湖北省宜昌一中2008届高三数学十月月考试题(理)

宜昌市一中2009届高三年级十月月考

数学（理科）试题

考试时间120分钟，满分150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。 1．复数

2iabi，则点a,b在（ ） 1iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2．下列函数中，有反函数的是（ ）

21x1 (x0)5A.y2 B.y2x12 C.ysinx D.y

x12x (x<0)3．等差数列{an}中，a13a8a15120，则2a9a10的值为（ ）

A.20 B.22 C. 24 D.8

12x8}，B{x|1xm1},若xB成立的一个充分不2必要条件是xA ，则实数m的取值范围（ ）

A.m2 B. m2 C.m2 D. 2m2

4．已知：A{xR|

5．已知命题p:x12,命题q:xZ；如果“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（ ）

A.{xx3或x1,xZ} B.{x1x3,xZ}

C.{1,0,1,2,3} D. {0,1,2}

6．函数fx是定义在0,上的非负可导函数，且满足xf/xfx0，对任意正数a、b，若ab，则必有（ ）

A．afafb

3B．bfbfa C．afbbfa D．bfaafb

7．函数f(x)(x2)x1的图像是中心对称图形，其对称中心的坐标是 （ ） A．(1,1) B．(2,3) C．(0,9) D．(2,3)

8．图形M（如右图所示）是由底为1，高为1 的等腰三角形及高为2和

y 3 2 M

1 O 1 2 3 x

3的二矩形所构成，函数SSaa0是图形M介于平行线y0及ya之间的那一

部分面积，则函数Sa的图像大致是（ ）

S a O 1 2 3 Sa SaSa  a O 1 2 3 a O 1 2 3 a O 1 2 3 a

A

R

B C D

,不等式R9．若定义在

上的减函数yf(x),对于任意x,yf(x22x)f(2yy2)0都成立，且函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称,则当

1x4时,

y的取值范围是（ ） x1111A.[,1) B. [,1] C.(,1] D.[,1]

4422n10．设fx在x0处可导。且fx0=0 则limnfx01（ ） nA．等于fx0 B．等于fx0 C．等于0 D．不存在

二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中的横线上。） 11．已知：函数f(x)是 ；

12．设集合Mmm7n2,nN,且m200，则集合M中所有元素的和为

x22axa21的定义域为A, 2A,则a的取值范围

nx32x1ax21 13．已知函数fx 在x1处连续，则lim22x1xaxxax114．定义在R上的函数f(x)，对任意实数xR，都有fx3fx3和

fx2fx2成立，且f12，记anfnnN*，则a2008______

15．对于函数f(x)13a2|x|x(3a)|x|b， 32

（1）若f(2)7，则f(2) ；

（2）若f(x)有六个不同的单调区间，则a的取值范围为 。

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。） 16．（本题满分12分）已知正项数列an的前n项和为Sn,且4an2Sn=1，数列bn满足

bn2log1an，nN*。

2 （1）求数列an的通项an与bn的前n项和Tn；

bn （2）设数列的前n项和为Un，求证：0Un4。

an

17．（本题满分12分） 如图，在底面是直角梯形的四棱锥P—ABCD中，∠DAB=90°，

PA⊥平面 ABCD，PA=AB=BC=1，AD=2，M为PD中点． ( I ) 求证：MC∥平面PAB；

(Ⅱ)在棱PD上找一点Q，使二面角Q—AC—D的正切值为

2． 2

18．（本题满分12分）某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件. 如果降低价格，销售量可以增加， 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，

0x21）的平方成正比．已知商品售价降低2元时，一星期多卖出24件．

（Ⅰ）将一个星期内该商品的销售利润表示成x的函数f(x)； （Ⅱ）如何定价才能使一个星期该商品的销售利润最大？

（1）用数学归纳法证明：0an1；

219．（本题满分12分）已知数列an满足an1an2annN，且0a11



19（2）若bnlg1an，且a1，求无穷数列所有项的和。

10bn

x2c20．（本题满分13分） 已知函数fx为奇函数，满足f1f3，且不等式

axb0f(x)3 的解集是2,12,4． 2（1）求a,b,c的值；

3（2）对一切R，不等式f(2sin)m都成立，求实数m的取值范围。

2 21．（本题满分14分）对于函数f(x)，若存在x0R，使f(x0)x0成立，则称x0为f(x)x2a(b,cN*)有且仅有两个不动点0和2，且的不动点。如果函数f(x)bxc1f(2)。

2（1）试求函数f(x)的单调区间；

11n11（2）已知各项不为零的数列an满足4Snf()1，求证： ln；

anan1nan（3）设bn

1，Tn为数列bn的前n项和，求证：T20091ln2009T2008。 an宜昌市一中2009届高三年级十月月考数学（理科）

参 一、选择题ABCB DCBC DB 二、填空题

11．1a3 12．450 13．2 14．2009 15．（1）7 （2）2a3

16．解：（Ⅰ）易得a1

1.„„„„„„1分 2当n2时，4an2Sn1，„„① 4an12Sn11„„② ①－②,得4an4an12an0an2an1.∴

an2（n2）. ∴数列an是以an1a1

1为首项，2为公比的等比数列. 2∴an2n2.„„„„„„4分

从而bn42n，其前n项和Tnn23n„„„„„„6分

（2）∵an为等比数列、bn为等差数列，

∴Unbn42nn2， an2

20262n42n...n3n3„„③ 112222120262n42nUn2...n1n1„„④ 2122221222242n4n③－④，得Un42n2n1， ∴Unn1 „10分

21222222n易知U1U24，当n3时，UnUn1n30.

2∴当n3时，数列{Un}是递减数列. „„„„„„11分

∴0UnU33.故0Un4.

„„„„„„12分

17．解：（1）取PA的中点E，连接BE、EM，则EM与BC平行且相等，∴四边形BCME是平行四边形。∴MC//BE，又MC面PAB，BE面PAB ，∴MC∥平面PAB„„„6分 （2）如图过Q作QF//PA交AD于F，∴QF⊥平面ABCD。作FH⊥AC，H为垂足。连接QH∴∠QHF是二面角Q—AC-D的平面角。设AFx，AHFH2x,FD2x。又22xQFFD2xQF2QF,在RtQFH中，tanQHF，x1。 ,2PAAD2FH22x2当Q为棱PD中点时，二面角Q—AC—D的正切值为

2．„„„12分 2

218． 解：（1）商品降价x元，则每个星期多卖的商品数为kx，则依题意有

f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2)，

·22，于是有k6， 又由已知条件，24k所以f(x)6x3126x2432x9072，x[0，21]． „„„6分 （2）根据（1），我们有f(x)18x2252x43218(x2)(x12)． 当x变化时，f(x)与f(x)的变化如下表：

x f(x) f(x) 2 0，  2 0 极小 (2，12) 12 0 极大 21 12，    故x12时，f(x)达到极大值．因为f(0)9072，f(12)112， 所以定价为18元能使一个星期的商品销售利润最大． „„„12分 19．

x2c(x)2cx2c20．解：（1）∵f(x)∴，解得b0.„„„„ 2分 为奇函数，a(x)baxbaxbf(2)0∵0f(x)3 的解集中包含2和－2，∴

f(2)＝f(2)0222c即得f(2)0,所以c＝4 „„„„„ 4分

2a3535∵f(1)f(3)，f(1),f(3), ∴，所以a0.„„„„„5分

a3aa3ax24下证：当a>0时，在（0，+∞）上f(x)是增函数。

ax在（0，+∞）内任取x1，x2，且x1那么f(x1)f(x2)x14x2414(x1x2)(1)0 aax1aax2ax1x2x24即f(x1)f(x2),当a0时，在（0,）上f(x)是增函数

ax3424所以，f(2)＝0，f(4)，解得a2.

24ax24综上所述：a2,b0,c4,f(x) „„„„„7分

2xx24x24（2）∵f(x)∴f(x)在（－∞，0）上也是增函数。„„„8分 为奇函数，2x2x3又32sin1, ∴f(3)f(2sin)f(1), „„„„„10分

233而m, „„„„„12分

223所以，m3时，不等式f(2sin)m对一切R成立 „„„„„13分

2x2ax(1b)x2cxa0(b1) 21．（1）设

bxcc20a0x21b  ∴ c ∴f(x)cb120a(1)xc221b 由f(2)211c3， 又∵b,cN* ∴c2,b2 1c2x2∴f(x)(x1) „„ 3分

2(x1)2x2(x1)x22x22x 于是f(x) 224(x1)2(x1)

由f(x)0得x0或x2； 由f(x)0得0x1或1x2 故函数f(x)的单调递增区间为(,0)和(2,)，

单调减区间为(0,1)和(1,2) „„4分

（2）由已知可得2Snanan2， 当n2时，2Sn1an1an12 两式相减得(anan1)(anan11)0 ∴anan1或anan11

当n1时，2a1a1a12a11，若anan1，则a21这与an1矛盾 ∴anan11 ∴ann „„6分

1n11ln。 n1nn1x11ln,x0 为此，我们考虑证明不等式

x1xx11令1t,x0,则t1，x

t1x1再令g(t)t1lnt，g(t)1 由t(1,)知g(t)0

t于是，待证不等式即为

∴当t(1,)时，g(t)单调递增 ∴g(t)g(1)0 于是t1lnt

1x1ln,x0 ① xx111t1令h(t)lnt1，h(t)22 由t(1,)知h(t)0

tttt即

∴当t(1,)时，h(t)单调递增 ∴h(t)h(1)0 于是lnt1

1tx11,x0 ② xx11x11ln,x0 „„10分 由①、②可知

x1xx即ln所以，

1n111n11ln，即ln „„11分 n1nnan1nan1111 则Tn1 n23n1n11ln中令n1,2,3,,2008，并将各式相加得 在

n1nn11123200911lnlnln1 23200912200823（3）由（2）可知bn 即T20091ln2009T2008 „„14分



12008