2019年广东省中山市中考数学模拟试卷（3月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
2
1. -3的值是（ ）
A. 6 B. C. 9
2. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
y轴交于A，B两点，10. 如图，已知直线y=-x+2分别与x轴，与双曲线y= 交
于E，F两点，若AB=2EF，则k的值是（ ）
A. B. 1
D.
C. D.
A. B.
C.
D.
2
3. 一元二次方程x+2x-4=0的根的情况为（ ）
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 4. 如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A=70°，∠C=50°，那么sin∠AEB
的值为（ ）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
2
11. 因式分解：xy-4xy+4x=______．
12. 地球上陆地的面积约为149 000 000平方千米，把数据149 000 000用科学记数法表示为______．
22
13. 已知函数y=mx+（m-m）x+2的图象关于y轴对称，则m=______．
AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AD，14. 如图，连接AC、若∠CAB=35°，则∠ADC的度数为______度．
2
15. 已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，有以下结论：
①a+b+c＜0；②a-b+c＞1；③abc＞0；④4a-2b+c＜0；⑤c-a＞1．其中所有正确结论的序号是______．
16. 小芳参加图书馆标志设计大赛，他在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE，
并与正方形的对角线交于F、G点，制成了图中阴影部分的标志，则这个标志AFEGD的面积是______．
三、解答题（本大题共9小题，共66.0分）
0
+（ ）-1 17. 计算：（1- ）+|- |-2cos45°
A.
B. C. D.
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A. C.
成绩（分） 60 人数 4 70 8
B. D.
90 11 100 5
7. 我校举行了“建设宜居中山，关注环境保护”的知识竞赛，某班学生的成绩统计如下：
80 12 则该班学生成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 70分，80分 B. 80分，80分 C. 90分，80分 8. 把a• 的根号外的a移到根号内得（ ）
D. 80分，90分
18. 先化简 ，然后从-2≤x≤2的范围内选择一个合适的整数作为x的值代入求值．
A. 2
B. C. D.
9. 函数y=ax与y=-ax+b的图象可能是（ ）
A.
B.
C. D.
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Rt△ABC的三个顶点分别是A19. 如图所示，在平面直角坐标系中，（-3，
2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心逆时针旋转90°，画出旋转后对应的△A1B1C；
（2）图中△ABC外接圆的圆心的坐标是______，△ABC外接圆的面积是______平方单位长度．
20. 原创大型文化情感类节目《朗读者》在电视台综合频道、综艺频道播出后引起社会各界强烈反响，
小明想了解本小区居民对《朗读者》的看法，进行了一次抽样调查，把居民对《朗读者》的看法分为四个层次：A．非常喜欢；B．较喜欢；C．一般；D．不喜欢；并将调查结果绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．
21. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相
交于点E．
（1）求证：AE=DE；
（2）连接BE，交AC于点F．若BE⊥ED于点E，求∠AOD的度数．
22. 某商场，购进甲、乙两种文具，甲文具每件的进货价高于乙每件进货价10元，90元买乙文具的数量与
150元买甲文具的数量相同．
（1）求甲、乙两种文具的进货单价；
（2）要购进甲、乙两种文具共有100件，将进价提高20%进行销售，要使进货价少于2080元，销售额大于2460元，求有几种购进方案？ 23. 如图，点A（-1，m）是双曲线y1= 与直线y2=-x-（k+1）在第二象限的交
点，另一个交点C在第四象限，AB⊥x轴于B，且cos∠AOB=
请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次调查的居民总人数为=______人； （2）将图1和图2补充完整；
（3）图2中“C”层次所在扇形的圆心角的度数为______；
（4）估计该小区4000名居民中对《朗读者》的看法表示喜欢（包括A层次和B层次）的大约有______人．
（1）求m的值；
（2）求△AOC的面积；
（3）直接写出使y1＞y2成立的x的取值范围．
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24. 如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且C是弧AG的
中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F． （1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若
= ，求证：AE=AO；
（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=2 ，求AD的长．
25. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，E为AD边上一动点（不与点A
重合），AF⊥BE，垂足为F，GF⊥CF，交AB于点G，连接EG．设AE=x，S△BEG=y．
（1）证明：△AFG∽△BFC；
（2）求y与x的函数关系式，并求出y的最大值； （3）若△BFC为等腰三角形，请直接写出x的值．
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】
2
3=-9． 解：-3=-3×
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 4.【答案】D
【解析】
故选：D．
-32表示32的相反数．
222
此题的关键是注意符号的位置，-3表示3的相反数，底数是3，不要与（-3）相混淆．
解：∵∠A=70°，∠C=50°，
，∠AEB=60°， ∴∠B=∠C=50°∴sin∠AEB=故选：D．
根据三角形的内角和是180°求得∠AEB的度数，再根据特殊角的锐角三角函数值求解． 考查了圆周角定理、三角形的内角和是180°，还要熟记特殊角的锐角三角函数值． 5.【答案】D
【解析】
326
解：A、（-a）=a，故本选项错误；
．
2.【答案】C
【解析】
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误． 故选：C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3.【答案】C
【解析】
2
解：∵一元二次方程x+2x-4=0，
B、（a-b）2=a2-2ab+b2，故本选项错误； C、不是同类项，不能合并，故本选项错误； D、a6÷a3=a3，故本选项正确． 故选：D．
根据积的乘方，完全平方公式，合并同类项，同底数幂的除法法则计算即可．
本题综合考查了积的乘方，完全平方公式，合并同类项，同底数幂的除法，是基础题目，难度不大．
6.【答案】A
【解析】
∴△=2-4（-4）=18＞0， ∴方程有两不相等实数根， 故选：C．
2
把a=1，b=2，c=-4代入判别式△=b-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
解：，
∵解不等式①得：x＜0， 解不等式②得：x≥-1
∴不等式组的解集为：-1≤x＜0， 在数轴上表示不等式组的解集为：故选：A．
先求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
，
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
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本题考查了求一夜一次不等式（组）的解集，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能正确在数轴上表示不等式组的解集． 7.【答案】B
【解析】
解：当a＞0时，-a＜0，二次函数开口向上，当b＞0时一次函数过一，二，四象限，当b＜0时一次函数过二，三，四象限；
当a＜0时，-a＞0，二次函数开口向下，当b＞0时一次函数过一，二，三象限，当b＜0时一次函数过一，三，四象限． 所以B正确． 故选：B．
解：∵总人数为：4+8+12+11+5=40（人）， ∴中位数为第20和21人的成绩的平均值， 2=80， ∴中位数为（80+80）÷
可根据a＞0时，-a＜0和a＜0时，-a＞0分别判定．
∵成绩为80分的人数为12人，最多，
本题主要考查了二次函数及一次函数的图象，解题的关键是根据a，b的取值来判定二次函数
∴众数为80，
及一次函数的图象的正误．
故选：B．
先求出总人数，再根据中位数和众数的定义求解即可．
本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到
A点坐标为（2，0），B点坐标为（0，2），OA=OB，
大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中
∴△AOB为等腰直角三角形，
位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 8.【答案】C
【解析】
10.【答案】D
【解析】
解：作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，如图，
∴AB=OA=2
，
，
∴EF=AB=
解：∵-＞0， ∴a＜0， ∴原式=-（-a）•=-=-．
∴△DEF为等腰直角三角形， ∴FD=DE=
EF=1，
设F点横坐标为t，代入y=-x+2，则纵坐标是-t+2，则F的坐标是：（t，-t+2），E点坐标为（t+1，-t+1），
∴t（-t+2）=（t+1）•（-t+1），解得t=， ∴E点坐标为（，），
根据二次根式有意义的条件可得a≤0，原式变形为-（-a）•-，再把根号内化简即可．
故选：D．
本题考查了二次根式的性质：9.【答案】B
【解析】
故选：C．
，然后利用二次根式的性质得到
∴k=×=．
=a（a≥0）．
作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，先利用一次函数图象上点的坐标特征得到A（2，0），B（0，2），易得△AOB为等腰直角三角形，则AB=
OA=2
，所以EF=AB=
，且△DEF为
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等腰直角三角形，则FD=DE=EF=1；设F点坐标为（t，-t+2），则E点坐标为（t+1，-t+1），根据当m=0时，此时函数为y=2，这个函数也关于y轴对称， 故答案为1或0．
函数图象关于y轴对称时，其对称轴x=-=0，从而求出m的值．
=0，此类问题常常利用对称轴公式
反比例函数图象上点的坐标特征得到t（-t+2）=（t+1）•（-t+1），解得t=，这样可确定E点坐标为（，），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=×．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 11.【答案】x（y-2）2
【解析】
222
解：xy-4xy+4x=x（y-4y+4）=x（y-2）．
主要考查了二次函数的图象关于y轴对称时，其对称x=-作为相等关系解关于字母系数的方程，求字母系数的值． 14.【答案】55
【解析】
解：连接BC ∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90° ∵∠CAB=35° ∴∠CBA=55°
∵∠ADC=∠CBA
． ∴∠ADC=55°故答案为：55．
连接BC，根据圆周角定理及直角三角形的性质即可求得∠ADC的度数．
此题考查圆周角的性质，直径所对的圆周角为直角，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
15.【答案】①②③⑤
故答案为：x（y-2）．
先提取公因式x，再根据完全平方公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，分解要彻底． 12.【答案】1.49×108
【解析】
2
108． 解：将149 000000用科学记数法表示为1.49×108． 故答案为：1.49×
10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数科学记数法的表示形式为a×
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n
n
【解析】
解：由函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c＞0， 则①当x=1时，y=a+b+c＜0，正确；
是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
10的形式，其中1≤|a|＜10，n为此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 13.【答案】1或0
【解析】
n
②当x=-1时，y=a-b+c＞1，正确； ③abc＞0，正确；
④对称轴x=-1，则x=-2和x=0时取值相同，则4a-2b+c=1＞0，错误； ⑤对称轴x=
=-1，b=2a，又x=-1时，y=a-b+c＞1，代入b=2a，则c-a＞1，正确．
解：因为图象关于y轴对称， 所以x=-即-=0，m≠0， =-=0，
故所有正确结论的序号是①②③⑤．
根据函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c＞0，再结合图象判断各结论． 本题考查了二次函数图象与系数的关系，先分析信息，再进行判断． 16.【答案】 【解析】
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解得m=1．
解：过点G作GN⊥CD于N，过点F作FM⊥AB于M， ∵在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE， ，∠ODC=45°， ∴AB=BC=CD=AD=BE=EC=2，∠ECB=60°2×∴S△BEC=×设GN=x，
，∠NCG=30°， ∵∠NDG=∠NGD=45°
∴DN=NG=x，CN=NG=x， ∴x+x=2， 解得：x=-1，
2×（∴S△CGD=CD•GN=×同理：S△ABF=
-1，
-1）=
-1，
=
2
，S正方形=AB=4，
= •=，
由解集-2≤x≤2中的整数解为：-2，-1，0，1，2， 当x=1，-1，0时，原式没有意义；
若x=2时，原式= =2；若x=-2时，原式= =-2． 【解析】
将原式被除式的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除式分母提取2并利用平方差公式分解因式，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后从已知解集中找出整数解为-1，-2，1，2，0，但是当x=-1，1，0时原式没有意义，故x取2或-2，将x
∴S阴影=S正方形ABCD-S△ABF-S△BCE-S△CDG=4-（故答案为：6-3
．
-1）--（-1）=6-3．
=2或-2代入化简后的式子中，即可求出原式的值．
此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式
首先过点G作GN⊥CD于N，过点F作FM⊥AB于M，由在边长为2的正方形ABCD内作等边
的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，本题x的值不能取-1，1，0，做题时要注意．
△BCE，即可求得△BEC与正方形ABCD的面积，由直角三角形的性质，即可求得GN的长，即可求得△CDG的面积，同理即可求得△ABF的面积，又由S阴影=S正方形
ABCD-S△ABF-S△BCE-S△CDG，即可求得阴影图形的面积．
19.【答案】（- ，3） π
【解析】
解：（1）如图所示，△A1B1C即为所求； （2）∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC外接圆的圆心即为AB的中点，
此题考查了正方形，等边三角形，以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．
+4 17.【答案】解：原式=1+ -2×
∵A（-3，2），B（0，4），
∴△ABC外接圆的圆心的坐标是（-，3）； ∵AB=
=
，
，
2）π=
=1+ - +4 =5． 【解析】
直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 18.【答案】解：（ - ）÷
= ÷
∴△ABC外接圆的半径=∴△ABC外接圆的面积=（故答案为：（-，3）；
π．
π平方单位长度，
（1）根据旋转变换的定义作出点A，B，C旋转后的对应点，再顺次连接即可得；
（2）根据中点坐标公式得到△ABC外接圆的圆心的坐标，然后根据圆的面积公式即可得到结论．
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本题主要考查作图-旋转变换、平移变换，解题的关键是根据旋转变换和平移变换的定义作出变换后的对应点．
2800 20.【答案】300 72°【解析】
的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OC= AC，OD=OB= BD，AC=BD， ∴OA=OD，
∴∠DOA=∠ADO， ∵AE∥BD，ED∥AC，
∴∠EAD=∠ADO，∠EDA=∠DOA， ∴∠EAD=∠EDA， ∴AE=DE；
（2）解：∵AE∥BD，ED∥AC， ∴四边形AODE是平行四边形， ∵AE=ED，
∴四边形AODE是菱形， ∴AE=AO=OB， ∵AE∥BD，
∴四边形AEOB是平行四边形， ∵BE⊥ED，ED∥AC， ∴BE⊥AC，
∴四边形AEOB是菱形， ∴AE=AB=OB， ∴AB=OB=OA，
∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB=60°，
-60°=120°∴∠AOD=180°．
30%=300（人）； 解：（1）抽查的总人数是90÷故答案为：300，；
20%=60（人）， （2）C层次的人数是300×
则B层次的人数是300-90-60-30=120（人），所占的百分比是D层次所占的百分比是
=10%．
=40%，
；
×（3）“C”层次所在扇形的圆心角的度数是360°故答案为：72°；
=72°；
（4）对“广场舞”的看法表示赞同（包括A层次和B层次）的大约4000×答：估计对“广场舞”的看法表示赞同的大约有2800人． 故答案为：2800．
=2800（人）．
【解析】
（1）由矩形的性质得出OA=OD，得出∠DOA=∠ADO，由平行线的性质得出∠EAD=∠ADO，∠EDA=∠DAO，得出∠EAD=∠EDA，即可得出结论；
（2）证出四边形AODE是平行四边形，由AE=ED得出四边形AODE是菱形得出AE=AO=OB，证出四边形AEOB是平行四边形，证出四边形AEOB是菱形，得出AE=AB=OB，证出△AOB是等边三角形，得出∠AOB=60°，即可得出结果．
本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解题的关键． 22.【答案】解：（1）设乙文具的进货单价为x元/件，则甲文具的进货单价为（x+10）元，
依题意，得： = ， 解得：x=15，
（1）根据A层次的有90人，所占的百分比是30%，据此即可求得调查的总人数；
（2）利用总人数乘以对应的百分比求得C层次的人数，然后用总人数减去其它层次的人数求得B层次的人数，从而补全直方图；
（3）利用360°乘以对应的百分比求得所在扇形的圆心角的度数； （4）利用总人数乘以对应的比例即可求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要
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经检验，x=15是原方程的解，且符合题意， ∴x+10=25．
答：甲文具的进货单价为25元/件，乙文具的进货单价为15元/件． （2）设购进甲文具m件，则购进乙文具（100-m）件，
依题意，得： ，
解得：55＜m＜58．
∵m为整数， ∴m=56，57， 100-m=44，43．
∴有两种方案：购进甲文具56件，乙文具44件；购进甲文具57件，乙文具43件． 【解析】
（3）由图象知，y1＞y2成立的x的取值范围为：x＜-1或0＜x＜3． 【解析】
（1）根据已知条件得到OB=1，由cos∠AOB=
，得到OA=
，根据勾股定理即可得到结论；
（2）先把两函数的解析式联立组成方程组，求出x、y的值，得出A、C两点的坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）观察图象，根据一次函数与反比例函数的交点坐标即可求出一次函数的值大于反比例函数的值x的取值范围．
此题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质，求两函数的交点坐标，比较函数值的大小，三角形的面积等知识，能根据△ABO的面积求出k的值是解答此题的关键． 24.【答案】（1）证明：如图1，连接OC，AC，CG，
∵AC=CG， = ， ∴
∴∠ABC=∠CBG， ∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC， ∴∠OCB=∠CBG， ∴OC∥BG， ∵CD⊥BG， ∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：如图1，∵OC∥BD， ∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD， ∴ = = ，
∴ = = ，
∵OA=OB， ∴AE=OA；
（3）解：如图2，过A作AH⊥DE于H，
∵∠E=30°
∴∠EBD=60°， ∴∠CBD= ∠EBD=30°， ∵CD=2 ，
∴BD=6，DE=6 ，BE=12， ∴AE= BE=4， ∴AH=2，
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单价结（1）设乙文具的进货单价为x元/件，则甲文具的进货单价为（x+10）元，根据数量=总价÷合90元买乙文具的数量与150元买甲文具的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进甲文具m件，则购进乙文具（100-m）件，根据进货价少于2080元且销售额大于2460元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各进货方案．
本题考查了分式方程的应用已经一元一次不等式组的应用解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 23.【答案】解：（1）∵A（-1，m），AB⊥x轴于B，
∴OB=1，
∵cos∠AOB= ，
∴OA= ，
∴AB= =3， ∴A（-1，3）， ∴m=3；
（2）∵A（-1，3）是双曲线y1= 与直线y2=-x-（k+1）在第二象限的交点， ∴k=-3，
∴反比例函数的解析式为：y1=- ，一次函数的解析式为：y2=-x+2，
得 或 ， 解 ∴C（3，-1），
1+ 2×3=4； ∴△AOC的面积= 2×
∴EH=2 ， ∴DH=4 ，
∴
．
在Rt△DAH中，AD= =2 ． 【解析】
∴BG=AB-AG=5-
．
∴
（1）如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG，根据同圆的半径相等得到
．
∴y的最大值为
OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OCB=∠CBG，根据平行线的判定得到 ；
OC∥BG，即可得到结论；
（3）解：∵△BFC为等腰三角形
∴①当FC=FB时，如图1，过点F作FH⊥BC于H， （2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到=
=，
=
=，即可得
∴BH=CH=
BC=2， 到结论；
过点F作FP⊥AB于P， ∴四边形BHFP是矩形， （3）如图2，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=6，DE=6，BE=12，在Rt△DAH中，
∴FP=BH=2，
在Rt△BPF中，tan∠PBF=
AD=
，求出答案即可．
， 在Rt△APF中，tan∠AFP=
，
本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理相似三角形的判定和性质，圆周角定∵∠AFP+∠PAF=90°，∠PBF+∠PAF=90°， 理，正确的作出辅助线是解题的关键．
∴∠PBF=∠AFP， 25.【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，∠ABC=90°． ∴
，
∴∠ABF+∠FBC=90°．
∵AP+PB=AB=5， ∵AF⊥BE， ∴AP=5-PB， ∴∠AFB=90°．
∴∠ABF+∠GAF=90°． ∴
，
∴∠GAF=∠FBC． ∴PB=4或PB=1（舍）， ∵FG⊥FC， ∵PF∥AE，
∴∠GFC=90°． ∴△PBF∽△ABE， ∴∠AFB=∠GFC
∴∠ABF-∠GFB=∠GFC-∠GFB． ∴
， 即∠AFG=∠CFB． ∴△AFG∽△BFC； ∴
，
（2）解：由（1）得△AFG∽△BFC， ∴x=AE=
；
∴
②当BF=BC=4时，
．
在Rt△ABF中，AF= =3， 在Rt△ABF中，tan∠ADF=
易得，△AEF∽△BAF， ， ∴
， 在Rt△EAB中，tan∠EBA= ， ∴
∴
， ． ∴x=AE=
∴
；
．
③当FC=BC=4时，如图2，连接CG，
∵BC=AD=4，AB=5，
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在Rt△CFG和Rt△CBG中， ，
∴Rt△CFG≌Rt△CBG，
∴FG=BG，
∵△ABF是直角三角形， ∴点G是AB的中点， ∴AG=BG= AB= ， 由（2）知，AG= x， ∴ x= ， ∴x= ；
即：x的值为 ， 或 ． 【解析】
（1）先判断出∠GAF=∠FBC，再判断出∠AFB=∠GFC即可得出结论； （2）先判断出即可得出结论；
（3）分三种情况讨论利用等腰三角形的性质和相似三角形的性质即可得出结论．
此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判断和性质，锐角三角函数，矩形的判定全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解（1）的关键是得出
∠ABF=∠GFC，解（2）的关键是得出AG和BG，解（3）的关键是分类讨论的思想解决问题，是一道中等难度的中考常考题．
．再表示出，BG=5-．最后用三角形的面积公式
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