10.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=x经过平移得到抛物线y=x-2x,其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 A.2 B.4 C.8 D.16二、填空题(每小题4分,共24分)
( )
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11.如果函数y=(a-1)x是二次函数,那么a的取值范围是 .
12.二次函数y=x-6x+n的部分图象如图所示,若关于x的一元二次方程x-6x+n=0的一个解为x1=1,则另一个解为x2= .
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13.如图所示的抛物线是二次函数y=ax-3x+a-1的图象,那么a的值是 . 14.(2015·舟山中考)把二次函数y=x-12x化为形如y=a(x-h)+k的形式是 .
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15.如图所示,利用两面夹角为135°且足够长的墙,围成梯形围栏ABCD,∠C=90°,新建墙BCD总长为15 m,则当CD= m时,梯形围栏的面积最大.
16.二次函数y=x的图象如图所示,点A0位于坐标原点,点A1,A2,A3,…,An在y轴的正半轴上,点B1,B2,B3,…,Bn在二次函数位于第一象限的图象上,点C1,C2,C3,…,Cn在二次函数位于第二象限的图象上,四边形A0B1A1C1,四边形A1B2A2C2,四边形A2B3A3C3,…,四边形An-1BnAnCn都是菱形,∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2B3A3=…=∠An-1BnAn=60°,菱形An-1BnAnCn的周长为 . 三、解答题(共66分)
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17.(6分)已知关于x的函数y=(a-b)x+2x+2+是二次函数,求a+b的值.
18.(6分)已知抛物线的顶点坐标为M(1,-2),且经过点N(2,3),求此二次函数的解析式. 19.(8分)已知二次函数y=-2x+(3k+2)x-3k.
(1)若二次函数的图象过点A(3,0),求此二次函数图象的对称轴; (2)若二次函数的图象与x轴只有一个交点,求此时k的值.
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20.(8分)如图所示,抛物线y=x+bx+c经过坐标原点,并与x轴交于点A(2,0). (1)求此抛物线的表达式; (2)写出顶点坐标及对称轴;
(3)若抛物线上有一点B,且S△OAB=3,求点B的坐标.
21.(8分)已知二次函数y=x+bx+c的图象与y轴交于点A(0,-6),与x轴的一个交点坐标是B(-2,0).
(1)求二次函数的关系式,并写出顶点坐标;
(2)将二次函数图象沿x轴向左平移个单位长度,求所得图象对应的函数关系式.
22.(8分)某种商品的进价为每件50元,售价为每件60元,每个月可卖出200件.若每件商品的售价上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元),设每件商品的售价上涨x元(x为整数),每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?
23.(10分)某市大力扶持大学生创业.李明在的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似地看做一次函数:y=-10x+500.
(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润? (2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2000元,那么他每月的成本最少需要多少元?(成本=进价×销售量)
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24.(12分)如图所示,已知抛物线y=ax+bx+3与x轴交于A,B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C点坐标是(4,3). (1)求抛物线的解析式;
(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点D,使△BCD的周长最小?若存在,求出点D的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)若点E是(1)中抛物线上的一个动点,且位于直线AC的下方,试求△ACE的最大面积及E点的坐标.
【答案与解析】 1.D
2.D(解析:因为点(2,5),(4,5)是该抛物线上关于对称轴对称的两点,所以只需求两对称点横坐标的平均数.)
3.C(解析:y=x+2x-5=(x+1)-6.∵a=1>0,∴当x=-1时,二次函数有最小值,为-6.故选C.) 4.B(解析:由图象可知,当x<1时,y随x的增大而增大,∵x10,b>0.当a>0时,抛物线开口向上,排除D.当a>0,b>0时,对称轴为直线x=-<0,排除A,C.故选B.)6.A(解析:将二次函数y=x的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得图象的函数表达式是y=(x-1)+2.故选A.)
7.B(解析:∵二次函数的图象的顶点坐标是(2,4),∴设这个二次函数的解析式为y=a(x-2)+4,把(0,-4)代入得a=-2,∴这个二次函数的解析式为y=-2(x-2)+4.故选B.) 8.C(解析:①∵a=-<0,∴抛物线的开口向下,正确;②对称轴为直线x=-1,故②错误;③顶点坐标为(-1,3),正确;④∵x>-1时,y随x的增大而减小,∴当x>1时,y随x的增大而减小一定正确.综上所述,正确的结论是①③④,共3个.故选C.)
9.C(解析:∵a=1>0,∴抛物线的开口向上.∵抛物线的对称轴为直线x=-=-=-,二次函数y=x+x+c的图象与x轴的两个交点A(x1,0),B(x2,0),且x142
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当n<0时,x10时,mx2,故B,D错误.故选C.)10.B(解析:如图所示,过点C作CA垂直y
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轴于点A,∵抛物线
y=x-2x=(x-4x)=(x-4x+4)-2=(x-2)-2,∴顶点坐标为C(2,-2),B(2,2),故对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为×2×4=4.)
11.a≠1(解析:由y=(a-1)x是二次函数,得a-1≠0.解得a≠1.)
12.5(解析:对称轴为直线x=-=-=3,根据二次函数的图象的对称性,可得=3,解得x2=5.) 13.-1(解析:由图象可知,抛物线经过原点(0,0),∴a-1=0,解得a=±1,∵图象开口向下,∴a<0,∴a=-1.)
14.y=(x-6)-36(解析:y=x-12x=(x-12x+36)-36=(x-6)-36.故填y=(x-6)-36.)
15.37.5(解析:过点A作AE⊥BC于E,则四边形ADCE为矩形,∠DAE=∠AEB=90°,∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=45°,∴∠B=45°,设DC=x,则AE=BE=x,∴AD=CE=15-2x,∴梯形ABCD面积为S=(AD+BC)·CD=(15-2x+15-x)·x=-x+15x=-(x-5)+,∴当x=5时,S最大=37.5.)
16.4n(解析:∵四边形A0B1A1C1是菱形,∠A0B1A1=60°,∴△A0B1A1是等边三角形.设△A0B1A1的边长为m1,则B1,代入抛物线的解析式中得=,解得m=0(舍去)或m=1,故△A0B1A1的边长为1,同理可求得△A1B2A2的边长为2,…,依次类推,等边三角形An-1BnAn的边长为n,故菱形An-1BnAnCn的周长为4n.故填4n.) 17.解:由题意得解得则a+b=2.
18.解:已知抛物线的顶点坐标为M(1,-2),设此二次函数的解析式为y=a(x-1)-2,把点(2,3)代入解析式,得a-2=3,即a=5,∴此函数的解析式为y=5(x-1)-2.
19.解:(1)将A(3,0)代入二次函数表达式,求得k=2,∴二次函数表达式为y=-2x+8x-6,配方得y=-2(x-2)+2,∴二次函数图象的对称轴为直线x=2. (2)由题意得Δ=(3k+2)-4×(-2)×(-3k)=0,解得k1=k2=. 20.解:(1)把(0,0),(2,0)代入
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y=x+bx+c,得解得∴表达式为
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y=x-2x.
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(2)∵y=x-2x=(x-1)-1,∴顶点坐标为(1,-1),对称轴为直线x=1. (3)设点B的坐标为(c,d),则×2|d|=3,解得d=3或d=-3.∵顶点的纵坐标为-1,-3<-1(或方程x-2x=-3无解),∴d=3,∴x-2x=3,解得x1=3,x2=-1,∴点B的坐标为(3,3)或(-1,3).
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21.解:(1)由题意,得解得∴y=x-x-6=x- x+-=-,顶点坐标为. (2)将其图象沿x轴向左平移个单位长度,所得图象对应的函数关系式为y=-=(x+2)-.
22.解:(1)根据题意,得y=(60-50+x)(200-10x),整理得y=-10x+100x+2000(0≤x≤12). (2)由(1)得y=-10x+100x+2000=-10(x-5)+2250,当x=5时,y65元时,每个月获得最大利润,最大利润为2250元.
23.解:(1)由题意,得w=(x-20)·y=(x-20)·(-10x+500)=-10x+700x-10000,x=-=35.答:当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润. (2)由题意,得-10x+700x-10000=2000,解这个方程,得x1=30,x2=40.答:李明想要每月获得2000元的利润,销售单价应定为30元或40元. (3)∵a=-10<0,∴二次函数图象开口向下.∴当30≤x≤40时,w≥2000.∵x≤32,∴当30≤x≤
32
时
,w
≥
2000.
设
成
本
为
P(
元
),
由
题
意
,
得
22
2
2
最大
2
2
22
=2250.故每件商品的售价定为
P=20(-10x+500)=-200x+10000.∵k=-200<0,∴P随x的增大而减小.∴当x=32时,P最小=3600.答:想要每月获得的利润不低于2000元,每月的成本最少为3600元.
24.解:(1)∵抛物线y=ax+bx+3经过点A(1,0),点C(4,3),∴解得∴抛物线的解析式为y=x-4x+3. (2)∵点A,B关于对称轴对称,∴当点D为AC与对称轴的交点时,△BCD的周长最小,设直线AC的解析式为y=kx+m(k≠0),则解得∴直线AC的解析式为y=x-1.∵y=x-4x+3=(x-2)-1,∴抛物线的对称轴为直线x=2,当x=2时,y=2-1=1,∴抛物线对称轴上存在点D(2,1),使△BCD的周长最小. (3)设过点E与直线AC平行的直线为y=x+m,可得消掉y得x-5x+3-m=0,令Δ=(-5)-4×1×(3-m)=0,得m=-.故当m=-时,点E到AC的距离最大,△ACE的面积最大,此时x=,y=-=-,∴点E的坐标为,设过点E的直线与x轴的交点为F,则F,∴AF=-1=.∵直线AC的解析式为y=x-1,∴∠CAB=45°,∴点F到AC的距离为×=.又∵AC==3,∴△ACE的最大面积=×3×=,此时E点坐标为.
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