山西省太原市2018-2019学年高二上学期期末考试
数学（文）试题
一、选择题（本大题共12小题） 1.双曲线A. 2 【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，由双曲线的方程求出a的值，即可得双曲线与x轴的交点，由实轴的定义计算可得答案． 【详解】根据题意，双曲线则该双曲线与x轴的交点为则实轴长故选：D．
【点睛】本题考查双曲线的标准方程以及双曲线实轴的定义，属于基础题． 2.命题：“A. C.
，，
，
”的否定是（ ）
B. D.
，，
；
与
，其中
，
，
，其焦点在x轴上，
的实轴长为（ ）
B. 4
C.
D.
【答案】C 【解析】 因为
的否定是
”的否定是
在
,选C
所以命题：“3.曲线A. e 【答案】D 【解析】 【分析】
处的切线的斜率等于（ ） B.
C. 1
D. 2
求函数的导数，结合函数导数的几何意义求出对应的导数即可． 【详解】函数的导数为
- 1 -
，
则在处的导数，即切线斜率，
故选：D．
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，求出函数的导数是解决本题的关键． 4.设
，则“
”是“
”的（ ）
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：因为考点：充要关系 5.抛物线A. 【答案】C 【解析】
试题分析：抛物线x2＝4y中考点：抛物线方程及性质 6.对任意实数，则方程A. 椭圆 【答案】C 【解析】
B. 双曲线
，焦点为
的焦点到准线的距离为（ ）
B. 1
，所以“l＜x＜2”是“l＜x＜3”的充分而不必要条件，选A．
C. 2 D. 4
，准线为，焦点到准线的距离为2
所表示的曲线不可能是（ ）
C. 抛物线
D. 圆
思路分析：用Ax+By=c所表示的圆锥曲线，对于k=0,1及k＞0且k≠1，或k＜0，分别讨论可知：方程x+ky=1不可能表示抛物线 7.函数A. C. 【答案】D 【解析】 【分析】
求导，令导数小于零，解此不等式即可求得函数【详解】令
- 2 -
2222
的单调递减区间是（ ） ，
B. D.
的单调递减区间．
解得函数故选：D．
，
的单调递减区间是
．
【点睛】此题是个基础题考查学生利用导数研究函数的单调性． 8.已知命题“A. 【答案】D 【解析】 【分析】 命题“
，
求最大值代入即可．
【详解】命题“令故选：D．
【点睛】本题考查了存在量词和特称命题，属中档题． 9.函数
的图象大致是（ ） ，
，，则等价于
”为真命题等价于
，
在，
上有解，
”为真命题等价于
在
上有解，构造函数
，B.
”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
C.
D.
A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
求函数的导数，研究函数的单调性和极值，进行判断即可． 【详解】函数的定义域为函数的导数
- 3 -
， ，
由由即当
得得时，函数
得得
或舍，此时函数为增函数， ，此时
，函数为减函数，
，
取得极小值，且极小值为
则对应的图象为A， 故选：A．
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数单调性和导数之间的关系，研究函数的单调性是解决本题的关键． 10.若函数A. 【答案】B 【解析】 由函数
11.已知双曲线C与椭圆E：A. 【答案】C 【解析】 【分析】
由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案． 【详解】由椭圆则
，
，
，
． ，
，得
，
，
B.
有共同的焦点，它们的离心率之和为
C.
，则双曲线C的标准方程为（ ） D.
在区间
单调递增可得：
在区间
恒成立，
，故
在区间B.
单调递增，则k的取值范围是（ ）
C.
D.
双曲线与椭圆的焦点坐标为
椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为设双曲线的实半轴长为m，则则虚半轴长双曲线的方程是
， ．
，得
- 4 -
故选：C．
【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题． 12.函数A.
的定义域为R，
B.
对任意
，
C.
，则
的解集为（ ） D.
【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数【详解】设则对任意对任意即函数
，，单调递增， ，
，
函数
单调递增，
即为：
由
即故选：B．
【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共4小题） 13.椭圆【答案】6 【解析】 【分析】
根据题意，由椭圆的标准方程分析a、b的值，结合椭圆的几何性质求出c的值，由椭圆焦距的定义分析可得答案．
【详解】根据题意，椭圆
- 5 -
，利用导数研究函数的单调性即可得到结论． ，
，
， ，
，
得
的解集为，
的焦距是______
中，，，
则
则该椭圆的焦距故答案为：6．
，
；
【点睛】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质，注意求出c的值，属于基础题． 14.命题“如果【答案】如果 【解析】 【分析】
由四种命题之间的关系，即可写出结果. 【详解】命题“如果故答案为：如果
或
，那么 ，则
且
”的逆否命题是“如果
或
，则
”.
或
，那么
，则
且
”的逆否命题是______．
【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，熟记概念即可，属于基础题型. 15.曲线
在点
处的切线方程为__________．
【答案】y=2x–2 【解析】 分析：求导详解：由则曲线
在点
，可得斜率
，得
，
.
，进而得出切线的点斜式方程.
处的切线的斜率为
，即
则所求切线方程为
点睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理. 16.已知双曲线E：点P，使得【答案】【解析】 【分析】
求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设
，以及向量的垂直的条件：数量积为0，
的右顶点为A，抛物线C：
的焦点为若在E的渐近线上存在
，则双曲线E的离心率的取值范围是______．
再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围．
- 6 -
【详解】双曲线E：抛物线C：
的焦点为
，
，
的右顶点为，
双曲线的渐近线方程为可设即有可得即为化为由题意可得即有即则由
， ． ，可得
． ，
， ，
，
，
， ，
，
故答案为：
【点睛】对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出
，代入公式
；②只需要根据一个条件得到关于
的齐次式，结合
转化为
的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).
三、解答题（本大题共7小题） 17.已知命题p：曲线轴上．
判断命题p的否定的真假；
若“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1）【解析】 【分析】
- 7 -
与x轴相交于不同的两点；命题q：椭圆的焦点在y为假；（2）.
（1）根据判别式显然成立，即可判断出结果；
（2）先求出为真时，实数m的取值范围，再由“且”是假命题，“或“是真命题，判断出、的真假，进而可得出结果. 【详解】（1）由
（2）由已知得，为真时，
可得
显然成立，故命题为真，
，所以为假时，
或
为假；
因为“且”是假命题，“或“是真命题，由(1)知为真，所以真假， 所以
【点睛】本题主要考查复合命题，由命题的真假求参数，属于基础题型. 18.已知抛物线C：求抛物线C的方程；
若A，B为抛物线C上不同的两点，且AB的中点坐标为【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）将点先设点
代入坐标分别为
，即可求出结果；
，结合抛物线方程，作差求出直线AB的斜率，进而可求出结果. 经过点，由
得
，直线
代入
，解得
，故抛物线方程为
；
；（2）
.
，求直线AB的方程．
经过点
．
【详解】（1）由题知抛物线（2）设点故有则
坐标分别为
，由，代入得
为抛物线上的不同两点， ，整理得过点
，直线
的方程为
，又
的中点坐标为，即
，.
【点睛】本题主要考查抛物线方程，以及中点弦的问题，求中点弦所在直线方程，常用点差法结合中点坐标求出斜率，进而可得出结果. 19.若
是函数
的极值点．
求a的值； 若【答案】(1)【解析】 【分析】
求解导函数，结合导函数与极值的关系求解实数a的值即可；函数在关键点处的函数值确定实数a的取值范围即可．
- 8 -
时，
(2)4
成立，求的最大值．
由题意首先讨论函数的单调性，然后结合
【详解】由已知经检验当由当当当因此，又由故
可知时，
时，时，
，
， ，得
时，满足题意，故
，，
，递增；
递减； 递增； ，极小值为，由
得
， 或
，
， ． ，
极大值为得
或
的最大值为4．
【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，再者对函数求导后如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答。 20.已知椭圆C：
的左右焦点分别为，，焦距为2，过
，
，且
的周长为
．
点作直线与椭圆相交于A，
B两点，连接
求椭圆C的标准方程； 若直线AB的斜率为1，且【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）由焦距为2，求出；再由（2）先由题意得到直线【详解】（1）由题意得
的方程为：，
的周长为
，求出，进而即可求出结果；
坐标，即可得出结果. ，从而椭圆的标准方程为
；（2）
，求的值． 或3.
，联立直线与椭圆方程，求出
，又因为
，故可得
，
（2）由题意可得直线的方程为：，联立，可得，从而，，或
者当
，坐标分别为
，由题意
，
， 时，
，
，故
；
- 9 -
当坐标分别为
或3.
，时，，，故，
综上，
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，以及直线与椭圆交点的坐标问题，只需联立直线与椭圆方程求解即可，属于常考题型. 21.已知椭圆C：
的左右焦点分别为，，焦距为2，过
，
，且
的周长为
．
点作直线与椭圆相交于A，
B两点，连接
求椭圆C的标准方程 若【答案】(1)【解析】 【分析】 由焦距为2，程为：得【详解】
，
解得
，
，，焦距为2，
，
．
． ，
，
，
， ，
，
．
．
，
．
．
的周长为
，
可得
，
，
联立解出即可得出；
，由
设直线AB的方
，可
，求直线AB的方程．
(2)
．
与椭圆方程联立，化为：
，与根与系数的关系联立即可得出．
的周长为．
．
椭圆C的标准方程为：设直线AB的方程为：联立
，化为：，，
联立：解得：
直线AB的方程为：
【点睛】本题考查了椭圆的对于标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 22.已知函数
- 10 -
．
当若
时，求函数的单调区间； ，求证：当
时，
．
【答案】(1)【解析】 【分析】
在递减，在递增(2)见证明
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；令【详解】由故
在证明：要证明令令故当当故故故
，即． 即
，则在时，时，
，
， 递增，又，，递减， 递增，
，则
由，解得：
，根据函数的单调性证明即可．
，，由
， ，解得：递增，
，即证
， ，
，
，
，
问题转化为证明，
递减，在
【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，转化思想，是一道常规题．利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数
.根据差函数导函数符号，确定差函数
单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 23.已知函数当若
时，求函数对任意
．
的单调区间；
恒成立，求a的取值范围． 的单调增区间为
，单调减区间为
；（2）
【答案】（1）函数【解析】 【分析】 当
- 11 -
时，求函数的单调区间；求的导数，利用导数研究函数
在的单调性，然后讨
论a的取值，从而确定【详解】由所以函数由当所以函数又当若令即故故当
在区间
在时，满足时，对在区间，即时，由对任意
，
由，得
；由
的最值，即可确定实数a的取值范围
，则
，得
． ，
；
的单调增区间为
，则，有
，单调减区间为． ，
上单调递增， 对
恒成立．
，单调递减区间为
，
，
，
，
单调递增区间为
恒成立，只需
，上单调递减，又上恒成立，
的a不存在． ．
综上所述，a的取值范围是
【点睛】本题以函数为载体，主要考查导数的几何意义，考查导数在研究函数的单调性和最值中的应用，考查恒成立问题的解决方法．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。
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