三角形的内切圆
【教学目标】
1．通过作图操作，经历三角形内切圆的产生过程； 2．通过作图和探索，体验并理解三角形内切圆的性质；
3．类比三角形内切圆与三角形外接圆，进一步理解三角形内心和外心所具有的性质； 4．培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识； 5．进一步掌握用代数方法解几何题的思路，渗透方程思想。
【教学重难点】
三角形内切圆的概念和画法；三角形内切圆有关性质的应用。
【教学过程】
一、知识回顾
1．确定圆的条件有哪些？
（1）圆心与半径；（2）不在同一直线上的三点。 2．什么是角平分线？角平分线有哪些性质？ （角平线上的点到这个角的两边的距离相等。） 3．左图中△ABC与⊙O有什么关系？
ABOC（△ABC是⊙O的内接三角形；⊙O是△ABC的外接圆圆心O点叫△ABC的外心） 二、创设情境，引入新课
1．合作学习：李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。应该怎样画出裁剪图？
探索：（1）当裁得圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？ （2）与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？ （3）如何确定这个圆的圆心？ 2．探究三角形内切圆的画法：
（1）如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？ （圆心0在∠ABC的平分线上。）
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A]
MAM
O
ONBC
NBC（2）如图，如果⊙O与△ABC的夹内角∠ABC的两边相切，且与夹内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？
（圆心0在∠BAC，∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上。） （3）如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的位置与半径的长？
（作出三个内角的平分线，三条内角平分线相交于一点，这点就是符合条件的圆心，过圆心作一边的垂线，垂线段的长是符合条件的半径）
（4）你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆么？（只能作一个，因为三角形的三条内角平分线相交只有一个交点。）
教师示范作图。
3．三角形内切圆的有关概念
（1）定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
引导学生采用观察、类比的方法，理解三角形的内切圆及圆的外切三角形的概念，并于三角形的外接圆与圆的
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BCOAAMONBC内接三角形概念相比较。
（2）三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （3）连接内心和三角形的顶点平分三角形的这个内角。 三、新知应用
例1：如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB＝75°，点O是内心，求∠BOC的度数。
解：∵点O是△ABC的内心
∴BO是∠ABC的平分线，OC是∠ ACB的平分线 ∴∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB ∵∠ABC+∠ACB=50°+75°=125° ∴∠BOC=180°-1/2×125°=117．5°
小结：已知内心往往连接内心和顶点，则连线平分内角。
例2．如图，一个木摸的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直棱柱。圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆。已知直三棱柱的底面等边三角形边长为３cm。
求圆柱底面的半径。
分析：首先要根据题意画出图形，如图，要求圆柱底面半径，要把它归纳到某个直角三角形中，由
△ABC是等边三角形可得AD=1.5，连接OA即得OA平分∠ACB=30°。
例3．如图，设△ABC的周长为c，内切 ⊙o和各边分别相切于D，E，F
1求证：AE+BC= l
2BDCOEFABCDAO分析：AE、AF即△ABC的顶点A到△ABC的内切圆⊙O的切线长，易证明AE=AF，BD=BF、CD=CF，后面由学生自己完成。
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