题型专项研究：解直角三角形的实际应用

,备考攻略)

1．锐角三角函数的概念的应用． 2．特殊三角函数值． 3．解直角三角形的应用．

特殊三角函数容易混淆；不会构造直角三角形．

准确理解与掌握三角函数的定义，熟记特殊三角函数值，会构造直角三角形并应用直角三角形和三角函数来解题．

熟记几个特殊的三角函数值 三角函数 角α 30° 45° 60°

从表中不难得出：

sin30°22

sin30°＋cos30°＝1，＝tan30°

cos30°sin45°22

sin45°＋cos45°＝1，＝tan45°

cos45°sin60°22

sin60°＋cos60°＝1，＝tan60°

cos60°

sinα 1 22 23 2cosα 3 22 21 2tanα 3 31 3

sinA22

那么，对于任意锐角A，是否存在sinA＋cosB＝1，＝tanA呢？

cosA事实上，同角的三角函数之间，具有三个基本关系：

如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边依次为a，b，c

22

则①sinA＋cosA＝1(平方关系) ②tanA＝

sinAcosA

，cotA＝(商的关系) cosAsinA

③tanA·cotA＝1(倒数关系)

,典题精讲)

【例】(2019广安中考)如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A，D.从D点测到B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB＝30 m.

求：(1)甲、乙两建筑物之间的距离AD； (2)乙建筑物的高CD.

【解析】(1)在Rt△ABD中利用三角函数即可求解；(2)作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中利用三角函数求得BE的长，然后根据CD＝AE＝AB－BE求解．

【答案】解：(1)在Rt△ABD中，

AB30AD＝＝＝103(m)；

tanα3

(2)作CE⊥AB于点E.

在Rt△BCE中，CE＝AD＝103 m， BE＝CE·tanβ＝103×

3

＝10(m)， 3

则CD＝AE＝AB－BE＝30－10＝20(m)． 答：乙建筑物的高度DC为20 m.

1．(2019昆明中考)如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B，C，E在同一水平直线上)，已知AB＝80 m，DE＝10 m，求障碍物B，C两点间的距离．(结果精确到0.1 m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)

解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H.则DE＝BF＝CH＝10 m. 在Rt△ADF中，∵AF＝80－10＝70 (m)， ∠ADF＝45°，

∴DF＝AF＝70 m，∴BE＝DF＝70 m.

在Rt△CDE中，∵DE＝10 m，∠DCE＝30°，

DE10

∴CE＝＝＝103(m)，

tan30°3

3

∴BC＝BE－CE＝70－103≈70－17.32≈52.7(m)． 答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7 m．

2．(2019丽水中考)如图是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m, ∠BOD＝70°，求端点A到地面CD的距离．(精确到0.1 m，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)

解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥AE于点F，则EF＝BC＝0.15 m. ∵OD⊥CD，∠BOD＝70°，

∴AE∥OD，∴∠A＝∠BOD＝70°. 在Rt△AFB中，AB＝2.7，

∴AF＝2.7cos70°≈2.7×0.34≈0.918，

∴AE＝AF＋BC＝0.918＋0.15＝1.068≈1.1(m)． 答：端点A到地面CD的距离约是1.1 m．

3．(2019绍兴中考)如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30 m.

(1)求∠BCD的度数；

(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1 m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32) 解：(1)过点C作CE⊥BD，

则有∠DCE＝18°，∠BCE＝20°，

∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°； (2)由题意得：CE＝AB＝30 m，

在Rt△CBE中，BE＝CE·tan20°≈10.80 m， 在Rt△CDE中，DE＝CE·tan18°≈9.60 m，

∴教学楼的高BD＝BE＋DE＝10.80＋9.60＝20.4 m， 答：教学楼的高约为20.4 m.

4．(2019德州中考)如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10 m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用的时间为0.9 s．已知∠B＝30°，∠C＝45°.

(1)求B，C之间的距离；(结果保留根号)

(2)如果此地限速为80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：3≈1.7，2≈1.4) 解：(1)如图，过点A作AD⊥BC于点D. 则AD＝10 m.

∵在Rt△ACD中，∠C＝45°，

∴Rt△ACD是等腰直角三角形，∴CD＝AD＝10 m. 在Rt△ABD中，tanB＝∵∠B＝30°， ∴

310

＝ ，∴BD＝103 m， 3BD

AD， BD

∴BC＝BD＋DC＝(103＋10)m； (2)这辆汽车超速．理由如下：

由(1)知BC＝(103＋10)m，又3≈1.7，

27

∴BC＝27 m，∴汽车速度v＝＝30 m/s.

0.9又∵30 m/s＝108 km/h，此地限速为80 km/h， 108>80， ∴这辆汽车超速．

2019-2020学年数学中考模拟试卷

一、选择题

1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是

上一点，且

=

，连接CF并延长交AD的延长线于点

E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ） A.45°

B.50°

C.55°

D.60°

2．若x2在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A．

D．

B．

C．

3．如图的四个转盘中，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ）

A. B. C. D.

4．如图是二次函数y＝ax+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）图象的一部分，与x轴的右交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x＝1，对于下列说法：①abc＜0； ②2a+b＝0； ③3a+c＞0； ④当﹣1＜x＜2时，y＞0； ⑤b2﹣4ac＞0．其中正确的个数是（ ）

2

A.2 B.3 C.4 D.5

5．下列运算中，正确的是（ ） A．（﹣x）2•x3＝x5 C．（a+b）2＝a2+b2

2

B．（x2y）3＝x6y D．a6+a3＝a2

2

6．已知二次函数y＝ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②b﹣4ac＜0；③a﹣b+c＜0；④b＝﹣2a．则其中结论正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

27．四位同学在研究函数yaxbxc（a，b，c是常数）时，甲发现当x=-1时函数的最小值为-1；乙

发现4a-2b+c=0成立；丙发现当x<1时，函数值y随x的增大而增大；丁发现当x=5时，y=-4．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A．甲

B．乙

C．丙

D．丁

8．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE．下列结论：

①∠ACD=30°，②S▱ABCD=AC•BC；③OE：AC=3：6；④S△OCF=2S△OEF，⑤△OEF∽△BCF成立的个数有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

9．一艘轮船从A港出发，沿着北偏东63的方向航行，行驶至B处时发现前方有暗礁，所以转向北偏西27方向航行，到达C后需要把航向恢复到出发时的航向，此时轮船航行的航向向顺时针方向转过的度数为（ ）

A.63 B.27 C.90 D.50

10．如图，下面几何体的俯视图是（ ）

A. B.

C. D.

11．如图，菱形OABC的一条边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OA＝2，∠C＝120°，则点B′的坐标为（ ）

A.（6，﹣6） B.（6，6） C.（3，3） D.（3，﹣3）

12．如图，点B、C、D在⊙O上，若∠BCD＝140°，则∠BOD的度数是（ ）

A．40° 二、填空题

B．50° C．80° D．90°

13．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，则∠BAE＝_____．

14．两个无理数的和为有理数,这两个无理数可以是______和_______. 15．如图，点A在双曲线y=

3k上，点B在双曲线y= （k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D，xx连接OB，与AD相交于点C，若AC=2CD，则k的值为________．

16．某玩具车间每天能生产甲种零件200个或乙种零件100个．甲种零件1个与乙种零件2个能组成一个完整的玩具，问怎样安排生产才能在30天内组装出最多的玩具？若设生产甲种零件x天，乙种零件y天，则根据题意列二元一次方程组是__．

17．若在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AB＝9，AD＝8，则S四边形ABCD＝_____． 18．计算：38﹣|﹣2|＝_____． 三、解答题

19．如图所示，在三角形ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且DE∥AB，DF∥AC．试说明：DE+DF＝AB．

20．某水果批发商经营甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润y甲（万元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y甲0.2x，乙种水果的销售利润y乙（万元）与进货量x（吨）之间的函数关系如图所示． （1）求y乙（万元）与x（吨）之间的函数关系式；

（2）如果该批发商准备进甲、乙两种水果共吨，设乙种水果的进货量为t吨，请你求出这两种水果所．．．．．．．．．10．．．获得的销售利润总和W（万元）与t（吨）之间的函数关系式．并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润总和最大，最大利润是多少？

21．某网店经营一种品牌水果，其进价为10元/千克，保鲜期为25天，每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示. (1)求y与x的函数关系式；

(2)当该品牌水果定价为多少元时，每天销售所获得的利润最大？

(3)若该网店一次性购进该品牌水果3000千克，根据(2)中每天获得最大利润的方式进行销售，发现在保鲜期内不能及时销售完毕，于是决定在保鲜期的最后5天一次性降价销售，求最后5天每千克至少降价多少元才能全部售完？

22．已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAG＝∠DAF． 求证：BC＝DE．

23．为了贯彻落实“精准扶贫”精神，某单位决定运送一批物资到某贫困村，货车自早上8时出发，行驶一段路程后发现未带货物清单，便立即以50km/h的速度回返，与此同时单位派车去送清单，途中相遇拿到清单后，货车又立即掉头并开到目的地，整个过程中，货车距离出发地的路程s（km）与行驶时间t（h）的函数图象如图所示．

（1）两地相距 千米，当货车司机拿到清单时，距出发地 千米．

（2）试求出途中BC段的函数表达式，并计算出中午12点时，货车离贫困村还有多少千米？

24．如图，已知在平面直角坐标系内，点A（1，﹣4），点B（3，3），点C（5，1） （1）画出△ABC；

（2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （3）求四边形ABB1A1的面积．

25．“足球运球”是中考体育必考项目之一兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图．

（1）本次一共抽取了几名九年级学生？

（2）补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，C对应的扇形的圆心角是几度？

（4）该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人？

【参】*** 一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B B A B A D C C 二、填空题 13．100°

14．22 2 15．9 16．17．36 18．0 三、解答题 19．见解析； 【解析】 【分析】

已知DE∥AB，DF∥AC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得四边形AEDF是平行四边形，由平行四边形的性质可得DF＝AE，再由平行线的性质及等腰三角形的性质可得∠C＝∠EDC，即可得DE＝CE，由此即可证得结论． 【详解】

证明：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴DF＝AE， 又∵DE∥AB， ∴∠B＝∠EDC， 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠C＝∠EDC， ∴DE＝CE，

∴DF+DE＝AE+CE＝AC＝AB． 【点睛】

A C 本题考查了平行四边形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键. 20．（1）y乙0.1x21.4x；（2）甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时，获得的销售利润总和最大，最大利润是5.6万元． 【解析】 【分析】

（1）根据题意列出二元一次方程组，求出a、b的值即可求出函数关系式的解．

（10t）(0.1t21.4t)，（2）由题意可得Wy甲y乙0.2用配方法化简函数关系式即可求出w的最大值．

【详解】

2（1）根据图象，可设y乙axbx（其中a0，a，b为常数），

由题意，得解得ab1.3，a=-0.1，解得

4a2b2.4.b1.4.∴y乙0.1x21.4x．

（10t）（2）∵乙种水果的进货量为t吨，则甲种水果的进货量为吨， （10t）(0.1t21.4t)0.1t21.2t2． 由题意，得Wy甲y乙0.2将函数配方为顶点式，得W0.1(t6)25.6． ∵0.10，∴抛物线开口向下．

∵0t10，∴t6时，W有最大值为5.6． ∴1064（吨）．

答：甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时，获得的销售利润总和最大，最大利润是5.6万元． 【点睛】

本题考查学生利用二次函数解决实际问题的能力，注意二次函数的最大值往往要通过顶点坐标来确定． 21．（1）y10x300；（2）该品牌水果定价为20元时，每天销售所获得的利润最大；（3）最后5天每千克至少降价10元才能全部售完. 【解析】 【分析】

（1）依据题意利用待定系数法可得出每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间函数关系：y=-10x+300，

（2）根据销售利润=销售量×（售价-进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式进行求解即可；

（3）根据题意列出不等式20100510(20m)3003000进行求解即可. 【详解】

（10,200）（15,150）（1）设ykxb，将和代入ykxb得：

20010kb, 15015kb,k10,解得

b300，∴y10x300；

（2）设每天销售所获得的利润为W,则

W(x10)(10x300)10x2400x300010（x20)21000，

∵10＜x≤30，∴当x=20时，W取最大值1000，

答：该品牌水果定价为20元时，每天销售所获得的利润最大.

（3）将x=20代入y10x300，得y100，设最后5天每千克一次性降价m元， 依题意得：20100510(20m)3003000， 解得m10，

所以最后5天每千克至少降价10元才能全部售完. 【点睛】

本题考查了二次函数在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值） 22．详见解析 【解析】 【分析】

根据等式的性质得出∠DAE＝∠BAC，利用SAS证明△DAE与△BAC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】

证明：∵∠BAG＝∠DAF， ∴∠BAG+∠CAE＝∠DAF+∠CAE， 即∠CAB＝∠EAD， ∵AB＝AD，AC＝AE， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴BC＝DE． 【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：AAS、SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

23．（1）172；40；（2）中午12点时，货车离贫困村还有60千米. 【解析】 【分析】

（1）依据函数图象中y的最大值可得到两地的距离，用80减去从2小时到2.8小时的路程即可； （2）先求得BC段的速度，然后计算出距离贫困村的距离即可． 【详解】

解：（1）当t＝5时，y＝172km， 所以两地相距172km．

80﹣50×（2.8﹣2）＝80﹣40＝40km， 所以货车司机拿到清单时，距出发地40千米． 故答案为：172；40．

（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∵B（2.8，40），C（5，172）， ∴2.8kb40，

5kb172k60解得，

b128∴直线BC 的解析式为y＝60x﹣128． （172﹣40）÷（5﹣2.8）＝60千米/小时． 60×1＝60，

所以中午12点时，货车离贫困村还有60千米 【点睛】

本题主要考查的是一次函数的应用，读懂函数图象是解题的关键． 24．（1）见解析；（2）见解析；（3）28. 【解析】 【分析】

（1）根据A，B，C三点坐标画出三角形即可． （2）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （3）四边形是梯形，利用梯形的面积公式计算即可． 【详解】

解：（1）△ABC如图所示．

（2）△A1B1C1如图所示．

（3）S四边形ABB1A1【点睛】

1×（2+6）×7＝28． 2本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 25．（1）40；（2）补图见解析；（3）117；（4）30人 【解析】 【分析】

（1）先根据B等级人数及其百分比求得总人数； （2）求出C组人数即可补全图形；

（3）总人数减去其他等级人数求得C等级人数，继而用360°乘以C等级人数所占比例即可得； （4）总人数乘以样本中A等级人数所占比例可得． 【详解】

解：（1）总人数为18÷45%＝40人， 故答案为40．

（2）C等级人数为40﹣（4+18+5）＝13人， 补全条形图如下：

（3）则C对应的扇形的圆心角是360°×故答案为：117；

13＝117°， 4013＝30人． 40（4）估计足球运球测试成绩达到A级的学生有300×【点睛】

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

2019-2020学年数学中考模拟试卷

一、选择题

1．下列说法：①平方等于其本身的数有0，±1；②3xy是4次单项式；③将方程分母化为整数，得

2

3

x1x21.2中的0.30.510x1010x20＝12；④平面内有4个点，过每两点画直线，可画6条、4条或135B．2个

C．3个

D．4个

条．其中正确的有( ) A．1个

2．某公司2018年获利润1000万元，计划到2020年年利润达到1210万元设该公司的年利润平均增长率为x，下列方程正确的是（ ） A．1000（1+x）＝1210 B．1210（1+x）＝1000 C．1000（1+2x）＝1210

D．1000+10001+x）+1000（1+x）＝1210

2

22

1的倒数是（ ） 31A. B.3 33．

C.3 D.

134．如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF将△AEF沿EF折叠得△HEF，延长FH交BC于M，现在有如下5个结论：①△EFM定是直角三角形；②△BEM≌△HEM；③当M与C重合时，有DF＝3AF；④MF平分正方形ABCD的面积；⑤FH•MH＝

1AB2，在以上5个结论中，正确的有（ ） 4

A．2 B．3 C．4 D．5

5．如图，从A点出发的光线，经C点反射后垂直地射到B点，然后按原路返回A点．若∠AOC＝33°，OC＝1，则光线所走的总路线约为( )

A．3.8 B．2.4 C．1.9 D．1.2

6．多项式4x-x3分解因式的结果是( ) A．x4x2

B．x2x2x D．x(2x)

2C．xx2x2

7．若2是关于x的方程xm1xm20的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰

2ABC的两条边的长，则ABC的周长为

A．7或10

B．9或12

C．12

D．9

8．某种病菌的直径为0.00000471cm，把数据0.00000471用科学记数法表示为( ) A．47.1×10﹣4 9．若反比例函数yA.2

B．4.71×10﹣5

C．4.71×10﹣7

D．4.71×10﹣6

k2的图象经过点(1,2)，则k的值为（ ） xB.0

C.2

D.4

10．某市公园的东、西、南、北方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入该公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是（ ） A．

1 2B．

1 4C．

1 6D．

1 1611．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG=∠DAC，且过D作DG⊥PG，连接CG，则CG最小值为( )

A．

6 5B．

75C．

32 25D．

36 2512．下列运算正确的是（ ） A．（y+1）（y﹣1）＝y2﹣1 C．a÷a＝a 二、填空题

13．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E为AB上一点，AE=23，点F在AD上，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时，折痕EF的长为_____．

10

2

5

B．x3+x5＝x8 D．（﹣ab）＝ab

2

3

63

14．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则x12+x22+3x1x2＝_____． 15．购买1个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料，所需钱数为 元．

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，点D为线段AB的中点，将线段BC绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE，连接DE，则DE最大值是______．\\

17．不等式﹣2x＞﹣4的正整数解为_____．

18．同时掷两枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，用两枚骰子的点数作为点的坐标，则点在第一象限角平分线上的概率是_____． 三、解答题

19．等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，两边分别交BC、CD于M、N．

（1）如图①，作AE⊥AN交CB的延长线于E，求证：△ABE≌△AND； （2）如图②，若M、N分别在边CB、DC所在的直线上时.

①求证：BM+MN=DN；②如图③，作直线BD交直线AM、AN于P、Q两点，若MN=10，CM=8，求AP的长． 20．如图，在正方形ABCD中，E是CD上一点，连接AE．过点D作DM⊥AE，垂足为M，⊙O经过点A，B，M，与AD相交于点F． （1）求证：△ABM∽△DFM；

（2）若正方形ABCD的边长为5，⊙O的直径为29，求DE的长．

21．为了深入培养学生交通安全意识，加强实践活动，新华中学八年级（1）班和交警队联合举行了“我当一日小交警”活动，利用星期天到交通路口值勤，协助交通对行人、车辆及非机动车辆进行纠章．在这次实践活动中，若每一个路口安排5名学生，那么还剩下4人；若每个路口安排6人，那么最后一个路口不足3人，但不少于1人．

（1）求新华中学八年级（1）班有多少名学生？

（2）在值勤过程中，学生发现每辆汽车驶出路口后有三种方式前行：左转、直行、右转，而且每种前行方式的可能性相同．请通过画树形图或列表的方法，求连续驶出路口的两辆汽车前行路线相同的概率． 22．“五一”期间，小张把容积为60升的油箱加满后自驾出行，行驶一段路程后进入服务区停车休息，休息后，小张离开服务区继续前行，为能顺利到达目的地，小张需在相距S千米的加油站加油.若小张从出发点到服务区休息点行驶的路程为200千米，且这期间平均油耗为每千米0.12升. (1)求小张离开服务区休息点时，油箱内还有多少升汽油?

(2)记小张从离开服务区休息点到进入加油站加油期间的平均油耗为每千米a升，请写出S与a的函数关系式；若0.08≤a≤0.1，求S的取值范围.

23．如图，反比例函数y1＝

k1与一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（2，2）、B（，n）． x2（1）求这两个函数解析式；

（2）直接写出不等式y2＞1y的解集．

24．（1）计算：12(5)03tan30|13|．

3x(x2)4（2）解不等式组：2x1．

x1325．为了庆祝“五四”青年节，我市某中学举行了书法比赛，赛后随机抽查部分参赛同学成绩（满分为100分），并制作成图表如下 分数段 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 频数 30 m 60 20 频率 0.15 0.45 n 0.1

请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：

（1）这次随机抽查了 名学生；表中的数m＝ ，n＝ ； （2）请在图中补全频数分布直方图；

（3）若绘制扇形统计图，分数段60≤x＜70所对应扇形的圆心角的度数是 ； （4）全校共有600名学生参加比赛，估计该校成绩不低于80分的学生有多少人？

【参】*** 一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B C A B C D D B 二、填空题 13．4或43. 14．﹣1 15．（a+3b）. 16．21 17．x＝1． 18．

D A 1 6三、解答题

19．（1）见解析；（2）①见解析；②AP=310. 【解析】 【分析】

（1）利用互余判断出∠EAB=∠NAD，即可得出结论；

（2）先构造出△ADG≌△ABM，进而判断出，△AMG为等腰直角三角形，即可得出NM=NG，即可得出结论； （3）由（2）得出MN+BM=DN，进而得出CN=18-2BC，再利用勾股定理得求出CN=6，在判断出△ABP∽△ACN，

APAB1得出，再利用勾股定理求出AN，代入即可得出结论． ANAC2【详解】 解：（1）如图①， ∵AE垂直于AN，

∴∠EAB+∠BAN=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°，

∴∠NAD+∠BAN=90°， ∴∠EAB=∠NAD，

又∵∠ABE=∠D=90°，AB=AD， ∴△ABE≌△AND；………………

（2）如图②，在ND上截取DG=BM，连接AG、MG， ∵AD=AB，∠ADG=∠ABM=90°， ∴△ADG≌△ABM， ∴AG=AM，∠MAB=∠GAD， ∵∠BAD=∠BAG+∠GAD=90°， ∴∠MAG=∠BAG+∠MAB=90°， ∴△AMG为等腰直角三角形， ∴AN⊥MG，

∴AN为MG的垂直平分线， ∴NM=NG， ∴DN﹣BM=MN， 即MN+BM=DN；

（3）如图③，连接AC，同（2），证得

MN+BM=DN，

∴MN+CM﹣BC=DC+CN， ∴CM﹣CN+MN=DC+BC=2BC， 即8﹣CN+10=2BC， 即CN=18﹣2BC， 在Rt△MNC中，

根据勾股定理得MN2=CM2+CN2，即102=82+CN2， ∴CN=6，

∴BC=6， ∴AC=62，

∵∠BAP+∠BAQ=45°，∠NAC+∠BAQ=45°， ∴∠BAP=∠NAC， 又∵∠ABP=∠ACN=135°， ∴△ABP∽△ACN， ∴

APAB1 ANAC2在Rt△AND中，

根据勾股定理得AN2=AD2+DN2=36+144， 解得AN=65，

∴AP1， 652∴AP=310． 【点睛】

此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠EAB=∠NAD，解（2）的关键是判断出△AMG为等腰直角三角形，解（3）的关键是判断出△ABP∽△ACN． 20．（1）见解析;(2) 【解析】 【分析】

（1）由四边形ABCD为正方形，可得∠BAM＝∠ADM，再由四边形BAFM为圆内接四边形，可得∠ABM＝∠MFD，可以求证；

（2）连接BF，得BF为直径，由勾股定理可得到AF的长，从而得FD＝3，因为△ABM∽△DFM，所以有

25 3ABAM5DEAM，而易证△ADM∽△DEM，可得，即可得DE的长度． DFDM3ADDM【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝90°， ∴∠BAM+∠MAF＝90°， ∵DM⊥AE，

∴∠MAD+∠ADM＝90°， ∴∠BAM＝∠ADM，

∵四边形BAFM为圆内接四边形 ∴∠ABM+∠AFM＝180° ∴∠ABM＝∠MFD

∴△ABM∽△DFM （2）如图，连接BF， ∵∠BAF＝90°，BF为直径

∴在Rt△ABF中，由勾股定理得AF＝(29)252＝2， ∴FD＝3， ∵△ABM∽△DFM， ∴

ABAM5， DFDM3∵∠DEM＝∠ADM，∠AMD＝∠DME＝90°， ∴△ADM∽△DEM，

DEAM， ADDM5525∴DE＝•AD＝5＝

333∴【点睛】

此题主要考查相似三角形的判定及性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解． 21．（1）新华中学八年级（1）班有44或49名学；（2）【解析】 【分析】

（1）设有x个交通路口，则八年级（1）班人数为（5x+4）名，根据题意列不等式组求解可得； （2）由树状图求得所有等可能的结果与两辆汽车前行路线相同的情况，继而利用概率公式即可求得答案． 【详解】

解：（1）设有x个交通路口，则八年级（1）班人数为（5x+4）名，

1 35x46(x1)1根据题意得，

5x46(x1)＜3解得：7＜x≤9， ∵x为正整数，

∴x＝8或9，所以5x+4＝44或49．

答：新华中学八年级（1）班有44或49名学； （2）列表可得： 第一辆 第二辆 左转 直行 右转 左转 直行 右转 （左转，左转） （左转，直行） （左转，右转） （直行，左转） （直行，直行） （直行，右转） （右转，左转） （右转，直行） （右转，右转） 由上表可知，所有可能发生的结果共有9种，并且它们发生的可能性都相等，

连续驶出路口的两辆汽车前行路线相同的有3种，分别为（左转，左转），（直行，直行），（右转，右转），

31=， 931答：连续驶出路口的两辆汽车前行路线相同的概率是．

3∴连续驶出路口的两辆汽车前行路线相同的概率为【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法或列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 22．(1) 36升； (2)S＝【解析】 【分析】

（1）根据剩下的油=原来油箱里的油-消耗的油，列出算式计算即可.

（2）根据从离开服务区休息点到进入加油站加油期间的平均油耗=总油量÷总路程即可得到关系式，根据反比例函数的性质即可求解. 【详解】

(1)60－200×0.12＝36(升) (2)S＝

36. 360≤S≤450 a36. a ∵36>0,当0.08≤a≤0.1时，随增大而减小， ∴360≤S≤450 【点睛】

本题考查的是反比例函数的应用，把握题目中的数量关系及掌握反比例函数的性质是解题关键. 23．（1）y1＝【解析】 【分析】

（1）将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入反比例解析式求n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式； （2）根据图象和交点坐标找出一次函数图象位于反比例函数图象上方时x的范围即可． 【详解】

解：（1）将A（2，2）代入反比例解析式得：k＝2×2＝4， 则反比例解析式为y1＝

41；y 2＝﹣4x+10；（2）＜x＜2或x＜0．

2x4； x将B（

11，n）代入反比例解析式得：n＝8，即B（，8）， 222ab2将A与B坐标代y2＝ax+b中，得1，

ab82解得：a4．2y＝﹣4x+10；

b101＜x＜2或x＜0． 2则一次函数解析式为

（2）由图象得：不等式y2＞y1的解集为【点睛】

此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法确定函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 24．(1)1;(2) 1＜x＜4． 【解析】 【分析】

（1）先根据零指数幂、有理数乘方的法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． （2）分别求出不等式的解集，即可解答 【详解】

解：（1）原式＝﹣1+1+3×

3 ﹣3 +1＝1； 33x(x2)4①（2）2x1，

x1②3由①得：x＞1， 由②得：x＜4，

则不等式组的解集为1＜x＜4． 【点睛】

此题考查负整数指数幂，零指数幂，实数的运算，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键

25．（1）200；90，0.3；（2）补图见解析；（3）54°；（4）240人 【解析】 【分析】

（1）根据60≤x＜70的频数及其频率求得总人数，进而计算可得m、n的值； （2）根据（1）的结果，可以补全直方图；

（3）用360°乘以样本中分数段60≤x＜70的频率即可得；

（4）总人数乘以样本中成绩80≤x＜100范围内的学生人数所占比例． 【详解】

解：（1）本次调查的总人数为30÷0.15＝200人， 则m＝200×0.45＝90，n＝60÷200＝0.3， 故答案为：200、90、0.3； （2）补全频数分布直方图如下：

（3）若绘制扇形统计图，分数段60≤x＜70所对应扇形的圆心角的度数是360°×0.15＝54°， 故答案为：54°； （4）600×

6020＝240， 200答：估计该校成绩不低于80分的学生有240人． 【点睛】

本题考查条形统计图、图表等知识．结合生活实际，绘制条形统计图或从统计图中获取有用的信息，是近年中考的热点．只要能认真准确读图，并作简单的计算，一般难度不大．