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某某省永昌县第一高级中学2020-2021学年高二数学下学期期末考
试试题 理 （含解析）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1．复数z满足z＝（1+i）（1﹣i），则z的虚部为（ ） A．﹣2iB．﹣2C．2D．2i 2．若双曲线C：A．4B．2
C．2
＝1的离心率为D．2
，则C的虚轴长为（ ）
2
3．若过函数f（x）＝lnx﹣2x图象上一点的切线与直线y＝2x+1平行，则该切线方程为（ ） A．2x﹣y﹣1＝0B．2x﹣y﹣2ln2+1＝0 C．2x﹣y﹣2ln2﹣1＝0D．2x+y﹣2ln2﹣1＝0
4．某方舱医院有6个医疗小组，每个小组都配备1位主治医师，现根据工作需要，医院准备将其中3位主治医师由原来的小组均相应地调整到其他医疗小组，其余的3位主治医师仍在原来的医疗小组（不做调整），如果调整后每个医疗小组仍都配备1位主治医师，则调整的不同方案数为（ ） A．36B．40C．48D．56 5．在
的展开式中，常数项为54，则a＝（ ）
A．±1B．±2C．±3D．±4
6．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ） A．假设a、b、c都是偶数 B．假设a、b、c都不是偶数 C．假设a、b、c至多有一个偶数 D．假设a、b、c至多有两个偶数
7．“女排精神”9月14日至9月29日在日本举行，中国队以上届冠军的身份出战，最终以11战全胜且只丢3局的成绩成功卫冕世界杯冠军，为中华人民某某国70华诞献上最及时的贺礼．朱婷连续两届当选女排世界杯MVP，她和颜妮、丁霞、王梦洁共同入选最佳阵容，赛后4人和主教练郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则朱婷和王梦洁站于郎平同一侧的概率为（ ）
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A．B．C．D．
8．函数f（x）＝x2﹣alnx在[1，+∞）单调递增，则实数a的取值X围是（ ） A．（0，2]B．（2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，2） 9．函数A．
B．
在区间C．
D．
（n＝1，2，3，4），其中a是常数，
上的最大值是（ ）
10．随机变量X的概率分布规律为P（X＝n）＝则P（＜X＜）的值为（ ） A．B．C．D．
11．如图在直角坐标系xOy中，过坐标原点O作曲线y＝ex的切线，切点为P，过点P分别作x，y轴的垂线垂足分别为A，B，向矩形OAPB中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ）
A．12．若函数
B．C．D．
在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值X围是（ ）
A．（﹣3，2）B．[﹣3，2）C．[﹣1，2）D．（﹣1，2） 二、填空题（每小题5分，共20分）
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13．“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”，“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中某时段更新了2篇文章和2个视频，一位学员准备学习这2篇文章和这2个视频，要求这2篇文章学习顺序不相邻，则不同的学法有 种．（用数字作答）
14．已知函数f（x）＝alnx+bx的图象在点P（1，1）处的切线与直线x﹣y+1＝0垂直，则
2
a的值为
15．某居民小区有两个相互的安全防X系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为
，则p＝．
16．已知F1，F2分别为椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦
＝4，则弦长|AB|＝．
点且斜率为2的直线交椭圆于A，B两点，若S三.解答题（17题10分，其余每小题10分，共70分） 17．已知复数
（m∈R）．
（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是纯虚数；
（Ⅱ）当实数m取什么值时，复平面内表示复数z的点位于第一、三象限． 18．在二项式（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求展开式中所有的有理项．
19．2020年初，新型冠状病毒疫情牵动着全国人民的心，某市根据上级要求，在本市某人民医院要选出护理、外科、心理治疗方面的专家4人与省专家组一起赶赴某某参加救助工作，该医院中现有3名护理专家A1，A2，A3，5名外科专家B1，B2，B3，B4，B5，2名心理治疗专家C1，C2．
（1）求4人中有1位外科专家，1位心理治疗师的概率；
（2）求至少含有2位外科专家，且外科专家B1和护理专家A1不能同时被选的概率． 20．某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中
（m∈N*）的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的．
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3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．
（Ⅰ）求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．
21．斜率为1的直线l经过抛物线C：y＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，且|AB|＝16． （1）求C的方程；
（2）直线x＝﹣2上是否存在点P，使得PA⊥PB，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．
22．设函数f（x）＝ax﹣2﹣lnx（a∈R）．
（1）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b＝0，求a，b的值； （2）求f（x）的单调区间．
参
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1．复数z满足z＝（1+i）（1﹣i）2，则z的虚部为（ ） A．﹣2iB．﹣2C．2D．2i
解：z＝（1+i）（1﹣i）2＝（1+i）（1﹣2i﹣1）＝（1+i）（﹣2i）＝2﹣2i， 故z的虚部为﹣2， 故选：B． 2．若双曲线C：A．4B．2
C．2
＝1的离心率为D．2
＝1的离心率为
．
，可得e＝
＝
＝
，
，则C的虚轴长为（ ）
2
解：双曲线C：
解得m＝6，故C的虚轴长为2故选：B．
3．若过函数f（x）＝lnx﹣2x图象上一点的切线与直线y＝2x+1平行，则该切线方程为（ ）
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A．2x﹣y﹣1＝0B．2x﹣y﹣2ln2+1＝0 C．2x﹣y﹣2ln2﹣1＝0D．2x+y﹣2ln2﹣1＝0 解：由题意，求导函数可得y′＝﹣2， ∵切线与直线y＝2x+1平行， ∴﹣2＝2， ∴x＝，
∴切点坐标为（，﹣2ln2﹣），
∴过点P且与直线y＝2x+1平行的切线方程为y+2ln2+＝2（x﹣），即2x﹣y﹣2ln2﹣1＝0． 故选：C．
4．某方舱医院有6个医疗小组，每个小组都配备1位主治医师，现根据工作需要，医院准备将其中3位主治医师由原来的小组均相应地调整到其他医疗小组，其余的3位主治医师仍在原来的医疗小组（不做调整），如果调整后每个医疗小组仍都配备1位主治医师，则调整的不同方案数为（ ） A．36B．40C．48D．56
解：根据题意，分2步进行分析：
①在6个医疗小组中选出3个，其主治医师不变，有C63＝20种安排方法，
②剩下的3个医疗小组，其主治医师由原来的小组均相应地调整到其他医疗小组，有2×1＝2种安排方法，
则有20×2＝40种不同的方案； 故选：B． 5．在
的展开式中，常数项为54，则a＝（ ）
A．±1B．±2C．±3D．±4 解：
展开式的通项
＝
，解得a＝±1．
，
令2﹣k＝0，即k＝2，即常数项故选：A．
6．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c5 / 15
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中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ） A．假设a、b、c都是偶数 B．假设a、b、c都不是偶数 C．假设a、b、c至多有一个偶数 D．假设a、b、c至多有两个偶数
解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定 “至少有一个”的否定“都不是”． 即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数 故选：B．
7．“女排精神”9月14日至9月29日在日本举行，中国队以上届冠军的身份出战，最终以11战全胜且只丢3局的成绩成功卫冕世界杯冠军，为中华人民某某国70华诞献上最及时的贺礼．朱婷连续两届当选女排世界杯MVP，她和颜妮、丁霞、王梦洁共同入选最佳阵容，赛后4人和主教练郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则朱婷和王梦洁站于郎平同一侧的概率为（ ） A．B．C．D．
解：记朱婷和王梦洁站于郎平同一侧为事件A, 基本事件总数为
•
•
＝24， •
＝8,
事件A包含的基本事件数2∴p(A)＝故选：B．
＝．
8．函数f（x）＝x2﹣alnx在[1，+∞）单调递增，则实数a的取值X围是（ ） A．（0，2]B．（2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，2） 解：函数f（x）＝x﹣alnx， 则f'（x）＝
，
2
因为f（x）＝x2﹣alnx在[1，+∞）单调递增， 所以
在[1，+∞）上恒成立，
即a≤2x2在[1，+∞）上恒成立， 因为y＝2x2在[1，+∞）上单调递增，
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所以（2x）min＝2， 则a≤2，
所以实数a的取值X围是（﹣∞，2]． 故选：C． 9．函数A．
B．
在区间C．
D．
，x∈
，
上的最大值是（ ）
2
解：函数f（x）＝
f′（x）＝1﹣2sinx，
令f′（x）＝0，解得x＝∴函数f（x）在∴x＝
．
内单调递增，在
内单调递减．
时函数f（x）取得极大值即最大值． ＝
﹣
＝
．
故选：B．
10．随机变量X的概率分布规律为P（X＝n）＝则P（＜X＜）的值为（ ） A．B．C．D． 解：∵P（X＝n）＝∴++∴a＝，
∵P（＜X＜）＝P（X＝1）+P（X＝2）＝×+×＝． 故选：D．
11．如图在直角坐标系xOy中，过坐标原点O作曲线y＝ex的切线，切点为P，过点P分别作x，y轴的垂线垂足分别为A，B，向矩形OAPB中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ）
+
＝1，
（n＝1，2，3，4），
（n＝1，2，3，4），其中a是常数，
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A．B．C．），
D．
解：设P（x0，e由y′＝ex，
则以点P为切点过原点的切线方程为：y﹣e＝e（x﹣x0），
又此切线过点（0，0），求得：x0＝1，即P（1，e）， 以点P为切点过原点的切线方程为：y＝ex
由定积分的几何意义得：S阴＝∫（ex﹣ex）dx＝（ex﹣ex2）|＝设“向矩形OAPB中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分”为事件A， 由几何概型的面积型可得：
，
P（A）＝
故选：A．
＝＝，
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12．若函数在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值X围是（ ）
A．（﹣3，2）B．[﹣3，2）C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）
解：令f′（x）＝x2﹣2x＝0，解得x＝0或x＝2，在开区间（a，a+5）内的最小值一定是
，
又故选：C．
，故，解得﹣1≤a＜2．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”，“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中某时段更新了2篇文章和2个视频，一位学员准备学习这2篇文章和这2个视频，要求这2篇文章学习顺序不相邻，则不同的学法有 12 种．（用数字作答）
解：根据题意，2篇文章和这2个视频，共有A44＝24种不同的顺序， 若文章学习相邻，有A22A33＝12种顺序，
则2篇文章学习顺序不相邻的学法有24﹣12＝12种； 故答案为：12．
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14．已知函数f（x）＝alnx+bx的图象在点P（1，1）处的切线与直线x﹣y+1＝0垂直，则
2
a的值为﹣3
解：由已知可得P（1，1）在函数f（x）的图象上， 所以f（1）＝1，即aln1+b×12＝1，解得b＝1， 所以f（x）＝alnx+x2， 故
．则函数f（x）的图象在点P（1，1）处的切线的斜率k＝f′（1）＝
a+2，
因为切线与直线x﹣y+1＝0垂直，所以a+2＝﹣1， 即a＝﹣3． 故答案为：﹣3．
15．某居民小区有两个相互的安全防X系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为解：某居民小区有两个相互的安全防X系统A和B， 系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p， ∵在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为∴解得p＝故答案为：
． ．
＝
，
，
，则p＝
．
16．已知F1，F2分别为椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦
＝4，则弦长|AB|＝ 2
．
点且斜率为2的直线交椭圆于A，B两点，若S解：因为|F1F2|＝2，所以2c＝2，即c＝1， 因为S＝4，
所以×2c×|yA﹣yB|＝4， 所以|yA﹣yB|＝4，
因为过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A，B两点，
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所以|AB|＝故答案为：2
．
|yA﹣yB|＝×4＝2，
三.解答题（17题10分，其余每小题10分，共70分） 17．已知复数
（m∈R）．
（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是纯虚数；
（Ⅱ）当实数m取什么值时，复平面内表示复数z的点位于第一、三象限． 解：
（Ⅰ）当复数z是纯虚数时，有
，解得m＝﹣1．
所以当实数m＝﹣1时，复数z是纯虚数．
（Ⅱ）当表示复数z的点位于第一、三象限时，有（3+3m）（1+3m）＞0，解得m＜﹣1或
，
时，表示复数z的点位于第一、三象限．
（m∈N）的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的．
*
所以当实数18．在二项式（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求展开式中所有的有理项． 解：（Ⅰ）展开式的通项为：
，
依题可得：，解得m＝7．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，展开式的通项为当r＝0，2，4，6时，对应项是有理项， 所以展开式中所有的有理项为：
，
， ，
，
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．
19．2020年初，新型冠状病毒疫情牵动着全国人民的心，某市根据上级要求，在本市某人民医院要选出护理、外科、心理治疗方面的专家4人与省专家组一起赶赴某某参加救助工作，该医院中现有3名护理专家A1，A2，A3，5名外科专家B1，B2，B3，B4，B5，2名心理治疗专家C1，C2．
（1）求4人中有1位外科专家，1位心理治疗师的概率；
（2）求至少含有2位外科专家，且外科专家B1和护理专家A1不能同时被选的概率． 解：（1）该医院完中现有3名护理专家A1，A2，A3， 5名外科专家B1，B2，B3，B4，B5，2名心理治疗专家C1，C2．
选出护理外科、心理治疗方面的专家4人与省专家组一起赶赴某某参加救助工作， 基本事件总数n＝
＝210，
＝30，
其中4人中有1位外科专家，1位心理治疗师包含的基本事件的个数m＝∴4人中有1位外科专家，1位心理治疗师的概率P＝＝（2）基本事件总数n＝
＝210，
＝．
其中4人中至少含有2位外科专家，且外科专家B1和护理专家A1不能同时被选包含的基本事件有：
m′＝+﹣+＝108，
∴至少含有2位外科专家，且外科专家B1和护理专家A1不能同时被选的概率为：
P＝＝＝．
20．某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．
（Ⅰ）求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率． 解：由题意知，ξ的可能取值为0，10，20，30，
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由于乙队中3人答对的概率分别为，，，
P（ξ＝0）＝（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）＝，
P（ξ＝10）＝×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1
﹣）×＝
＝
，
＝
，
P（ξ＝20）＝××（1﹣）+（1﹣）××+×（1﹣）×＝P（ξ＝30）＝××＝，
∴ξ的分布列为：
ξ
0
+10×
+20×
+30×＝
10
．
20
30
P
∴Eξ＝0×
（Ⅱ）由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥． 又P（A）＝
＝
，P（B）＝
××
＝
，
则甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为
P（A+B）＝P（A）+P（B）＝＝．
21．斜率为1的直线l经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，且|AB|＝16． （1）求C的方程；
（2）直线x＝﹣2上是否存在点P，使得PA⊥PB，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）由题可知，直线l方程为y＝x﹣， 设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程，得，
∴x1+x2＝3p，
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∵直线AB过焦点F，|AB|＝x1+x2+p＝4p， ∴p＝4，
故抛物线C的方程y＝8x． （2）联立
，得x﹣12x+4＝0，
2
2
∴x1+x2＝12，x1x2＝4， 设点P（﹣2，t），则∵PA⊥PB，∴＝
∴t2﹣8t+16＝0，解得t＝4， ∴存在P（﹣2，4），符合题意． 22．设函数f（x）＝ax﹣2﹣lnx（a∈R）．
（1）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b＝0，求a，b的值； （2）求f（x）的单调区间．
解：（1）f（x）＝ax﹣2﹣lnx（a∈R）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b＝0， 所以
，所以
；所以f（e）＝﹣1
，
，
+（y1﹣t）（y2﹣t）， ，
，
把点（e，﹣1）代入x﹣ey+b＝0得：b＝﹣2e． 即a，b的值为：（2）由（1）知：
，b＝﹣2e．
．
①当a≤0时，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单调递减； ②当a＞0时，令f'（x）＝0，解得：列表得：
，
x f'（x） y＝f（x）
﹣ ↗
0
+ ↘
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所以，a＞0时，f（x）的递增区间为，单减区间为．
综上所述：当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递减； 当a＞0时，f（x）的递增区间为
，单减区间为
．
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