初三中考复习四边形(教师版)

中考复习专题 四边形

知识点回顾

知识一：多边形内角和与外角和

1.n边形内角和为（n-2）180°,外角和为360°。

2.多边形中连接互不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，n边形的对角线条数是n(n3)。

23.镶嵌：在某一点处互不重叠拼在一起的几个多边形的内角和为360°时，才是镶嵌；任意一个三角形和四边形、正六边形可镶嵌平面。

知识二：特殊四边形的性质和判定 1. 特殊四边形的性质 边 角 对角线 平行四边形 矩形 菱形 正方形 对边平行且相等 对边平行且相等 四条边都相等 四条边都相等 对角相等 四个角均为直角 对角相等 四个角均为直角 对角线互相平分 互相平分且相等 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 对角线互相垂直平分 注：矩形、菱形、正方形具有平行四边形所有性质；菱形具有矩形所有性质；正方形具有矩形、菱形所有性质。 2.特殊四边形的判定 （1）平行四边形的判定

Ⅰ、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 Ⅱ、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 Ⅲ、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 Ⅳ、对角线互相平分的四边形是平行四边形 （2）矩形的判定方法

Ⅰ、有一个角是直角的平行四边形；Ⅱ、有三个角是直角的四边形；

Ⅲ、对角线相等的平行四边形； Ⅳ、对角线相等且互相平分的四边形． 拓展：矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件。 （3）菱形的判定

Ⅰ、定义；Ⅱ、四条边都相等的四边形；

Ⅲ、对角线互相垂直平分的四边形；Ⅳ、对角线平分一组对角的平行四边形．

拓展：若a、b分别表示两条对角线的长，则

（4）正方形的判定

Ⅰ、先证它是矩形，再证一组邻边相等；Ⅱ、先证它是菱形，再证一个角是直角． 拓展：周长相等的四边形中，正方形的面积最大． （5）梯形的性质和判定 ①梯形的性质 边 角 等腰梯形 一组对边平行，另一组对边不平行（相等） 同一底上的两个底角相等 直角梯形 一组对边平行，有一腰与底边垂直 有两个直角 ②等腰梯形、直角梯形的判定

（1）两腰相等的梯形是等腰梯形（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 （3）有一个角是直角的梯形是直角梯形

对角线 相等

③梯形常作辅助线

辅助线是解决梯形问题的一把钥匙，起到转化思想：把梯形转化成特殊的四边形与三角形；把互相平行的两底转化成一条线段。具体如下图：

平移一腰作较长底边的高延长两腰作腰的平行线连接上底一顶点与腰的中点并延长与下底延长线相交

知识点应用

一、选择题

1．如图1，在四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=23，AD=2，则四边形ABCD的面积是（ ） A．42 B．43 C．4 D．6

分析：在处理四边形或多边形的边长、角度或面积问题时，常将不规则的图形通过“割”或“补”转化为特殊三角形或特殊四边形的问题加以解决。

解：延长BA、CD交于点E，则易知△EBC是等腰直角三角形，从而S△EBC=

1EB·EC=6 2同理S△EDA=2，故S四边形ABCD =6－2=4.

2．五边形的内角和与外角和的比是（ ）A．5：2 B．2：3 C．3：2 D．2：5 3． ABCD中，边AB=a，对角线AC=b, BD=c，则a、b、c的取值可以是下列的（ ） A．a=4, b=6, c=8 B．a=6, b=4, c=8 C．a=8,b=4,c=6 D．a=5,b=4,c=3

4、顺次连结四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ） A．AB∥DC B．AC=BD C．AB=DC D．ACBD

5．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PEAC于E，PFBD于F，则PE+PF的值为（ ） A．

12513 B．2 C． D． 525

6．下列命题中真命题的是（ ）

A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．有一组对边平行的四边形是梯形 D．对角线相等的菱形是正方形

7．梯形ABCD中，AD∥BC，∠B与∠C互余，AD=5，BC=13，∠C=60°，则该梯形的面积是（ ） A．182 B．183 C．36 D．362

8．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BC＜DC，若腰DC上有点P，使APBP，则这样的点（ ） A．不存在 B．只有一个 C．只有两个 D．有无数个 提示：用圆的解答 二、填空题

9．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论：①ACBD，②BC=DE，③∠DBC=

1∠DAB，④△ABE是正三角形，请写出正确结论的序号 。② ③ 210．已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，还需要增加条件 。（只填一个你认为正确的条件即可） AD=BC, AB∥DC, ∠A=∠D=180°, ∠B+∠C=180°，∠A=∠C ， ∠B=∠D中任填一个

11．在平行四边形ABCD中，若DB=DC，∠C=70°，AEBD于E，则∠DAE= 。20

12．折叠矩形的一边AD，点D落在BC边上点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则DE的长是 cm。5 13.梯形ABCD中，AD∥BC，对角线ACBD，且AC=5cm，BD=12cm，则该梯形的中位线长等于 cm.6.5 14.△ABC中，BC=a,B1、B2、B3、B4是AB边的五等分点；C1、、C2、C3、C4 是AC边的五等分点，B1C1+B2C2+B3C3+B4C4=2a

15．正方形ABCD中，F是AD的中点，BF与AC交于点G，则△BGC与四边形CGFD的面积之比是 4:5

′′

16．梯形ABCD中，DC∥AB，将梯形对折，使点D、C分别落在AB上的D, C处，折痕为EF，若CD=3cm，EF=4cm，则AD+BC

′

′

= cm。2

17．如图8-47,在△ABC中,AD⊥BC于D,E、F分别是AB、AC的中点,当△ABC满足条件__________时,AEDF是菱形. AB=AC

图8-47 图8-48

提示：如果是等腰三角形，AD⊥BC于D，依据等腰三角形三线合一，则D为中点，又E、F分别是AB、AC的中点，所以DE∥AC，DF∥AB.四边形是平行四边形且有一组邻边相等，所以为菱形，因此添加AB=AC.

18．.如图8-48,菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合),且PE∥BC交AB于E,PF∥CD交AD于F,则阴影部分的面积是________________. 2.5

提示：易证四边形AEPF也是菱形，△PEF与△AEP同底等高，所以，S△PEF=S△AEP，S阴影=S△ABC=菱形面积的一半，菱形面积=对角线乘积的一半=

25=5，所以S阴影=2.5. 219.如图8-49,若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于_______________30°

图8-49 图8-50

提示：使其面积为矩形面积的一半，由于两个四边形的底相等，所以平行四边形的高为矩形宽的一半，即高为CD的一半，在直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，则它所对的锐角为30°.

20.如图8-50，在梯形ABCD中，∠DCB=90°，AB∥CD,AB=25,BC=24.将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为_______________30

提示：利用折叠前后相等线段和勾股定理,AB=DB,又∵∠C=90°,可求出DC=7.

22过D作DF⊥AB,垂足为F,利用勾股定理可求AD=DFAF=242182=30.

20.如图8-51,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,且AC=12,BD=9,则此梯形的中位线长是_____________ 7.5

图8-51

提示：如图，平移对角线形成直角三角形，且AC=12，BD=9，根据勾股定理，求BE=15，即上下底的和为15，又因为中位线长为上下底和的一半，所以为7.5. 21、.如图8-52,△ABC是等边三角形,P是△ABC内一点,PE∥AC交AB于点E,PF∥AB交BC于点F,PD∥BC交AC于点D.已知△ABC的周长是12 cm,则PD+PE+PF=______________ cm.4

图8-52

提示：延长FP，交AC于M，可得到平行四边形AMPE和等边三角形MPD，所以三条线段的和为等边三角形的边长,即PE=AM，PD=MD，PF=CD，所以PD+PE+PF=三、解答题

23、如图8-53,在四边形ABCD中,∠ADC=∠B=90°,DE⊥AB,垂足为E,且DE=EB=5,请用割补(旋转图形)的方法求四边形ABCD的面积. S=25.

12=4. 3

图8-53 图8-54

提示：如图,把△ADE绕点D逆时针旋转90°后，得到的图形为边长是5的正方形，面积为25.

24、如图8-54,已知在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q. (1)求四边形AQMP的周长；(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形?说明你的理由.

提示:根据平行的性质可以得到平行四边形和两个等腰三角形，由对边和腰相等，四边形的周长等于△ABC的两腰之和.

解：(1)∵PM∥AB，QM∥AC, ∴四边形AQMP为平行四边形，且∠1=∠C，∠2=∠B.

又∵AB=AC=a, ∴∠B=∠C.∴∠1=∠B=∠C=∠2.∴QB=QM，PM=PC.∴四边形AQMP的周长为2a

AQ+QM+MP+PA=AQ+QB+PC+PA=AB+AC=2a. (2)答案：△BQM∽△MPC∽△BAC.

(3)答案：当M为底边BC的中点时，四边形AQMP为菱形. 提示：四边形AQMP已是平行四边形，要使之为菱形，则需有一组邻边相等.理由：∵M为底边BC的中点, ∴BM=CM. 由(1)知∠B=∠C，∠1=∠2, ∴△BQM≌△CMP. ∴PM=QM. 由(1)四边形AQMP为平行四边形, ∴四边形AQMP为菱形.

25、如图2，四边形ABCD是平行四边形，且∠EAD=∠BAF。 （1）求证：△CEF是等腰三角形；

（2）△CEF的哪两边之和恰好等于 ABCD的周长？证明你的结论。 分析：（1）根据已知条件不难证明∠E=∠F，得△CEF是等腰三角形。 （2）易探索出CE+CF等于 ABCD的周长。 证明：（1）由题意，得DA∥CF，AB∥CE， ∴∠EAD=∠F，∠BAF=∠E。又∵∠EAD=∠BAF， ∴∠E=∠F， 故CE=CF。

（2）∵∠EAD=∠BAF=∠F=∠E，∴DE=AD，FB=AB ∴CE+CF=CD+AD+CB+AB，即CE+CF等于 ABCD的周长。 26、如图3， ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、

∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其它条件的情况下，试写出

一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程（要求：推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）。 ．．

解：由题设条件可得出：△APB是直角三角形．证明如下：在 ABCD中，

∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC=180°又∵AQ、BN分别平分∠BAD，∠ABC，∴∠BAP+∠ABP=90°， 即∠APB=90°故△APB是直角三角形。

事实上，由题设条件还可得出△BPA≌△DMC，四边形PQMN是矩形等结论。 说明：解此类问题要审清题意：（1）不增加任何条件；（2）推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件，否则算错。

27、如图4，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上。 （1）求AM、DM的长；（2）求证；AM2=AD·DM 分析：（1）在Rt△PAD中，利用勾股定理可以计算出PD=5=PF，AM=AF=PF－AP=5－1，DM=AD－AM=2－（5－1）=3－5（2）利用代数方法证明等积式，分别计算等式左、右两边。 解（1）∵正方形ABCD的边长为2，P是AB中点，

∴AB=AD=2，AP=1，∠BAD=90°∴PD=PA2AD25

又∵PF=PD，∴AF=5－1在正方形AMEF中，AM=AF=5－1，MD=AD－AM=3－5 证明（2）：由（1）得，AD·DM=2（3－5）=6－25，AM2=（5－1）2=6－25∴AM2=AD·DM

28．如图5，四边形ABCD是正方形，四边形ACEF为菱形，E在FB上，求∠ECB的度数。

分析：欲求∠ECB，须求∠ECA，而求角的度数应对图中线段作数量上的分析，连结BD

交AC于O，过E作EGAC于G，则易探寻出EG与BD（即CE）之间的特殊关系。 解：连结BD，设它与AC交于点O。过E作EGAC于G。∵四边形ABCD是正方形。

∴BDAC， ∴EG∥BO 又∵四边形ACEF是菱形，∴FE∥AC ∴四边形EBOG是平行四边形，

1111BD=AC=EC。在Rt△CEG，由EG=EC，得∠ECG=30°又∵∠ACB=45°， 22221∴∠ECB=45°－30°=15°。说明：探究出EG=EC是解决本题的关键所在。

229．如图6，ABCD是梯形，AB∥CD，AC=BC，且ACBC，BD=BA，求∠DAC的度数。

∴EG=BO=

分析：欲求∠DAC，应先求出∠DAB，但题设条件只有BD=DA，于是想到梯形中常用的辅助线——高，可转化为先求∠ABD，从而问题迎刃而解。 解：分别过D、C作DEAB于E，CFAB于F ∵AC=BC，ACBC， ∴CF=在Rt△BDE中，由DE=

111AB 又AB=BD， ∴CF=BD，即DE=BD。 2221BD，设∠ABD=30° 2注意到AB=BD，∴∠DAB=75°。而∠CAB=45° ∴∠DAC=75°－45°=30°

30．如图7，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠DCA的平分线点F。

(1)求证：OE=OF；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。

(3)若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，且

AE6，求∠B的大小。 BC2分析：（1）可通过OC作桥梁，证得OE=OC=OF。（2）可先证AECF是平行四边形，再证明∠ECF=90°。（3）结合三

角函数易求出∠B的大小。 证明（1）：由已知，MN∥BC， ∴∠OEC=∠BCE， 又∵∠BEC=∠OCE， ∴∠OEC=∠OCE， 从而OE=OC，同理OF=OC， 故OE=OF。 解（2）：当点O运动到AC边的中点时，四边形AECF是矩形。∵OE=OF，OA=OC， ∴四边形AECF是平行四边形。

1（∠BCA+∠ACD）=90° ， ∴ AECF是矩形。 2（3）若四边形AECF是正方形，则ACEF， 又EF∥BC， ∴ACBC。

又∵∠ECF=∠ECO+∠OCF=在Rt△ABC中，tan B=

AC2AE623, ∴∠B=60°. BCBC2说明：（1）证明四边形是矩形（或菱形），通常先证它是平行四边形，再根据矩形（或菱形）的特有条件论证它是矩形

（或菱形）。（2）解动态几何问题的一般方法是考察所给图形上的动点运动到某一特殊位置上的静止状态，再研究此时各元素之间的位置或数量关系，使问题得到解决。

31、如图8，梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC=1：3，对角线AC与BD相交于O，AEBC，垂足为E，AE恰好过BD的中点F，∠FBE=30° （1）求证：△AOF是等边三角形

（2）若BF和OF是关于X的方程x2－（k－2）x+k=O的两实根，试求k的值，并求梯形ABCD的面积。 分析：（1）可作DGBC于G，将AD转化为EG，再根据F是BD的中点及AD：BC=1：

3，可证出△AEC≌△DGB，得∠CAE=∠BDG=60°，结合∠AFO=∠BFE=60°，可知△AOF是等边三角形。（2）利用根与系数关系求出反值，进而求出方程的根，再求出AD=23，BC=63，AE=4，得梯形ABCD的面积为163。 证明（1）：过D作DGBC于G，则AD=EG. ∵AD∥BC，F是BD的中点， ∴AD=BE，AF=EF. 又∵AD：BC=1：3， ∴GC=AD， ∴EC=BG.∴∠Rt△AEC≌Rt△DGB,

∴∠CAE=∠BDG= 90°－30°=60°, 又∠AFO=∠BFE=60°故△AOF是等边三角形， 解（2）：设OF=x1，BF=x2，∵BF=2EF=2AF=2OF， ∴x2=2x1 由根与系数关系得

3x1k2x1x2k211 即，解得k1=, k2= 8. ∵k=时 x1＜0，应舍去。 222x1x2k,2x1k ∴k=8，此时x1=2, x2=4. 从面AD=23,BC63,AE4. 故S梯形ABCD =163。

说明：中考试题中常出现以特殊四边形为背景设计的，与三角形、相似形、方程或函数等知识有机结合的综合题，难

度较大且灵活，解题时应结合特殊四边形的有关性质，采用数形结合、转化等思想方法，实破难点，以较快地找到解题途径。