椭圆的焦点弦长公式

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椭圆的焦点弦长公式

2ab2F1F22ac2cos2及其应用

在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：若椭圆的焦点弦F1F2所在直线的倾斜角为，a、b、c分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长

2ab2和焦半距，则有F1F22。 22accos上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。

例1、已知椭圆的长轴长AB8，焦距F1F242，过椭圆的焦点F1作一直线交椭圆于P、

Q两点，设PF1X(0)，当取什么值时，PQ等于椭圆的短轴长？

分析：由题意可知PQ是椭圆的焦点弦，且a4，c22，从而b22，故由焦

2ab224(22)2点弦长公式F1F22及题设可得：42，解得222accos168coscos22，即arccos22或arccos22。

例2、在直角坐标系中，已知椭圆E的一个焦点为F（3，1），相应于F的准线为Y轴，直线l通过点F，且倾斜角为

16，又直线l被椭圆E截得的线段的长度为，求椭圆E的方程。

53(xc3)2(y1)21，又椭圆E相应于F的准线为Y轴，分析：由题意可设椭圆E的方程为

a2b2a2c3 （1）故有，又由焦点弦长公式有c2ab2a2c2cos2316222 （2）又 abc 522（3）。解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：a4，b3，c1，从而所求椭圆E的方程

(x4)2(y1)21。为

43xyx2y2例3、已知椭圆C：221（ab0），直线l1：1被椭圆C截得的弦长为22，

abab1 / 2

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过椭圆右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截得的弦长是它的长轴长的

22，求椭圆C的方程。 52分析：由题意可知直线l1过椭圆C的长、短轴的两个端点，故有ab8，（1）又由

4a2ab2tan焦点弦长公式得2=，（2）因=，得，（3） 3223accos5又 abc （4）。解由（1）、（2）、（3）、（4）联列的方程组得：a6，b2，从而

22222x2y21。所求椭圆E的方程为62

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