一、选择题（本题共10题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且仅有个答案是正确的，请用2B铅笔在答题卡上将正确的答案代号涂黑.
1．将一元二次方程2x2+7＝9x化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A．2，9
B．2，7
C．2，﹣9
D．2x2，﹣9x
2．已知反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（ ） A．（﹣6，﹣1）
B．（3，﹣2）
C．（﹣2，﹣3）
D．（1，6）
3．下列说法中不正确的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件
B．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件 C．任意打开九年级下册数学教科书，正好是第38页是确定事件
D．一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6
4．某超市一月份的营业额为10万元，一至三月份的总营业额为45万元，若平均每月的增长率为x，则依题意列方程为（ ） A．10（1+x）2＝45 C．10+10×3x＝45
B．10+10×2x＝45
D．10[1+（1+x）+（1+x）2]＝45
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为（ ）
A． B．3 C．2 D．4
6．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C，那么点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣3，3） B．（3，﹣3） C．（﹣2，4） D．（1，4）
7．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI、BD、DC．下列说法中错误的一项是（ ）
A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合 B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合 C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合 D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合
8．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为
，则a的值是（ ）
A．2 B．2+ C．2 D．2+
9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞2．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．当﹣2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4， 则实数m的值为（ ）A．2
B．2或
C．2或
或
D．2或
或
二、填空题：（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．若方程（m2﹣2）x2﹣3＝0有一个根是1，则m的值是 ． 12．已知反比例函数y＝
图象位于一、三象限，则m的取值范围是 ．
13．在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是．如果再往盒中放进6颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是颗．
14．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，则三辆车全部同向而行的概率是 ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝得到Rt△ADE，点B经过的路径为
，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后
，则原来盒中有白色棋子
，则图中阴影部分的面积是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为
，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为 ．
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．（6分）已知平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y＝的图象上，过点A的直线y＝x+b交x轴于点B． （1）求反比例函数解析式； （2）求△OAB的面积．
18．（6分）如图，⊙C经过原点，并与两坐标轴分别相交于A，D两点，已知∠OBA＝30°，点A的坐标为（4，0），求圆心C的坐标．
19．（7分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且（1+x1）（1+x2）＝3，求k的值． 20．（7分）如图，已知二次函数y＝a（x﹣h）2+（1）写出该函数图象的对称轴；
（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？
的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
21．（8分）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y＝﹣2x+100．（利润＝售价﹣制造成本）
（1）求出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价在35≤x≤40元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？
22．（8分）在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点M的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点M的纵坐标y，求点M（x，y）落在直线y＝﹣x+5上的概率． 23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的直线PC垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，AC平分∠DAB，弦CE平分∠ACB，交 AB于点F．
（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）当∠P＝30°，AB＝10时，求PF的长．
24．（10分）如图，已知四边形ABCD是正方形AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，
过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG． （1）求证：DE＝EF；
（2）探究CE+CG的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； （3）当四边形DEFG面积为5时，求CG的长．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C． （1）求抛物线的表达式；
（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；
（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2018-2019学年湖北省十堰市九年级（上）期末数学试卷
参与试题解析
一、选择题（本题共10题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且仅有个答案是正确的，请用2B铅笔在答题卡上将正确的答案代号涂黑.
1．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：2x2+7＝9x化成一元二次方程一般形式是2x2﹣9x+7＝0，则它的二次项系数是2，一次项系数是﹣9． 故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数，首先要把方程化成一般形式．
2．【分析】由题意可求反比例函数解析式，将选项中点的坐标代入可求解． 【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣3）， ∴k＝2×（﹣3）＝﹣6 ∴反比例函数解析式为：y＝
当x＝﹣6时，y＝1，则选项A错误； 当x＝3时，y＝﹣2，则选项B正确； 当x＝﹣2时，y＝3，则选项C错误； 当x＝1时，y＝﹣6则选项D错误； 故选：B．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数图象的解析式是本题的关键．
3．【分析】直接利用随机事件的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，正确，不合题意； B、把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件，正确，不合题意； C、任意打开九年级下册数学教科书，正好是第38页是随机事件，故此选项错误，符合题意； D、一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个除了颜色外都相同）．如果从中任取一
个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6，正确，不合题意． 故选：C．
【点评】此题主要考查了随机事件，正确把握随机事件的定义是解题关键．
4．【分析】设平均每月的增长率为x，则二月份的营业额为10（1+x）万元，三月份的营业额为10（1+x）2万元，由一至三月份的总营业额为45万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设平均每月的增长率为x，则二月份的营业额为10（1+x）万元，三月份的营业额为10（1+x）2万元，
依题意，得：10[1+（1+x）+（1+x）2]＝45． 故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．【分析】如图，首先证得OA⊥BC；然后由圆周角定理推知∠C＝30°，通过解直角△ACD可以求得CD的长度．则BC＝2CD．
【解答】解：如图，设AO与BC交于点D． ∵∠AOB＝60°，
，
∴∠C＝∠AOB＝30°， 又∵AB＝AC， ∴
＝
∴AD⊥BC， ∴BD＝CD，
∴在直角△ACD中，CD＝AC•cos30°＝2×∴BC＝2CD＝2故选：C．
．
＝
，
【点评】本题考查了解直角三角形，圆周角定理等知识点．推知△OAB是等边三角形是解题的难
点，证得AD⊥BC是解题的关键．
6．【分析】根据题意画出图形，确定对应点的坐标． 【解答】解：△A′B′C的位置如图．
A′（﹣3，3）． 故选：A．
【点评】本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心C，旋转方向逆时针，旋转角度90°，通过画图得A′坐标．
7．【分析】根据I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，由角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI根据三角形外角的性质得到∠BDI＝∠DIB，根据等腰三角形的性质得到BD＝DI．
【解答】解：∵I是△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，故C正确，不符合题意； ∴
＝
，
∴BD＝CD，故A正确，不符合题意； ∵∠DAC＝∠DBC， ∴∠BAD＝∠DBC，
∵∠IBD＝∠IBC+∠DBC，∠BID＝∠ABI+∠BAD， ∴∠DBI＝∠DIB，
∴BD＝DI，故B正确，不符合题意； 故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心的，以及等腰三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等．
8．【分析】过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，相加即可．
【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA． ∵PE⊥AB，AB＝2∴AE＝AB＝
，半径为2，
，PA＝2，
＝1，
根据勾股定理得：PE＝∵点A在直线y＝x上， ∴∠AOC＝45°， ∵∠DCO＝90°， ∴∠ODC＝45°，
∴△OCD是等腰直角三角形， ∴OC＝CD＝2，
∴∠PDE＝∠ODC＝45°， ∴∠DPE＝∠PDE＝45°， ∴DE＝PE＝1， ∴PD＝
．
∵⊙P的圆心是（2，a）， ∴a＝PD+DC＝2+故选：B．
．
【点评】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y＝x与x轴的夹角是45°．
9．【分析】根据二次函数的图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1， ∴﹣
＝1，得2a+b＝0，故①正确；
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故②正确；
该函数图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）， ∴点A（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3，故④错误； 故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
10．【分析】分类讨论：m＜﹣2，﹣2≤m≤1，m＞1，根据函数的增减性，可得答案．
【解答】解：当m＜﹣2，x＝﹣2时，y最大＝﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝﹣（舍）， 当﹣2≤m≤1，x＝m时，y最大＝m2+1＝4，解得m＝﹣当m＞1，x＝1时，y最大＝﹣（1﹣m）2+m2+1＝4， 解得m＝2，
综上所述：m的值为﹣故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值，函数的顶点坐标是最大值，利用函数的增减性得出函数的最值，分类讨论是解题关键．
二、填空题：（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
或2，
；
11．【分析】把x＝1代入方程（m2﹣2）x2﹣3＝0得m2﹣2﹣3＝0，然后解关于m的方程即可． 【解答】解：把x＝1代入方程（m2﹣2）x2﹣3＝0得m2﹣2﹣3＝0， 解得m＝±故答案为±
． ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．【分析】由题意得，反比例函数经过一、三象限，则﹣m+6＞0，求出m的取值范围即可． 【解答】解：∵反比例函数y＝∴﹣（m﹣6）＞0， 解得 m＜6． 故答案是：m＜6．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，k＞0时，函数图象位于一、三象限；k＜0时，函数图象位于二、四象限
图象位于一、三象限，
13．【分析】首先根据题意得方程组：，解此方程组即可求得答案．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
∴原来盒中有白色棋子4颗． 故答案为：4．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 14．【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果与三辆车全部同向而行的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：分别用A，B，C表示向左转、直行，向右转； 根据题意，画出树形图：
∵共有27种等可能的结果，三辆车全部同向而行的有3种情况， ∴三辆车全部同向而行的概率是故答案为：．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．【分析】先根据勾股定理得到AB＝
，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质＝，
得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分＝S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC＝S扇形ABD 【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝∴AB＝∴S扇形ABD＝
＝＝， ．
，
又∴Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE， ∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S阴影部分＝S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC＝S扇形ABD＝故答案是：
．
，也考查了勾股定理以及旋转的性质． ．
【点评】本题考查了扇形的面积公式：S＝
16．【分析】过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与AM交于点N，则OD＝MN，DN＝OM，∠AMO＝∠BNA＝90°，由等腰三角形的判定与性质得出OA＝BA，∠OAB＝90°，证出∠AOM＝∠BAN，由AAS证明△AOM≌△BAN，得出AM＝BN＝B（
+
，
﹣
），得出方程（
+
）•（
﹣
，OM＝AN＝
，求出
）＝k，解方程即可．
【解答】解：过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与AM交于点N，如图所示：
则OD＝MN，DN＝OM，∠AMO＝∠BNA＝90°， ∴∠AOM+∠OAM＝90°， ∵∠AOB＝∠OBA＝45°， ∴OA＝BA，∠OAB＝90°， ∴∠OAM+∠BAN＝90°， ∴∠AOM＝∠BAN， 在△AOM和△BAN中，∴△AOM≌△BAN（AAS）， ∴AM＝BN＝∴OD＝∴B（
++
，OM＝AN＝，BD＝，
﹣
﹣），
， ，
，
∴双曲线y＝（x＞0）同时经过点A和B， ∴（
+
）•（
﹣
）＝k，
整理得：k2﹣2k﹣4＝0， 解得：k＝1±∴k＝1+
；
．
（负值舍去），
故答案为：1+
【点评】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度． 三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求解；
（2）将点A坐标代入解析式可求一次函数解析式，可求点B坐标，即可求△OAB的面积．
【解答】解：（1）∵点A（2，5）在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝2×5＝10
∴反比例函数解析式：y＝
，
（2）∵点A在直线y＝x+b上， ∴5＝2+b ∴b＝3
∴一次函数解析式y＝x+3 ∵直线y＝x+b交x轴于点B ∴点B（﹣3，0） ∴S△AOB＝×3×5＝
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是本题的关键．
18．【分析】本题可通过同弧所对圆周角与圆心角的关系，求出圆心角，进而得到等边三角形，通过计算即可求得．
【解答】解：如图所示，连接OC、AC，过点C作CM⊥OA于点M，
∵∠OBA＝30°，∴∠OCA＝60°，又OC＝AC ∴△OCA为等边三角形 则OM＝OA
点A的坐标为（4，0）， ∴OA＝OC＝4，OM＝2， 在Rt△OMC中，CM＝故点C的坐标为：（2，
）．
＝
，
【点评】本题考查圆的基本性质、等边三角形性质及勾股定理的简单应用，掌握好基础知识则可
迎刃而解．
19．【分析】（1）根据“一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根”，得到△＞0，根据判别式公式，得到关于k的不等式，解之即可，
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到x1+x2和x1x2关于k的等式，代入（1+x1）（1+x2）＝3，得到关于k的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案． 【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝（2k+1）2﹣4k2＞0， 解得：k
，
；
即k的取值范围为：k
（2）方程的两个实数根分别为x1，x2， （1+x1）（1+x2） ＝1+（x1+x2）+x1x2 ＝3，
x1+x2＝﹣（2k+1），x1x2＝k2， 则1﹣（2k+1）+k2＝3， 整理得：k2﹣2k﹣3＝0， 解得：k1＝3，k2＝﹣1（舍去）， 即k的值为3．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握根的判别式公式，（2）正确掌握根与系数的关系公式．
20．【分析】（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）作A′B⊥x轴于B，先根据旋转的性质得OA′＝OA＝2，∠A′OA＝60°，再根据含30A′B＝度的直角三角形三边的关系得OB＝OA′＝1，根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y＝﹣【解答】解：（1）∵二次函数y＝a（x﹣h）2+解得：h＝1，a＝﹣
，
OB＝
，则A′点的坐标为（1，），的顶点．
（x﹣1）2+
的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下： 如图，作A′B⊥x轴于点B，
∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′， ∴OA′＝OA＝2，∠A′OA＝60°， 在Rt△A′OB中，∠OA′B＝30°， ∴OB＝OA′＝1， ∴A′B＝
OB＝
，
）， （x﹣1）2+
的顶点．
∴A′点的坐标为（1，∴点A′为抛物线y＝﹣
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣
），对称轴直线x＝﹣
，
，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当
时，y随x的增大而减小；x＞﹣，即顶点是抛物线的最低点．②当时，y随x的增大而增大；x＞﹣，即顶点是抛物线的最高点．也考
a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣
时，y取得最小值
a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣查了旋转的性质．
时，y取得最大值
21．【分析】（1）根据总利润＝（售价﹣进价）×每月销量可得函数解析式； （2）将函数解析式配方成顶点式，再依据二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）根据题意，得：z＝（x﹣18）（﹣2x+100）＝﹣2x2+136x﹣1800；
（2）z＝﹣2x2+136x﹣1800
＝﹣2（x﹣34）2+512， ∵a＝﹣2＜0，
∴当x＞34时，z随x的增大而减小， 又∵35≤x≤40，
∴当x＝35时，z取得最大值，最大值为510，
答：当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，列出函数解析式并熟练掌握二次函数的性质．
22．【分析】首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与点M满足y＝﹣x+5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：列表得：
1 2 3 4 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） ∵共有16种等可能的结果，点M（x，y）满足y＝﹣x+5的有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），
∴点M（x，y）落在直线y＝﹣x+5上的概率为
＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．【分析】（1）连接OC，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠ACO，推出AD∥OC，求得OC⊥CD，于是得到直线PC是⊙O的切线；
BE，（2）连接AE，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据角平分线的定义得到∠ACE＝∠BCE＝45°，求得∠POC＝60°，推出∠CAB＝∠ACO＝30°，证得PC＝PF，得到△OBC是等边三角形，求得PB＝OB＝5，根据相似三角形性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC， ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠ACO， ∴∠DAC＝∠ACO， ∴AD∥OC， ∵AD⊥CD， ∴OC⊥CD，
∴直线PC是⊙O的切线； （2）解：连接AE，BE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE＝45°， ∵∠P＝30°，∠PCO＝90°， ∴∠POC＝60°， ∴∠CAB＝∠ACO＝30°， ∴∠OCF＝15°， ∴∠PCF＝∠PFC＝75°， ∴PC＝PF，
∵∠BOC＝60°，OC＝OB， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OB＝OC＝OP， ∴PB＝OB＝5，
∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAC， ∴△PCB∽△PAC， ∴∴PC＝∴PF＝5
． ，
＝5
，
【点评】本题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．【分析】（1）作出辅助线，得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEM≌△FEM，则有DE＝EF即可；
（2）同（1）的方法判断出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，即：CE+CG＝CE+AE＝AC＝4； （3）如图，作EM⊥AD于M．首先证明AE＝CG，设AE＝CG＝x，易知AM＝EM＝
x，由四
边形DEFG面积为5，推出DE2＝5，在Rt△DEM中，根据DE2＝EM2+DM2，构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，作EM⊥BC，EN⊥CD
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE．
（2）CE+CG的值是定值，定值为4．
理由：∵EF＝DE． ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； ∵四边形ABCD是正方形， ∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， ∴△ADE≌△CDG， ∴AE＝CG．
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝
AB＝
×2
＝4，
（3）如图，作EM⊥AD于M．
∵DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，设AE＝CG＝x， ∵∠EAM＝45°，∠AME＝90°， ∴AM＝EM＝
x，
∵四边形DEFG面积为5， ∴DE2＝5，
在Rt△DEM中，∵DE2＝EM2+DM2， ∴5＝（
x）2+（2
﹣
x）2，
∴x＝1或3， ∴CG的长＝1或3．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等．
25．【分析】（1）把B（4，0），点D（3，）代入y＝ax2+bx+1即可得出抛物线的解析式； （2）先用含t的代数式表示P、M坐标，再根据三角形的面积公式求出△PCM的面积与t的函数关系式，然后运用配方法可求出△PCM面积的最大值；
（3）若四边形DCMN为平行四边形，则有MN＝DC，故可得出关于t的二元一次方程，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）把点B（4，0），点D（3，），代入y＝ax2+bx+1中得，
，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+
x+1；
（2）设直线AD的解析式为y＝kx+b， ∵A（0，1），D（3，），
∴，
∴，
∴直线AD的解析式为y＝x+1， 设P（t，0）， ∴M（t， t+1）， ∴PM＝t+1， ∵CD⊥x轴， ∴PC＝3﹣t， ∴S△PCM＝PC•PM＝
（3﹣t）（t+1），
，
∴S△PCM＝﹣t2+t+＝﹣（t﹣）2+∴△PCM面积的最大值是
；
（3）∵OP＝t，
∴点M，N的横坐标为t， 设M（t， t+1），N（t，﹣ t2+∴|MN|＝|﹣t2+
t+1），
t+1﹣t﹣1|＝|﹣t2+t|，CD＝，
如图1，如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴MN＝CD，即﹣t2+t＝，整理得：3t2﹣9t+10＝0， ∵△＝﹣39，
∴方程﹣t2+t＝无实数根， ∴不存在t，
如图2，如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴MN＝CD，即t2﹣t＝， ∴t＝∴当t＝
，（负值舍去），
时，以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定，正确求
出二次函数的解析式、利用配方法把一般式化为顶点式、求出函数的最值是解题的关键，注意菱形的判定定理的灵活运用．
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