第一章
一、选择题
概率论的基本概念
1．将一枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为（ A．{（正，正），（反，反），（一正一反）}
B.{(反，正)，（正，反），（正，正），（反，反）} C．{一次正面，两次正面，没有正面} D.{先得正面，先得反面}
2.设 A，B 为任意两个事件，则事件(AUB)( -AB)表示（ ）
）
A．必然事件
B．A 与 B 恰有一个发生 D．A 与 B 不同时发生
）.
C．不可能事件
3．设 A，B 为随机事件，则下列各式中正确的是（ A.P(AB)=P(A)P(B) C. P( AB) P( A B)
B.P(A-B)=P(A)－P(B) D.P(A+B)=P(A)+P(B)
).
4.设 A,B 为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是( A.P(A－B)=P(A)－P(AB) C.P(A+B)=P(A)+P(B)
B.P(AB)=P(B)P(A|B),其中 P(B)>0 D.P(A)+P( A )=1
）.
5.若 AB ，则下列各式中错误的是（ A． P( AB) 0
B. P( AB) 1
).
C.P(A+B)=P(A)+P(B) D.P(A-B) P(A)
6.若 AB ,则( A. A,B 为对立事件
B. A B C. AB
).
D.P(A-B) P(A)
7.若 A B, 则下面答案错误的是( A. P( A) PB
B. PB - A 0
.
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C.B 未发生 A 可能发生
D.B 发生 A 可能不发生
).
8.下列关于概率的不等式,不正确的是( A. P( AB) min{P( A), P( B)}
C. P( A A L A ) P{ A A L A }
1 2
n
1
2
n
B. 若A , 则P( A) 1.
n n
D. P{ A } P( A )
i 1
i
i 1
i
9. A (i 1,2,L , n) 为一列随机事件 ,且 P( A A L A ) 0 ,则下列叙述中错
i
1 2
n
误的是(
).
n n A.若诸 A 两两互斥,则 P( A ) P( A )
i
i1 ni
i1
i
B.若诸 A 相互,则 P( A ) 1 n (1 P( A ))
i
i1 ni
i1
i
n C.若诸 A 相互,则 P(U A ) P( A )
i
i1
i
i1
i
n D. P( A ) P( A ) P( A | A ) P( A | A )P( A | A )
i1
i
1
2
1
3
2
n
n1
10.袋中有 a 个白球 , b 个黑球 ,从中任取一个 ,则取得白球的概率是
(
).
2
A. 1
B.
1
11.今有十张电影票,其中只有两张座号在第一排,现采取抽签方式发 放给１０名同学,则(
)
a b
C.
a
a b
b
D.a b
A.先抽者有更大可能抽到第一排座票 B.后抽者更可能获得第一排座票 C.各人抽签结果与抽签顺序无关 D.抽签结果受以抽签顺序的严重制约
12.将 n 个小球随机放到 N (n N ) 个盒子中去 ,不限定盒子的容量 ,则
.
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每个盒子中至多有１个球的概率是(
). D. n
A. n!
N!
B. n!
N n
n nC!C. N
N n
N
13.设有 r 个人, r 365 ,并设每个人的生日在一年 365 天中的每一天 的可能性为均等的 ,则此 r 个人中至少有某两个人生日相同的概率为
(
).
r r!C
B. 365
r
A.1 P365
365 r 365 r
C. 1 r!
365
r!D.1365 r
14.设 100 件产品中有 5 件是不合格品,今从中随机抽取 2 件,设
A {第一次抽的是不合格品}, A {第二次抽的是不合格品},则下列
1
2
叙述
中错误的是(
).
B. P( A ) 的值不依赖于抽取方式(有放回及不放回)
2
A. P( A ) 0.05 C. P( A ) P( A )
1
2
1
D. P( A A ) 不依赖于抽取方式
1 2
15.设 A,B,C 是三个相互的事件,且 0 P(C ) 1, 则下列给定的四对
事件中,不的是(
).
C. AC与C
D. AB与C
A. AUB与C
B. A B 与 C
16.10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券,现有三人每人购买１张,则恰有 一个中奖的概率为(
).
C. 0.3 D. C 3 0.7 2 0.3
10
A. 21
40
7B.40
17.当事件 A 与 B 同时发生时,事件 C 也随之发生,则( A. P(C ) P( A) P( B) 1 C.P(C)=P(AB)
).
B. P(C ) P( A) P( B) 1 D. P(C ) P( A U B)
.
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18.设 0 P( A) 1,0 P( B) 1, 且P( A | B) P( A B) 1, 则(
).
A. A 与 B 不相容 C. A 与 B 不
B. A 与 B 相容 D. A 与 B
19.设事件 A,B 是互不相容的，且 P( A) 0, P( B) 0 ，则下列结论正确的
是(
).
B. P( A | B) P( A) C. P( AB) P( A) P( B)
D.P(B|A) 0
A.P(A|B)=0
20.已知 P(A)=P,P(B)= q 且 AB ,则 A 与 B 恰有一个发生的概率为
(
).
B. 1 p q
C. 1 p q
D. p q 2 pq
A. p q
21.设在一次试验中事件 A 发生的概率为 P,现重复进行 n 次试验
则事件 A 至多发生一次的概率为(
).
D. (1 p)n np(1 p)n1
A.1 p n
B. p n C. 1 (1 p) n
22.一袋中有两个黑球和若干个白球,现有放回地摸球 4 次,若至少摸 到一个白球的概率为 80 ,则袋中白球数是(
81
).
D.8
).
A.2
B.4 C.6
23.同时掷 3 枚均匀硬币,则恰有 2 枚正面朝上的概率为( A.0.5
B.0.25
C.0.125
D.0.375
24.四人地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为 1 , 1 , 1 , 1 则密码最终能被译出的概率为(
5 4 3 6
).
D. 2
A.1
5 3
25. 已 知 P( A) P( B) P(C ) 1 , P( AB) 0, P( AC ) P( BC ) 1 , 则 事 件
4 16
B. 1
2
C. 2
A,B,C 全不发生的概率为(
).
.
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A. 1
8
B. 3
8
C. 5
8
D. 7
8
26.甲,乙两人地对同一目标射击一次 ,其命中率分别为 0.6 和 0.5,则目标被击中的概率为( A. 0.5
B. 0.8
).
D. 0.6
).
C. 0.55
27.接上题,若现已知目标被击中,则它是甲射中的概率为(
A. 3
4
B. 5
6
C. 2
3
D. 6
11
28.三个箱子,第一箱中有 4 个黑球 1 个白球,第二箱中有 3 个黑球 3 个白球,第三个箱中有 3 个黑球 5 个白球,现随机取一个箱子,再从这 个箱中取出一个球,则取到白球的概率是( A. 53
120
).
B.9
19
C.67
120
D.1019
29.有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、 白球数目之比为 4 :1, 1: 2, 3 : 2, 已知这三类箱子数目之比为 2 : 3 :1 ，现
随机取一个箱子，再从中随机取出一个球，则取到白球的概率为
（
5A.
）.
13
B.19
45
C.7
15
D.1930
30.接上题,若已知取到的是一只白球,则此球是来自第二类箱子的概
率为(
).
B. 1
3
A. 1
2
C. 5
7
D. 1
7
31.今有 100 枚贰分硬币,其中有一枚为“残币”中华人民共和国其两 面都印成了国徽.现从这 100 枚硬币中随机取出一枚后，将它连续抛 掷 10 次，结果全是“国徽”面朝上，则这枚硬币恰为那枚“残币” 的概率为（
）.
.
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A. 1
100
B. 99
100 102C. 1 210
D. 210
99 210
32.玻璃杯成箱出售,每箱 20 只,假设各箱含 0,1,2 只残品的概率分别 是 0.8,0.1,0.1,一顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一 箱,而顾客随机察看 1 只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回, 如果顾客确实买下该箱,则此箱中确实没有残次品的概率为( A.0.94
).
B.0.14 C.160/197
C4 C4 D. 19 18
C 4
20
二、填空题
1.
E ：将一枚均匀的硬币抛三次，观察结果：其样本空间
.
2．某商场出售电器设备，以事件 A 表示“出售 74 Cm 长虹电视机”， 以事件 B 表示“出售 74 Cm 康佳电视机”，则只出售一种品牌的电视
机可以表示为 为
；至少出售一种品牌的电视机可以表示
.
；两种品牌的电视机都出售可以表示为
3．设 A，B，C 表示三个随机事件，试通过 A，B，C 表示随机事件 A 发生而 B，C 都不发生为
；随机事件 A，B，C 不多于
.
；
一个发生
4.设 P（A）=0.4，P（A+B）=0.7，若事件 A 与 B 互斥，则 P（B）= 若事件 A 与 B ，则 P（B）=
.
5.已知随机事件 A 的概率 P（A）=0.5，随机事件 B 的概率 P（B）=0.6 及条件概率 P（B|A）=0.8，则 P（AUB）=
6.设随机事件 A、B 及和事件 AUB 的概率分别是 0.4，0.3 和 0.6，则
P（ AB ）=
.
.
7.设 A、B 为随机事件，P（A）=0.7，P（A-B）=0.3，则 P（ AB ）=
.
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8.已知 p( A) p(B) p(C ) 1 , p( AB) 0, p( AC ) p(BC ) 1 ，则 A, B, C 全不
4
8
发生的概率为
.
9.已知 A、B 两事件满足条件 P（AB）=P（ AB ），且 P（A）=p,则 P（B） =
.
.
10.设 A、B 是任意两个随机事件，则 P{( A B)( A B)( A B )( A B )} = 11 ．设两两相互的三事件
A 、 B 和 C 满足条件： ABC ，
1 ，且已知 p(ABC)9，则p(A)______. p( A) p(B) p(C)
2 16
12.一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，
抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为
.
13.袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个是白球，今有两人 依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概
率是
.
14．将 C、C、E、E、I、N、S 这 7 个字母随机地排成一行，恰好排成 SCIENCE 的概率为
.
15．设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1%和 2%，现从由 A 和 B 的产品分别占 60%和 40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，
则该次品属于 A 生产的概率是
.
16.设 10 件产品有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品 中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是
.
17.甲、乙两人地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.5.现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是
.
18．假设一批产品中一、二、三等品各占 60%，30%，10%，从中随意 取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率是
1
.
19．一种零件的加工由三道工序组成，第一道工序的废品率为p ，第 二道工序的废品率为 p ，第三道工序的废品率为 p ，则该零件的成品
2
3
.
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率为.
20．做一系列试验，每次试验成功的概率为 p，则在第 n 次成功
之前恰有 m 次失败的概率是 .
第二章
一、选择题
随机变量及其分布
1.设 A,B 为随机事件, P( AB) 0, 则( A. AB .
).
B.AB 未必是不可能事件 D.P(A)=0 或 P(B)=0
C.A 与 B 对立
2.设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 P{X 1} P{X 2}, 则
P{X 2} 的值为(
）.
e 2
A. e 2
B.1 5
C.14
3.设 X 服从 [1,5] 上的均匀分布,则(
e 2
).
2.D.1e 2
A. P{a X b} b a
4
B. P{3 X 6} 3
C. P{0 X 4} 1 4.设 X ~ N ( ,4), 则(
4
D. P{1 X 3} 1
2
).
D. 0
X A. ~ N (0,1)
4
C. P{X 2} 1 (1)
B.P{X0}1
2
2 x, 0 x 1 ，以 Y 表示对 X 的三 5.设随机变量 X 的密度函数为 f ( x)
0, 其他
次重复观察中事件{ X 1}出现的次数，则（
2
）.
A．由于 X 是连续型随机变量，则其函数 Y 也必是连续型的 B．Y 是随机变量，但既不是连续型的，也不是离散型的
9C． P{ y 2}
.
D.Y~B(3,1
2 )
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6.设 X ~ B(2, p), Y ~ B(3, p), 若P{X 1} 5 , 则P{Y 1} ( A. 19
27
B. 1
9
C. 1
9
).
3
X
D. 8
27
7.设随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x), 则Y 2 X 3 的密度函数为 (
).
A. 1 f ( y 3)
2 X 2
C. 1 f ( y 3)
2 X 2
B. 1 f ( y 3)
2 X 2
D. 1 f ( y 3)
2 X 2
8.连续型随机变量 X 的密度函数 f ( x) 必满足条件( A. 0 f ( x) 1
).
B. f ( x) 为偶函数 D. f ( x)dx 1
C. f ( x) 单调不减
9.若 X ~ N (1,1) ,记其密度函数为 f ( x) ，分布函数为 F ( x) ,则( A. P{X 0} P{X 0}
).
B. F ( x) 1 F ( x) D. f ( x) f ( x)
1
2
C. P{X 1} P{ X 1}
10. 设 X ~ N (,4 2 ), Y ~ N (,5 2 ) , 记 P P{X 4}, P P{Y 5}, 则 (
1
).
2
A. P P
B. P P
1 2
C. P P
1 2
D. P , P 大小无法确定
1 2
11.设 X ~ N (, 2), 则随着 的增大, P{| X | } 将(
).
D.增减不定
A.单调增大
B.单调减少 C.保持不变.
12.设随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x), f ( x) f ( x), F ( x) 是 X 的分布 函数,则对任意实数 a 有(
).
B. F (a) 1 a f ( x)dx
2
0
A. F (a) 1 a f ( x)dx
0
C. F (a) F (a)
D. F (a) 2F (a) 1
.
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3 x,0x113.设 X 的密度函数为 f ( x) 2 ，则 P{ X 1} 为(
4 0, 其他
A. 7
).
8
B.
14.设 X ~ N (1,4), (0.5) 0.6915, (1.5) 0.9332 , 则P{| X | 2} 为(
1 4
3
xdx 2
C.1
1 4
3
xdx 2
D.23
).
A.0.2417
B.0.3753
9
C.0.3830 D.0.86
).
15.设 X 服从参数为 1 的指数分布,则 P{3 X 9} ( A. F ( 9 ) F ( 3 )
9
9
B. 1 ( 1 1 )
9
3
e e
C. 1 1
3 e e
x
D. 9 e 9 dx
3
16.设 X 服从参数 的指数分布,则下列叙述中错误的是(
ex ,x01 A. F ( x)
0,
).
x 0
B.对任意的 x 0, 有P{X x} ex
C.对任意的 s 0, t 0, 有P{ X s t | X s} P{ X t}
D. 为任意实数
17.设 X ~ N (, 2 ), 则下列叙述中错误的是(
).
XA. ~ N (0,1)
abC. P{X (a, b)} ( ) ( )
2
B. F ( x) ( x )
D. P{| X | k } 2(k ) 1, (k 0)
18.设随机变量 X 服从(1,6)上的均匀分布,则方程 x 2 Xx 1 0 有实根
的概率是(
). B.0.8
C.0.6
D.0.5
）.
A.0.7
19.设 X ~ N (2, 2 ), P{2 X 4} 0.3, 则P{ X 0} （
.
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A．0.2
B.0.3 C.0.6 D.0.8
20. 设随机 变量Ｘ服 从正态分 布 N (, 2) ，则 随 的增大 ，概率
P{| X | } （
）.
Ｂ．单调减少
Ｃ．保持不变
Ｄ．增减不定
Ａ．单调增大
二、填空题
1．随机变量 X 的分布函数 F ( x) 是事件
1 1 1 次是 , , ,
的概率.
2．已知随机变量 X 只能取-1，0，1，2 四个数值，其相应的概率依
1
2c 4c 8c 16c 3．当 a 的值为
，则c
2时，p ( X k ) a( ) k,
3
k1,2,
才能成为随机变量 X 的
分布列.
4．一实习生用一台机器接连地制造 3 个相同的零件，第 i 个零件
1(i1,2,3)，以X表示 3 个零件中合格品的个数， i
i 1
则 p( X 2) ________ .
不合格的概率 p
5. 已 知
X
的 概 率 分 布 为
.
11 0.60.4
， 则
X 的 分 布 函 数
F ( x)
6. 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为
的泊松分布，则 X 的分布列
为
.
1 3 , x [0,1]
7．设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) 2 , x [3, 6] ，若 k 使得 pX k 2
3 9
0,
其它
则 k 的取值范围是
.
.
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8．设离散型随机变量 X 的分布函数为：
0, x 1
a , 1 x 1
F ( x) 2 a,1x2
3
a b, x 2
且 p( X 2) 1 ，则 a _______, b ________ .
2
9．设 X ~ U [1,5] ，当 x 1 x 5 时， p( x X x ) = 10．设随机变量 X
1
2
1
2
.
~ N ( , 2 ) ，则 X 的分布密度 f ( x) .
若 Y X
，则Y的分布密度f(y)
11．设 X ~ N (3,4) ，则 p 2 X 7
. .
.
12．若随机变量 X ~ N (2, 2) ，且 p(2 X 4) 0.30 ，则 p( X 0) _________ 13．设 X ~ N (3,2 2 ) ，若 p( X c) p( X c) ，则 c
.
，若
160 ，欲使
14. 设 某 批 电 子 元 件 的 寿 命
X ~ N ( , 2 )
p(120 X 200) 0.80 ，允许最大的
= .
1 1 ，则的 分 布 列 15. 若 随 机 变 量 X 的分布列为 Y 2 X 1 0.50.5
为
.
16.设随机变量Ｘ服从参数为（２，ｐ）的二项分布，随机变量Ｙ服 从参数为（３，ｐ）的二项分布，若Ｐ｛Ｘ １｝＝５／９，则Ｐ｛Ｙ
１｝＝
.
17.设随机变量Ｘ服从（０，２）上的均匀分布，则随机变量Ｙ＝X 2
在（０，４）内的概率密度为 f ( y) ＝
Y
.
18. 设 随 机 变 量 Ｘ 服 从 正 态 分 布 N (, 2 )( 0) ， 且 二 次 方 程
y 2 4 y X 0 无实根的概率为１／２，则
.
.
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第三章
一、选择题
随机变量及其分布
1.X,Y 相互 ,且都服从 [0,1] 上的均匀分布 ,则服从均匀分布的是
(
).
B.XY
C.X+Y
D.X－Y
2
A.(X,Y)
2.设 X,Y 同分布, P{X 1} P{Y 1} 1 , P{X 1} P{Y 1} 1 , 则
2
（
）.
B. P{X Y } 0
1
2
A.X Y
C. P{X Y } 1
2
D. P{X Y } 1
3. 设 F ( x) 与 F ( x) 分 别 是 随 机 变 量 X 与 Y 的 分 布 函 数 , 为 使
aF ( x) bF ( x) 是某个随机变量的分布函数,则 a, b 的值可取为(
1
2
).
2 2
A. a 3 , b 2
5
5
B. a 2 , b 2
3 3
C. a 1 , b 3
2 2
D. a 1 , b 3
1 0 1
且P{XX0}1,则4. 设 随 机 变 量 X 的 分 布 为 X ~ 1 (i1,2)1 1 1 2
i i
4 2 4
P{ X X } (
).
1 2
A.0
B. 1
4
C. 1 ).
2
D.1
5.下列叙述中错误的是( A.联合分布决定边缘分布
B.边缘分布不能决定决定联合分布
C.两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同 D.边缘分布之积即为联合分布 6.设随机变量(X,Y) 的联合分布为: 则 a, b 应满足(
X
Y
1
2
3
1 1/6
1/9
1/18 b
).
2 1/3 a
.
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A． a b 1
B. a b 1
3
C. a b 2
3
D. a 1 , b 3
2 2
7．接上题，若 X，Y 相互，则（
）.
3 3
A. a 2 , b 1
9 9
B. a 1 , b 2
9 9
C. a 1 , b 1 D. a 2 , b 1
3 3
8.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以 X,Y 表示第 1 颗和第 2 颗骰子
出现的点数,则(
36
).
B. P{X Y } 1 D. P{X Y }
A. P{X i, Y j} 1 , i, j 1,2,L 6 C. P{X Y } 1
36 1
6xy,2 9.设(X,Y)的联合概率密度函数为 f ( x, y)
0，
2
2
0x1,0y1,则 其他
下面错误的是(
).
B. P{X 0} 0
C.X,Y 不
A. P{X 0} 1
D.随机点(X,Y)落在 D {( x, y) | 0 x 1,0 y 1} 内的概率为 1
10.接上题,设 G 为一平面区域,则下列结论中错误的是(
).
A. P{( X , Y ) G} f ( x, y)dxdy
B. P{( X , Y ) G} 6 x2 ydxdy D. P{( X Y )} f ( x, y)dxdy
x y
G
C. P{X Y } 1 dx x 6 x2 ydy
0
0
G
h( x, y) 0,( x, y) D ,若 11.设(X,Y)的联合概率密度为 f ( x, y)
0,
其他
G {( x, y) | y 2 x} 为一平面区域,则下列叙述错误的是(
).
G
A. P{X , Y ) G f ( x, y)dxdy
B. P{Y 2 X 0} 1 f ( x, y)dxdy D. P{Y 2 X } h( x, y)dxdy
G D
C. P{Y 2 X 0} h( x, y)dxdy
G
G
12.设(X,Y)服从平面区域 G 上的均匀分布,若 D 也是平面上某个区域, 并以 S 与 S 分别表示区域 G 和 D 的面积,则下列叙述中错误的是
G
D
(
).
.
精品文档
A. P{( X , Y ) D} SD
S
G
B. P{( X , Y ) G} 0
S
G D G
C. P{( X , Y ) D} 1
S
D. P{( X , Y ) G} 1
13.设系统 是由两个相互的子系统
1
与 连接而成的 ;连接方
2
1
式分别为：（１）串联；（２）并联；（３）备用(当系统 损坏时,系
统 开始工作，令 X , X 分别表示 和 的寿命，令 X , X , X 分别表
2
1
2
1
2
1
2
3
示三种连接方式下总系统的寿命,则错误的是(
).
A. Y X X C. Y X X
3
1
1
1
2 2
B. Y max{ X , X } D. Y min{ X , X }
1 1 2 2 1 2
14.设二维随机变量 (X,Y)在矩形 G {( x, y) | 0 x 2,0 y 1} 上服从均
0, X Y 0, X 2Y 则匀分布.记U ;V . P{U V } (
1, X Y
1, X 2Y
).
A.0
B. 1
4
C. 1
2
1
2
D. 3
1
4
2
15. 设 (X,Y) 服从二维正态分布 N ( , , 2 , 2 , ) , 则以下错误的是 (
).
1
1
A. X ~ N ( , 2 )
1
B X ~ N ( , 2 )
1
2
1
2
2
C.若 0 ,则 X,Y
D. 若随机变量 S ~ N ( , 2 ), T ~ N ( , 2 ) 则 (S , T ) 不一定服从二维正态 分布
16.若 X ~ N ( , 2 ), Y ~ N ( , 2 ) ,且 X,Y 相互,则( A. X Y ~ N ( , ( ) 2 ) C. X 2Y ~ N ( 2 , 2 4 2 )
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
).
1
2
B. X Y ~ N ( , 2 2 ) D. 2 X Y ~ N (2 ,2 2 2 )
1
2
1
2
17．设 X，Y 相互，且都服从标准正态分布N (0,1)，令Z X 2 Y 2 ,
则 Z 服从的分布是（
）.
.
精品文档
A．N（0，2）分布
B.单位圆上的均匀分布 D.N(0,1)分布
4
i
i
C.参数为 1 的瑞利分布
1
2
3
18.设随机变量 X , X , X , X 同分布, P{X 0} 0.6, P{ X 1} 0.4
XX
(i 1,2,3,4) ，记 D 1 2 ,则 P{D 0} （ ）.
X X
3
4
A.0.1344
B.0.7312 C.0.8656 D.0.3830
19.已知 X ~ N (3,1) ， Y ~ N (2,1) ，且 X , Y 相互,记 Z X 2Y 7,
则Z ~ (
).
B. N (0,12)
C. N (0,54)
D. N (1,2)
).
A. N (0,5)
C sin( x y), 0 x, y , 则C的值为(20.已知 ( X , Y ) ~ f ( x, y) 4 0, 其他
A. 1
2
2B. C. 2 1 D. 2 1 2
1 2 xy, 0 x 1,0 y 2 ,则 x
21.设 ( X , Y ) ~ f ( x, y) P{X Y 1} =( ) 3
0, 其他
A. 65
72
B. 7
0,
72
其他
C. 1
72
D. 71
72
(2 x3 y ) , x, y 0 Ae 22. 为使 f ( x, y) 为二维随机向量 (X,Y)的联合密度 ,
则 A 必为(
). B.6
C.10
D.16
A.0
23.若两个随机变量 X,Y 相互,则它们的连续函数 g ( X ) 和 h(Y ) 所
确定的随机变量(
).
B.一定不
D.绝大多数情况下相
A.不一定相互 C.也是相互
.
精品文档
24.在长为 a 的线段上随机地选取两点 ,则被分成的三条短线能够组
成三角形的概率为(
).
C. 1
4
A. 1
2
B. 1
3
D. 1
5
25.设 X 服从 0—1 分布, p 0.6 ,Y 服从 2 的泊松分布,且 X,Y ，
则 X Y (
).
B.仍是离散型随机变量 D.取值为 0 的概率为 0
A.服从泊松分布 C.为二维随机向量
26.设相互的随机变量 X,Y 均服从 [0,1] 上的均匀分布,令 Z X Y ,
则(
).
B. P{X Y } 0 D. Z ~ N (0,1)
A.Z 也服从 [0,1] 上的均匀分布 C.Z 服从 [0,2] 上的均匀分布
27.设 X,Y ,且 X 服从 [0,2] 上的均匀分布,Y 服从 2 的指数分布, 则 P{X Y } (
).
B. 1 e4
4
A. 1 (1 e 4 )
4
C. 1 e 4 3
4
4
D. 1
2
3 xy,0x2,0y12 28. 设 ( X , Y ) ~ f ( x, y) 2 , 则 (X,Y) 在 以
0, 其他
(0,0),(0,2),(2,1)为顶点的三角形内取值的概率为(
). D.0.8
A. 0.4 B.0.5 C.0.6
29. 随机变量 X,Y , 且分别服从参数为
和的指数分布,则1 2
, Y 1 } ( ). P{ X 1 1
2
A. e 1
B. e 2 C.1 e 1 D.1 e 2
).
30.设 ( X ,Y ) ~ f ( x, y) Ae[( x5)2 8( x5)( y3)25( y3)2 ] ,则 A 为(
.
精品文档
A.
3
B. 3
C. 2 D.
2
31.设某经理到达办公室的时间均匀分布在 8 点 12 点,他的秘书到达
办公室的时间均匀分布在 7 点到 9 点.设二人到达的时间相互, 则他们到达办公室的时间相差不超过 5 分钟的概率为(
).
A. 1
48
1
2
B. 1
n
2
C. 1
12
D. 1
24
32.设 X , X ,L , X 相且都服从 N (, 2 ) ,则( A. X X L X
1
2
).
n
21B. ( X X L X ) ~ N (, )
1 2 n n n
C. 2 X 3 ~ N (2 3,4 2 3)
1
D. X X ~ N (0, 2 2 )
1
2
1
2
g ( x, y) 0,( x, y) G ,D为一平面区域,记G,D的面33.设 ( X , Y ) ~ f ( x, y)
0
, 其它
积为 S , S , ,则 P{( x, y) D} =( A. S D
S
G
G
D
).
C. f ( x, y)dxdy
D
B.
S
S
D G G
D. g ( x, y)dxdy
D
二、填空题
1． ( X , Y ) 是二维连续型随机变量，用 ( X , Y ) 的联合分布函数 F (x, y) 表示
下列概率：
（1） p(a X b, Y c) ____________________;
（2） p( X a, Y b) ____________________;
（3） p(0 Y a) ____________________;
（4） p( X a, Y b) ____________________ .
2．随机变量 ( X ,Y ) 的分布率如下表，则 , 应满足的条件是
.
.
精品文档
X Y
1 2 3
1
1/6 1/9 1/18 1/2
x
2
3．设平面区域 D 由曲线 y 1 及直线 y 0, x 1, x e 2 所围成，二维随机变 量 ( X , Y ) 在区域 D 上服从均匀分布，则
( X , Y ) 的联合分布密度函数
为
.
( X , Y ) ~ N (1 , 2 , 12 , 22 , )
4 ． 设
， 则
X , Y 相 互 独 立 当 且 仅 当
.
5.设相互的随机变量 X、Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为
P （X=0 ）=1/2 ，P（X=1 ）=1/2 ，则随机变量 Z=max{X,Y}的分布律 为
.
1 ，则 3 0 6．设随机变量 X , X 2 , X 3 相互且服从两点分布 X X i 1 0.80.2 i1
服从
分布 .
7. 设 X 和 Y 是 两 个 随 机 变 量 ， 且 P{X 0 ， Y 0}=3/7 ， P{X 0}=P{Y 0}=4/7,则 P{max（X，Y） 0}=
.
8.设某班车起点站上车人数 X 服从参数为 ( 0) 的泊松分布，每位
乘客在中途下车的概率为 p(0 . ；二为随机变量（ X，Y）的概率分布 9.假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从参数为 1/5 的指数分 . 精品文档 布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障时工作2 小时 便关机，则该设备每次开机无故障工作的时间 Y 的分布函 数 . 10.设两个随机变量 X 与 Y 同分布，且 P（X=-1）=P（Y=-1）=1/2， P（X=1）=P（Y=1）=1/2，则 P（X=Y）= ；P（X+Y=0）= ； P（XY=1） . = . 精品文档 第四章 一、选择题 随机变量的数字特征 1．X 为随机变量， E ( X ) 1, D( X ) 3 ，则 E[3( X 2) 20] =（ ）. A. 18 B.9 C.30 D. 32 2. 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为 e( x y ) ,0 x ,0 y ，则 E ( XY ) ( ). f ( x, y) 0 , 其它 A. 0 B.1/2 C.2 D. 1 ). 3. (X,Y)是二维随机向量,与 Cov( X , Y ) 0 不等价的是( A. E ( XY ) EX EY B. D( X Y ) DX DY D. X 与 Y ). D. 2DX 3DY C. D( X Y ) DX DY 4. X,Y ,且方差均存在,则 D(2 X 3Y ) ( A. 2DX 3DY B. 4DX 9DY ). C. 4DX 9DY 5. 若 X,Y ,则( A. D( X 3Y ) DX 9DY B. D( XY ) DX DY D. P{Y aX b} 1 ). C. E{[ X EX ][Y EY ]} 0 6.若 Cov( X , Y ) 0 ,则下列结论中正确的是( A. X,Y B. D( XY ) DX DY D. D( X Y ) DX DY ). C. D( X Y ) DX DY 7.X,Y 为两个随机变量,且 E[( X EX )(Y EY )] 0, 则 X,Y( A. B. 不 C. 相关 D. 不相关 ). xy 8.设 D( X Y ) DX DY , 则以下结论正确的是( A. X,Y 不相关 B. X,Y C. xy 1 D. 1 . 精品文档 9.下式中恒成立的是( ). B. D. ). D( X Y ) DX DY D( X 1) DX 1 A. E ( XY ) EX EY C. Cov( X , aX b) aDX 10.下式中错误的是( A. D( X Y ) DX DY 2Cov( X , Y ) B. Cov( X , Y ) E ( XY ) EX EY C. Cov( X , Y ) 1 [ D( X Y ) DX DY ] 2 D. D(2 X 3Y ) 4DX 9DY 6Cov( X , Y ) 11.下式中错误的是( ). B. D(2 X 3) 2DX D. D( EX ) 0 A. EX 2 DX ( EX ) 2 C. E (3Y b) 3EY b 12.设 X 服从二项分布, EX 2.4, DX 1.44 ,则二项分布的参数为 ( ). A. n 6, p 0.4 B. n 6, p 0.1 D. n 24, p 0.1 C. n 8, p 0.3 13. 设 X 是一随机变量, EX , DX 2 , 0 ,则对任何常数 c,必有 ( ). A. E ( X c) 2 EX 2 C 2 C. E ( X c) 2 DX 14. X ~ B(n, p), 则 D( X ) ( E ( X ) B. E ( X c) 2 E ( X ) 2 D. E ( X c) 2 2 ). C. p D. A. n B. 1 p 1 1 p . 精品文档 15.随机变量 X 的概率分布律为 P{X k} 1 , k 1,2,L , n, 则D( X ) = n ( ). 12 A. 1 (n 2 1) B. 1 (n 2 1) 12 C. 12(n 1) 2 D. 1 (n 1) 2 12 x 1 e 10 ,x016. 随机变量 X ~ f ( x) 10 ,则 E (2 X 1) =( ). 0, x 0 A. 4 1 B. 4 10 14 C. 21 D. 20 10 17.设 X 与 Y 相互，均服从同一正态分布，数学期望为 0，方 差为 1，则（X，Y）的概率密度为（ 1(x y ) A. f ( x, y) e 2 2 2 ）. 2 2 2 y ) B. f ( x, y) 1 e ( x 2 2 C. f ( x, y) 1 (x y )2 e 2 2 22 1 x y D. f ( x, y) e 4 2 18.X 服从 [0,2] 上的均匀分布,则 DX=( ). D. 1 A. 1 2 B. 1 3 C. 1 6 12 19. X ~ N (0,1), Y X 3, 则 EY=( ). C. 0 ). D. Y ~ N (0,2) ). D. 2 n 3 A. 2 1 B. 3 n 4 i 2 20. 若 Y X X , X ~ N (0,1), i 1,2, 则( A. EY=0 B. DY=2 C.Y ~ N (0,1) 21. 设 X : b(n, p), Y : N (, 2 ) ，则( A. D( X Y ) np(1 p) 2 B. E ( X Y ) np D. D( XY ) np(1 p) 2 C. E ( X 2 Y 2 ) n2 p 2 2 22.将 n 只球放入到 M 只盒子中去,设每只球落在各个盒中是等可能 的,设 X 表示有球的盒子数,则 EX 值为( ). . 精品文档 A. M [1 (1 1 ) n ] M nB.M B. M [1 ( 1 ) n ] M D. n! M n 23. 已知 X 服从参数为 ` 的泊松分布,且 E[( X 1)(X 2)] 1 ,则 为 ( ). B.-2 1 2 3 A. 1 C. 1 2 1 D. 1 4 2 24. 设 X ， X ， X 相互,其中 X 服从 [0,6] 上的均匀分布, X 服 从正态分布 N (0,2 2 ) , X 服从参数为 3 的泊松分布,记 Y X 2 X 3 X , 3 1 2 3 则 DY=( ). B.46 C.20 D. 9 ). 3 A. 14 25. 设 X 服从参数为 1 的指数分布,则 E ( X e2 X ) =( A. 1 B.0 C. 1 3 D. 4 ). 3 26. 设 X 为随机变量, EX , DX 2, 则P{| X | 3 } 满足( A. 1 9 B. 1 3 C. 1 9 D. 1 27. 设 X,Y 同分布,记U X Y ,V X Y , 则 U 与 V 满足( ). A. 不 B. 1 2 10 C.相关系数不为 0 i D. 相关系数为 0 i 28. 设随机变量 X , X ,L X 相互,且 EX 1, DX 2(i 1,2,L ,10) ， 则下列不等式正确的是（ 10 A. P{ 2 X 1 } 1 i1 i 10 B. P{ X 1 } 1 2 i1 i ）. 10 C. P{ X 10 } 1 20 2 i i1 29. 利用正态分布有关结论, 10 D. P{ X 10 } 1 20 2 i i1 (x2)21 2 ( x 4 x 4)e 2 dx =( 2 ). A. 1 B.0 C.2 D. -1 30.设(X,Y)服从区域 D {( x, y) : 0 x, y a} 上的均匀分布,则 E | X Y | . 精品文档 的值为( ). B. 1 a 2 A. 0 C. 1 a 3 D. 1 a 4 31. 下列叙述中正确的是( A. D( X EX ) 1 DX ). B. X EX ~ N (0,1) DX C. EX 2 ( EX ) 2 D. EX 2 DX ( EX )2 32.某班有 n 名同学,班长将领来的学生证随机地发给每个人,设 X 表示恰好领到自己学生证的人数,则 EX 为( ). A. 1 B. n 2 C. n(n 1) D. n 1 2 n 1, X 0 33.设 X 服从区间 [1,2] 上的均匀分布, Y X0,则DY ( ) . 0, 1, X 0 A. 2 B. 1 C. 8 D. 1 3 3 9 34.某种产品表面上的疵点数服从泊松分布,平均每件上有 1 个疵点, 若规定疵点数不超过 1 的为一等品,价值 10 元;疵点数大于 1 不多于 3 的为二等品 ,价值 8 元;3 个以上者为废品 ,则产品的废品率为 ( A. 8 ). 3e B. 1 8 3e C. 1 5 2e D. 5 ). 2e 35. 接上题,任取一件产品,设其价值为 X, 则 EX 为( A. 76 3e B. 16 3e C. 9 D. 6 2 x, 0 x 1 ,以 Y 表示对 X 的三次重复观察中 36. 设 X ~ f ( x) 0, 其他 “ X 1 ”出现的次数，则 DY=（ ）. 2 91634A． B. C. D. 16 9 4 3 . 精品文档 37. 设(X,Y)为连续型随机向量,其联合密度为 f ( x, y) ,两个边缘概 率密度分别为 f ( x) 与 f ( y) ,则下式中错误的是( A. EX xf ( x)dx X X Y ). B. EX xf ( x, y)dxdy C. EY 2 y 2 f ( x, y)dxdy D. E ( XY ) xyf ( x) f ( y)dxdy X Y 二、填空题 1．随机变量 X 服从参数为 . pX 1 的泊松分布，且 D( X ) 2 ，则 2 ． 已 知 离 散 型 随 机 变 量 X 可 能 取 到 的 值 为 ： -1 ， 0 ， 1 ， 且 E ( X ) 0.1, E ( X 2 ) 0.9 ，则 X 的概率密度是 . 3．设随机变量 X ~ N (, 2 ) ，则 X 的概率密度 f ( x) EX ； DX ； DY .若 Y X . EY ，则Y的概率密度f(y) 4. 随 机 变 量 X ~ N ( ,4) ， 且 E ( X 2) 5 ， 则 X 的 概 率 密 度 函 数 p(2 X 4) 0.3, 为 . 5. 若 随 机 变 量 X 服从均值为 3，方差为 2 的正态分布，且 P (2 X 4) 0.3, 则 P ( X 2) . 6．已知随机变量 X 的分布律为： X 0 1 2 3 4 1/3 1/6 1/6 ， D( X ) = XY p 则 E ( X ) = 1/12 1/4 . ， E (2 X 1) = 7．设 DX 4, DY 9, 0.5, 则 D(2 X 3Y ) _____________ . 8．抛掷 n 颗骰子，骰子的每一面出现是等可能的，则出现的点数之 和的方差为 . . 精品文档 9．设随机变量 X 和 Y ，并分别服从正态分布 N (2, 25) 和 N (3,49) ， 求随机变量 Z 4 X 3Y 5 的概率密度函数为 . 10.设 X 表示 10 次重复射击命中目标的次数，每次击中目标的概 率为 0.4，则 X 2 的数学期望 E（ X 2 ）= . 11.已知离散型随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，则随机变量 Z=3X-2 的数学期望 E（ . Z）= . 精品文档 第五章 大数定理及中心极限定理 一、选择题 1. 已知的 X 密度为 f ( x )(i 1,2,L ,100) , 且它们相互 , 则对任何实数 x , 概率 i i P{ X x} 的值为( 100 i1 i ). A. 无法计算 B. i1 L [C f ( x )]dx L dx 100 i1 i 1 100 100 xx i C. 可以用中心极限定理计算出近似值 D. 不可以用中心极限定理计算出近似值 2. 设 X 为随机变量, EX , DX 2 , 则P{| X | 3 } 满足( ). 1 1 1 1 A. B. C. D. 9 3 9 3 1 2 10 i i 3. 设随机变量 X , X ,L , X 相互,且 EX 1, DX 2(i 1,2,L ,10) ，则（ ） A. P{ X 1 } 1 10 i1 i 2 B. P{ X 1 } 1 10 i1 i 2 C. P{ X 10 } 1 20 10 i1 i 2 D. 10 2P{ X 10 } 1 20 i1 i 4. 设对目标地发射 400 发炮弹,已知每发炮弹的命中率为 0.2 由中心极限定理,则命中 60 发～100 发的概率可近似为( ). A. (2.5) B. 2(1.5) 1 i i C. 2(2.5) 1 D. 1 (2.5) 5. 设 X , X ,L , X 同分布, EX , DX 2 , i 1,2,L , n, 当 n 30 时,下列结 1 2 n 论中错误的是( n i1 i ). 2 A. X近似服从 N (n, n ) 分布 n X n B. i1 n 2 i 近似服从 N (0,1) 分布 C. X X 服从 N (2,2 2 ) 分布 1 . 精品文档 n D. X 不近似服从 i i1 1 2 N (0,1) 分布 6. 设 X , X ,L 为相互具有相同分布的随机变量序列 ,且 X i 1,2, L 服从参数为 i 2 的指数分布,则下面的哪一正确? ( ) n n X i x x ; A. lim P i1 n n n 2 X n i x x ; B. lim P i1 n n n 2 X i x x ; C. lim P i1 n 2 n n 2 X i x x ; D. lim P i1 n 2n 其中 x 是标准正态分布的分布函数. 二、填空题 1、设 n 是 n 次重复试验中事件 A 出现的次数， P( A) p, q 1 p ，则对 np n任意区间 [a, b] 有 lim Pab ＝ n npq . 2、设 n 是 n 次重复试验中事件 A 出现的次数， p 是事件 A 在每次试验中发生的概率， =则对于任意的 0 ，均有 lim P| n p | n n . . . 3、一颗骰子连续掷 4 次，点数总和记为 X ，估计 p(10 X 18) = 4、已知生男孩的概率为 0.515，求在 10000 个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率= . 精品文档 第六章 样本及抽样分布 一、选择题 1 2 1. 设 X , X ,L , X 是来自总体 X 的简单随机样本,则 X , X ,L , X 必然满足( ) n 1 2 n A.但分布不同; B.分布相同但不相互; C 同分布; ）. D.不能确定 2．下列关于“统计量”的描述中，不正确的是（ A．统计量为随机变量 B. 统计量是样本的函数 D. 估计量是统计量 ). C. 统计量表达式中不含有参数 3. 设总体均值为 ,方差为 2 , n 为样本容量,下式中错误的是( A. E ( X ) 0 S 2 X ~ N (0,1) C.E( ) 1 D. B. D( X ) n 2 / n 2 4. 下列叙述中,仅在正态总体之下才成立的是( ). A. ( X X ) X n i1 i 2 n i1 2i n( X )2 B. X 与S 2 相互 ˆ ) 2 D(ˆ ) [ E (ˆ ) ]2 C. E ( D. E[ ( X n i )2 ] n 2 ）. i1 5. 下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是（ A. 若 则 2 1 1 2 F ~ F (n , n ), 1 ~ F (n , n )F B．若 T ~ t (n), 则T 2 ~ F (1,n) n ( X )2 C．若 X ~ N (0,1), 则X 2 ~ x 2 (1) D．在正态总体下 i1 2 i i ~ x2 (n 1) 6． 设 X , S 2 表示来自总体 N ( , 2 ) 的容量为 n 的样本均值和样本方差 (i 1,2) ，且 i 两总体相互，则下列不正确的是（ i i i ）. ( X 1 X 2 ) ( ) 2 S 2 ~ N (0,1) A. 2 1 ~ F (n 1,n 1) B. 1 2 1 2 2 S 2 2 1 1 2 22 n n 1 2 C. . S / n 1 1 X 1 1 ~ t (n ) D. 1 (n 1)S 2 2 2 2 2 ~ x2 (n 1) 2 精品文档 7. 设总体服从参数为 的指数分布,若 X 为样本均值, n 为样本容量,则下式中错误的是 1 ( ). A. E X B. DX 2 n C. (n1)EX 2 n 2 D. E X 2 1 2 8. 设 X , X ,L , X 是来自总体的样本,则 1 2 n 1 n 1 ( X X ) 是( ). n i1 2 i A.样本矩 1 2 n B. 二阶原点矩 C. 二阶中心矩 D.统计量 9. X , X ,L , X 是来自正态总体 N (0,1) 的样本, X , S 2分别为样本均值与样本方差,则 ( ). B. nX ~ N (0,1) C. A. X ~ N (0,1) X n i1 2 i ~ x2 (n) D. X S 3 ~ t (n 1) 10. 在总体 X ~ N (12,4) 中抽取一容量为 5 的简单随机样本 X , X , X , X , X , 则 1 2 4 5 P{max( X , X , X , X , X ) 15} 为( 1 2 3 4 5 ). C. 1 [(1.5)]5 ). D. [(1.5)]5 A. 1 (1.5) B. [1 (1.5)]5 11.上题样本均值与总体均值差的绝对值小于１的概率为( A. 2(0.5) 1 5 5 ) 1 C. 2( ) 1 D. 2(2.5) 1 B. 2( 2 4 9 9 1 2 9 i i 12. 给定一组样本观测值 X , X ,L , X 且得 X 45, X 2 285, 则样本方差 S 2 的观测值为 ( i 1 i 1 20 65 A. 7.5 B.60 C. D. 3 2 13. 设 X 服从 t (n) 分布, P{| X | } a ，则 P{X } 为( ). ). A. 1 2 a B. 2a C. 1 2 a D. 1 1 2 a 14． 设 X , X ,L ，X 是来自总体 N (0,1) 的简单随机样本，则 1 2 n ( X X ) 服从分 n i1 i 2 布为（ ）. A． x 2 (n) B. x 2 (n 1) C. N (0, n 2 ) 1 D. N (0, ) n 15. 设 x , x ,L , x 是来自正态总体 N (0, 22 ) 的简单随机样本，若 1 2 n . 精品文档 Y a( X 2 X ) 2 b( X X X ) 2 c( X X X X ) 2 服 从 x 2 分 布 ， 则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a, b, c 的值分别为（ ）. 111 A. , , 8 12 16 1 1 1 , , B. 20 12 16 1 1 1 C. , , 3 3 3 1 1 1 D. , , 2 3 4 16. 在天平上重复称量一重为 a 的物品,假设各次称量结果相互且同服从 N (a,0.2 2 ) 分布,以 X n 表示 n 次称量结果的算术平均,则为了使 P{ X n a 0.1} 0.95, n 值最小应取作( A. 20 ). B. 17 C. 15 D. 16 17. 设随机变量 X 和 Y 相互,且都服从正态分布 N (0,3 2 ) ,设 X , X , , X 和 X Y , Y , , Y 分别是来自两总体的简单随机样本,则统计量U 1 2 9 9 i1 9 i1 Y 1 2 9 i 服从分布是( ). 2 i A. t (9) B. t (8) C. N (0,81) D. N (0,9) 二、填空题 1．在数理统计中， 称为样本. 2 ． 我 们 通 常 所 说 的 样 本 称 为 简 单 随 机 样 本 ， 它 具 有 的 两 个 特 点 是 . 3 ． 设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n 相 互 独 立 且 服 从 相 同 的 分 布 ， EX , DX 2 ， 令 X n 1 n X i ，则 EX ； DX . i1 4．设 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体的一个样本，样本均值 X _______________ ，则样本标 准 差 S ___________ ； 样 本 方 差 S 2 _________________ ； 样 本 的 k 阶 原 点 矩 为 1 2 ；样本的 k 阶中心矩为 10 . 5. ( X , X , , X ) 是 来 自 总 体 X ~ N (0, 0.32 ) 的 一 个 样 本 ， 则 10 P X 2 1.44 i i1 . 6．设 X 1 , X 2 , , X n 是来自（0—1）分布 (P{X 0} 1 p, P{X 1} p) 的简单随机样本，X 是样本均值，则 E ( X ) . D( X ) . . 精品文档 7．设 ( X , X , , X ) 是来自总体的一个样本， ( X 1 2 n (1) , X , , X ) 是顺序统计量，则经验 (2) (n) 分布函数为 F ( x) n _______________________ 1 2 n 8．设 ( X , X , , X ) 是来自总体的一个样本，称 为统计量； 9．已知样本 X 1 , X 2 , , X 16 取自正态分布总体 N (2,1) ，X 为样本均值，已知 P{X } 0.5 ， 则 . 2 是样本方差，10．设总体 X ~ N (, 2 ) ， X 是样本均值， S n n 为样本容量，则常用的随机 变量 (n 1)S 2 2 n 服从 分布. 11．设 X 1 , X 2 , , X n 为来自正态总体 X ~ N (, 2 ) 的一个简单随机样本，则样本均值 X 1 n i1 n X 服从 i ， 又 若 ai 为 常 数 (ai 0, i 1,2 , n) ， 则 ai X i i1 n 服 从 . 12.设 n 10 时，样本的一组观测值为 (4,6,4,3,5,4,5,8,4,7) ，则样本均值为 样本方差为 ， . . 精品文档 第七章 参数估计 一、选择题 1. 设总体 X 在 ( , ) 上服从均匀分布，则参数 的矩估计量为（ ）. （A） 1 X 1 （B） n 1 2 X n （C） i i1 1 n 1 X n 2 （D） X i i1 2. 设总体 X ~ N (, ) ， X , , X 为抽取样本，则 1 n 1n ( X X ) 是（ n i 1 2 i ）. ( A) 的无偏估计 ( B) 2 的无偏估计 (C ) 的矩估计 ( D) 2 的矩估计 1 n 3. 设 X 在[0，a]上服从均匀分布， a 0 是未知参数，对于容量为 n 的样本 X , , X ，a 的最大似然估计为（ ） 1 1 2 n （A） max{ X , X , , X } （B） n X n i1 i 1 （C） max{ X , X , , X } min{ X , X , , X } 1 2 n 1 2 n （D）1 X ； n i1 i n 4. 设总体 X 在[a,b]上服从均匀分布， X , X , , X 是来自 X 的一个样本，则 a 的最大似 然估计为（ 1 ） 2 n 1 2 n （A） max{ X , X , , X } （C） min{ X , X , , X } 1 2 n （B） X （D） X X n 1 5. 设总体分布为 N (, 2 ) ， , 2 为未知参数，则 2 的最大似然估计量为（ ）. 1n（A） ( X X ) n i1 i 2 （B） 1 n 1 ( X X ) n i1 i n i1 2 1 （C） ( X ) n i1 i 2 1 n（D） n 1 ( X ) i 2 6. 设总体分布为 N (, 2 ) ， 已知，则 2 的最大似然估计量为（ ）. （A） S 2 n 1 2 S （B） n . 精品文档 1 （C） 2 ( X ) n i1 i n（D） 1 n 1 ( X ) n i1 i 2 ax a1 , 0 x 1 （ a 0), x , x ,L , x 是取自总体的 7. 设总体 X 的密度函数是 f ( x, a) 1 2 n 其他 0, 一组样本值，则 a 的最大似然估计为（ A. n i n ln x i1 B. 1n）. ln x n i1 i 1 n n C. ln( x ) n D. 6 x (x),0x ， X , X , , X 是来自 X 的简 8. 设总体 X 的概率密度为 f ( x) 3 1 2 n 0, 其他 单随机样本，则 的矩估计量为( ). C. max( X , X , , X ) 1 2 n A. X B. 2 X D. X n i1 i 9. 设总体 X 的数学期望为 ，方差为 2 ， ( X , X ) 是 X 的一个样本， 则在下述的４个估计量中，（ 1 ）是最优的. 2 1 4 1 1 ˆ ˆ X X X X (A) (B) 1 5 1 2 2 158 4 2 1 1 1 1 X ˆ X X X (C) 2 3 2 2 2 3 ˆ(D) 2 1 4 1 10. X , X , X 设为来自总体 X 的样本，下列关于 E ( X ) 的无偏估计中，最有效的为（ 1 2 3 （A） （B） 1 2 1 2 3 ）. 1 ( X X )21 （C） ( X X X ) 1 23 4 1 2 n 1 ( X X X ) 32 2 1 ) （D） X X X 33 1 3 2 3 11. 设 ( X , X , , X ) 为总体 N ( , 2 ) ( 已知)的一个样本， X 为样本均值，则在总体 方差 2 的下列估计量中，为无偏估计量的是（ ）. 1 1 ˆ 2 （A） ( X X ) ； n i1 2 i 2 2 n1n 2ˆ（B） ( n 11 i1 X X )2 ； i 1 ˆ （C） 23 ( X ) ； n i1 i 4 n （D） ˆ 2 nn 1 ( X ) . n i1 i 2 12. 设 X , , X 是来自总体 X 的样本，且 EX ，则下列是 的无偏估计的是（ 1 ）. . 精品文档 ( A) 1n n X i1 2 1 i ( B) 1 n 1 X n i i1 (C ) n i2 1 n X i n 1 1 X ( D) i n 1 i 1 13. 设 X , X , , X (n 2) 是 正 态 分 布 N (, 2 ) 的 一 个 样 本 ， 若 统 计 量 K ( X n1 i1 1 n i1 X ) i 2 为 2 的无偏估计，则 K 的值应该为（ ） （A） 1 14. 下列叙述中正确的是（ 2n （B） 1 2n 1 （C） 1 2n 2 （D） 1 n 1 ˆˆA． 若 是 的无偏估计，则 也是 2 的无偏估计. ）. ˆ ,ˆ )ˆ 比 ˆ 更有效. B． 都是 的估计，且 D(ˆ ) D(ˆ ，则 1 2 1 2 1 2 ,ˆ 都是 的估计，且 E (ˆ ) 2 E (ˆ ) 2 ，则ˆC． 若ˆ 优于 ˆ 1 2 1 2 1 2 D． 由于 E ( X ) 0 ，故 X . 15. 设 n 个 随 机 变 量 X , X , , X 1 2 2 n 独 立 同 分 布 ， D X 2 ， X 1n X n i1 i ， S n 1 1 ( X X ) ，则（ n i1 i 2 ） A. S 是 的无偏估计量 B. S 2 不是 2 的最大似然估计量 S 2 与 X ）. C. S 2 DX n D. 16. 设 是总体 X 中的参数，称 ( , ) 为 的置信度1 a 的置信区间，即（ A. ( , ) 以概率1 a 包含 B. 以概率1 a 落入 ( , ) D. 以 ( , ) 估计 的范围，不正确的概率是1 a C. 以概率 a 落在 ( , ) 之外 1 2 , 17. 设 为总体 X 的未知参数， , 是统计量， 1 2 为 的置信度为1 a(0 a 1) 的 置信区间，则下式中不能恒成的是（ ）. B. A. P{ } 1 a C. P{ } 1 a 2 1 2 P{ } P{ } a 2 1 D. P{ } P{ } 2 1 a 2 18. 设 X ~ N (, 2 ) 且 2 未知，若样本容量为 n ，且分位数均指定为“上侧分位数”时， . 精品文档 则 的 95%的置信区间为（ ） A. ( X n S n u B. 0.025 ) ( X S n t 0.05 (n 1)) C. ( X t 0.025 (n)) D. S ( X t 0.025 (n 1)) n ） 95%的置信区间为 （ 19. 设 X ~ N (, 2 ), , 2 均未知，当样本容量为 n 时， 2 的 (n 1)S 2 (n 1)S 2 (n 1)S 2 (n 1)S 2 ) A. ( , ) B. ( , x 2 (n 1) x 2 (n 1) x 2 (n 1) x 2 (n 1) 0.975 0.025 0.025 0.975 (n 1)S 2 (n 1)S 2 S t (n 1)) C. ( , ) D. ( X t 2 (n 1) t 2 (n 1) n 0.025 0.025 0.975 20. X , X , , X 和 Y , Y , , Y 分别是总体 N ( , 2 ) 与 N ( , 2 ) 的样本，且相互独 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 立，其中 2 , 2 已知，则 的1 a 置信区间为（ 1 2 1 2 ） S 2 S 2 2 2 1 2 ] A. [( X Y ) t (n n 2) 1 2 ] B. [( X Y ) Z a 1 2 a n n n n C. [(Y X ) t z 1 2 2 1 2 (n n 2) D. 2 1 2 2 a 1 2 a S 2 S 2 n 1 n 2 ] 2 2 1 [(Y X ) Z 2 ] n n 1 2 2 21. 双正态总体方差比 1 2 2 的1 a 的置信区间为（ ） 1 S 2 S 2 2 S 1 1, n 1) 1 ] , F (nA. [ F (n 1, n 1) a 2 1 2S2a 1 2 S 2 S 2 2B. [F (n 1, n 1) S 1 , F (n 1, n 1) 1 ] a 2 1 a 1 2 2S2 2 1 S 2 S 2 2 S 1 1, n 1) 2 ] , F (nC. [ F (n 1, n 1) a 2 1 S12a 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S 2 S 2 (n , n ) S 12D. [F (n 1, n 1) S1 2 , F ] a 2 1 2 2 a 1 2 2 1 2 二、填空题 1. 点估计常用的两种方法是： 和 . 2. 若 X 是离散型随机变量，分布律是 P{X x} P( x; ) ，（ 是待估计参数），则似然函 . 精品文档 数是 ，X 是连续型随机变量，概率密度是 f ( x; ) ，则似然函数是 . 3. 设 X 的分布律为 X P 1 2 3 1 2 2 3 2 (1 ) (1 ) 2 __，极大似然 已知一个样本值 ( x , x , x ) ( 1, 2 , 1) ，则参数的 的矩估计值为___ 估计值为 4. 设总体 X 的概率分布列为： . X P 0 p2 1 2 p(1-p) 2 p2 3 1-2p 其中 p ( 0 p 1/ 2 ) 是未知参数. 利用总体 X 的如下样本值： 1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3 则 p 的矩估计值为__ ___，极大似然估计值为 . 5. 设总体 X 的一个样本如下： 1.70，1.75，1.70，1.65，1.75 则该样本的数学期望 E ( X ) 和方差 D( X ) 的矩估计值分别_ ___. ( 1) x 0 x 1 ,,Xn是 X 的样本， ，设 X 6. 设总体 X 的密度函数为： f ( x) 1 其 他0 则 的矩估计量为 ，最大似然估计量为 . ( 1)( x 5) , 5 x 6 ( 0) ， 7. 已知随机变量 X 的密度函数为 f ( x) 其他 0, 其中 均为未知参数，则 的矩估计量为 ，极大似然估计量 . 6 x ( x), 0 x X,X,,X设总体X的概率密度为且 是来自总体 8. f ( x) 3 1 2 n 其它 0, X 的简单随机样本，则 的矩法估计量是 ，估计量 的方差为 . 9. 设总体 Y 服从几何分布，分布律： p{Y y} (1 p) y1 p, y 1,2, 其中 p 为未知参 数，且 0 p 1.设 Y , Y , , Y 为 Y 的一个样本，则 p 的极大似然估计量为 1 2 n . 10. 设总体 X 服从 0-1 分布，且 P (X = 1) = p, X ,K , X 是 X 的一个样本，则 p 的极大似 然估计值为 . 1 n 11. 设总体 X ~ () ，其中 0 是未知参数， X ,K , X 是 X 的一个样本，则 的矩估 1 n . 精品文档 计量为 ，极大似然估计为 1 n . 12. 设 X 在 [a,1] 服从均匀分布， X , , X 是从总体 X 中抽取的样本，则 a 的矩估计量 为 . 13. 设 总 体 X 在 [a, b] 服 从 均 匀 分 布 ， a, b 未 知 ， 则 参 数 a, b 的 矩 法 估 计 量 分 别 为 ， . 1 2 n 14. 已知某随机变量 X 服从参数为 的指数分布，设 X , X , , X 是子样观察值，则 的 矩估计为 ，极大似然估计为 . 15. 设 X ~ N (, 2 ) ，而 1.70，1.75，1.70，1.65，1.75 是从总体 X 中抽取的样本，则 的 矩估计值为 . 16. 若未知参数 的估计量是 ，若 知参数 的两个无偏估计量，若 17. 对任意分布的总体，样本均值 X 是 1 2 m $ $ 是$ $称 的无偏估计量. 设 1, 2 是未 $ $ 则称 1较 2有效. 的无偏估计量. 18. 设 X , X , , X 为总体 X 的一个样本，X ~ B(n, p), n 1 ，则 p 2 的一个无偏估计量 为 . 19. 设总体 X 的概率密度为 f ( x, ) 本，则 2 X 是未知参数 的 20. 假设总体 X ~ N (, ) ，且 X 2 (0x)，X,X,,X为总体X的一个样 1 2 n 1 估计量. 1 X ， X , X , , X i1 i 1 2 n n n 为总体 X 的一个样本， 则 X 是 的无偏估计. (,2)为总体 X ~ N 的一个样本，则常数 C= 时， 21. 设 X , X , , X 1 2 n C ( X n1 i1 X ) 2 是 2 的无偏估计. i1 i 为总体 X 的一个样本，则常数 k= , 22. 设总体 X ~ N ( , 2 ) ， X , X , , X 1 2 n 使 k n i1 X X 为 的无偏估计量. i 23. 从一大批电子管中随机抽取100只，抽取的电子管的平均寿命为1000小时，样本均方差 为 S 40 .设电子管寿命分布未知，以置信度为 0.95 ，则整批电子管平均寿命 的置信区 . 精品文档 间为（给定 Z 0.05 1.5 , Z 0.025 1.96 ） . 24. 设总体 X ~ N ( , 2 ) ， , 2 为未知参数，则 的置信度为1－ 的置信区间为 . 25. 某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为 2 0.04 ，从某天生产的产品中随机抽取 9 个，测得直径平均值为 15 毫米，给定 0.05 则滚珠的平均直径的区间估计为 . ( Z 0.05 1.5 , Z 0.025 1.96) 26. 某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取 6 个，测得直径为： 14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 已知原来直径服从 N(,0.06) ，则该天生产的滚珠直径的置信区间为 ， （ 0.05 ， Z 0.05 1.5 ， Z 0.025 1.96 ）. 12 个子样算得 1 2 27. 某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取 S 0.2 ，则 的置信区间为 （ 0.1， 2 (11) 19.68 ， 2 (11) 4.57 ）. 2 28. 设某种清漆干燥时间 X ~ N ( , 2 ) （单位：小时），取 n 9 的样本，得样本均值和 方差分别为 X 6, S 2 0.33 ，则 的置信度为 95%的单侧置信区间上限为 . . 精品文档 0 第八章 假设检验 一、选择题 0 1. 关于原假设 H 的选取,下列叙述错误的是( A. 尽量使后果严重的错误成为第一类错误 ). B. 可以根据检验结果随时改换 H ,以达到希望得到的结论 0 C. 若拟从样本数据得到对某一结论强有力的支持,则将此结论的对立面设为 H D. 将不容易否定的论断选作原假设 2. 关于检验水平 的设定,下列叙述错误的是( ). A. 的选取本质上是个实际问题,而非数学问题 B. 在检验实施之前, 应是事先给定的,不可擅自改动 C. 即为检验结果犯第一类错误的最大概率 D. 为了得到所希望的结论,可随时对 的值进行修正 3. 下列关于“拒绝域”的评述中,不正确的是( ). A. 拒绝域是样本空间(即全体样本点的集合)的子集 B. 拒绝域的结构形式是先定的,与具体抽样结果无关 C. 拒绝域往往是通过某检验统计量诱导出来的 D. 拒绝域中涉及的临界值要通过抽样来确定 4. 关于检验的拒绝域 W,置信水平 ,及所谓的“小概率事件”,下列叙述错误的是( A. 的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述 ). B．事件{( X , X , , X ) W | H 为真 } 即为一个小概率事件 1 2 n 0 C．设 W 是样本空间的某个子集，指的是事件{( X , X ,L , X ) | H 为真} D．确定恰当的 W 是任何检验的本质问题 1 2 1 2 n 0 5. 设总体 X ~ N (, 2 ), 2 未知 ,通过样本 X , X , , X 检验假设 H : ,要采用 n 0 0 检验估计量( A. X 0 0 ). / n 1 2 n XB.S / n C. X D. S / n 0 X / n ). 6. 样本 X , X , , X 来自总体 N (,12 2 ) ,检验 H : 100 ,采用统计量( XA. 12 / n B. 100 X 12 / n 1 X100C. S / n 1 2 n 0 X D.S / n 0 7. 设总体 X ~ N (, 2 ), 2 未知,通过样本 X , X , , X 检验假设 H : ,此问题 拒绝域形式为 . . 精品文档 X100A. { X 100 X 100 C}C}D.{XC}C. { C}B.{S / n S / 10 S / 10 8．设 X , X , , X 为来自总体 N ( ,32 ) 的样本，对于 H : 100 检验的拒绝域可以形 如（ 1 2 n 0 ）. A．{ X C} B. { X 100 C} X100C}D.{X100C} / C. { S n 0 9. 样本来自正态总体 N (, 2 ) , 未知,要检验 H : 2 100 ,则采用统计量为( ). (n1)S2 A. 2 (n 1)S 2 X nS 2 B. C. n D. 100 100 100 0 10. 设总体分布为 N (, 2 ) ,若 已知,则要检验 H : 2 100 ,应采用统计量( n 2 ). 2 XA. S / n 1 2 n (n1)SB. 2 ( X ) i 2 ( X X ) n C. i1 100 0 D. 2 i1 i 100 11. 设 X , X , , X 为来自总体 N (, 2 ) 的样本, 若 未知, H : 100 ， H : 2 100, a 0.05 , 关于此检验问题, 下列不正确的是( 1 ). n X X )2 ( A. 检验统计量为 i1 i 100 (n 1)S 2 2 ~ x (n 1) B. 在 H 成立时, 0 100 C. 拒绝域不是双边的 D. 拒绝域可以形如{ ( X X ) 2 k} i1 1 2 n i n 12. 设 X , X , , X 是来自总体 N (10, 2 ) 的样本, 针对 H : 2 100 , H : 0 1 2 100 ， a 0.05 ，关于此检验问题, 下列不正确的是( 1 2 n ). A. 若设 W 为拒绝域,则 P{X , X ,L , X ) W 2 100} 0.05 恒成立 (n 1)S 2 B. 检验统计量取作 100 . 精品文档 n ( X 10)2 i C 的形状 C. 拒绝域可取为 i1 100 n 2 ( X 10) D. 在 H 成立时, 0 i1 100 i 服从 x 2 (n) 分布 二、填空题 1. 为了校正试用的普通天平, 把在该天平上称量为 100 克的 10 个试样在计量标准天平上进 行称量,得如下结果: 99.3, 98.7, 100.5, 101,2, 98.3 99.7 99.5 102.1 100.5, 99.2 假设在天平上称量的结果服从正态分布 ,为检验普通天平与标准天平有无显著差异 , H 0 为 1 2 . 25 2．设样本 X , X , , X 来自总体 N (,9), 未知.对于检验 H : ， H : ， 0 0 1 0 取拒绝域形如 X 0 k ，若取 a 0.05 ，则 k 值为 . . 精品文档 参 第一章 一、选择题 概率论的基本概念 1．答案：（B） 2. 答案：（B） 解：AUB 表示 A 与 B 至少有一个发生, -AB 表示 A 与 B 不能同时 发生,因此(AUB)( -AB)表示 A 与 B 恰有一个发生． 3．答案：（C） 4. 答案：（C） 5. 答案：（C） 6. 答案：（D） 注:C 成立的条件:A 与 B 互不相容. 注:C 成立的条件:A 与 B 互不相容,即 AB . 注:由 C 得出 A+B= . 7. 答案：（C） 8. 答案：（B） 9. 答案：（D） 注：选项 B 由于 P( A ) 1 P( A ) 1 P( A ) 1 P( A ) 1 C (1 P( A )) n n n n n i1 i i1 i i1 i i1 i i1 i 10.答案：（ C ） 11.答案：（C） 注：古典概型中事件 A 发生的概率为 P( A) N ( A) . N () 12.答案：（C） 解：用 A 来表示事件“每个盒子中至多有１个球”，此为古典概型. . 精品文档 由于不限定盒子的容量，所以每个小球都有 N 种放法，故样本空间中 样本点总数为 N n ；每个盒子中至多有１个球，则n 个小球总共要放 n 个盒子，先在 N 个盒子中选出 n 个盒子，再将 n 个球进行全排列，故 事件 A 中所包含的样本点个数为 C n n! .因此 P( A) CNn n! N 13.答案：（A） N n 解：用 A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑 A 的对立事件 A “此 r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知 C r r ! P365 r P r P( A) 365 ，故 P( A) 1 365 . 365r 365r 365r 14.答案：（D） 解： P( A ) 5 0.05; 当抽取方式有放回时， P( A ) 5 0.05; 1 100 2 100 当抽取方式不放回时， P( A ) P(A ) P(( A A ) A ) P( A A A A ) P( A A ) P( A A ) 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 4 95 5 5 . . 0.05 100 99 100 99 100 . 15.答案：（C） 16.答案：（A） 解：这里可以理解为三个人依次购买奖券，用A 表示事件“第 i 个人 i 中奖”，用 A 表示事件“恰有一个中奖”，则 A A A A A A A A A A ， 故 P( A) P( A A A ) P( A A A ) P( A A A ) 3 7 6 7 3 6 7 6 3 21 . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 10 9 8 10 9 8 10 9 8 40 17.答案：（B） 解：“事件 A 与 B 同时发生时,事件 C 也随之发生”，说明 AB C ， 故 P( AB) P(C ) ；而 P( A B) P( A) P(B) P( AB) 1, . 精品文档 故 P( A) P(B) 1 P( AB) P(C ) . 18.答案：（D） 解：由 P( A | B) P( A B) 1 可知 P( AB) 1 P( A B) P( B) P( B) P( B) 1 P( B) P( AB)(1 P( B)) P( B)(1 P( A) P( B) P( AB)) 1 P(B)(1 P( B)) P( AB)(1 P( B)) P( B)(1 P( A) P( B) P( AB)) P( B)(1 P( B)) P( AB) P( AB ) P( AB) P( AB) P( B) P( B) P( A) P( B) ( P( B))2 P( B) P( AB) P( B) ( P( B))2 P( AB) P( A) P( B) 故 A 与 B . 19.答案：（A） 解：由于事件 A,B 是互不相容的，故 P( AB) 0 ，因此 P(A|B)= P( AB) 0 0 . P( B) P( B) 20.答案：（A） 解：用 C 表示事件“A 与 B 恰有一个发生”，则 C= AB U AB ，AB 与 AB 互 不相容，故 P(C ) P( AB) P( AB) P( A AB) P( B AB) . P( A) P( AB) P( B) P( AB) P( A) P( B) p q 或通过文氏图来理解，由于 AB ，故 AB A, AB B ，因此 P(C ) P( AB ) P( AB) P( A) P( B) p q . 21.答案：（D） 解：用 E 表示“n 次试验中，事件 A 至多发生一次”，用 B 表示 事件“n 次试验中，事件 A 一次都不发生”，用 C 表示事件“n 次 试验中，事件 A 恰好发生一次”，则 E B C ，故 . 精品文档 P( E ) P( B) P(C ) (1 p)n C1 p(1 p)n1 (1 p)n np(1 p) n1 . n 22.答案：（B） 解：用 A 表示事件“至少摸到一个白球”，则 A 的对立事件 A 为“4 次摸到的都是黑球”，设袋中白球数为 x ，则 280 1 2 1 P( A) ( )4 1 P( A) 1 x 4 . 2 x 81 81 2 x 3 23.答案：（D） 解：所求事件的概率为 p C 2 ( 1 )2 1 3 0.375 . 3 2 2 8 24.答案：（D） 解：用 A 表示事件“密码最终能被译出”，由于只要至少有一人能译 出密码，则密码最终能被译出，因此事件A 包含的情况有“恰有一人 译出密码”， 恰有两人译出密码”， 恰有三人译出密码”， 四人都译 “ “ “ 出密码”，情况比较复杂，所以我们可以考虑 A 的对立事件 A “密码 最终没能被译出”，事件 A 只包含一种情况，即“四人都没有译出密 码”，故 P( A) (1 1 )(1 1 )(1 1 )(1 1 ) 1 P( A) 2 . 5 4 3 6 3 3 25.答案：（B） 解：所求的概率为 P( ABC ) 1 P( A B C ) 1 P( A) P(B) P(C ) P( AB) P(BC ) P( AC ) P( ABC ) 1 1 1 1 1 1 0 0 4 4 4 16 16 3 8 注： ABC AB 0 P( ABC ) P( AB) 0 P( ABC ) 0 . 26.答案：（B） 解：用 A 表示事件“甲击中目标”，用 B 表示事件“乙击中目标”，用 . 精品文档 C 表示事件“目标被击中”，则 C A B .故 P(C ) P( A) P( B) P( AB) P( A) P( B) P( A) P( B) 0.6 0.5 0.6 0.5 0.8 . 27.答案：（A） 解：即求条件概率 P( A | C ) ，由条件概率的定义 P(A)0.6P(AC) 3.P( A | C ) P(C ) P(C ) 0.8 4 28.答案：（A） 解：用 A 表示事件“取到白球”，用 B 表示事件“取到第 i 箱” 1.2.3i ， i 则由全概率公式知 P( A) P( B ) P( A | B ) P( B ) P( A | B ) P( B ) P( A | B ) 1 1 2 2 3 3 . 1113 15 53 35 36 38 120 29.答案：（C） 解：用 A 表示事件“取到白球”，用 B 表示事件“取到第 i 类箱子” i 1.2.3 ，则由全概率公式知 1 1 2 i P( A) P( B ) P( A | B ) P( B ) P( A | B ) P( B ) P( A | B ) 21 32 12 7 65 63 65 15 2 3 3 . 30.答案：（C） 解：即求条件概率 P( B | A) .由 Bayes 公式知 2 5.3 2 P( B ) P( A | B ) 2 2 P( B | A) 6 3 2 7 P( B ) P( A | B ) P( B ) P( A | B ) P( B ) P( A | B ) 7 1 1 2 2 3 3 15 31.答案：（D） 解：用 A 表示事件“将硬币连续抛掷 10 次，结果全是国徽面朝上”， 用 B 表示事件“取出的硬币为残币”，需要求的概率是 P(B | A) .由题设 . 精品文档 可知 P( B) 1 , P(B) 99 , P( A | B) 1, P( A | B) ( 1 )10 ，由 Bayes 公式可知 100 100 2 所求概率为 12. P(B | A) 1 ( ) 99 2P(B)P( A | B) P(B)P( A | B) 1 10 100 10 1 99 110 100 100 2 P(B)P( A | B) 32.答案：（C） 解：用 B 表示事件“顾客确实买下该箱”,用 A 表示事件“此箱中残 次品的个数为 i ”， i 0,1,2 ，则需要求的概率为 P( A | B) .由题意可知 P( A ) 0.8, P( A ) 0.1, P( A ) 0.1 ； 0 1 2 0 i 1918， P( B | A ) 1, P( B | A ) , P( B | A ) 0 1 2 20 20 故由 Bayes 公式可知 P( A ) P( B | A ) 0 0 P( A | B) 0 P( A ) P( B | A ) P( A ) P( B | A ) P( A ) P( B | A ) . 0 0 1 1 2 2 0.8 1 160 0.8 1 0.119 / 20 0.118 / 20 197 二、填空题 1.{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，反，反）， （反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，正）} 2. AB U AB; A U B; AB 3. ABC ; ABC U ABC U ABC U ABC 或 AB U BC U AC 4．0.3，0.5 解：若 A 与 B 互斥，则 P（A+B）=P（A）+P（B），于是 P（B）=P（A+B）-P（A）=0.7-0.4=0.3； 若 A 与 B ，则 P（AB）=P（A）P（B），于是 由 P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）， . 精品文档 得 P( B) P( A B) P( A) 0.7 0.4 0.5 . 1 P( A) 1 0.4 5.0.7 解：由题设 P（AB）=P（A）P（B|A）=0.4，于是 P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.5+0.6-0.4=0.7. 6.0.3 解：因为 P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB），又 P( AB ) P( AB) P( A) ， 所以 P( AB ) P( A U B) P( B) 0.6 0.3 0.3 . 7.0.6 解：由题设 P（A）=0.7，P（ AB ）=0.3，利用公式 AB AB A 知 P( AB) P( A) P( AB ) =0.7-0.3=0.4，故 P( AB) 1 P( AB) 1 0.4 0.6 . 8.7/12 解：因为 P（AB）=0，所以 P（ABC）=0，于是 P( ABC ) P( A U B U C ) 1 P( A U B U C ) 1 [ P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( BC ) P( AC ) P( ABC )] . 1 3/ 4 2 / 6 7 /12 9.1-p 解：由于 P( AB ) P( A U B) 1 P( A U B) 1 [ P( A) P( B) P( AB)] 1 p P( B) P( AB), 由题设 P( AB ) P( AB) ，故 P（B）=1-p. 10.0 解：由于事件 A B 与事件 A B 是互逆的， ( A B)( A B ) ，因此 P{( A B)( A B )} 0 ，从而有 P{( A B)( A B)( A B )( A B )} 0 . 11.1/4 . 精品文档 解：因为 P( A U B U C ) P( A) P(B) P(C ) P( AB) P(BC ) P( AC ) P( ABC ) 由题设 P( A) P( B) P(C ), P( AC ) P( A) P(C ) P 2 ( A), P( AB) P( A) P( B) P 2 ( A) ， 9，因此有P( BC ) P( B) P(C ) P ( A), P( ABC ) 0 3P( A) 3P2( A) ，解得 2 16 P（A）=3/4 或 P（A）=1/4，又题设 P（A）<1/2,故 P（A）=1/4. 12.1/6 解：本题属抽签情况，每次抽到次品的概率相等，均为 1/6，另外， 用全概率公式也可求解. 13.2/5 解：根据抽签原理，第一个人，第二个人，……，等等取到黄球的概 率相等，均为 2/5. 或者利用全概率公式计算，设 A={第一个人取出的为黄球}；B={第 一个人取出的为白球}；C={第二个人取出的为黄球}；则 P（A）=2/5， P（B）=3/5，P（C|A）=19/49，P（C|B）=20/49，由全概率公式知 P（C）=P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）= 2 19 3 20 2 . 14. 1 5 49 5 49 5 1260 解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事 件，则全部事件数为 7！，而有利的基本事件数为1 2 1 2 111 4 ， 故所求的概率为 4 1 . 7! 1260 15.3/7 解：设事件 A={抽取的产品为工厂 A 生产的}，B={抽取的产品为工厂 B 生产的}，C={抽取的是次品}，则 P（A）=0.6，P（B）=0.4，P（C|A） . 精品文档 =0.01，P（C|B）=0.02，故有贝叶斯公式知 P(AC)P( A) P(C | A) 0.6 0.01 3 .P( A | C ) P(C ) P( A) P(C | A) P( B) P(C | B) 0.6 0.01 0.4 0.02 7 16.1/5 解：以 A 表示事件{从 10 件产品中任取两件，两件都是不合格品}， 以 B 表示事件{从 10 件产品中任取两件，至少有一件是不合格品}， 2C2 2，显然2 则所求的概率为 P（A|B），而 P( A) C4 , P( B) 1 6 A B ， C 2 故 P （ AB ） =P （ A ） =2/15 ， 由 条 件 概 率 的 计 算 公 式 知 10 15 C 2 10 3 P(AB)2 /15 P( A | B) 1/ 5 . P( B) 2/3 17.6/11 解：设 A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}， 则 P（A）=P（B）=1/2，P（C|A）=0.6，P（C|B）=0.5， 故 P( A | C ) P( AC ) P(C ) P(A)P(C|A)6.0.50.6 P( A) P(C | A) P( B) P(C | B) 0.5 0.6 0.5 0.5 11 18.2/3 解：设 A ={取出的产品为第 i 等品}，i=1，2，3.则 A , A , A 互不相容， P(A)0.6P(A)2. 1 所求概率为 P( A | A U A ) 1 1 1 2 P( A U A ) P( A ) P( A ) 0.6 0.3 3 1 2 1 2 i 1 2 3 19.（1- p ）（1- p ）（1- p ） 1 解：由题意当且仅当第一、二、三道工序均为成品时，该零件才为成 2 3 品，故该零件的成品率为（1- p ）（1- p ）（1- p ）. 1 20. p nm (1 p)m 2 3 . 精品文档 第二章 一、选择题 随机变量及其分布 1.答案：（B） 注：对于连续型随机变量 X 来说，它取任一指定实数值 a 的概率均为 0，但事件{X=a}未必是不可能事件. 2.答案：（B） ke 解：由于 X 服从参数为 的泊松分布，故 P{X k} . , k 0,1,2,L k ! 1e 2e 又 P{X 1} P{X 2}, 故 2 ，因此 1! 2! P{X 2} 1 P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} P{X 2}. 20 e2 21 e2 22 e2 5 1 1 0! 1! 2! e2 3.答案：（D） 解：由于 X 服从 [1,5] 上的均匀分布,故随机变量 X 的概率密度为 . 2，3， P{3 X 6} P{3 X 5} P{0 X 4} P{1 X 4} 4 2 1.P{1 X 3} P{1 X 3} 4 2 4 若点 1 , x [1,5] ba f ( x) 4 0, x [1,5] .因此， 4 ，则 4 答案：（C） X解：由于 X ~ N ( ,4), 故 ~ N (0,1); 2 由于 P{X 0} P{ X 0 } ( ), 而 (0) 1 ，故只有当 0 2 2 2 2 时，才有 P{X 0} 1 ； 2 X 2 P{X 2} P{X 2} 1 P{X 2} 1 P{ } 1 (1); 2 2 . 精品文档 正态分布中的参数只要求 0 ，对 没有要求. 5.答案：（C） 解 ： 连 续 型 随 机 变 量 的 函 数 未 必 是 连 续 型 的 ； 如 设 X 在 (0,2) 上服从均匀分布, 概率密度为 1 ,0x2 , p( x) 2 0, 其他. x, 0 x 1 ,又设连续函数yf(x) 1,1x2 0, y 0, y 故 Y 的分布函数为 F (Y ) , 0 y 1, Y 2 1, y 1. 此时 Y f ( X ) 不是连续型随机变量也不是离散型随机变量 这里 Y 表示事件{ X 1}出现的次数，故 Y 是离散型的随机变量； 2 ，1 2 12 2 故 Y ~ B(3, ) ，因此由于 P{X } 0)dx 2 xdx x| f (4 x 2 4 1 1 112 0 119. P{ y 2} C ( ) (1 ) 44 2 23 0 6.答案：（A） 解：由于 X ~ B(2, p) ，故 P{ X 1} 1 P{ X 1} 1 P{ X 0} 1 C 0 p 0 (1 p) 2 1 (1 p) 2 2 p p 2 ， 2 5 而 P{X 1} 5 ，故 2 p p 2 5 p 1 或p ； （舍） 9 9 3 3 由于 Y ~ B(3, p) ，故 11219. P{Y 1} 1 P{Y 1} 1 P{Y 0} 1 C ( ) (1 ) 3 1 ( ) 3 33 3 27 0 0 3 7.答案：（B） 解：这里 g ( x) 2 x 3 ，g ( x) 处处可导且恒有 g ( x) 2 0 ，其反函数为 y3，直接套用教材页的公式（5.2），得出 Y 的密度函 x h( y) 2 . 精品文档 数为 f ( y) f ( y 3) 1 1 f ( y 3) . Y X 2 2 2 X 2 8.答案：（D） 注：此题考查连续型随机变量的概率密度函数的性质.见教材 51 页. 9.答案：（C） 解：因为 X ~ N (1,1) ，所以 F ( x) 12 (t 1)2 ( x1)2 2 x e 1 e 2 . dt ， f ( x) 2 X 1 0 1 P{X 0} P{ } (1) 1 (1) 1 0.8431 0.1569, 1 1 P{X 0} 1 P{X 0} 1 P{X 0} 1 (1) (1) 0.8431; X 1 1 1 P{X 1} P{ } (0) 0.5, 1 1 P{X 1} 1 P{X 1} 1 P{ X 1} 1 (0) 0.5; 10.答案：（A） 解：由于 X ~ N ( , 42 ) ，所以 X 4 P P{X 4} P{ } (1) 1 (1)； 1 4 4 由于 Y ~ N ( ,5 2 ) ，所以 故 P P . 1 2 Y 5 P P{Y 5} 1 P{Y 5} 1 P{ } 1 (1)， 2 5 5 11.答案：（C） 解：因为 P{| X | } P{ X } P{ X } P{ X } X P{ } (1) (1) 2(1) 1 所以 P{| X | } 2(1) 1 ，该值为一常数，与 的取值无关. 12.答案：（B） . 精品文档 解：由于 f ( x) f ( x) ，所以 X 的概率密度函数为偶函数，其函数图形 关于 y 轴对称，因此随机变量 X 落在 x 轴两侧关于原点对称的区间内 的概率是相等的，从而马上可以得出 F (0) P( X 0) 1 .我们可以画出 2 函数 f ( x) 的图形，借助图形来选出答案 B. 也可以直接推导如下： a ，令，则有F (a) f ( x)dx u x F (a) f (u)du f (u)du f ( x)dx a a a 1 a f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx. 2 0 0 0 a 13.答案：（A） 71 1 33 解： P{X 1} xdx x 2 |1 . f ( x)dx 4 1 4 1 4 2 1 4 8 14.答案：（B） 21X 1 2 1 } 解： P{ X 2} 1 P{ X 2} 1 P{2 X 2} 1 P{ 2 2 2 1 [(0.5) (1.5)] 1 (0.5) 1 (1.5) 0.3753 . 15.答案：（C） 解：由于 X 服从参数为 1 的指数分布，所以 X 的概率密度为 9 x1 9 1 e 9 , x 0 ，因此 x x 1 1 . 9 f ( x) 9 P{3 X 9} e 9 dx e 9 | 3 3 e e 9 0 ，其它 3 16.答案：（D） 解：对任意的 x 0, P{ X x} 1 P{ X x} 1 F ( x) 1 (1 ex ) ex ；选 项 C 描述的是服从指数分布的随机变量的“无记忆性”；对于指数分 布而言，要求参数 0 . 17.答案：（A） . 精品文档 解：选项 A 改为 X ~ N (0,1) ，才是正确的； 18.答案：（B） b)；)( P{| X | k } P{k X k } P{k X k } k P{ Xk. } (k)(k)2(k)1,(k0) P{X (a, b)} F (b) F (a) ( a 解：由于随机变量 X 服从(1,6)上的均匀分布,所以 X 的概率密度函数 ,x[1,6]为 f ( x) 15 . 而 方 程 x 2 Xx 1 0 有 实 根 ， 当 且 仅 当 0, x [1,6] X 2 4 0 X 2或X 2 ，因此方程 x 2 Xx 1 0 有实根的概率为 62 p P{X 2} P{X 2} 0.8 . 6 1 19.答案：（A） 解：由于 X ~ N (2, 2 ) ，故 2 2 P{2 X 4} P{ 42 2 2 X2 }()-(0)0.3()0.8, 从而 P{X 0} P{ X 2 0 2} (- 2 )=1-( 2 )=1-0.8=0.2 . ２０．答案：（Ｃ） 解：由于 X ~ N (, 2 ) ，所以 Y X ~ N (0,1)，P{| X | } P{| Y | 1} ， 可见此概率不随 和 的变化而变化. 二、填空题 1. X x . 2.解：由规范性知1 1 1 1 1 15 c 15 . 2c 4c 8c 16c 16c 16 2 2k2/31. 3.解：由规范性知1 a( ) a 2a a 4.解：设 A {第 i 个零件是合格品}，则 . i k 1 3 1 2 / 3 精品文档 P{X 2} P{A A A } P{A A A } P{A A A } 0, x 1 5. F ( x) 1 x 1 . 0.6, 1, x 1 ke 6. P{X k} , k 0,1,2,L 1 2 3 1 2 3 1 2 3 121 234 234 234 24 113123 11. k ! 解：若 k<0,则根据密度函数的定义有 2，故k P( X k ) f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx 0 ，当 0 k 1 k 0 3 3 3 3 时，由 P( X k ) f ( x)dx 1 f ( x)dx 6 f ( x)dx 1 (1 k ) 2 2 k 1 ； k k 3 3 3 3 当 1 k 3 时，由题设 P( X k ) f ( x)dx f ( x)dx 6 f ( x)dx 2 ，即 k k 3 3 1 6 12 当1 k 3 时，结论成立；当 3 k 6 时，有 P( X k ) f ( x)dx f ( x)dx (6 k ) k k 9 3 6 2 2， 即当 3 k 6 时，结论不成立，同理 k 6 时结论也不成立.综上所述 k 的 取值范围是[1,3]. 8.解：因为 P{X x} P{X x} P{X x} F ( x) F ( x 0) ，所以只有在 F （X）的不连续点（x=-1,1,2）上 P{X=x}不为 0,且 P（X=-1）=F（-1） -F（-1-0）=a，P{X=1}=F（1）-F（1-0）=2/3-2a，P{X=2}=F（2）-F （2-0）=2a+b-2/3,由规范性知 1=a+2/3-2a+2a+b-2/3 得 a+b=1,又 1/2=P{X=2}=2a+b-2/3，故 a=1/6，b=5/6. 1 ,1x59.解：由于 X ~ U [1,5] ，所以 X 的概率密度为 f ( x) 4 ， 0, 其它 故 p( x X x ) f ( x)dx x2 1 dx 1 ( x 1) . 1 2 10. f ( x) 1 e2 ( x )2 2 2 1 4 4 2 y2 1 ； , x f ( y) e 2 , y 2 . 精品文档 X 3 7 3 2 3 P 2 X 7 P . 11.解： 2 2 2 (2) (2.5) (2) (2.5) 1 0.9972 0.9938 1 0.9910 12.解： 422 2 X2 ) ( ) (0) ( ) 0.8 ， 故 0.30 p(2 X 4) p( X 22 2 ( p( X 0) p( 02) ) 1 ( ) 0.2 . p( X c) p( X c) p( X c) 1 p( X c) 1X3c3c313.解:由 (0) p( X c) p( ) ( ) . 2 2 2 2 c3 0 c 3 2 2 2 １４．解： 0.80 p(120 X 200) p( 120 160 .4040 40 ( ) ( (1.28)31.25 )2()1(40)0.9 1 １５． X 160 200 160 ) 3 0.50.5 １６．解：由题设 5/ 9 P{ X 1} 1 P{ X 0} 1 (1 p)2 ，故 1 p 2 ， 3 从而 5/ 9 P{ X 1} 1 P{ X 0} 1 (1 p)2 1 p 2 / 3 ， 故 P{Y 1} 1 P{Y 0} 1 (2 / 3)3 19 / 27 . １７．解： F ( y) P{Y y} P{X y} Y 0 y 1 1 dx y ,(0 y 4) 2 2 故 f ( y) F ( y) 1 (0 y 4) . Y Y 4 y １８．解：由题设可知二次方程 y 2 4 y X 0 无实根的概率为 Ｐ（１６－４Ｘ＜０）＝Ｐ（Ｘ〈４）＝１／２， 由于正态分布密度函数曲线是关于直线 x 对称的，因此根据概率密 度的性质，有 P{X } 1/ 2 4 . 精品文档 第三章 一、选择题 随机变量及其分布 1.答案：（A） 解：由于 X,Y 都服从 [0,1] 上的均匀分布，所以 1,0 x 1 ，f ( x) X 0, 其它 1,0 y 1 ，又由于 X,Y 相互，所以(X,Y)的概率密度为 f ( y) Y 0, 其它 1,0 x 1,0 y 1 ，即(X,Y)服从均匀分布；令ZX+Y，则Z的 f ( x, y) 0, 其它 z dx z,0 z 1 0 1 ；令概率密度为 f ( z) f ( x, z x)dx Zdx2z,1z2 Y ，则由 1 Z z1 0 , 其它 教材 页的定理结论（5.2）式可知 f ( z ) 1,1 y 0 ，而且由于 X,Y Z 1 1 0, 其它 ，所以由教材 94 页的定理可知 X, Z 也，令 Z X-Y X Z ， 1 1 z1 dx z 1,1 z 0 0 1 . 则 Z 的概率密度为 f ( z) f ( x) f ( z x)dx dx 1 z,0 z 1 Z X 1 Z z 0 , 其它 2.答案：（C） 解：因为 {X Y } {X 1, Y 1} { X 1, Y 1} 而且事件 {X 1,Y 1} 与 {X 1,Y 1} 互不相容，故 . 精品文档 P{X Y } P{X 1,Y 1} P{X 1,Y 1} 1 1 1 1 1 P{X 1}P{Y 1} P{X 1}P{Y 1} 2 2 2 2 2 3.答案：（A） 解：要使 F ( x) aF ( x) bF ( x) 是某个随机变量的分布函数,该函数必须 满 足 分 布 函 数 的 性 质 ， 在 这 里 利 用 F () 1 这 一 性 质 可 以 得 到 1 2 aF () bF () a b 1 ，只有选型 A 满足条件. 1 2 4.答案：（A） 解：由 P{ X X 0} 1 可知 P{ X X 0} 1 P{ X X 0} 0 ，故 P{X 1, X 1} P{X 1, X 1} P{X 1, X 1} P{X 1, X 1} 0 P{X 1, X 1} P{X 1, X 1} P{X 1, X 1} P{X 1, X 1} 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 又由联合分布律与边缘分布律之间的关系可知： 1 P{X 1} P{X 1, X 1} P{X 1, X 0} P{X 1, X 1} 1 1 2 1 2 1 2 4 1 P{X 1, X 0} 1 2 4 1 P{X 1} P{X 1, X 1} P{ X 1, X 0} P{ X 1, X 1} 1 1 2 1 2 1 2 4 1 P{X 1, X 0} 1 2 4 1 P{X 0} P{ X 1, X 0} P{ X 0, X 0} P{ X 1, X 0} 2 1 2 1 2 1 2 2 1 P{X 0, X 0} P{ X 1, X 0} P{ X 1, X 0} 0 1 2 1 2 1 2 2 故 P{ X X } P{ X 1, X 1} P{ X 1, X 1} P{ X 0, X 0} 0 . 1 2 1 2 1 2 1 2 5.答案：（D） 解：联合分布可以唯一确定边缘分布，但边缘分布不能唯一确定联 合分布，但如果已知随机变量 X 与 Y 是相互的，则由 X 与 Y 的 . 精品文档 边缘分布可以唯一确定 X 与 Y 的联合分布. 6.答案：（B） 解：由联合分布的规范性知 1/6+1/9+1/18+1/3+ a+ b=1，得出 a+ b=1/3 7．答案：（A） 解：由于 X，Y 相互，所以 1 1 1 2 P{X 1,Y 2} P{X 1}P{Y 2} ( a) a 9 3 9 9 . 1 1 1 1 P{X 1,Y 3} P{X 1}P{Y 3} ( b) b 18 3 18 9 8.答案：（A） 解：由问题的实际意义可知，随机事件{X i} 与{Y j} 相互，故 1 1 1 , i, j 1,2,L 6 ； P{ X i, Y j} P{ X i}P{Y j} C1 C1 36 6 6 { X Y } { X k , Y k} P{X Y } P{X k , Y k} 6 k 1 6 k 1 1 1 ； 6 36 6 15； P{X Y } 1 P{X Y } 1 6 6 {X Y } {X Y } {X Y } ， 而事件{X Y } 又可以分解为 15 个两两不相容的事件之和，即 {X Y } {X k , Y k 1} {X k , Y k 2}L {X k , Y 6}, k 1,2,3,4,5 故 P{X Y } 15 P{X Y } P{X Y } P{X Y } 15 1 7 . 36 36 6 12 9.答案：（C） 1 2ydy6x,0x1 解：f ( x) f ( x, y)dy 0 X 0 , 其它 3x2,0x1 ，所以 0 , 其它 P{X 0} 1 ， . 1 6 x2 ydx,0 y 1 2 y,0 y 1 ，所以有 P{X 0} 0 ； f ( y) f ( x, y)dx Y 00 0 , 其它 其它 , 精品文档 f ( x, y) f ( y) f ( y) ，因此 X,Y . X Y 10.答案：（B） 解：若记 D {( x, y) | 0 x 1,0 y 1} ，则 B 改为 P{( X , Y ) G} 6 xydxdy 2 GD 才是正确的. 11.答案：（C） 解： P{Y 2 X 0} f ( x, y)dxdy G h( x, y)dxdy ； GI D P{Y 2 X 0} 1 P{Y 2 X } 1 P{Y 2 X } 1 f ( x, y)dxdy . G 12.答案：（A） 解： P{( X , Y ) D} 13.答案：（A） S S GI DG ； P{( X , Y ) D} 1 P{( X , Y ) D} 1 S GI D S ； G 解：串联的情况，由于当子系统 与 中有一个损坏时，系统 就停 1 2 止工作，所以 Y min{ X , X } ；并联的情况，由于当且仅当子系统 与 2 都损坏时，系统 才停止工作，所以Y max{ X , X }；备用的情况， 2 1 2 1 1 2 1 这时子系统 损坏时系统 才开始工作，所以 Y X X . 1 2 3 1 2 14.答案：（D） 解：记 D {( x, y) | X Y }, D {( x, y) | X 2Y } ， D {( x, y) | X Y }, D {( x, y) | X 2Y } ， 1 2 3 4 由于{U V } {U 1,V 1} U {U 0,V 0}， 故 P{U V } P{U 1,V 1} P{U 0,V 0} GI D I D S S S 12 G GI D3 I D4 G S 3 . 1 1 2 2 2 4 . 精品文档 15.答案：（B） 解：当 ( X , Y ) : N ( , , 2 , 2 , ) 时， X ~ N ( , 2 ) ， Y ~ N ( , 2 ) ，且 X 1 和 Y 相互的充要条件是 0 ；单由关于 S 和关于 T 的边缘分布， 2 1 2 1 1 2 2 一般来说是不能确定随机变量 S 和 T 的联合分布的. 16.答案：（C） 解：（ 方法 1）首先证明一个结论，若 T ~ N (, 2 ) ，则 S T ~ N ( , 2 ) . 证明过程如下（这里采用分布函数法来求 S T 的概率密度函数，也 可以直接套用教材 页的定理结论（5.2）式）：由于 F (s) P{S s} P{T s} P{T s} 1 P{T s} 1 P{T s} 1 F ( s), 故 f (s) f (s) (1) f (s) S T T S T 1 2 e(s)2 2 2 1 2 e(s())2 2 2 , 这 表 明 T 也服从正态分布，且 S T ~ N ( , 2 ) . 所以这里 Y ~ N ( , 2 ) .再利用结论：若 X 与 X 相互，且 2 X ~ N ( , 2 ), i 1,2 ，则 X X ~ N ( , 2 2 ) .便可得出 i 2 1 2 i i 1 2 1 2 1 2 X Y ~ N ( , 2 2 ) ； X Y ~ N ( , 2 2 ) ； 1 X 2Y ( X Y ) Y ~ N ( 2 , 2 4 2 ) ; 1 2 1 2 1 2 1 2 2 X Y X ( X Y ) ~ N (2 , 4 2 2 ) . 1 2 1 2 2 1 2 （方法 2）我们还可以证明：有限个相互的正态随机变量的 线性组合仍然服从正态分布，且若 X ~ N ( , 2 ), i 1,2,L , n ，则 i i i Y k X ~ N ( k , k 2 2 ) n n n 故 X Y ~ N ( , 2 2 ) ； X Y ~ N ( , 2 2 ) ； 1 i1 i i i1 i i i1 i i X 2Y ~ N ( 2 , 2 4 2 ) ; 2 X Y ~ N (2 , 4 2 2 ) . 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 . 精品文档 17．答案：（C） 解：由于 X，Y 相互，且都服从标准正态分布 N（0，1），因此 X， y Y 的联合概率密度函数为 f ( x, y) 1 e x 2 ,( x, y) R 2 . 2 2 2 下面先求 Z 的分布函数 F ( z) . 记 D {( x, y) | X 2 Y 2 z} ，由于 Z X 2 Y 2 0 ，所以当 z 0 时， F ( z) =0；当 z 0 时，有 Z Z F ( z) P{Z z} P{X Y z} f ( x, y)dxdy d Z 2 2 D 22 z z2 2 0 0 1 e d 1 e 2 ， 2 2ze将 F ( z) 关于 z 求导数，得到 z 的概率密度为 f ( z) z 2 , z 0 ， Z Z 0 , 其它 故 Z 服从的分布是参数为 1 的瑞利分布. 18. 答 案 ：（ B ） 注 : 考 查 其 对 立 事 件 , 可 知 D 0 有 两 种 情 况 , X X 0, X X 1 或 X X 1, X X 0 , 且 根 据 题 意 有 214,P X X 0, X X 1 P X X 1, X X 0 25 25 1 4 2 3 1 4 2 3 25 25 1 4 2 3 1 4 2 3 所以 P{D 0} 1 2 21 4 457 0.7312 625 19.答案：（A） 3解 ： 由 于 X ~ N (3,1) ， Y ~ N (2,1) ， 所 以 Z X 1， ( X 3) ~ N (0,1) Y 2 (Y 2) : N (0,1) ，故 Z 2Z 2(Y 2) : N (0,( 2) 2 1) N (0, 4) ， Z 3 2 2 1 1 而 Z Z Z ，所以 Z ~ N (0,5) . 1 3 20.答案：（D） 解：由联合概率密度函数的规范性知 . 精品文档 444 0 1 f ( x, y)dxdy C dx sin( x y)dy C [cos x cos( x 4 )]dx . dx 1 ( x2 xy)dy 0 5 4 1 65 . ( x3 x2 x)dx , y)dxdy A f ( x 0 AA (2x3y)2x3y dx e dy e d (2 x) e d (3 y) A 6. C[sin x sin( x )] 4 2 1 C 2 1 4 0 21.答案：（A） 解： P{X Y 1} 1 0 2 f ( x, y)dxdy x y1 1 1 x 3 0 6 3 2 72 22.答案：（Ｂ） 解：由联合概率密度函数的规范性知 1 0 0 0 0 6 6 23.答案：（Ｃ） 解：直接应用教材 94 页的定理结论：随机变量的连续函数所确 定的随机变量也是相互的. 24.答案：（C） 解：不妨考虑在 x 轴上原点到点(a,0)之间取两点, a 0 ,设它们到原 点的距离分别为 x,y,且 x 构成三角形,则 A x, y | x a , y a , y x a 0 ,因此 2 2 2 pA 1 a a 2 4 a a 25.答案：（B） 解：由于 X 和 Y 都是离散型的随机变量，所以它们的函数 X Y 仍是 . ( S A 2 2 2 1 , S 表示面积. S 1 精品文档 离散型随机变量，而且是一维的随机变量. {X Y l} {X 0,Y l} U {X 1,Y l 1}, l 0,1,2,L P{X Y l} P{X 0,Y l} P{X 1,Y l 1} 2le2(l1)e2 0.6 2 P{X 0}P{Y l} P{X 1}P{Y l 1} 0.4 ， l ! (l 1)! 2l e2 (0.3l 0.4) , l 0,1,2,L l ! 故 X Y 不服从泊松分布. 20 e2 P{X Y 0} P{X 0,Y 0} P{X 0}P{Y 0} (1 0.6) 0.4e2 . 0! 26.答案：（B） 解：由于 X,Y 相互，且都服从[0,1] 上的均匀分布，所以 X,Y 的联 1,0 x 1,0 y 1 ，故 Z 的概率密度函数为 合概率密度函数为 f ( x, y) 0, 其它 z dxz,0 z 1 0 1 dx2z,1z2，所以A，C，D都不对.f(x,zx)dx f ( z) Z z1 0 , 其它 P{X Y } f ( x, y)dxdy 0 .（二维随机变量 ( X , Y ) 落在位于矩形区域 x y [0 x 1,0 y 1]内的直线段 y x 上，没有形成区域，所以概率为零） 27.答案：（A） 1 ,0x2解：由于 X 服从 [0,2] 上的均匀分布，所以 f ( x) 2 ；由于 Y X 0, 其它 2e,y02y 2服从 的指数分布,所以 f ( y) ；又由于 X,Y ，所 Y 0 , 其它 . e,0x2,y02y 以 f ( x, y) ，故0 , 其它 P{X Y } f ( x, y)dxdy dx ex y 0 x 2 2 y 1 2 1 dy e2 xd (2x) 4 4 0 精品文档 (1 e4 ) . 28.答案：（C） 解：用 D 表示以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点所形成的三角形区域，用 33xx G表示矩形域，则所求的概率为P{( f x( x, y)dxdy xy dxdy dx xy dy ( X , Y ) D} [0 2,0 y 1] 2 2 0 1 x 2 2 2 0 4 D DI G 2 2 2 16 )dx 0.6 . 29.答案：（B） 1e1e函分别为，) F和解：由于 FX,Y分别服从参数为的指数分布，所以 ( x ( y) X,Y 的分布 0 0 x , x 0 1 2 Y 1 , 其它 2 y X , y 0 ，又因为 X,Y 独 , 其它 立，所以 P{X 1, Y 1} P{X 1}P{Y 1} [1 P{X 1}][1 P{Y }] [1 F ( 1 )][1 F ( 1 )] e2 1 2 1 [(x5)8(x5)( y3)25( y3) ] 1 12 2 X 1 Y 2 . 解：因为 eB）30.答案：（ e ( x54( y3)) 9( y 3) 2 2 2 2 所以 1 Ae (x54(y3))29(y3)2 dxdy Ae 9y3 dy e x54( y3) dx 2 2 即 A 3 A 3 31.答案：（A） 解：参考教材 92 页例题. 32.答案：（B） 解：利用结论：有限个相互的正态随机变量的线性组合仍然服从 . 精品文档 n n 正态分布，且若 X ~ N ( , 2 ), i 1,2,L , n ，则 Y nk X ~ N ( k , k 2 2 ). i i i i1 i i i1 i i i1 i i 2111n n 因此 ( X X L X ) ~ N ( , ( )2 2 ) N (, ) ； 2 n n 1 n n n X X ~ N ( , 2 2 ) N (0, 2 2 ) . 1 i1 i1 令 Z 2 X 3 ，由教材 页定理结论中的（5.2）式可知，Z 的概 1 Z 2 率 密 度 函 数 为 f ( z) 1 e2 ( z3 )2 [z(23)]22 2 2 2 2(2 ) 11 . e22 (2 ) ， 故 2 X 3 ~ N (2 3,4 ) . 1 2 33.答案：（C） 解： P{( x, y) D} f ( x, y)dxdy D g ( x, y)dxdy ，只有当 ( X , Y ) 在 G 内服 DI G 从均匀分布时，才有 P{( x, y) D} 二、填空题 S S DI GG . 1.F（b,c）-F(a,c);F(a,b);F(+ ,a)-F(+ ,0);F(+ ,b)-F(a,b). 2. 1/ 6 . 3.解： S e 1dx [ln | x |]e 2 ，故 f ( x, y) D 1 x 1 0,( x, y) D 4.0． 5.P（Z=0）=P（X=0，Y=0）=P（X=0）P（Y=0）=1/4；P(Z=1)=1-P(Z=0)=3/4. 6.二项分布 b（3，0.2）. 7.解：P{max（X，Y） 0}=P{X 0 或 Y 0}= P{X 0}+P{Y 0}- P{X 0， Y 0}=8/7-3/7=5/7. 8.解：（1）设 A={发车时有 n 个乘客}，B={中途有 m 人下车}，则在 发车时有 n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率是一个条件概率， . 精品文档 即 P（B|A）=P（Y=m|X=n）,根据二项概型有 P（B|A）= C m p m (1 p)nm ， n 其中 0 m n, n 0,1,2,L （ 2 ）由于 P(X=n,Y=m)=P(AB)=P(B|A)P(A), 上车人数服从参数为 ( 0) 的 泊 松 分 布 ， 因 此 P （ A ） = n e，于是P(X=n,Y=m)=n! C p (1 p) mn mnm n 9. 解：显然 Y=min{X,2}, 对于 y<0,F(y)=0; 对于 y 2,F(y)=1. 当 n! e ，其中 0 m n, n 0,1,2,L . 0 y 2 时，有 F（y）=P（Y y）=P{ min{X,2} y}=P{X y}=1-e ,0，若y<0 于是 y 的分布函数为 F ( y) ，若0 y 2 . 1-e 1，若y 2 y 5 10.解：P（X=Y）=P（X=-1, Y=-1）+ P （X=1, Y=1 ）= P （X=-1）P （Y=-1）+ P（X=1）P（Y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2; P（X+Y=0）= P（X=-1, Y=1）+ P（X=1, Y=-1）= P（X=-1）（Y=1）+ P（X=1）P（Y=-1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2; P（XY=1）=P（X=-1, Y=-1）+ P（X=1, Y=1）= P（X=-1）P（Y=-1） + P（X=1）P（Y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2. . 精品文档 第四章 一、选择题 随机变量的数字特征 1．答案：（D） 解：由于D( X ) = E ( X 2 ) - [ E ( X )]2 ，所以 E ( X 2 ) = D( X ) + [ E ( X )]2 = 3 + 1 = 4 ， 故 E[3( X 2 ) + 20] = E[3( X 2 )] + E (20) = 3E[( X 2 )] + 20 = 3? 4 20 = 32 . 2.答案：（D） ゥ 解： E( XY ) = 蝌 -? xyf ( x, y)dxdy = 蝌 ? 0 ゥ 0 xye - ( x+ y) dxdy = [? xe- xdx]2 = 1 ?0 3.答案：（D） 解： Cov( X , Y ) = E ( XY ) - E ( X )E (Y ) ，故 Cov( X , Y ) = 0 ? E ( XY ) EX ?EY ； D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) ，故 Cov( X , Y ) = 0 ? D( X Y ) = DX + DY ； D( X - Y ) = DX + DY - 2Cov( X , Y ) ，故 Cov( X , Y ) = 0 ? D( X Y ) = DX + DY ； Cov( X , Y ) = 0 ? r XY 0 ，但不能说明 X 与 Y . 4.答案：（C） 解 ： 由 于 X,Y 独 立 ， 所 以 2X 与 3Y 也 独 立 ， 故 D(2 X - 3Y ) = D(2 X ) + D(3Y ) = 4D( X ) + 9D(Y ) . 5.答案：（C） 解：当 X,Y 时， D( X - 3Y ) = D( X ) + D(3Y ) = D( X ) + 9D(Y ) ； E{[ X - E ( X )][Y - E (Y )]} = E[ XY - XE(Y ) - YE( X ) + E ( X )E (Y )] = E( XY ) - E( X )E(Y ), 而当 X,Y 时， E ( XY ) = E ( X )E (Y ) ，故 E{[ X - EX ][Y - EY ]} = 0 ； P{Y = aX + b} = 1 ? | | 1 . XY r 6.答案：（C） 解：Cov( X , Y ) = E ( XY ) - E ( X )E (Y ) ，当 X,Y 时，可以得到 Cov( X , Y ) = 0 而 Cov( X , Y ) = 0 ? r XY 0 ，即 X,Y 不相关，但不能得出 X,Y ； . 精品文档 D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) ，故 Cov( X , Y ) = 0 ? D( X Y ) = DX + DY ； D( X - Y ) = DX + DY - 2Cov( X , Y ) ，故 Cov( X , Y ) = 0 ? D( X Y ) = DX + DY . 7.答案：（D） 解： E[( X - EX )(Y - EY )] = 0 ? Cov ( X , Y ) 0 ? r XY ，即0 X,Y 不相关. 8.答案：（A） 解：D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov ( X , Y ) = DX + DY ? Cov ( X , Y ) 0 ? r XY 即 X,Y 不相关. 0 ， 9.答案：（C） 解： E ( XY ) = EX ?EY 成立的前提条件是 X,Y 相互； 当 X,Y 相互时，有 D( X - Y ) = DX + DY ，即 D( X - Y ) = DX + DY 成立的充分条件是 X,Y 相互； 而 D( X - Y ) = DX + DY - 2Cov( X , Y ) = DX + DY ? Cov( X , Y ) 0 ? r XY 0 即 X,Y 不相关，所以 D( X - Y ) = DX + DY 成立的充要条件是 X,Y 不相关； Cov( X , aX + b) = Cov( X , aX ) + Cov( X , b) = aCov( X , X ) = aD( X ) ； D( X + 1) = D( X ) + D(1)+ 2Cov( X ,1) = D( X ) . 10.答案：（D） 解：由 D( X + 1) = D( X ) + D(1)+ 2Cov( X ,1) = D( X ) ； D(2 X - 3Y ) = D(2 X ) + D(3Y ) - 2Cov(2 X ,3Y ) = 4D( X ) + 9D(Y ) - 12Cov( X , Y ) . 11.答案：（B） 解：由 D( X ) = E ( X 2 ) - [ E ( X )]2 ? E ( X 2 ) DX + [ E ( X )2 ] ； . 精品文档 D(2 X + 3) = D(2 X ) + D(3) + 2Cov(2 X ,3) = 4 D( X ) ； E (3Y + b) = E (3Y ) + E (b) = 3E (Y ) + b ； E ( X ) 是一个确定的常数，所以 D( E ( X )) = 0 . 12.答案：（A） 解：设该二项分布的参数为 n 和 p ，则由题意知 E ( X ) = np = 2.4 ， D( X ) np(1 p) 1.44 ，解得 n 6, p 0.4 . 13.答案：（D） 解： E[( X c)2 ] E ( X 2 2cX c 2 ) E ( X 2 ) 2cE ( X ) c 2 E ( X 2 ) [E ( X )]2 {[ E( X )]2 2cE( X ) c2} E ( X 2 ) [E ( X )]2 [ E( X ) c]2 D( X ) [ E( X ) c]2 D( X ) 2 14.答案：（B） 解：由于 X ~ B(n, p) ，所以 E ( X ) np ， D( X ) np(1 p) ，故 D( X ) np(1 p) 1 p . E ( X ) np 15.答案：（B） 11n 1n(n1)(n1)，n 解： E ( X ) k k k 1 n k 1 n n k 1 n 2 2 1121n(n1)(2n1) n 1) (n1)(2n E ( X ) k n n n 6 k 1 k 6 2 12 ，2 2 故 D( X ) E ( X 2 ) [E ( X )]2 (n 1)(2n 1) [ (n 1)]2 1 (n2 1) . 6 16.答案：（C） x 解： E ( X ) xf ( x)dx 0 x 1x 10 10 10 edx xde xe 0 x x 10 0 x 10 | 10 e 0 d ( 10 10 ) E (2 X 1) E (2 X ) E (1) 2E ( X ) 1 21. 17. 答案（A） . 精品文档 解：由于对于二维正态随机变量而言，与不相关是等价的，故 x2y2 1 (由题意知 ( X , Y ) : N (0,0,1,1,0) ，因此 f ( x, y) e 2 ) . 2 注：二维正态分布的概率密度为 221f(x,y)exp2 x x y y 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 18.答案：（B） (20)2 2(ba): 12 1 . 解：由于当 X U [a, b] 时， D( X ) ，故这里 D( X ) 12 3 19.答案：（C） 解：由于 X ~ N (0,1) ，故 X 的概率密度为 f ( x) = 故 - ? e , 1 2p x22- x < ? ， E (Y ) = E ( X 3 ) = 蝌 x3 f ( x)dx = -? ゥ 1 2p ? xe3 -x2 2 dx，由于被积函数为奇函数， 积 分区间关于原点对称，因此该积分值为 0，即 E (Y ) = 0 . 20.答案：（A） 解：由于 X ~ N (0,1),i 1,2 ，所以 E ( X ) E ( X ) 0 ， D( X ) D( X ) 1 又因为 Y X X ，所以 E (Y ) E ( X ) E ( X ) 0 ， 1 2 1 2 i 1 2 1 2 D(Y ) D( X ) D( X ) 2Cov ( X , X ) 2 2[E ( X X ) E ( X ) E ( X )] 2 2 E ( X X ), 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 而 X 与 X 的性未知，所以 E ( X X ) 的值无法计算，故 D(Y ) 的值 1 2 1 2 未知. 21.答案：（B） 解：由于 X : b(n, p), Y : N (, 2 ) ，所以 E ( X ) np, D( X ) np(1 p); . 精品文档 E (Y ) , D(Y ) 2 .故 E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) np ； 而 E ( X 2 ) D( X ) [ E ( X )]2 np(1 p) n2 p 2 , E (Y 2 ) D(Y ) [ E (Y )]2 2 2 , 故 E ( X 2 Y 2 ) E ( X 2 ) E (Y 2 ) np(1 p) n 2 p 2 2 2 . 22.答案：（A） ìï 1 第i个盒子中有球 ， 解 ： 不 妨对 M 个 盒 子 进 行 编号 ， 令 X = ïí i ïî 0 第i个盒子中没有球 骣M-1n M则，()==-=PX11Xå ÷÷ X ,即 i = 1,2, L , M çç i 桫 M ÷ ç i 1()=--E X M [1 (1 )n] M i= 1 23. 答案：（A） 解：由于 X 服从参数为 `的泊松分布，所以 E ( X ) ， D( X ) ， 故 E[( X 1)(X 2)] E ( X 2 3 X 2) E ( X 2 ) 3E ( X ) E (2) D( X ) [ E ( X )]2 3E ( X ) E (2) 2 2 2 1 2 2 1 0 1 . 24.答案：（B） 2(60)解：由于 X 服从 [0,6] 上的均匀分布,所以 D( X ) 3 ；由于 X 2 1 1 12 服从正态分布 N (0,2 2 ) ,所以 D( X ) 22 4 ；由于 X 服从参数为 3 的泊 2 松 分 布 ， 所 以 D( X ) 3 ； 又 因 为 X ， X ， X 相 互 独 立 ， 且 Y X 2 X 3 X ，所以 D(Y ) D( X 2 X 3 X ) D( X ) 4D( X ) 9 D( X ) 3 4 4 9 3 46 . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 3 25.答案：（D） 解：由于 X 服从参数为 1 的指数分布，所以 X 的概率密度函数为 . 精品文档 e x , x 0 ，且 E ( X ) 1 ，下面求 E (e2 X ) . f ( x) 0 ，其它 13x1，3x 1 ed(3x)e|2X2xx 0 E (e ) e e dx 3 3 3 故 E ( X e2 X ) E ( X ) E (e2 X ) 1 1 4 . 3 3 0 0 26.答案：（A） 2解：由切比雪夫不等式知 P{| X | 3 } 1 . (3 )2 9 27.答案：（D） 解：由于 X,Y 同分布，所以 D( X ) D(Y ) ，故 Cov(U ,V ) Cov( X Y , X Y ) Cov( X , X ) Cov( X , Y ) Cov(Y , X ) Cov(Y , Y ) ， D( X ) D(Y ) 0 UV 0 即 U 与 V 的相关系数为 0. 28.答案：（C） 10 解：记 X X ， 由 于 随 机 变 量 X , X ,L X 相互，且 10 i EX 1, DX 2(i 1,2,L ,10) ，所以 i i i1 1 2 E ( X ) E ( X ) 10 ， D( X ) D( X ) 20, 10 10 10 10 i1 i i1 i i1 i i1 i 故由切比雪夫不等式 P{| X E ( X ) | } 1 D( X ) 知 2 P{ X 10 } 1 10 i1 i 1202. 2 20 29. 答案：（A） 解：令 t x 2 ，则 . t2 1 1 1 ( x 2)2 e d ( x 2) t 2e 2 dt, ( x2 4 x 4)e 2 2 dx 2 2 2 设 T : N (0,1) ，则该积分值即为 E (T 2 ) ，而 E (T ) 0, D(T ) 1，所以 1( x2)2 ，故E (T ( x2 4 x 4)e 2 dx 1 . 2 ) D(T ) [ E (T )] 2 1 精品文档 2 30.答案：（C） 解：由于(X,Y)服从区域 D {( x, y) | 0 x, y a} 上的均匀分布，所以 1 ,(x,y)D(X,Y)的概率密度为 f ( x, y) a2 ，则 0, ( x, y) D a y 1 a x ( x y)dy E | X Y | | x y | f ( x, y)dxdy [ dx dy ( y x)dx] a2 . D 0 0 0 0 a x 12a x2 2 a3 a 2 dx ( x y)dy dx a2 a2 2 a2 6 3 0 0 31.答案：（D） 解 ： 令 X * X EX ， 则 有 EX * 0 ， DX * 1 ， 但 不 一 定 有 DX X EX ~ N (0,1) . X DX * 32.答案：（A） 解：引入随机变量 ìï 1,第i名学生刚好领到自己的学生证 ï， ，i=1，，X = í ，2 L n i ïî 0, 第i名学生没有领到自己的学生证 11，故 则 X=ån ，显然的分布律为X X P{X = 1} = ,P{X = 0}= 1- i=1 i i i n i n E(X )=1?P{X i i 1} + 0 ?P{X i 0}= 1 n 1 = 1. n ， 因 此 E(X)=E(邋X ) = n i=1 i n i=1 E(X ) = ? i n i=1 33.答案：（C） 解：由于 X 服从区间 [1,2] 上的均匀分布，所以 X 的概率密度为 . 精品文档 ,x[1,2]11； 0 ，故 Y 的分布律为 P{Y 1} P{X 0} dxf ( x) 3 1 3 3 0, x [1,2] 1 2 12.；P{Y 0} P{X 0} 0 P{Y 1} P{X 0} dx 因此 E (Y ) (1) P{Y 1} 0 P{Y 0} 1 P{Y 1} 1 2 1 ； 3 3 3 1 2 ；2222E (Y ) (1) P{Y 1} 0 P{Y 0} 1 P{Y 1} 1 3 3 故 D(Y ) E (Y 2 ) [ E (Y )]2 1 1 8 . 9 9 0 3 3 34. 答案：（B） 解：假设该种产品表面上的疵点数服从参数为 的泊松分布,用 Y 表 示每件产品表面上的疵点数，则由题意知 E (Y ) 1 1 1 ，故 ke11Y 的分布律为 P{Y k} , k 0,1,2,L ，因此产品的废品率为 k ! P{Y 3} 1 P{Y 0} P{Y 1} P{Y 2} P{Y 3} 10 e1 11 e1 12 e1 13 e1 8 1 1 0! 1! 2! 3! 3e . 35.答案：（A） 解：由题意知 X 的分布律为 10 e1 11 e1 2 P{X 10} P{Y 1} P{Y 0} P{Y 1} ; 0! 1! e 12 e1 13 e1 2 P{X 8} P{1 Y 3} P{Y 2} P{Y 3} ; 2! 3! 3e P{X 0} P{Y 3} 1 ; 3e 8 故 E ( X ) 10 P{X 10} 8 P{X 8} 0 P{X 0} 10 2 8 2 76 . e 3e 3e 36.答案：（A） 解：由题意知 P{X 1} 2 xdx 1 ，故 Y 服从参数为 3 和 1/4 的二 2 12 0 4 . 精品文档 项分布，即 Y : b(3, 1 ) ，因此 D(Y ) npq 3 1 3 9 . 4 4 4 16 37.答案：（D） 解 ： E ( XY ) xyf ( x, y)dxdy ， 只 有 当 X 与 Y 独 立 时 ， 才 有 E ( XY ) xyf ( x) f ( y)dxdy . x y 二、填空题 1.解：由题设 = D( X ) = 2 ，故 p {X = 1}= 21 e- 2 = 2e- 2 . 1! 2. 解 ： 假 设 P （ X=-1 ） =a ， P （ X=0 ） =b ， P （ X=1 ） =c, 则 a+b+c=1,-a+0+c= E ( X ) 0.1 ,a+c= E ( X 2 ) 0.9 ,故 a=0.4,b=0.1,c=0.5, 即 X 的概率分布是 P（X=-1）=0.4，P（X=0）=0.1，P（X=1）=0.5. 3. f ( x) = 1 - ( x- m2)2 ,e 2s EX = m , DX = s 2 ; f ( y) = 2ps 1 e , EY = 0, 2p -x 2 2 DY = 1. 4.解：由题设 E ( X 2 ) D( X ) [ E ( X )]2 4 2 5 1 ，故 X 的概率密 1 1 1 X343)p(X3 1) ( ) ( ) 1 1 2( ) 1 0.3 ( ) 0.65 . 度函数为 f ( x) = 1 - e 2 2p ( x- 1)2 8 . 5.解：由题设 2 3 p(2 X 4) p( X 3 p( X 2) p( 1 1 23) ( ) 1 ( ) 0.35 6.解： E ( X ) =0+1/6+1/3+1/4+1=7/4； E ( X 2 ) =0+1/6+4/6+9/12+16/4=67/12； D( X ) = E ( X 2 ) - [ E ( X )]2 =67/12-49/16=121/48； E(2 X 1) =-2 E ( X ) +E（1）=-7/2+1=-5/2. . 精品文档 7.解： DX 4, DY 9, 0.5, XY D(2 X 3Y ) D(2 X ) D(3Y ) 2Cov(2 X ,3Y ) 4D( X ) 9D(Y ) 12Cov( X , Y ) . 4D( X ) 9D(Y ) 12 XY DY 16 81 36 61 DX 8.解：用 X 表示抛掷第 i 颗骰子出现的点数，用 X 表示抛掷 n 颗骰子 i n 出现的点数之和，则 X X ，且 X 的分布律为 i1 i i P{ X =k}=1/6，k=1，2，3，4，5，6.i=1，2，…，n. 故 E ( X ) 1/ 6 2 / 6 3/ 6 4 / 6 5/ 6 6 / 6 7 / 2 ， E ( X 2 ) 1/ 6 4 / 6 9 / 6 16 / 6 25/ 6 36 / 6 91/ 6 ， i i 因此 D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2 91/ 6 49 / 4 35 /12 ，又 X 相互，故 i i i i n 邋=D( X ) D( X ) = i= 1 i n i= 1 D( X ) = 35n /12 . i 9.解： E (Z ) E (4 X 3Y 5) 4E ( X ) 3E (Y ) 5 8 9 5 4 ， D(Z ) D(4 X 3Y 5) 16 D( X ) 9D(Y ) 0 400 441 841 292 ， 故 Z 4 X 3Y 5 的分布密度函数为 f ( z) = Z e29 2p 1 (x-4)2- 1682 . 10.解：由于 X 服从 n=10，p=0.4 的二项分布，根据二项分布的性 质，EX=np=4，DX=np（1-p）=2.4，故 E（= DX+（EX）2 =18.4. X 2 ） 11.解：由于 X 服从参数为 2 的泊松分布，故 EX=2，因此 E（Z）=E （3X-2）=3EX-2=4. . 精品文档 第五章 大数定理及中心极限定理 一、选择题 1.（B）注：答案 C 要求期望和方差都存在 2.（A） 3.（C） 4.（C） 解 : 设 X: 炮 弹 命 中 的 数 量 ， 则 X ~ B 400,0.2 ， 由 中 心 极 限 定 理 X 400 0.2 近似 ~ N (0,1) ，因此 400 0.2 0.8 60 80 X 80 100 80 22.51P 60 X 100 P 8 8 8 5.（C）注： EX , DX 2 不意味 X 服从正态分布，不要只看符号形式 6.（B ） 解:因为 X i 1,2, L 服从参数为 2 的指数分布,故有 i 1 1 EX , DX ,( i 1,2,L ) i 2 i 4 X 令 Y n n 2 X n 2 i1 1 n i i 二、填空题 . 2 X n x lim P i1 n 1 e2dtx 2 精品文档 1. b a 1 ex2/ 2 dx 2 2.0 3.0.796 解：令 X 表示第 i 个骰子的点数， i 1,L ,4 ，则 E i 4 X 14 近似 7 35 X i , D X i 2 12 且 X X 4 i1 ， i1 i 35 3 i ~ N (0,1) ，所以 4 10X18PX14 21.2710.796 P 35 3 4. 0.1711 解：令 X 表示 1000 个新生婴儿中男孩的个数， PX500P 则 X515500 515 0.1711 515 0.485 515 0.485 . 精品文档 第六章 样本及抽样分布 一、选择题 1. ( C ) 2.（C） 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数 3.（D）注：当总体服从正态分布时 D 才成立，当然在大样本下，由中心极限定理有 近似服从 N (0,1) X / n 4.（B） 5.（D） X ~N(0,1),i1,2,L,n，且相互，根据2分布的定义有 对于答案 D,由于 i n ( X )2 i1 i 2 ~ x2 (n) 6.(C) 注： X 1 1 1 S / n 1 ~ t (n 1) 才是正确的. 1 7.(D) 8.(D) 1 X ~t(n1)才是正确的9.(C) 注： X ~ N (0, ) ， S n n 10.(C) P{max( X , X , X , X , X ) 15} 1 2 3 4 5 1 P{max( X , X , X , X , X ) 15} 1 P X 15,L , X 15 1 5 1 2 3 4 5 . 精品文档 =1 [(1.5)]5 11.(B) PX 12 1 2P X 12 1 1 2P X 1225 1 25 1 2(5) 1 2 9 i1 X X X i 12.(A) S 2 9 1 9 i1 2 i 9 X 2 9 1 i 285 9 25 7.5 8 13.(A) 14.(B) 根据 n 1S 2 2 n ~ n 1得到 ( X X )2 ~ 2 n 1 2 i1 15.(B) 解：由题意可知 1 2 X 2 X ~ N (0, 20) ， X X X ~ N (0,12) ， X X X X ~ N (0,16) ，且相互，因此 6 7 3 4 5 X 1 1 1 即 a , b , c 20 12 16 n 2 X 2 X X X 2 X X X X 2 1 2 4 5 7 8 9 3 6 20 12 16 8 9 ~ 2 3 ， 16.(D) 解：由题意可知 X ~ N (a,0.2 2 n) ，因此 P{ X n a 0.1} 2 n 2 1 0.95 解得: n 3.922 ，即 n 16 17.(A) 9 解： i1 X i ~ N (0,9 ) X 2 9 9 ， i i i1 i1 9 ~ N 0,1 Y 9 ~ 9 2 2 X 由 t 分布的定义有 Y i1 9 i1 9 i 2 i 9 ～t 9 81 二、填空题 1．与总体同分布，且相互的一组随机变量 2.代表性和性 . 精品文档 3. ， 2 n n X 4. i1 n i 1 ， n 1 1 X X ， X X ， X ， X X n i1 2 i n 1 i1 i1 n k k i1 i n 5. 0.1 6. p, pq n 0, 若x x (1) , 7. F n ( x) k , 若x x x , 其中 (k ) (k 1) ( x (1) ,(2) x (n) (1),L , x n (2) (n) 若x x 1, (n) . 8.不含任何未知参数的样本的函数 9.2 10. 2(n 1) 11. N 2 n n 22 , n , N a i, a i1 i1 i 12.5， 2.44 . ) 为 ( X , X , , X ) 的观察值. 精品文档 第七章 参数估计 一、选择题 1.答案： D. [解]因为 E ( X ) ，所以 ˆ Eˆ ( X ) X 2.答案： D. 1 [解] 因为 2 E ( X 2 ) E 2 ( X ) ， Eˆ ( X 2 ) A n X 2 ， Eˆ ( X ) A 1 n X 2 n i 1 ii 1 n i 1 所以， ˆ 2 Eˆ ( X 2 ) Eˆ 2 ( X ) 1 nn X ( X ) 2 . i i 1 3. 答案： A. [解]因为似然函数 L(a) 1 a n 1 (max X ) n，当 a max X i i 时， L(a) 最大， i i 所以，a 的最大似然估计为 max{ X ,X1 X , , } . 4. 2 n 答案 C. [解] 因为似然函数 L(a, b) 1 1 (b a) ， n (max X i i min X ) n i i 当 b max X , a min X 时， L(a) 最大， i i i i 所以，a 的最大似然估计为 min{ X 1, X , , X } . 5. 答案 A . 2 n [解]似然函数 L(, 2 ) n 1 2 exp1 ( x )2，i 1 2 2 i 由 ln L 0, ln L 0 ，得 2 A . 2 2 . ， 精品文档 6. 答案 C. [解]在上面第 5 题中用 取代 X 即可. 7. 答案 A. [解]求解同填空第 7 题. 8. 答案 B. [解]求解同填空第 9 题. 9. 答案 C. ˆ ) , E (ˆ ) ，且 D( ˆ ) [解]因为 E ( 2 4 1 1 16 17 1 1 1 ˆ . ， D( ) 3 25 25 25 4 4 2 10.答案 B. [解]求解同上面第 9，10 题. 11.答案 C. 1[解] 因为 E[ n ( X ) 2 ] 2 . n i i 1 12 答案 D. [解]求解同第 12 题. 13.答案 C. [解]求解同填空题第 22 题. 14.答案 C. [解] A 中需要 D(ˆ) 0 ，B 中需要ˆ 1,ˆ 都是 的无偏估计，D 中 E ( X ) . 2 15.答案 B. 1[解] 2的最大似然估计量是 n ( X X ) 2 . n i i 1 16.答案 A. [解]提示：根据置信区间的定义直接推出. 17.答案 D. [解]同上面 17 题. 18.答案 D. [解]同填空题 25 题. 19.答案 B. [解]同填空题第 28 题. 20.答案 B. [解] 因为 ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1) ，所以选 B. 2 n1 2 1 n2 2 21. 答案 A. [解]因为 S 2 / S 2 1 2 ~ F (n 1, n 1) ，所以选 A. 21 2 1 2/ 2 . 精品文档 二、填空题： 1. 矩估计和最大似然估计； 2. p( x ; ) i i ， f ( x ; ) i i ； 3. 5 5 ， ； 6 6 因为 E ( X ) 1 2 2 2 (1 ) 3 (1 ) 2 = 3 2 ， [解] （1）矩估计 x1 x x 4 5 ˆˆ2 3 ，即 的矩估计量 . 所以 3 2 X 3 3 6 （2）最大似然估计 因为 p( x 1, x 2, x 1) 2 2 (1 ) 2 2 5 2 6 ， 1 4 . , 0.2828； 4 p 5 对其求导： 10 4 12 5 0 . 6 1 2 3 [解] （1） p 的矩估计值 X X 8 i1 i 16 / 8 2 ，令 E ( X ) 3 4 p X ， 得 p 的矩估计为 pˆ (3 X ) / 4 1/ 4 . （2）似然函数为 L( p) P( X x ) P( X 0)[ P( X 1)]2 P( X 2)[ P( X 3)]4 8 i1 i 4 p(1 p) 2 (1 2 p) 4 ln L( p) ln 4 6 ln p 2 ln(1 p) 4 ln(1 2 p) 62 8 令 [ ln L( p)] 0 ， 12 p 2 14 p 3 0 p 1 p 1 2 p p (7 13) /12 . 由 0 p 1/ 2 ，故 p (7 13) /12 舍去 ˆ (7 13) /12 0.2828. 所以 p 的极大似然估计值为 p 5 1.71，0.00138； ˆ ( X ) X , Eˆ ( X2)[解] 由矩估计有： E X 2 i i n ，又因为D(X)E(X2)[E(X)]2， . 精品文档 1.7 1.75 1.7 1.65 1.75 ˆ 1.71 所以 E ( X ) X 5 1Xn ( X ) 2 0.00138 . ˆ X ) 且 D( i n i1 2X1 6. ˆ , ˆ 1 X n ln X ln X n i1 n i ； i i1 [解] （1） 的矩估计为： 1 0 1 1 1 E ( X ) x ( 1) x dx x 2 0 2 2 1nn i1 样本的一阶原点矩为： X x i 12 X 1 所以有： X ˆ 2 1 X （2） 的最大似然估计为： L( X , , X ；) ( 1) X ( 1) n ( X ) 1 n n n ln L n ln( 1) ln X n i 1 i1 i i 1 i i n d ln L n ln X 0 i d 1 i1 得： ˆ n ln X ln X n i 1 n i 1 i . i n 2 X 11 ˆ ， ˆ 1 ； 7. 5 6 X 5) Ln( X i1 i [解] （1） E ( X ) x( 1)( x 5) dx 6 5 1 5 ， 2 2 X 11 所以， 的矩估计量为ˆ . 6 X . 精品文档 （2）似然函数 L( ) f ( x ; ) ( 1)n ( x 5) , 故 n n ln L ( ) n ln(1 ) ln( x 5) n n d ln L ( ) n ln( x 5) 0 i d 1 i 1 i 1 i i i1 i i1 i 的极大似然估计量为 ˆ n ln( X 5 i 1 1 5) 2 ˆˆ 8. 2 X ， D； 5n 26x (x)dx[解] （1） EX xf ( x)dx 3 0 2 即 EXX2 ˆ 2 X 4 6 x 3 6 2 3 ˆ（2） D D(2 X ) 4DX DX ， EX 2 ( x)dx 2 0 3 20 10 n 6 2 2 2 DX EX 2 ( EX ) 2 . 20 4 20 4 2 ˆ D DX n 5n 1 ˆ ； 9. pn Y y [解]极大似然估计： i1 i n n yi 1 L( y , , y ; p) (1 p) i1 p n 1 n n yi 1 n nln L( y , , y ; p) ln(1 p) i1 p ( y n) ln(1 p) n ln p i 1 n i1 n ln L( y , , y ; p) n 1 ( y n) 0 1 n i p p 1 p i1 . 精品文档 1 ˆ . 解得： pn Y y i1 i n ˆ X ； 10. p [解] 因为 P( X x) p x (1 p)1 x , x 0,1 n xin xi 所以极大似然函数 p (1 p) i1 L( p) ， lnL p n i1 x i n x p 1 pn i 令 i1 1 n x x . 0 ， pˆ i n i1 11. ˆ X ， ˆ X ； [解] （1） 矩估计： E ( X ) ke k 0 k ，样本的一阶原点矩为： X 1 X i1 所以有： EX X X . （2）极大似然估计：似然函数 L( x , , x ; ) e 则 ln L n ( x ) ln ln x ! i i i1 1 n n n n i1 i xi x ! ， ln L 2 12. n n x i i1 ˆ X . 0 i x 1 ； i1 i n a 1 2[解] 因为均匀分布的数学期望 E ( X ) ，所以 a 的矩估计 x 1 . 2 ˆ n n 即 a 3i 3 i1 ˆ2ˆ ( X X ) ， b X ( X X ) 2 ； n n n 13. a X i i n i1 ˆ 1 a X i1 ， n 2 n x a b [解]因为 E ( X ) 2 , D( X ) i1 (b a) 2 ，所以 E ( X 2 ) D( X ) E 2 ( X ) 12 . 精品文档 ab1n , 2(b a) 2 a b 2 令 X X i 12 2 2 n i1 3 则 aˆ X n n i1 ( X X ) ， bˆ X ( X X ) . i i 2 n i1 3 n 2 1 1 ˆˆ ， ； 14. X X 1 x [解]（1）矩估计： E ( X ) x e dx ，样本的一阶原点矩为： X n x 1 1 所以有： EX X X ˆ . X 0 n i i1 1 （2）极大似然估计： L() e xi n e i1 n n xi i1 ， l L() n l x n i1 n n i n l L() n x 0 ， n i i1 1 . X 1 15. 16. n X 1.71 n i1 i ； ˆ ) E ( ， ˆ ) D(ˆ ) D( 1 i 2 17. 数学期望 E(X)； ； 1n[解] E ( X ) E ( X ) nE ( X ) E ( X ) n i1 n 1 x 2 X ； 18. p 2 2 n n m i1 [解] 因为 X ~ B(n, p), n 1 ，所以 E ( X ) np, D( X ) np(1 p) ， m i1 1 又因为 Eˆ ( X ) X x xˆ2, E ( X ) m m i1 i m 1 2 ， i 所以， np X ， np(1 p) 1 ˆ ˆ ˆ x ( X ) x n pˆ m 2 i i1 2 1 mm m i1 2 i 2 2 ， 1 x 2 X ; 则 p 2 n 2 n m i1 1 . 精品文档 19. 无偏； [解]由已知知总体 X 在 (0, ) 上服从均匀分布， 从而 E ( X ) 1 ， E ( X ) 2 E ( X ) n i1 n 2 ， ˆ 所以 E ( ) 2 E ( X ) ，即ˆ 是 的无偏估计量. 20. ； 1n E ( X ) n n i1 [解] E ( X ) i n . 21. 1 2(n 1) [解] 2 E[C ( X n1 i1 ； 1 2 i1 ； X ) 2 ] 2C (n 1) i 2 ，所以 1 C ； 2(n 1) 2n(n 1) 22. [解]注意到 X , X , , X n 的相互性， n 1 X X i X n X (n 1) X X 1 2 i n n E (| X X |) | z | i n1 2 E ( X X ) 0, D( nX X ) 1 2 i i n 1 2 n 1 n 1 2 ) ， 所以， X X ~ N (0, i 1 e n12 n z 1e 2 n z 2 dz 2 0 z 2 2 n dz 2 2 n 2 n 1 n n i n i 2 2 n 1 n i1 所以， k 2n(n 1) . . 因为： E k | X X | k E | X i1 X | kn 精品文档 23. [992.16，1007.84]； [解] 这是分布未知，样本容量较大，均值的区间估计，所以有： X 1000, S 40, 0.05 ， Z 0.025 1.96 的 95%的置信区间是： SS [ X Z , X Z ] [992.16,1007.84] . n 0.025 n 0.025 S S 24. ( X t (n 1), X t (n 1)) ； n n 2 2 [解]这是 2 X 为未知的情形，所以 ~t(n1). S / n 25. [14.869，15.131]； [解] 这是方差已知均值的区间估计，所以区间为：[ x Z , x Z ] n n 2 2 由题意得： x 15 2 0.04 0.05 n 9 ，代入计算可得： [15 0.29 1.96,15 0.2 9 1.96] ， 化间得： [14.869,15.131] . 26. [14.754，15.146]； [解] 这是方差已知，均值的区间估计，所以有： 置信区间为： [ X Z , X Z ] n 2 n 2 1 由题得： X (14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1) 14.95 6 0.05 Z 0.025 1.96 n 6 0.06 0.06 代入即得： [14.95 1.96,14.95 1.96] 6 6 所以为： [14.754,15.146] 27. [0.15，0.31]； [解] 由 2 1 2 (n1)S2 2 得： 2 2 2 (n 1)S 2 2 2(n1)S ， 2 2 2 1 2 . 精品文档 (n 1)S 2 (n 1)S 2 所以 的置信区间为：[ ， ] ， 2 (11) 2 (11) 1 2 2 将 n 12 ， S 0.2 代入得 [ 0.15 ， 0.31 ]. 28. 6.356； [解]因为X S / n ~ t (n 1) ， 所以 的置信度为 95%的单侧置信区间上限为： X S n t0.05 (n 1) ，代入查表的第八章 假设检验 一、选择题 1.B 2.D 3.D 4.C 5.B 6.B 7.C 8.B 9.B 10.C 11.B 12.D 二、填空题 1. 100 2. 1.176 . 6.356.
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