余弦型函数y=cosx 与 y=Acos(ωx+φ)的图象及应用

日期 教学目标 重难点 学生姓名 性别 年级 学校 授课教师 辅导科目 陆春波 授课时间 余弦型函数y=cosx 与 y＝Acos(ωx＋φ)的图象及应用 1. 余弦型函数y=cosx图像及性质 2. y＝Acos(ωx＋φ)的图象怎么由来 作业评改 完成 完成情况 未完成 优 良 质量 中 差 基础梳理 1．用五点法画y＝cosx一个周期内的简图时，要找五个特征点（简称五点法） 如下表所示 X Y=cosx 2．函数y＝cosx的图象变换得到y＝Acos(ωx＋φ)的图象的步骤 主要是经过平移与伸缩变化而来 3．当函数y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，T＝1期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相． T 4．图象的对称性 函数y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： (1)函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对轴轴必过其图像的最高点与最低点． (2)函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称中心是其图像与x轴的交点． 2π叫做周ω0 1 π 20 π -1 3π 20 2π 1 选择双冠 文理双冠

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一种方法 在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝2π确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定． ω一个区别 M－mM＋m，k＝，ω由周期T22由y＝cos x的图象变换到y＝Acos (ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变|φ|换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因ω在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值． 两个注意 作正弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域； (2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象． 五．习题讲解 π的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T和初相1.已知简谐运动f(x)＝Asin(ωx＋φ)|φ|＜2φ分别为( )． πA．T＝6π，φ＝ 6πC．T＝6，φ＝ 6πB．T＝6π，φ＝ 3πD．T＝6，φ＝ 3πππ＝1，又|φ|＜，解析 由题图象知T＝2(4－1)＝6⇒ω＝，由图象过点(1,2)且A＝2，可得sin×1＋φ332π得φ＝. 6答案 C 选择双冠 文理双冠

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π2．函数y＝cos x(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为2( )． A．－sin x B．sin x C．－cos x D．cos x π解析 由图象的平移得g(x)＝cosx＋＝－sin x. 2答案 A π4π3．设ω＞0，函数y＝sinωx＋＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． 33243A. B. C. D．3 332π4π4πππ4π＋2向右平移个单位后得到y1＝sinx－＋＋2＝sinωx＋－ω＋2，解析 y＝sinωx＋ω3333334π又y与y1的图象重合，则－ω＝2kπ(k∈Z)． 33∴ω＝－k.又ω＞0，k∈Z， 23∴当k＝－1时，ω取最小值为，故选C. 2答案 C 4．(2011·重庆六校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________. T2ππ42π3解析 由题意设函数周期为T，则＝π－＝，故T＝π.∴ω＝＝. 43333T2答案 ππ3的最小正周期为π，且f＝. 5.设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)ω＞0，－＜φ＜0422(1)求ω和φ的值； (2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象． [审题视点] (1)由已知条件可求ω，φ； (2)采用“五点法”作图，应注意定义域[0，π]． 3 2选择双冠 文理双冠

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解 (1)周期T＝2π＝π，∴ω＝2， ω3πππ＝cos2×＋φ＝cos＋φ＝－sin φ＝， ∵f4422ππ∵－＜φ＜0，∴φ＝－. 23π(2)由(1)知f(x)＝cos2x－，列表如下： 3π2x－ 3x f(x) 图象如图： π－ 30 1 20 π 61 π 25π 120 π 2π 3－1 3π 211π 120 5π 3π 1 2 (1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可． φ(2)变换法作图象的关键看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ωx＋ω来确定平移单位． 1π【训练1】 已知函数f(x)＝3sin2x－4，x∈R. (1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？ 解 (1)列表取值： 选择双冠 文理双冠

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x 1πx－ 24f(x) π 20 0 3π 2π 23 5π 2π 0 7π 23π 2－3 9π 22π 0 描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图． π(2)先把y＝sin x的图象向右平移个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点4的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象． 考向二 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 【例2】►(2011·江苏)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________． [审题视点] 由最高、最低点确定A，由周期确定ω，然后由图象过的特殊点确定φ. T7ππππ2π解析 由图可知：A＝2，＝－＝，所以T＝2kπ＋π，∴φ＝2kπ＋，令k＝0，ω＝＝2，又函412343Tππππ，所以2×＋φ＝π，则φ＝，故函数的解析式为f(x)＝2sin2x＋，所以f(0)数图象经过点，03333π6＝2sin＝. 32答案 解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值． 6 2选择双冠 文理双冠

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π【训练 1】 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜，ω＞0)的图象的一部分如图所示． 2 (1)求f(x)的表达式； (2)试写出f(x)的对称轴方程． π【训练 2】►(2012·西安模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜)的图象与x2π2π. 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上的一个最低点为M，－232(1)求f(x)的解析式； ππ(2)当x∈12，2时，求f(x)的值域． π，图象上与点【训练3】 (2011·南京模拟)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象过点P，012πP最近的一个最高点是Q3，5. (1)求函数的解析式； (2)求函数f(x)的递增区间． 教案检查 合格

不合格 满意 学生评估 不满意 选择双冠 文理双冠

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