著名机构初中数学培优讲义直线与圆的位置关系.第03讲(A级).教师版

中考要求

内容 基本要求 了解直线与圆的位置关系；了解直线与圆的位置切线的概念，理解切线与过切点关系 的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线 切线长 了解切线长的概念 略高要求 能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题 较高要求 能解决与切线有关的问题 会根据切线长知识解决简单问题 重难点

1．理解直线与圆的位置关系；

2．能够证明切线及利用切线解决相关问题．

课前预习

切线（tangent line ）

几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确的说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的，此时，“切线在切点附近的部分”最接近“曲线在切点附近的部分”（无限逼近思想）。tangent在拉丁语中就是to touch的意思。类似的概念也可以推广到平面相切等概念中。

曲线切线和法线的定义

P和Q是曲线C上邻近的两点，P是定点，当Q点沿着曲线C无限地接近P点时，割线PQ的极限位置PT叫做曲线C在点P的切线，P点叫做切点；经过切点P并且垂直于切线PT的直线PN叫做曲线C在点P的法线（无限逼近的思想）

说明：平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线．这种定义不适用于一般的曲线；PT是曲线C在点P的切线，但它和曲线C还有另外一个交点；相反，直线l尽管和曲线C只有一个交点，

但它却不是曲线C的切线．

例题精讲

模版一 直线与圆位置关系的确定

设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 rdOl直线与圆没有公共点． 直线与圆有唯一公共点，直线叫做dr直线l与⊙O相离 相切 rdOl 圆的切线，唯一公共点叫做切点． 直线与圆有两个公共点，直线叫做dr直线l与⊙O相切 相交 rdOl 圆的割线． dr直线l与⊙O相交 二．切线的性质及判定 1. 切线的性质

（1） 定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（2） 注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心

①过圆心，过切点垂直于切线．AB过圆心，AB过切点M，则ABl． ②过圆心，垂直于切线过切点．AB过圆心，ABl，则AB过切点M． ③过切点，垂直于切线过圆心．ABl，AB过切点M，则AB过圆心．

AOMlB

2. 切线的判定

（1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； （2） 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

（3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．

OOlOlAAlA

3. 切线长和切线长定理

（1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切

线的夹角．

三．三角形的内切圆

1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．

2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系

AAcbbCCaAcBBDOEFCBa

设a．b．c分别为△ABC中A．B．C的对边，面积为S，则内切圆半径为rs，其中p

p11abc．若C90，则rabc． 22

【例1】 （2011•成都）已知eO的面积为9cm2，若点O到直线l的距离为cm，则直线l与eO的位置

关系是（ ） A．相交

【难度】1星

【解析】设圆O的半径是r，根据圆的面积公式求出半径，再和点O到直线l的距离π比较即可． 【答案】设圆O的半径是r，

则r29， ∴r3，

∵点O到直线l的距离为， ∵3， 即：rd，

∴直线l与eO的位置关系是相离， 故选C．

【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握，解此题的关键是知道当rd时相离；当rd

时相切；当rd 时相交．

B．相切

C．相离

D．无法确定

【巩固】（2010•湘西州）如果一个圆的半径是8cm，圆心到一条直线的距离也是8cm，那么这条直线和这

个圆的位置关系是（ ） A．相离

【难度】1星

【解析】欲求圆与AB的位置关系，关键是求出点C到AB的距离d，再与半径r进行比较．若dr，则

直线与圆相交；若dr，则直线于圆相切；若dr，则直线与圆相离．

【答案】∵圆的半径是8cm，圆心到直线的距离也是8cm，

∴直线与圆相切． 故选C．

B．相交 C．相切 D．不能确定

【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关

系完成判定．

【巩固】已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与eO的位置关系为（ ）

A．相交

B．相切

C．相离

D．相交．相切．相离都有可能

【难度】1星

【解析】直线和圆的位置关系与数量之间的联系：

若dr，则直线与圆相交；若dr，则直线于圆相切；若dr，则直线与圆相离．

【答案】∵垂线段最短，∴圆心到直线的距离小于等于5．

此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交．相切．相离都有可能． 故选D．

【点评】判断直线和圆的位置关系，必须明确圆心到直线的距离．

特别注意：这里的5不一定是圆心到直线的距离．

【巩固】△ABC中，C90，AC3，BC4．给出下列三个结论：

（1）以点C为圆心，2.3 cm长为半径的圆与AB相离； （2）以点C为圆心，2.4 cm长为半径的圆与AB相切； （3）以点C为圆心，2.5 cm长为半径的圆与AB相交； 则上述结论中正确的个数是（ ） A．0个

【难度】2星

【解析】此题是判断直线和圆的位置关系，需要求得直角三角形斜边上的高．先过C作CDAB于D，根

据勾股定理得AB5，再根据直角三角形的面积公式，求得CD2.4．（1），即dr，直线和圆相离，正确；（2），即dr，直线和圆相切，正确；（3），dr，直线和圆相交，正确．共有3个正确．

【答案】（1），dr，直线和圆相离，正确；

（2），dr，直线和圆相切，正确；

（3），dr，直线和圆相交，正确．故选D．

B．1个 C．2个 D．3个

【点评】此题首先根据勾股定理以及直角三角形的面积公式求得直角三角形斜边上的高．掌握直线和圆的

位置关系与数量之间的联系时解决问题的关键．

【拓展】已知：点P到直线L的距离为3，以点P为圆心，r为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直线L的距离均为2，则半径r的取值范围是（ ） A．r1

B．r2

C．2r4

D．1r5

【解析】首先要确定所画的圆与直线的位置关系．根据题意可知，圆与直线有两种情况符合题意：当圆与

直线l外离时，r1即可；当圆与直线相交时，要求r5，所以1r5．

【答案】根据题意可知，若使圆上有且只有两点到直线L的距离均为2，

则当圆与直线l外离时，r1； 当圆与直线相交时，r5； 所以1r5． 故选D．

【点评】此题主要考查了圆与直线的位置关系．要掌握直线与圆的三种位置关系中各自的特点，并根据特

殊的位置关系求出相对应的半径的长度是解题的关键．

【例2】 如图，在Rt△ABC中，C90，B30，BC4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作

圆，则eC与AB的位置关系是（）

A．相离

【难度】2星

【解析】作CDAB于点D．根据三角函数求CD的长，与圆的半径比较，作出判断． 【答案】作CDAB于点D．

∵B30，BC4cm， ∴CD2cm，等于半径．

B．相切 C．相交 D．相切或相交

∴AB与eC相切． 故选B．

【点评】此题考查直线与圆的位置关系的判定方法．通常根据圆的半径R与圆心到直线的距离d的大小判

断：当Rd时，直线与圆相交；当Rd时，直线与圆相切；当Rd时，直线与圆相离．

【巩固】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，C90，且ABADBC，AB是eO的直径，则

直线CD与eO的位置关系为（ ）

A．相离

B．相切

C．相交

D．无法确定

【难度】2星

【解析】要判断直线CD与eO的位置关系，只需求得AB的中点到CD的距离，根据梯形的中位线定理进

行求解．根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断：若dr，则直线与圆相交；若

dr，则直线于圆相切；若dr，则直线与圆相离．

【答案】作OECD于E．

∵AD∥BC，C90，OECD， ∴AD∥OE∥BC， 又OAOB， ∴DECE． ∴OEADBC． 2又ABADBC， ∴OE

AB， 2即圆心到直线的距离小于圆的半径，则直线和圆相交． 故选C．

【点评】此题要利用梯形的中位线定理，得到圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系，从而解决问

题．

【巩固】正方形ABCD中，点P是对角线AC上的任意一点（不包括端点），以P为圆心的圆与AB相切，

则AD与eP的位置关系是（ ） A．相离

【难度】2星

【解析】根据正方形的对角线平分一组对角，以及角平分线上的点到角两边的距离相等，得点P到AD的

距离等于点P到AB的距离．所以若以P为圆心的圆与AB相切，则AD与eP的位置关系是相切．

【答案】∵点P到AD的距离等于点PP到AB的距离，以P为圆心的圆与AB相切，

∴AD与eP的位置关系是相切． 故选B．

【点评】综合运用了正方形的性质和角平分线的性质．

【拓展】如图，矩形ABCG（ABBC）与矩形CDEF全等，点B，C，D在同一条直线上，APE的顶

点P在线段BD上移动，使APE为直角的点P的个数是（ ）

B．相切

C．相交

D．不确定

A．0

【难度】3星

【解析】要判断直角顶点的个数，只要判定以AE为直径的圆与线段BD的位置关系即可，相交时有2个

B．1 C．2 D．3

点，相切时有1个，外离时有0个，不会出现更多的点．

【答案】连接AE．AC．CE，如图在△AEC中，∵△ABC≌△CDE，∴ACE90，然后画出以AE为

直径半圆，发现存在的P点实际上有两个

【点评】本题主要是根据直径所对的圆周角是直角，把判定顶点的个数的问题，转化为直线与圆的位置关

系的问题来解决．

【例3】 如图，点P在y轴上，eP交x轴于A，连接BP并延长交eP于C，过点C的直线交x轴B两点，

于D，且eP的半径为5，AB4．若函数y

k

（x0）的图象过C点，则k的值是（ ） x

yCPDAOBx

A．4

B．﹣4

C．25

D．4

【难度】3星

【解析】本题的关键是求出C点的坐标，由于BC是eP的直径，那么连接AC后三角形ACB就是直角三

角形，已知BC，AB的长，可通过勾股定理求出AC的值，那么即可得出C点的坐标，将C的坐标代入反比例函数的解析式中即可求出k的值．

【答案】连接AC，则ACAB，如图所示：

yCPDAOBx

在Rt△ABC中，AB4，BC25， ∴AC2，

∵OPAB，ACAB， ∴AC∥OP， ∵BPPC，AB4， ∴OAOB2，

2，将C的坐标代入y∴C的坐标为2，k（k0）中，可得kxy4故选B． x【点评】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的方法，难度适中，主要掌握用数形结合的思想求出

C点的坐标是解题的关键．

3为圆心，以3为半径作eA，则直线ykx2（k0）与eA【巩固】已知在直角坐标系中，以点A0，的位置关系是（ ） A．相切

B．相交

C．相离

D．与k值有关

【解析】要判断直线ykx2（k0）与eA的位置关系，只需求得直线和y轴的交点与圆心的距离，

再根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，进行分析．

2，所以AB1． 【答案】因为直线ykx2与y轴的交点是B0，则圆心到直线的距离一定小于1，所以直线和eA一定相交．故选B．

【点评】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．

2，eA的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切【例4】 如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为3，eA点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（ ）

yPQOxA

A．（﹣4，0）

B．（﹣2，0） D．（﹣3，0）

C．（﹣4，0）或（﹣2，0）

【难度】3星

【解析】此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求PQ的最小值转化为求AP的最小值，再根据垂线段

最短的性质进行分析求解．

【答案】连接AQ，AP．

根据切线的性质定理，得AQPQ； 要使PQ最小，只需AP最小，

则根据垂线段最短，则作APx轴于P，即为所求作的点P； 3． 此时P点的坐标是0，故选D．

yPOQAx

【点评】此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．

【巩固】如图，在△ABC中，AB15，AC12，BC9，经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段EF长度的最小值是（ ） A．

12 5 B．

36 5 C．

15 2 D．8

BECFA

【难度】3星

【解析】取EF中点O，作OGAB于点G点，连接CO，当连接CG，根据△COG三边关系∵

O、G三点共线时，直径EF取得最小值，∴EFCGCOOG，当C、ACBC36 AB5BEOCFAG

【答案】B

【巩固】如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D

是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是

A．2 B．1 C．22 D．22 2yB（0,2）DExC（-1,0）OA（2,0）

【难度】3星

【解析】过E点作EHAB，△ABE面积的最小值，即EH最小，故BAE最小，EAO最大，即AD为

eC的切线，∵△ADC∽△AOE，故OE

2212 ，BE2，S△ABEBEAO22222yB（0,2）DEC（-1,0）OA（2,0）xHDyB（0,2）HE

A（2,0）xC（-1,0）O

【答案】C

模版二 切线的性质及判定 ☞切线的性质

【例5】 如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直于点D，AOB60，BC4cm，则切线

AB cm．

BOADC

【题型】填空 【解析】略 【答案】4

【巩固】如图，若eO的直径AB与弦AC的夹角为30，切线CD与AB的延长线交于点D，且eO的半

径为2，则CD的长为（ ） A．23 B．43

C．2

D．4

CAOBD

【难度】2星

【解析】根据切线的性质结合三角函数求线段长度，所以答案选A．

【答案】A

【巩固】如图，P是半圆O的直径BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AHBC于H，若PA1，

PBPC4，则PH___________．

APCHOB

【考点】切线的性质及判定，公共边型的相似问题 【题型】填空 【难度】3星 【关键词】 【解析】连结AO，

PBPCPCBCPC2PCCO2PO，

∴PO2，

∵PA是半圆的切线，∴AOPA， 又AHBC，∴PA2PHPO，

PA21∴PH．

PO2【答案】

1 2

☞切线的判定

【例6】 如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若AECODB．

判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；

DCAEFOB

【难度】3星 【解析】倒角

DCAEFOB

【答案】∵AECODB，AECABC，

∴ABCODB．∵OD⊥BC，

∴DBCODB90°．∴DBCABC90°． 即DBO90°．∴直线BD和⊙O相切．

【巩固】如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EAEC，延长EC到点P，连结PB，若PBPE，试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由．

BPCFEAOD

【难度】3星 【解析】略

BPCFEA

OD

【答案】连结OB、AC

∵PBPE，∴PEBPBE

∵EAEC，∴ECAEAC，∴BEC2BAC ∵BOC2BAC，∴BOCBECPBE ∵ABCD，∴BOCFBO90 ∴PBEFBO90，即PBO90 ∴PB与⊙O相切．

【巩固】已知：如图，ABC内接于eO，AD是过A的一条射线，且BCAD．求证：AD是eO的

切线．

BOCAD

【难度】3星 【解析】略

B'BOCAD

【答案】如图，过A作eO的直径AB'，连接CB'

∵AB'为eO直径，

∴ACB'90，∴B'B'AC90， 又∵B'B，BCAD ∴B'CAD，

∴CADB'AC90，即B'AD90，

∴OAAD ∴AD为eO切线．

点评：若已知直线与圆有公共点时，则连接圆心和公共点，只要证明这条直线垂直于经过这个公共点的半径(有时候过这个公共点作直径更方便)即可．

【巩固】已知：如图，AB是⊙O的直径，求C为⊙O上一点，MN过C点，ADMN于D，AC平分DAB．

证：MN为⊙O的切线．

NCMDAOBNCMDAOB

【难度】3星 【解析】略 【答案】连结OC

∵AC平分DAB， ∴CADCAO

∵OAOC，∴OCAOAC ∴OCACAD， ∴AD∥OC ∵ADMN， ∴OCMN

∴MN为⊙O的切线．

☞求线段长

【例7】 已知：如图，以AB为直径的eO交BC于点P，△ABC中，ABAC，PDACPD是eO的切线，

于点D．若CAB120，AB2，求BC的值．

【难度】2星

【解析】连接AP，根据已知可求得BP的长，从而可求得BC的长． 【答案】连接AP，

∵AB是直径， ∴APB90；

∵ABAC2，CAB120， ∴BAP60， ∴BP3， ∴BC23．

【巩固】如图，在eO中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACD沿AC翻折得到△ACF，

直线FC与直线AB相交于点G．若OBBG2，求CD的长．

【难度】3星

【解析】连接OC，证OCFG即可．根据题意AFFG，证FACACO可得OC∥AF，从而

OCFG，得证；根据垂径定理可求CE后求解．在Rt△OCG中，根据三角函数可得COG60．结合OC2求CE，从而得解．

【答案】连接CO

∵OAOC，∴12．

由翻折得，13，FAEC90． ∴23，∴OC∥AF．

∴OCGF90． ∴直线FC与eO相切． 在Rt△OCG中，cosCOG∴COG60．

在Rt△OCE中，CEOCsin602∵直径AB垂直于弦CD， ∴CD2CE23．

【点评】此题考查了切线的判定、垂径定理、解直角三角形等知识点，难度中等．

33． 2OCOC1， OG2OB21【巩固】如图，eO的直径AC13，弦BC12．过点A作直线MN，使BAMAOB．延长CB交MN2于点D，求AD的长．

MBDCOAN

【解析】先证明AD为eO的切线，然后利用相似

1【答案】∵BAMAOB=ACB

2∵ABCABD90 ∴△ABC∽△DBA ∴

ABAD5AD， BCAC121365 12∴AD

课堂检测

1． 已知ABC60，点O在ABC的平分线上，OB5cm，以O为圆心3cm为半径作圆，则eO与BC的位置关系是________． 【难度】2星

【解析】结合直角三角形30°所对直角边是斜边一半求出O到直线BC的距离，从而根据圆半径判断直线

与圆的位置关系，答案是相交．

【答案】相交

2． 如图，以等腰ABC中的腰AB为直径作eO，交BC于点D．过点D作DEAC，垂足为E．

（1）求证：DE为eO的切线；

（2）若eO的半径为5，BAC60，求DE的长．

AOECDB【难度】3星

【解析】（1）证明：连接AD，OD．

∵AB是直径，∴ADB90，即ADBC 又∵ABAC，∴CDBD，∴OD∥AC 又∵DEAC，∴ODDE ∴DE是eO的切线

（2）易知AD32AB321053 ∴DE1532AD2．

【答案】见解析

总结复习

1．通过本堂课你学会了 ．2．掌握的不太好的部分 ．3．老师点评：① ． ② ． ③ ．

AOECDB

课后作业

1． 如图所示在RtABC中，B90，A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DEDC，以D为

圆心，以DB的长为半径画圆．求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）ABEBAC．

AEBAEB

FDCDC【难度】3星 【解析】略

【答案】（1）如图所示，过点D作DFAC于F．

∵AB为⊙D的切线，AD平分BAC，

∴BDDF

∴AC是⊙D的切线； （2）在RtBDE和RtDCF中， ∵BDDF，DEDC， ∴BDE≌FDC ∴EBFC 又ABAF ∴ABEBAC．

2． 已知：如图，C为⊙O上一点，DA交⊙O于B，连结AC、BC，且DCBCAB．求证：（1）DC为⊙O的切线；（2）CD2ADBD．

C

COABDOAEBD【难度】3星 【解析】略

【答案】（1）连结OC并延长交⊙O于E，连结BE．

可知CE是⊙O的直径，∴CBE90，∴EBCE90 ∵CABE，DCBCAB，∴DCBE，

∴DCBBCE90

∵CE是直径，∴CD是⊙O的切线．． （2）∵DCBCAB，D是公共角， ∴BDC∽CDA，

CDBD，即CD2ADBD． ADDC点评：不是所有证明切线的问题只要连半径就都能解决，例如此题，遇到圆周角的关系，只连半∴

径就不太好用了，就要变半径为直径．“弦切角”已经从初中课本中删除，作为预习课我们这里也不作介绍，如果学生水平较高，这里老师也可以稍微提一下．

3． 如图，四边形ABCD内接于eO，BD是eO的直径，AECD，垂足为E，DA平分BDE．

（1）求证：AE是eO的切线；

（2）若DBC30，DE1cm，求BD的长．

AEDOBCBOCAEDo【难度】3星 【解析】略

【答案】（1）证明：连接OA，∵DA平分BDE，∴BDAEDA．

∵OAOD，∴ODAOAD．∴OADEDA．

∴OA∥CE．∵AEDE，∴AED90，OAEDEA90 ∴AEOA． ∴AE是eO的切线．

（2）∵BD是直径，∴BCDBAD90． ∵DBC30，BDC60 ∴BDE120．

∵DA平分BDE，∴BDAEDA60

∴ABDEAD30．在Rt△AED中，AED90，EAD30，∴AD2DE．在Rt△ABD中，BAD90，ABD30，∴BD2AD4DE． ∵DE的长时1cm，∴BD的长是4cm．