专题51 利用三角函数的性质求参数值(解析版)

一、单选题

1．若函数fxsinx0在区间0,A．

,上单调递减，则（ ） 上单调递增，在区间323

C．

3 4B．

1 43 2D．

1 2【答案】C 【分析】 由x0,x,上单调递0,0,fx计算出的取值范围，可得出，再由函数在区间32332减可得出关于的等式，由此可解得实数的值. 【详解】

0，当x0,时，x0,，

330,fxsinx0由于函数在区间上单调递增，则0,0,， 332所以，032，

fx由于函数在区间,上单调递减，所以，函数fx在x处取得最大值，

332则

322kkN，又032，所以，

32，解得3. 2故选：C. 【点睛】

关键点点睛：本题通过正弦型函数在区间上的单调性求参数值，解题的就是将函数在区间上的单调性转化为两个区间的包含关系，并且分析出函数fx的一个最大值点，进而列出关于的等式求解. 2．已知函数f(x)2cos2x10的最小正周期为，若m,n[2,2]，且212f(m)f(n)9，则mn的最大值为（ ）

A．2

B．

5 2C．3

D．

7 2【答案】C 【分析】

由三角恒等变换化简解析式，结合周期求出解析式，由m,n[2,2]得出f(m)2m2，6f(n)2n2，从而结合f(m)f(n)9求出cos2m1且cos2n1，再由余弦函

666数的性质得出m的最大值、n的最小值，从而得出mn的最大值. 【详解】

函数f(x)2cos2x21cosx2的最小正周期为

21262,f(x)cos2x2

6若m,n[2,2]，则2m25232523,,2n, 644644f(m)f(n)cos2m2cos2n29

66cos2m1cos2n故且1

66故2m2n的最大值为，2的最小值为4

661323，n的最小值为 121213233 则mn的最大值为1212即m的最大值为故选：C．

3．已知函数f(x)sin(4x的取值范围是（ ） A．[3)(x[0,13])，函数g(x)f(x)a有三个零点x1,x2,x3，则x1x2x3245) 875,) 128107,] 32B．[75,] 128C．[0,D．[【答案】D 【分析】

根据题意做出函数在定义域内的图像，将函数零点转化成函数yf(x)与函数ya图像交点问题，结合图形即可求解. 【详解】

解：根据题意画出函数f(x)的图象，如图所示：

函数g(x)f(x)a有三个零点，等价于函数yf(x)与函数ya有三个交点， 当直线l位于直线l1与直线l2之间时，符合题意， 由图象可知：x1x22所以

2412，

1213x3， 242475x1x2x3， 128故选：D. 【点睛】

根据函数零点的情况求参数有三种常用方法：

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解. 4．如果函数fxcosA．

 6x的图象关于直线x对称，那么的最小值为（ ）

23B．

 4C．

 3D．

 2【答案】A 【分析】

利用余弦函数的对称轴以及整体思想可得：的表达式，进而得到的最小值． 【详解】

由题意函数fxcos则有

x的图象关于直线x对称，

231k, 32解得 ＝kπ，k∈Z，

6所以由此得|min．

6故选：A． 【点睛】

方法点睛：求正余弦函数的对称轴及对称中心一般利用整体思想求解 5．已知函数fx31sinxcosx（0）的图象与直线y1的相邻两个交点距离等于，则22fx的图象的一条对称轴是（ ）

A．xC．x12

B．x3

12D．x

3

【答案】D 【分析】

首先化简函数，根据条件确定函数的周期，求，再求函数的对称轴. 【详解】

fxsinx0，

6ymax1，由题意可知T，22，

fxsin2x，

6令2x62k,kZ，解得：x3k，kZ 2当k0时，x故选：D

3.

6．已知函数f(x)3sinxcosx0在0,值范围是（ ） A．内有且仅有1个最大值点和3个零点，则的取21316, 33B．1316, 33C．1417, 33D．1417, 33【答案】B 【分析】

先用辅助角公式整理得到f(x)2sin(x方程组即可求出的取值范围. 【详解】

6)，利用x的范围，求出x6的范围，利用已知条件列出

f(x)3sinxcosx2sin(x),0x，

626x626，

132263 ，

51662321316则的取值范围是,.

33故选：B.

7．A、B是函数fx2sinx为

0的图象与x轴的两个交点，且A、B两点间距离的最小值6，则的值为（ ） 3B．3

C．4

D．5

A．2 【答案】B 【分析】

根据已知条件求出函数fx的最小正周期T，进而可得出【详解】

2，即可得解. T2213. 由题意可知，函数fx的最小正周期T满足T，T，因此，23T3故选：B.

8．已知两点A(x1,0)，B(x2,0)是函数f(x)2sin(x离的最小值为A．2 【答案】B 【分析】 由已知得T【详解】

设函数fx的最小正周期为T，则由已知得T故选：B．

9．将函数fxsin2x3cos2x的图象沿x轴向左平移0个单位后得到函数gx，若gx为偶函数，则的最小值为（ ） A．

6)(0)与x轴的两个交点，且两点A，B间距

，则的值为（ ） 3B．3

C．4

D．5

1212，解之可得选项． 321212，解得3， 3212 B．

 6C．

 4D．

5 12【答案】A 【分析】

利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，通过平移求出平移后的函数的解析式，利用偶函数求出的值． 【详解】

函数ysin2x3cos2x2sin(2x)，

3将函数ysin2x3cos2x的图象沿x轴向左平移个单位后，得到函数y2sin(2x2)，

3因为函数是偶函数，

23k2(kZ)k(kZ)． 212当k0时，故选：A 【点睛】

12．

结论点睛：函数yAsin(x)是偶函数时，k2,kZ;当函数yAsin(x)是奇函数时，

k,kZ.

10．若函数fxsinx60的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2，且该函数图象关于点

0,x0,0成中心对称，x02，则xA．

0等于（ ）

5 12B．

 4C．

 3D．

 6【答案】A 【分析】

由已知条件求得函数fx的最小正周期T，可求得的值，再由已知可得2x06kkZ，结合

x00,可求得x0的值.

2【详解】

由题意可知，函数fx的最小正周期T满足

T22， ，T，T22fxsin2x，

6由于函数fx的图象关于点x0,0成中心对称，则2x0由于x00,故选：A. 【点睛】

结论点睛：利用正弦型函数的对称性求参数，可利用以下原则来进行： （1）函数fxAsinx关于直线xx0对称x06kkZ，解得x0kkZ， 2125x. ，解得02122kkZ；

（2）函数fxAsinx关于点x0,0对称x0kkZ. 11．将函数f(x)cos4x的图象向左平移

个单位长度后，得到gx的图象，若函数yg(x)在8,上单调递减，则正数的最大值为（ ） 124A．

1 2B．1 C．

3 2D．

2 3【答案】A 【分析】

先根据图象变换得到gx的解析式，根据yg(x)可得此函数单调减区间的一般形式，根据其在

,上的单调性可求正数的范围，故可得正确的选项. 124【详解】

gxcos4xcos4xsin4x，故g(x)sin4x，

82令2k24x2k2,kZ，故

2k42x2k42，

故存在kZ，使得

2k241242k42，

故k0即故选：A. 【点睛】

1122，解得0≤，故正数的最大值为2.

241244方法点睛：含参数的正弦型函数，若已知其在某区间上的单调性，求参数的取值范围时，一般先求出单调区间的一般形式，再根据包含关系可求参数的取值范围. 12．已知函数fxAsinx若x12x2x3A．

7a0aAx3，x2、在区间且x1x2x3，0,有三个零点x1、63 25，则fx的最小正周期为（ ） 32B．

3

C．

D．

4 3【答案】C 【分析】

利用正弦函数的对称性可得出x1x2可求得函数fx的最小正周期. 【详解】

285，x2x3，再由x12x2x3可得出的值，由此33375时，x， 362函数ysinx的对称轴方程为xkkZ，

251令k，可得k2，因为kZ，可得k0或k1. 6223当0x由于函数fx在区间0,7有三个零点x1、x2、x3，且x1x2x3， 3由对称性可得x1、x2满足

x16x226，可得x1x222， 3由对称性可得x2、x3满足所以，x12x2x3x26x3283xx，可得， 62332105，解得2， 332. 因此，函数fx的最小正周期为T故选：C. 【点睛】

关键点点睛：本题考查正弦型函数周期的求解，解题的关键利用对称性得出x1x2再结合已知条件求出的值，即可得解.

13．已知函数fx2tanx010,28，x2x3，33π23π,0，，f0为fx图象的一个2123对称中心．现给出以下四种说法：①

π5ππ,上单调递增；④函数；②2；③函数fx在区间2436πfx的最小正周期为．则上述说法正确的序号为（ ）

4A．①④ 【答案】D 【分析】

B．③④

C．①②④

D．①③④

根据f0π23，代入数据，结合的范围，即可求得的值，即可判断①的正误；根据对称中心为,0，

123代入公式，可解得的表达式，结合的范围，即可判断②的正误；根据f(x)解析式，结合x的范围，即可验证③的正误；根据正切函数的周期公式，即可判断④的正误，即可得答案. 【详解】

对于①：由f0ππ23233知2tan，即tan，结合，解得．故①正确；

26333对于②：因为ππkππ,0为fx图象的一个对称中心，故,kZ，解得6k2,kZ，因

126212为010，所以4，故②错误； 对于③：当xπ3π5ππ5ππ,时，4xπ,，故函数fx在区间,上单调递增，故③正确；

62243243对于④：因为4，所以fx的最小正周期T综上，正确的序号为①③④． 故选：D．

π，故④正确． 414．已知函数fx2sinx1（0，0,）的图象与x轴的两个交点的最短距离为若将函数fx的图象向左平移A．

 6.312个单位长度，得到的新函数图象关于0,1中心对称，则（ ）

C．

B．

 32 3D．

5 6【答案】D 【分析】

由题意利用函数yAsin(x)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得的可能取值． 【详解】

设函数f(x)2sin(x)1(0，(0,))与x轴的两个交点坐标为x1,x2，

x12k6，x22k当k0时，(x2x1)min5，不妨设x1x2， 62232，

33若将函数f(x)的图象向左平移

12个单位，得到y2sin(2x6)1的图象．

得到的新函数图象关于0,1中心对称，则可以等于故选：D．

15．若a、b是小于180的正整数，且满足A．2对 【答案】A 【分析】

B．6对

6k，kZ，

5， 6sinabsinasina2bsinb.则满足条件的数对a.b共有（ ）

C．8对 D．12对

根据a、b是小于180的正整数，确定2ab360,abN，3a2b540,a2bN，结合正

弦函数图像，分ab和ab180两种情况讨论即可. 【详解】

解：1a180,aN、1b180,bN，所以2ab360,abN，

3a2b540,a2bN，结合观察正弦函数的图像，

满足

sinabsinasina2bsinb的a.b只可能以下两种情况：

（1）ab时，

aba2baba2b90或270，

22所以ab36或ab108. （2）

ab90时，同样有sinasinb，此时sinab0，但b≠0， 2则sina2b0，所以此时没有满足题意的整数对； 综合（1）（2），满足题意的a.b有2对.

故选：A 【点睛】

思路点睛：一般情况下，满足本题的难点.

16．已知函数f(x)sin(x)(0)在区间（ ） A．6kC．

acacac的a,b,c,d有无数对，由于本题的特殊性，，这是

bdbdbd5,上单调递增，在区间,123312上单调递减，则3，kN 2B．6kD．3

3，kN 23 2【答案】C 【分析】 由题意知，当x

3

时，函数f(x)取得最大值，可求得6k3，kN.再由函数的单调区间得出不等2式组，解之可得选项. 【详解】 由题意知，当x

3

时，函数f(x)取得最大值，所以

32k2，kZ.得6k3，kN. 2因为f(x)在区间解得0故选：C. 17．已知x15,上递增，在,1233125， 上递减，所以且312123123.因此.

25π5ππ，x2是函数fxsinx（0，0）相邻的两个零点，若函数

236gxfxππ, 431π在,m上的最大值为1，则m的取值范围是（ ） 24B．A．ππ, 42π7π, 412C．π5π, 412D．【答案】C 【分析】

先利用三角函数的性质得到2，再根据已知零点得到不等式，求解即可得到结果． 【详解】

π，然后根据三角函数的性质得到关于m的3T5ππ2π，则Tπ，所以π，

263π2ππ所以2，则fxsin2x．令x，则2kπ，kZ，即kπ，kZ

333设函数fx的最小正周期为T，由题意可得又0πππ，所以，所以fxsin2x． 233因为函数gxfx1π在,m上的最大值为1，且g1，如图. 244当x所以πππππ7ππ,m时，2x2m，所以2m，

6336364π5πm． 412故选：C

【点睛】

关键点睛：本题考查根据正弦型函数的最大值求参数，解答本题的关键是x1两个相邻的零点求出fxsin2x中档题.

18．已知函数ysinx2是定义在R上的奇函数，则的一个可能取值为（ ）

π5π，x2是函数fx的36π，再作出函数gx的图象，根据图象分析定义域的区间，属于3A．

 8B．

 2C．

 4D． 4【答案】B 【分析】

由条件可得sin2=0，然后可得答案. 【详解】

因为函数ysinx2是定义在R上的奇函数，所以sin2=0 所以2=k,kZ，即=故选：B

19．已知函数f(x)2sin(x)0,0k,kZ 2的图象既关于点,0中心对称，又关于直线82x

8

对称，且函数g(x)f(x)2 在0,上的零点不超过2个，现有如下三个数据：①3；②610；③18，则其中符合条件的数据个数为（ ）

A．0 【答案】B 【分析】

根据对称中心和对称轴可求出， 的集合，再根据的范围和gx零点的个数，可确定满足条件的

B．1

C．2

D．3

，的值，最后选择符合条件的的个数.

【详解】

k18kk2， 由题意得，，k1,k2Z，两式相加得142k228又因为02,4，代入

82k2中，

得8k22k2Z.当x0,令g(x)0，得2sint6时，记tx,， 442，

则sint2t,，至多有2个实数根，

446211，解得015， 4结合8k22k2Z， 观察可知，10符合条件. 故选：B. 【点睛】

三角函数ysinx的对称中心为x0,0，则x0k. 三角函数ysinx的对称轴为xx0，则x020．已知点A2k.

,0在函数fxcos2x（0且N，0）的图象上，直线x624,内单调，则（ ） 63D．

是函数fx的图象的一条对称轴．若fx在区间A．

 6B．

 3C．

2 35 6【答案】B 【分析】

先根据函数fx的对称轴、对称中心及单调区间确定函数周期的范围，从而得出的取值范围，得出的所有取值，然后一一验证即可. 【详解】 由题意得，

624812T，得2，又因为fx在区间,内单调，所以，得4428633612T，得3．所以23．又因为N，所以2或3． ，得2226cos4当2时，

0，得k，又0，所以，此时直线x的函数fx24336的图象的一条对称轴，且fxcos4x3在区间,内单调．所以．

363当3时，cos60，得k，又0，所以， 2444此时cos62x，所以直线不是函数fx的图象的一条对称轴．所以2，1623．

故选：B． 【点睛】

考查根据三角函数的图像性质问题求参，难度较大，解答时要注意以下几点： （1）三角函数图象上，对称中心与对称轴之间的距离大于或等于

1周期； 4（2）若函数yAsinωxφ或yAcosx在区间a,b上单调，则ba21．将函数fxsin2xA．

T. 2π向左至少平移多少个单位，使得到的图像关于y轴对称（ ） 6C．

π 12B．

π 6π 3D．

π 2【答案】B 【分析】

ππfxsin2xfxsin2x2设函数，根据f01计算出最向左平移个单位，得66小正数即可. 【详解】

解：设函数fxsin2xπ向左平移个单位， 6得gxsin2x因为其关于y轴对称， 则g0sin2解得ππsin2x2， 66π1， 6k,kZ， 62当k0时，取最小正数即将函数fxsin2x故选：B. 【点睛】

. 6π向左至少平移6个单位，使得到的图像关于y轴对称. 6本题考查三角函数的性质及函数图像的平移，是基础题.

22．已知函数fxcos2xsin2x，将yfx的图象向左平移a（a0）个单位长度可以得到一个奇函数的图象，将yfx的图象向右平移b（b0）个单位长度可以得到一个偶函数的图象，则ab的最小值等于（ ） A．0 【答案】A 【分析】

先整理函数，再根据平移后函数的奇偶性得到a,b的值，即可得结果. 【详解】

B．

 8C．

 4D．

 2fxcos2xsin2x2cos2x解：函数，

4函数fx2cos2x的图象向左平移a个单位得到gx5cos2x2a，又因为函数为

44奇函数，则2a函数fx4k2（kZ），整理得ak（kZ）； 282cos2x的图象向右平移b个单位得到hx2cos2x2b，由于得到的函

444=k，b=数的图象为偶函数，2b当k0时，abmin0 故选：A. 【点睛】

8k,(kZ)； 2本题考查了三角函数的平移变换和奇偶性，属于中档题.

二、多选题

23．将函数f(x)sinx0的图象向右平移

3,0，且f(x)在个单位长度，所得的图象经过点4410,上为增函数，则取值可能为（ ） 4A．2 【答案】ABD

【分析】

B．4

C．5

D．6

由f(x)图象向右平移

3,0可得0sin，即个单位长度可得ysinx，由图象经过点42441得2kkZ，再由f(x)在0,上为增函数，可得，即可求解. 424【详解】

将函数f(x)sinx0的图象向右平移

1个单位长度可得：ysinx

44330sin即0sin， ,0因为所得的图象经过点，所以

2444所以

2kkZ，解得2kkZ，

1因为f(x)在0,上为增函数，所以 即02，

424所以k1时，2；k2时，4；k3时，6； 所以取值可能为2,4,6， 故选：ABD 【点睛】

关键点点睛：本题的解题关键在于整体代入法的灵活应用，涉及零点的整体代入和单调区间的整体代入才能突破难点.

24．已知函数fx2sinx1ππ的图像的一个对称中心为,0，其中0,1，则以下结论正确64的是（ ）

A．函数fx的最小正周期为3π B．将函数fx的图像向左平移C．函数fx在区间π所得图像关于原点对称 6ππ,上单调递增 62D．函数f(x)在区间(0,10)上有6个零点 【答案】AC 【分析】 根据条件求出【详解】

由函数fx2sinx2，然后利用三角函数的图像和性质逐一判断即可. 3ππππ，0kπkZ， 的图像的一个对称中心为，得4664π22，则fx2sinx

633因为0,1，所以k0，所以周期

T2π3π2，故A正确； 3将函数fx的图像向左平移

π2ππππ2，得gxfx2sinx2sinx，

66618633显然gx的图像不关于原点对称，故B错误； 当x确

由fx0，得

2π15ππππ,时，x,,，所以fx在区间,上单调递增，故C正

365462262623π3π1392πxkπkZ，解得xkπ由，0kπ10π，得k， 36262666因为kZ，所以k0,1,2,3,4,5,6，所以函数fx在区间0,100π上有7个零点，故D错误 故选：AC

25．已知函数fxsin2xA．fx的最小正周期为π C．fx在【答案】ABD 【分析】

π，则下列结论正确的是（ ） 6B．fx的图象关于直线xD．yfxfx7π对称 6ππ,单调递增 46π的最小值为2 4由正弦函数的周期公式可判断A；代入得函数fx有最小值，可判断B；由xππ,得46π2ππ2x,，可判断C；根据三角恒等变换可判断D.

636【详解】

2ππ，故A正确； 27ππ57∵x时，2xπ，此时fx有最小值，fx图象关于xπ对称，B正确；

6626∵fx的周期为

π2ππππππx,2x,fx∵时，，∵在,上不单调，C错误；

6364646∵yfxfx故选：ABD. 【点睛】

本题考查正弦函数的周期性、单调性、对称性、以及最值，属于基础题. 26．函数f(x)Asin(x)A0,0,||ππππsin2xcos2x2sin2x，故D正确. 46612的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离2为

，且f(x)的图象关于点,0对称，则下列判断正确的是（ ） 412,上单调递增 24125对称 24A．函数f(x)在B．函数f(x)的图象关于直线xC．当x0,时，函数f(x)的最小值为3 45个单位 24D．要得到函数f(x)的图象，只需要将y2cos4x的图象向右平移【答案】AD 【分析】

由三角函数的图象与性质可得f(x)2sin4x角函数图象的变换及诱导公式可判断D. 【详解】

，再由三角函数的图象与性质可判断A、B、C；由三3由函数f(x)的最大值为2可得A2，f(x)2sin(x)0,||因为函数f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为所以函数的最小正周期T满足

， 2， 4T， 242f(x)2sin(4x)||4，所以，

2T又f(x)的图象关于点,0对称，所以4k,kZ即k,kZ，

12312所以3，f(x)2sin4x， 3当x,时，4x,0，

322412,上单调递增，故A正确； 2412所以函数f(x)在当x57时，4x， 24365所以直线x不是函数f(x)图象的对称轴，故B错误；

24当x0,4时，4x2,333，f(x)3，故C错误； 将y2cos4x的图象向右平移

5个单位可得的函数为： 2455y2cos4x2cos4x246故D正确. 故选：AD. 【点睛】

2cos4x2sin4xfx，

323关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质，细心计算即可得解.

三、解答题

27．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示.

（1）求函数y＝f（x）的解析式； （2）当x5,时，求函数y＝f（x）的值域； 1212（3）若关于x的方程3•[f（x）]2+mf（x）﹣1＝0在范围.

【答案】（1）f（x）＝sin（2x+【分析】

5,上有三个不相等的实数根，求实数m的取值121211）；（2）[，1]；（3）﹣2＜m≤.

223（1）根据图象得出振幅和周期，求出ω＝2，利用特殊值求出φ的取值； （2）利用整体代入法求解值域；

（3）根据（2）结合二次方程根的分布相关知识即可得解. 【详解】

（1）∵由函数图象可得：A＝1，周期T＝4（

72﹣）＝，解得：ω＝2， 123，0）在函数图象上，可得：sin（2×+φ）＝0， 332∴解得：φ＝kπ，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ＝，

33∴f（x）＝sin（2x+）.

3又∵点（（2）∵x5,， 1212∴2x+

7 ， ∈x,6631）∈[，1]，

231即函数f（x）的值域为：[，1].

2∴sin（2x+

（3）要使方程有三个不相等的根，需要2个根在[令t＝f（x），g（t）＝3t2+mt﹣1， 则有：

g（1）＝3+m﹣1＞0；

111，1]，另一个根在[﹣，）上， 2223t1）＝10； 2423t1g（﹣）＝10；

2421从而解得：﹣2＜m≤-.

2g（

28．已知向量m(cos2x,asinx)，n(3,cosx)，函数f(x)mn（1）若a1，当x[0,]时，求f(x)的值域；

3. 223在区间[,]上的解. 4753,. 【答案】（1）[1,]；（2）x21212（2）若f(x)为偶函数，求方程f(x)【分析】

（1）将f(x)化为f(x)cos(2x)，然后可得答案； （2）由f(x)为偶函数可求出a0，然后可得答案. 【详解】

6（1）f(x)3cos2xasinxcosx33acos2xsin2x 222当a1，f(x)31cos2xsin2xcos(2x) 226由x[0,2],2x73[,],cos(2x)[1,] 6666223所以f(x)的值域为[1,]

（2）若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)恒成立

即3a3acos2xsin2xcos2xsin2x成立，整理得asin2x0,a0 2222333 cos2x得cos2x242所以由f(x)又2x[2,2],x75, 121229．若函数fxsinxcosx在0,a上单调递增，求a的取值范围. 【答案】0a【分析】

4

fx2sinx先利用辅助角公式化简得，再利用正弦函数的性质求出fx的单调递增区间，即

4可求解. 【详解】

fxsinxcosx2sinx,

4令22kx422kkZ，

解得：32kx2kkZ， 443, 44令k0，得可得fxsinxcosx在若0,a上单调递增， 则0a3,单调递增， 444，

所以a的取值范围是0a故答案为：0a【点睛】

4

4

关键点点睛：本题的关键点是解得32kx2kkZ，求出fx的单调递增区间，可得443fxsinxcosx在,单调递增，进而可得0a.

44430．ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知函数fxsin2x0一条对称轴为2x

6

，且fA1． 2（1）求A的值；

（2）若a2，求ABC的面积最大值． 【答案】（1）A【分析】

（1）利用对称轴可求得，得到fx解析式，利用fA3；（2）3.

1可求得结果； 2（2）利用余弦定理和基本不等式可求得bc最大值，代入三角形面积公式可求得结果. 【详解】 （1）

x6是fx的对称轴，2，62kkZ，解得：6kkZ，

又026，fxsin2x6，fAsin2A1， 62A0,，2A13,66652A. A，，解得：663（2）由余弦定理得：a2b2c22bccosAb2c2bc2bcbcbc（当且仅当bc时取等号），

， bc4（当且仅当bc时取等号）

SbcmaxsinAABCmax121343，即ABC面积的最大值为3. 22【点睛】

方法点睛：已知一边及一边所对角求解三角形面积最大值的问题，可利用余弦定理构造方程，利用基本不等式即可求得所需的两边之积的最大值，代入三角形面积公式即可求得结果.

31．已知函数fxsinx0,满足下列3个条件中的2个条件：①函数fx的周期为π；

2②x6是函数fx的对称轴；③f0且在区间,上单调； 462（Ⅰ）请指出这二个条件并说明理由，求出函数fx的解析式； （Ⅱ）若x0,，求函数fx的最值.

3【答案】（Ⅰ）①②成立，理由见解析，fxsin2x【分析】

6（Ⅱ）fx的最大值为1；最小值为；

1. 2（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案. （Ⅱ）0x【详解】 （Ⅰ）由①可得，由②得：由③得，

3得到

62x65，得到函数值域，即可得出最值. 622.

6k2k426，kZ.

4mm，mZ

T2203 22633若①②成立，则2，若①③成立，则m若②③成立，则kπ，fxsin2x.

66mm4624，mZ，不合题意.

212mk66，kZ与③中的03矛盾，所以

②③不成立.

所以，只有①②成立，fxsin2x（Ⅱ）由题意得，0x所以，当x

6. 651fx1. 62362x6

时，函数fx取得最大值1； 时，函数fx取得最小值

当x0或x

3

1. 232．已知函数fxsinx0,的最小正周期为. 2（1）求的值及gf（2）若的值域； 63，sin2cos0. 求f的值.

【答案】（1）2，g的值域为【分析】

1423,1；. （2）f210（1）由函数fx的最小正周期可求得的值，求得gsin的值域；

，结合的取值范围可求得g3（2）求得tan2，利用二倍角的正、余弦公式以及弦化切思想可求得f【详解】

（1）由于函数fxsinx0,的值.

2的最小正周期为，则22，

fxsin2x，gfsin，

6322，6351，所以，gsin,1； 632（2）

sin2cos0，可得tan2，

3，所以，fsin22133sin2cos2sincos2cos2132223sincos3cos23tan33sincos3cos2sin2cos22tan212233433. 5210【点睛】

求函数fxAsinx在区间a,b上值域的一般步骤：

第一步：三角函数式的化简，一般化成形如yAsinxk的形式或yAcosxk的形式． 第二步：由x的取值范围确定x的取值范围，再确定sinx（或cosx）的取值范围； 第三步：求出所求函数的值域（或最值）.

33．将函数g(x)4sinxcosx的图象向左平移0个单位长度后得到f(x)的图象.

62（1）若f(x)为偶函数，求f()的值；

（2）若f(x)在,上是单调函数，求φ的取值范围.

76【答案】（1）0；（2）【分析】

,. 62（1）首先化简gx解析式，然后求得左移个单位后函数fx的解析式，根据fx的奇偶性求得的值，进而求得f的值.

21，求得2x2的取值范围，根据的取值范

66（2）根据（1）中求得的fx2sin2x围，求得

72的取值范围，根据fx在,62上是单调函数，以及正弦型函数的单调性列不等式，解不等式求得的取值范围. 【详解】

（1）

∵g(x)4sinx31cosxsinx3sin2x(1cos2x)2sin2x1 262∴f(x)2sin2x又f(x)为偶函数，则∴f()f21 6π2k(kZ)，∵0，∴ .

26620 . 676（2）∵x,2x222,22，∴，

662∵02，∴

732,，2,， 666222∵f(x)在,7602上是单调函数，∴且 262, ∴62【点睛】

本小题主要考查三角恒等变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间有关问题的求解，考查运算求解能力，属于中档题.

四、填空题

34．已知函数f(x)sin2xacos2x，对xR，|f(x)|f【答案】1 【分析】

利用辅助角公式和为Asinx的形式：f(x)sin2xacos2x1a2sin(2x)，根据已知可得x成立，则a_______. 8π是f(x)的图象的对称轴，进而求得，利用a,的关系atan和诱导公式求得a的值. 8【详解】

解：f(x)sin2xacos2x1a2sin(2x)， 其中sina1a2,cos11a2,tana.

∵对xR，|f(x)|f∴x成立， 8ππ是f(x)的图象的对称轴，即2k,kZ, 882∴k4,kZ，

atan1，

故答案为：1. 【点睛】

本题考查三角函数的图象和性质，涉及辅助角公式化简三角函数，利用辅助角化简是前提，理解a,的关系是基础，由对xR，|f(x)|fπx成立，得出是f(x)的图象的对称轴是关键. 8835．已知函数f(x)4sin2x70x，若函数F(x)f(x)a恰有3∵零点，分别为66x1,x2,x3x1x2x3，则x12x2x3的值为________.

【答案】【分析】 令2x5π 335tt，t则t,，通过正弦函数的对称轴方程，求出函数的对称轴方程分别为和，62262t2t33，结合图像可知t1t2，从而求得x1x2【详解】 令2x3，x2x34，进而求得x12x2x3的值． 35t，则t, 662函数F(x)f(x)a恰有3零点，等价于yf(x)的图像与直线ya恰有3个交点，即y4sint与直线

ya恰有3个交点，设为t1,t2,t3，如图

函数y4sint，t性可得t1t22x135,的图像取得最值有2个t值，分别为t和t，由正弦函数图像的对称622262x2622，即x1x23

343，即x2x3，

366245故x12x2x3x1x2x2x3 ，

333t2t32x22x32故答案为：【点睛】

方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

36．设fxasin2xbcos2x，ab0，若fxf命题是______.（填序号） ①f5π． 3对任意xR成立，则下列命题中正确的6111270ff；②；③fx不具有奇偶性；④fx的单调增区间是

1052k,kkZ；⑤可能存在经过点a,b的直线与函数的图象不相交. 63【答案】①③

【分析】

由题可知，直线x

6

与函数fx的图象的一条对称轴，可求得a3b，可化简函数fx的解析式为

fx2bsin2x.计算出

611f127ff的值，可判断①的正误；计算、，可判断②的

105正误；利用特殊值法可判断③的正误；取b0，利用正弦函数的单调性可判断④的正误；假设命题⑤正确，求出直线的方程，结合函数fx的最值可判断⑤的正误. 【详解】

由题可知，直线x

6

与函数fx的图象的一条对称轴，

31aba2b2，整理可得a223ab3b20，即a3b可得f22620，a3b.

fx3bsin2xbcos2x2bsin2x.

611f对于命题①，12对于命题②，f112bsin0，①正确； 21264717772bsin22bsin2bsin1063030102bsin17172bsin， 3030177f2bsin22bsinf，所以，f，②不正确；

56305105对于命题③，

f2bsinb，66f2bsin2b，

26则ff且66ff，所以，函数fx不具有奇偶性，③正确； 66对于命题④，当xk6,k23kZ2k2x2kkZ， 时，则32622,kkZ上单调递减，④错误； 63当b0时，函数fx在区间k对于命题⑤，假设经过点a,b的直线与函数fx的图象不相交，

则该直线与x轴平行，此时该直线的方程为yb，则b2b，由于b≠0，矛盾，⑤错误. 故答案为：①③. 【点睛】

关键点点睛：本题考查正弦型函数fxAsinx的单调性、奇偶性、三角函数值的计算，解题的关键就是从fxfx分析得出直线与函数fx的图象的一条对称轴，进而借助辅助角公式66化简得出a、b的倍数关系.

37．已知函数fx2cosx0,0的图象关于原点对称，且在区间函数，则的取值范围为______. 【答案】0,

42,上是减233【分析】

222由函数图象关于原点对称可得，再由y2sinx在区间,上是增函数，可得，222332解不等式即可. 【详解】

由函数fx2cosx0,0的图象关于原点对称，得即fx2cosx， 222sinx,上是减函数， fx，因为在区间223所以y2sinx在区间2,上是增函数， 23又,是函数y2sinx的单调递增区间， 22232所以，又0，解得0.

4232故答案为：0,

4338．已知函数fx2sinx0，若fx在区间,上是增函数，则的取值范围是________. 43【答案】0,

23【分析】 由已知得【详解】

因为函数fx2sinx0，且在区间,,，列不等式求解． 4322,上是增函数， 43,所以,，

4322432所以，解得0,.

232故答案为：0,．

2339．已知曲线ysinx关于1,0对称，则的最小值为______.

6【答案】【分析】

由题意可得sin【详解】

 60，解得：k，kZ，进而即可求解的最小值. 66解：因为曲线ysinx关于1,0对称，所以sin0，

66可得6k，kZ，解得：6k，kZ，则的最小值为.

6故答案为：

五、双空题

. 0．将函数fx2sinxcosx23cosx3的图象向左平移aa0个单位长度，得到函数

2ygx的图象，若gxgx对任意x成立，则实数a的最小值为_____．此时，函数gx在区

6间13,上的图象与直线y2所围成的封闭图形的面积为______. 1212 2 3【答案】

【分析】

fx2sin2xgfxygx先将函数化简为的解析式，xgx对任意，由平移得到

36x成立，即函数gx的对称轴为x【详解】

12，可求出a的最小值，然后用割补的方法，可得图形的面积.

fx2sinxcosx23cos2x3

sin2x32cos2x12sin2x

3由fx2sin2x图象向左平移aa0个单位长度. 3则得到y2sin2xa2sin2x2a. 33所以gx2sin2x2a. 3由若g得

xgx对任意x成立，则函数gx的对称轴为x.

126632ak； 3k,kZ，所以a，kZ

232则a的最小值为

此时gx2sin2x即x，由对称性可知，如图. 37右边阴影部分S2的面积等于左边S1的面积. 127,x所求面积即为直线x以及y2,y2围成矩形面积，即为2. 1212故答案为：.

， 2 3

【点睛】

本题考查三角函数图像的平移变换和对称性，属于中档题.