高一数学——对数与对数函数
知识点一、对数及其运算
我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算. (一)对数概念: 1. 如果
底
数，N叫做真数.
，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的
2. 对数恒等式： 3. 对数
(1)0和负数没有对数，即 (2)1的对数为0，即 (3)底的对数等于1，即(二)常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，
.
具有下列性质： ； ； .
.以e为底的对数叫做自然对数，
(三)对数式与指数式的关系
由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.
由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. (四)积、商、幂的对数 已知 (1) 推广：
；
(2)；
(3).
(五)换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a＞0， a≠1， M＞0的前提下有: (1)
， 即
，
令 logaM=b， 则有ab=M， (ab)n=Mn，即 即:
.
(2) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有
即， 即，即
当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得
到一个重要的结论:
.
知识点二、对数函数
1. 函数y=logax(a＞0，a≠1)叫做对数函数.
2. 在同一坐标系内，当a＞1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0＜a＜1时，对数函数的图
象随a的增大而远离x轴.(见图1)
(1)对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R (2)对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的图像过点(1，0)
(3)当a＞1时，
三、规律方法指导
容易产生的错误
(1)对数式logaN=b中各字母的取值范围(a＞0 且a≠1， N＞0， b∈R)容易记错. (2)关于对数的运算法则，要注意以下两点：
一是利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.
二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误
的：
loga(M±N)=logaM±logaN， loga(M·N)=logaM·logaN，
loga.
(3)解决对数函数y=logax (a＞0且a≠1)的单调性问题时，忽视对底数a的讨论.
(4)关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.
以1为分界点，当a， N同侧时，logaN＞0；当a，N异侧时，logaN＜0.
三、典型例题
类型一、指数式与对数式互化及其应用
1.将下列指数式与对数式互化：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
思路点拨：运用对数的定义进行互化.
解：(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6).
总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 举一反三：
【变式1】求下列各式中x的值：
(1) (2) (3)lg100=x (4)
思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.
解：(1)
(2)
(3)10x=100=102，于是x=2； (4)由
；
；
.
类型二、利用对数恒等式化简求值
2．求值：
解：
总结升华：对数恒等式为真数.
举一反三： 【变式1】求
.
中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值
的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)
思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算. 解：
.
类型三、积、商、幂的对数
3.已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式. (1)lg9 (2)lg (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 解：(1)原式=lg32=2lg3=2b (2)原式=lg26=6lg2=6a (3)原式=lg2+lg3=a+b (4)原式=lg22+lg3=2a+b (5)原式=1-lg2=1-a
(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a 举一反三：
【变式1】求值
(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
(1) 解：(1)
(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2
=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.
【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.
解：由3a=c得：
同理可得
.
【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.
证明：
.
【变式4】已知：a2+b2=7ab，a＞0，b＞0. 求证：.
证明：∵ a2+b2=7ab， ∴ a2+2ab+b2=9ab，即 (a+b)2=9ab， ∴ lg(a+b)2=lg(9ab)， ∵ a＞0，b＞0， ∴ 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb
即
.
类型四、换底公式的运用
4.(1)已知logxy=a， 用a表示；
(2)已知logax=m， logbx=n， logcx=p， 求logabcx.
解：(1)原式=
(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底. 方法一：am=x， bn=x， cp=x ∴
，
；
∴ ；
方法二： 举一反三：
【变式1】求值：(1) 解：(1)
；(2)
；(3)
.
.
；
(2)；
(3)法一：
法二：.
总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.
类型五、对数运算法则的应用
5.求值
(1) log·log2732
(2)
(3)
(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)
解：(1)原式= (2)原式=
.
(3)原式=
(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 举一反三：
【变式1】求值：
解：
另解：设 =m (m＞0).∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ lg2=lgm， ∴ 2=m，即.
【变式2】已知：log23=a， log37=b，求：log4256=?
解：∵ ∴，
类型六、函数的定义域、值域
求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用. (1)
6. 求下列函数的定义域：
； (2)
.
思路点拨：由对数函数的定义知：x2＞0，4-x＞0，解出不等式就可求出定义域. 解：(1)因为x2＞0，即x≠0，所以函数 (2)因为4-x＞0，即x＜4，所以函数 举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域.
；
.
(1) y= (2) y=ln(ax-k·2x)(a＞0且a≠1，k∈R).
解：(1)因为， 所以，
所以函数的定义域为(1，)(，2).
(2)因为 ax-k·2x＞0， 所以()x＞k.
[1]当k≤0时，定义域为R； [2]当k＞0时，
(i)若a＞2，则函数定义域为(
k，+∞)；
(ii)若0＜a＜2，且a≠1，则函数定义域为(-∞，k)；
(iii)若a=2，则当0＜k＜1时，函数定义域为R；当k≥1时，此时不能构成函数， 否则定义域为.
【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域.
思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[4].
，2]，再由≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[，
类型七、函数图象问题
7．作出下列函数的图象：
(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx. 解：(1)如图(1)； (2)如图(2)； (3)如图(3).
类型八、对数函数的单调性及其应用
利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.
8. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)log23.4，log28.5 (2)log0.31.8，log0.32.7
(3)loga5.1，loga5.9(a＞0且a≠1)
思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.
(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方， 所以，log23.4＜log28.5；
解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5； 解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4＜log28.5； (2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8＜2.7，所以log0.31.8＞log0.32.7； (3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.
解法1：当a＞1时，y=logax在(0，+∞)上是增函数，且5.1＜5.9，所以，loga5.1＜loga5.9 当0＜a＜1时，y=logax在(0，+∞)上是减函数，且5.1＜5.9，所以，loga5.1＞loga5.9 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，
，令b2=loga5.9，则
令b1=loga5.1，则
当a＞1时，y=ax在R上是增函数，且5.1＜5.9 所以，b1＜b2，即
当0＜a＜1时，y=ax在R上是减函数，且5.1＜5.9 所以，b1＞b2，即
.
举一反三：
【变式1】若logm3.5＞logn3.5(m，n＞0， 且m≠1， n≠1)，试比较m ，n的大小.
解：(1)当m＞1， n＞1时，∵3.5＞1，由对数函数性质：当底数和真数都大于1时，对同一真数， 底数大的对数值小，∴n＞m＞1.
(2)当m＞1，0＜n＜1时，∵logm3.5＞0， logn3.5＜0，∴ 0＜n＜1＜m也是符合题意的解.
(3)当0＜m＜1，0＜n＜1时，∵3.5＞1，由对数函数性质，此时底数大的对数值小， 故0＜m＜n＜1.
综上所述，m，n的大小关系有三种：1＜m＜n或0＜n＜1＜m或0＜m＜n＜1.
9. 证明函数上是增函数.
思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法. 证明：设 则
又∵y=log2x在
即f(x1)＜f(x2)
∴函数f(x)=log2(x2+1)在 举一反三：
上是增函数. 上是增函数
，且x1＜x2
【变式1】已知f(logax)=(a＞0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性.
解：设t=logax(x∈R+， t∈R).当a＞1时，t=logax为增函数，若t1＜t2，则0＜x1＜x2，
∴ f(t1)-f(t2)=，
∵ 0＜x1＜x2， a＞1， ∴ f(t1)＜f(t2)，∴ f(t)在R上为增函数，
当0＜a＜1时，同理可得f(t)在R上为增函数.∴ 不论a＞1或0＜a＜1， f(x)在R上总是增函数.
10．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.
解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵ y=t为减函数，且0＜t≤4，
∴ y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞.
再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3＞0，即-1＜x＜3.
∴ t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数.
∴ 函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.
类型九、函数的奇偶性
11. 判断下列函数的奇偶性.
(1) (2).
(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.
解：由
所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称
又
所以函数是奇函数；
总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.
(2)解：由
所以函数的定义域为R关于原点对称 又
即f(-x)=-f(x)；所以函数
.
总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.