高中数学破题致胜微方法(直线与双曲线的位置关系)：2.直线与双曲线只有一个公共点

 今天我们研究直线与双曲线只有一个公共点。直线方程与双曲线方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程或一元一次方程，则（1）一元一次方程情形，直线与双曲线有一个公共点等价于直线与双曲线的渐近线平行；（2）一元二次方程情形，直线与双曲线有一个公共点等价于直线与双曲线相切。 先看例题： x22例：若双曲线C:2y1a0与直线l:xy1相切，则a =（ ） a解：将直线方程与双曲线方程联立得 (1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0 于是有： 1－a204a8a(1－a)＝0解得a 整理： 422 2 x2y2设直线l:ykxm，双曲线221(a0,b0)联立解得 ab (bak)x2amkxamab0 222222222222（1）若bak0即kb，且m0时， ab， a222222 直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 222（2）若bak0即k (2amk)4(bak)(amab) 0直线与双曲线相切，有一个公共点。 222注意：相切并不代表只有一个公共点，我们可以从解析性质清楚的看到这一点。 再看一个例题，加深印象 x22例：若双曲线C:2y1a0与直线l:xy1只有一个公共点，则a =（ ） a解：将直线方程与双曲线方程联立得 (1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0 （1）直线与双曲线相切， 1－a204a8a(1－a)＝02 422 解得a（2）直线与双曲线渐近线平行， 1a2=0，解得a1 综上有a1或2 总结： 1.直线与双曲线只有一个公共点的直线有两种：一种是与渐近线平行，与双曲线交于一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线。 2.直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。 练习： 1．若一直线l平行于双曲线的一条渐近线，则l与双曲线的公共点个数为 ． x2y21有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的2. 过点P(7,5)与双曲线725方程。 答案： 1. 2. 解：若直线的斜率不存在时，则x7，此时仅有一个交点(7,0)，满足条件； 若直线的斜率存在时，设直线的方程为y5k(x7)则ykx5k7， x2(kx5k7)21， 72522∴25x7(kx5k7)725， (257k2)x272kx(5k7)(5k7)27250， 当k225222时，令[14k(5k7)]4(257k)[(5k7)165]0， 7化简得：k无解，所以不满足条件； 所以满足条件的直线有两条x7和y57x10。 7