勾股定理讲义

环球雅思学校学科教师辅导教案

学员编号： 年 级：初二 课 时 数： 3 学员姓名：卞婉睿 辅导科目：数学 学科教师：曹秀敏 授课类型 星 级 T 勾股定理 ★★★ T 勾股定理逆定理 ★★★ T 勾股定理的的应用 ★★★ 1、熟练掌握勾股定理，能用勾股定理解题； 教学目的 2、熟练掌握勾股定理逆定理，要知道其与勾股定理的区别； 3、在掌握勾股定理及其逆定理的基础上熟练勾股定理的应用。 教学内容 1.什么叫勾股定理？它是如何证明的？ 2.勾股定理的逆定理是如何定义的，它与勾股定理有什么样的联系和区别？ 3.你能用所学过的勾股定理及其逆定理解决实际问题吗？你生活中会遇到相关的问题吗？ 知识梳理 1：勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： bc2a2，ac2b2）（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，则ca2b2， C90，（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 1

中国领先的个性化教育品牌 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 （若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c22

中国领先的个性化教育品牌 题型一：直接考查勾股定理 在ABC中，C90． ⑴已知AC6，BC8．求AB的长 ⑵已知AB17，AC15，求BC的长 分析：直接应用勾股定理a2b2c2 解：⑴ABAC2BC210 ⑵BCAB2AC28 1.在Rt△ABC中，a=3，b=4，则c边长为________． 2.在△ABC中，∠C=90°， AB＝5，则AB2+AC2+BC2=__ 题型二：应用勾股定理建立方程 ⑴在ABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，CDAB于D，CD＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可 根据勾股定理列方程求解 解：⑴ACAB2BC24，CDACBC2.4 AB ⑵设两直角边的长分别为3k，4k(3k)2(4k)2152，k3，S54 ⑶设两直角边分别为a，b，则ab17，a2b22，可得ab60Sab30cm2 ： 1. 已知:如图13,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17. 求BC边上的高. A B C 122.如图RtABC，C90AC3,BC4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积 CAB 3

中国领先的个性化教育品牌 题型三：实际问题中应用勾股定理 如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m AEBDC 分析：根据题意建立数学模型，如图AB8m，CD2m，BC8m，过点D作DEAB，垂足为E，则AE6m，DE8m 在RtADE中，由勾股定理得ADAE2DE210 答案：10m C1.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定， 两个固定点AB之间的距离是（ ） A． 13 B． 9 C． 18 D． 10 AB2.假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇 到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？ 6321B A83.有一根70 cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm，40 cm ，30 cm的木箱中，能放进去吗？

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中国领先的个性化教育品牌 题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形 已知三角形的三边长为a，b，c，判定ABC是否为Rt ①a1.5，b2，c2.5 ②a，b1，c 解：①a2b21.52226.25，c22.526.25 ABC是直角三角形且C90 ②b2c22513，a2，b2c2a2ABC不是直角三角形 1695423 三边长为a，b，c满足ab10，ab18，c8的三角形是什么形状？ 题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 已知ABC中，AB13cm，BC10cm，BC边上的中线AD12cm，求证：ABAC 证明：AD为中线，BDDC5cm 在ABD中，AD2BD2169，AB2169AD2BD2AB2， ADB90， AC2AD2DC2169，AC13cm，ABAC 1．如图，△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为（ ） A．1 2.如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6，BC=8，将三角形ABC折叠,使AB落在斜边AC上,折痕为AD,则BD的长为（ ） A．3

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B．3 C．4 D．5 B．4 C．5 D．6 中国领先的个性化教育品牌 题型六：最短问题 在本章中，求解长方体、圆柱体等例题图形表面上两点间最短距离问题，通常是将其表面展开为平面图形，然后根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理计算出结果 如图是一个边长6厘米的立方体ABCD---EFGH， 一只甲虫在棱EF上且距F点1厘米的P处. 它要爬到顶点D，需要爬行的最近距离是__________厘米. A D C B G H 有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm，AA1、BB1为相对 的两条母线。在AA1上有一个蜘蛛Q，QA=4cm；在BB1上有一 A1 B1 只苍蝇P，PB1=3cm。蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短 P 的路径是 cm.（结果用带π和根号的式子表示） Q B A 小结： 1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加 深对“数形结合”的理解． 师生总结： 这节课我学习了 我学会了 E P F 6

中国领先的个性化教育品牌 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). （A）30 （B）28 （C）56 （D）不能确定 2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长 （A）4 cm （B）8 cm （C）10 cm （D）12 cm 3. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） （A）25 （B）14 （C）7 （D）7或25 4. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A）13 （B）8 （C）25 （D） 5. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） 72520242524202425207242025(D)15715(A)7(B)1515(C) 6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) （A） 钝角三角形 （B） 锐角三角形 （C） 直角三角形 （D） 等腰三角形. 7．直角三角形边长为a,b，斜边上高为h，则下列各式总能成立的是 A、abh C．2 （ ） 2 2 D．B．ab2h 222 111 abh111 222abh8. 三角形的三边长为(ab)c2ab,则这个三角形是( ) （A） 等边三角形 （B） 钝角三角形 （C） 直角三角形 （D） 锐角三角形. 9.△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（ ）. （A）50a元 （B）600a元 （C）1200a元 （D）1500a元 10.如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的长为（ ）. （A）12 （B）7 （C）5 （D）13

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中国领先的个性化教育品牌 A E D B C 5米 3米 （第10题） （第11题） （第14题） 二、填空题（每小题3分，24分） 11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米. 12. 在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则ABACBC=______. 13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 . 22214. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________. A E B D C （第15题） （第16题） （第17题） 15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米. 16. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D，若BC=8，AD=5，则AC等于______________. 17. 如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是______. 18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2. B A2023C D 第187cm

A B题图 8

中国领先的个性化教育品牌 19.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是________. 三、解答题（每小题8分，共40分） 20.P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝8.求：以PE为边长的正方形的面积. BECApD21.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ B A C D L 22.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ． （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论； （2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

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