2013年全国大学生数学竞赛练习题(一)

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2013年全国大学生数学竞赛练习题（一）

exe2x1.(第一届全国大学生数学竞赛初赛题)求极限lim(nx02.(第二届初赛题)设xneenxx)

(1a)(1a)...(1a22n),其中a1,求limxn.

n3.(第一届决赛题)设f(x)在x1点附近有定义，且在x1

f(sin2xcosx)点可导,f(1)0,f(1)2,求lim.

x0x2xtanx4.(第二届决赛题)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数, 且f(0),f0,f(0)均不为0,证明:存在唯一一组实数k1,k2,k3，使得

limh0k1fhk2f2hk3f3hf0h21x0。

5.设f(x)在x0的某邻域内有二阶导数，

且lim1xx0f(x)3,试求f(0),f(0),f(0) x6. (1)若函数f(x)在x附近有连续的二阶导数，

且f(x)0，则由中值定理，,使得：f(xh)=f(x)hf(xh),求lim;

h0(2)若函数f(x)在x附近有连续的非零n+1阶导数, 则n0,使得:f(xh)=f(x)hf(x)mnhn(n)+f(xnh),求limn。

h0n!7.求函数f(x)lim[limcosn(m!x)](xR)的表达式 8. (刘丛志题)当x0时，估计无穷小量fx5233xxx25x关于x的阶.

9.求lim(n1)nnkk(k0) 10.(刘丛志题)设

lim2013,求,的值。

nnn1n211. (刘丛志题)求limsinnn 12.证明:limsinn

nn13.设a0,a00,an11a(an),求liman

n2anan

nbn

n14.设(13)anbn3,其中an,bn为正整数,求lim

15.(1)证明:(斯托尔兹定理) 若liman=a，则limna1+a2++ana

nnn(2)设x1(0,1),xn1xn(1xn),试利用斯托尔兹定理证明limnxn1

（anpan),试利用斯托尔兹定理证明lim(3)(第三届初赛题)若存在正整数p,使得limnan

nnp

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