x﹣ y） +4（ y﹣ x）．
【分析】（ 1）原式提取 x，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【点评】 本题考查一元一次不等式组的整数解、
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22
【解答】 解：（ 1）原式 =x （ x﹣6x+9） =x（ x﹣ 3） ；
22
（2）原式 =a（ x﹣ y）﹣ 4（ x﹣ y） =（ x﹣y）（ a﹣ 4） =（ x﹣ y）（ a+2）（ a﹣2）．
【点评】 此题考查了因式分解﹣分组分解法， 解本题的关键．
23．（ 2016?钦州）如图，在平面直角坐标系中，△ B（﹣ 3，3）， C（﹣ 4，1）
（1）画出△ ABC 关于 y 轴对称的△ A 1B1C1，并写出点 （2）画出△ ABC 绕点 A 按逆时针旋转
B 的对应点 B 1 的坐标；
90°后的△ AB 2C2，并写出点 C 的对应点 C2 的坐标．
ABC 的三个顶点分别为
A （﹣ 1，﹣ 1），
以及提公因式法， 熟练掌握因式分解的方法是
【分析】（ 1）补充成网格结构，然后找出点 A 、 B 、C 关于 y 轴的对称点 A 1、 B 1、 C1 的位
B 1 的坐标；
置，再顺次连接即可；再根据平面直角坐标系写出点 标即可．
（2）根据旋转的性质画出△ ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°后的△ AB 2C2，写出点 C2 的坐【解答】 解：（ 1）如图所示，△ A 1B1C1 即为△ ABC 关于 y 轴对称的图形；
则 B 1 的坐标是（ 3，3）； （2）△ ABC 绕点 A 按逆时针旋转
90°后的△ AB 2 C2 是：
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则点 C 的对应点 C2 的坐标是（ 1，2）．
【点评】 本题考查的是轴对称和旋转变换的知识， 向和旋转角，旋转前后的两个图形是全等的．
24．（ 2016?沈阳）倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进 若干套， A ， B 两种型号健身器材的购买单价分别为每套 器材必须整套购买．
（ 1）若购买 A ，B 两种型号的健身器材共 50 套，且恰好支出 20000 元，求 A ，B 两种型号健身器材各购买多少套？
（2）若购买 A ，B 两种型号的健身器材共
50 套，且支出不超过 x 套， B 型器材健身器材
18000 元，求 A 种型号健
y 套，根据： “A ， B 两种
作旋转图形时， 先确定旋转中心、旋转方
A ，B 两种型号的健身器材
310 元， 460 元，且每种型号健身
身器材至少要购买多少套？
【分析】（ 1）设购买 A 种型号健身器材 型号的健身器材共
50 套、共支出 20000 元 ”列方程组求解可得；
（ 2）设购买 A 型号健身器材 m 套，根据： A 型器材总费用 +B 型器材总费用≤ 18000，列不等式求解可得．
【解答】 解：（ 1）设购买 A 种型号健身器材 x 套， B 型器材健身器材 y 套， 根据题意，得：
，
解得：
，
20 套， B 型器材健身器材 30 套．
答：购买 A 种型号健身器材
（ 2）设购买 A 型号健身器材 m 套，
根据题意，得： 310m+460（ 50﹣ m）≤ 18000， 解得： m≥ 33 ，
∵m 为整数，
∴m 的最小值为 34，
答： A 种型号健身器材至少要购买 不等关系是解题的关键．
34 套．
审清题意得到相等关系或
【点评】 本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式的应用，
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25．（ 2016?钦州）某水果商行计划购进 A 、B 两种水果共 200 箱，这两种水果的进价、售价如下表所示：
价格 类型 A B
（1）若该商行进贷款为
60 40
70 55
进价（元 / 箱）
售价（元 /箱）
1 万元，则两种水果各购进多少箱？
B 种水果进货箱数的
，应怎样进货才能使这批
（2）若商行规定 A 种水果进货箱数不低于
水果售完后商行获利最多？此时利润为多少？
【分析】（ 1）根据题意可以得到相应的方程，从而可以得到两种水果各购进多少箱；
（2）根据题意可以得到利润与甲种水果的关系式和水果 A 与 B 的不等式， 从而可以解答本题． 【解答】 解：（ 1）设 A 种水果进货 x 箱，则 B 种水果进货（ 200﹣ x）箱， 60x+40（ 200﹣ x） =10000， 解得， x=100 ， 200﹣ x=100 ，
即 A 种水果进货 100 箱， B 种水果进货 100 箱； （2）设 A 种水果进货 ∵﹣ 5＜ 0，
∴w 随着 x 的增大而减小，
x 箱，则 B 种水果进货（ 200﹣ x）箱，售完这批水果的利润为
w，
则 w=（ 70﹣ 60） x+（ 55﹣ 40）（ 200﹣ x） =﹣5x+3000，
∵x≥
，
解得， x≥ 50，
当 x=50 时， w 取得最大值，此时
w=2750 ，
2750 元．
列出相应的方
即进货 A 种水果 50 箱， B 种水果 150 箱时，获取利润最大，此时利润为 【点评】 本题考查一元一次不等式和一元一次方程， 程和不等式．
解题的关键是明确题意，
26．（ 2016?曲靖）如图，已知直线 y1=﹣
x+1 与 x 轴交于点 A ，与直线 y2=﹣ x 交于点 B ．
（ 1）求△ AOB 的面积；
（ 2）求 y1＞ y2 时 x 的取值范围．
【分析】（ 1）由函数的解析式可求出点 （2）结合函数图象即可求出
A 和点 B 的坐标，进而可求出△ AOB 的面积；
y1＞ y2 时 x 的取值范围．
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【解答】 解：
（ 1）由 y1=﹣ x+1，
可知当 y=0 时， x=2 ， ∴点 A 的坐标是（ 2， 0）， ∴ AO=2 ，
∵ y1=﹣ x+1 与直线 y2=﹣ x 交于点 B ，
∴B 点的坐标是（﹣ 1， 1.5），
∴△ AOB 的面积 =
× 2×1.5=1.5 ；
（ 2）由（ 1）可知交点 B 的坐标是（﹣ 1， 1.5），
由函数图象可知 y1 ＞ y2 时 x＞﹣ 1．
【点评】 本题考查了一次函数与一元一次不等式、
数形结合的数学思想， 即学生利用图象解
决问题的方法，这也是一元一次不等式与一次函数知识的具体应用． 27．（ 2016?海淀区校级模拟）如图，已知∠
BAC=90 °，AD ⊥ BC 于点 D，∠ 1=∠ 2，EF∥ BC
交 AC 于点 F．试说明 AE=CF ．
【分析】作 EH⊥ AB 于 H，作 FG⊥ BC 于 G，根据角平分线的性质可得 则 EH=FG ，通过证明△ AEH ≌△ CFG 即可． 【解答】 解：作 EH⊥ AB 于 H，作 FG⊥ BC 于 G， ∵∠ 1=∠ 2，AD ⊥ BC， ∴EH=ED （角平分线的性质） ∵EF∥BC， AD ⊥ BC ， FG⊥BC， ∴四边形 EFGD 是矩形，
∴ED=FG ， ∴EH=FG ，
∵∠ BAD +∠ CAD=90 °，∠ C+∠
EH=ED ，再证 ED=FG ，
CAD=90 °， ∴∠ BAD= ∠ C， 又∵∠ AHE= ∠ FGC=90 °， ∴△ AEH ≌△ CFG （AAS ） ∴ AE=CF ．
【点评】 本题考查了角平分线的性质；综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、 三角形的判定等知识点．
全等
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28．（ 2016 春?吉州区期末）如图，在△ ABC 中， DM 、EN 分别垂直平分 AC 和 BC ，交 AB 于 M、N 两点， DM 与 EN 相交于点 F．
（1）若△ CMN 的周长为 15cm，求 AB 的长； （2）若∠ MFN=70 °，求∠ MCN 的度数．
【分析】（ 1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 然后求出△ CMN 的周长 =AB ；
AM=CM ，BN=CN ，
（ 2）根据三角形的内角和定理列式求出∠ MNF +∠ NMF ，再求出∠ A +∠ B，根据等边对等角
可得∠ A= ∠ ACM ，∠ B= ∠BCN ，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】 解：（ 1）∵ DM 、 EN 分别垂直平分 AC 和 BC， ∴AM=CM ， BN=CN ，
∴△ CMN 的周长 =CM +MN +CN=AM +MN +BN=AB ， ∵△ CMN 的周长为 15cm， ∴AB=15cm ；
（2）∵∠ MFN=70 °，
∴∠ MNF +∠ NMF=180 °﹣ 70°=110°， ∵∠ AMD= ∠NMF ，∠ BNE= ∠ MNF ，
∴∠ AMD +∠ BNE= ∠ MNF +∠NMF=110 °，
∴∠ A +∠ B=90 °﹣∠ AMD +90°﹣∠ BNE=180 °﹣110°=70°， ∵AM=CM ， BN=CN ，
∴∠ A=∠ACM ，∠ B=∠BCN，
∴∠ MCN=180 °﹣ 2（∠ A +∠ B） =180 °﹣ 2× 70°=40°．
【点评】 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质， 性质，三角形的内角和定理， （ 2）整体思想的利用是解题的关键．
等边对等角的
29．（2016 秋 ?太仓市期中）在△ ABC 中， AB 边的垂直平分线 l1 交 BC 于 D ，AC 边的垂直平分
线 l2 交 BC 于 E， l1 与 l2 相交于点 O．△ ADE 的周长为 6cm． （ 1）求 BC 的长；
（ 2）分别连结 OA 、OB、 OC，若△ OBC 的周长为 16cm，求 OA 的长．
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【分析】（ 1）先根据线段垂直平分线的性质得出
AD=BD ， AE=CE ，再根据
AD +DE+AE=BD +DE +CE 即可得出结论； （2）先根据线段垂直平分线的性质得出
OA=OC=OB ，再由∵△ OBC 的周长为 16cm 求出
OC 的长，进而得出结论．
【解答】 解：（ 1）∵ DF、 EG 分别是线段 AB 、AC 的垂直平分线， ∴AD=BD ， AE=CE ，
∴AD +DE+AE=BD +DE +CE=BC ，
∵△ ADE 的周长为 6cm，即 AD +DE+AE=6cm ， ∴ BC=6cm ；
（2）∵ AB 边的垂直平分线 ∴OA=OC=OB ，
∵△ OBC 的周长为 16cm，即 OC+OB +BC=16 ， ∴OC+OB=16 ﹣ 6=10， ∴ OC=5 ， ∴OA=OC=OB=5 ．
l1 交 BC 于 D ， AC 边的垂直平分线
l 2 交 BC 于 E，
【点评】 本题考查的是线段垂直平分线的性质， 即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
30．（ 2016 秋 ?哈尔滨校级月考）如图，△ 求证： GA 平分∠ DGB ；
ABC 与△ AED 中，∠ E=∠ C， DE=BC ，EA=CA ，
过 A 作 AF ⊥ DE 垂足为 F， DE 交 CB 的延长线于点 G，连接 AG ．（1）
（2）若 S 四边形 DGBA=6， AF=
，求 FG 的长．
【分析】（ 1）先过点 A 作 AH ⊥ BC 于 H ，判定△ ABC ≌△ AED ，得出 AF=AH ，再判定 Rt △AFG ≌ Rt△ AHG ，即可得出∠ AGF= ∠ AGH ；
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（ 2）先判定 Rt△ ADF ≌ Rt△ ABH ，得出 S 四边形 DGBA =S 四边形 AFGH =6，再根据 Rt△ AFG ≌Rt △AHG ，求得 Rt△AFG 的面积 =3，进而得到 FG 的长．【解答】 解：（1）过点 A 作 AH ⊥BC 于 H， ∵△ ABC 与△ AED 中，∠ E=∠ C， DE=BC ， EA=CA ， ∴△ ABC ≌△ AED （ SAS）， ∴S△ ABC =S△AED ， 又∵ AF⊥DE，
即 × DE×AF=
× BC×AH ，
∴ AF=AH ，
又∵ AF⊥ DE ， AH ⊥ BC， AG=AG ， ∴ Rt △ AFG ≌ Rt△ AHG （ HL ）， ∴∠ AGF= ∠ AGH ， 即 GA 平分∠ DGB ；
（ 2）∵△ ABC ≌△ AED ，
∴AD=AB ，
又∵ AF⊥ DE ， AH ⊥ BC， AF=AH ，
∴Rt △ ADF ≌ Rt△ ABH （ HL ），
∴S 四边形 DGBA =S 四边形 AFGH =6，
∵ Rt △ AFG ≌ Rt△ AHG ， ∴Rt △ AFG 的面积 =3，
∵ AF= ，
∴ ×FG× =3，
解得 FG=4 ．
【点评】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质， 角形，解题时注意：全等三角形的面积相等．
解决问题的关键是作辅助线构造全等三
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