22.3矩形的性质常考题
一、选择题（共28小题）
1、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（ ） A、（2，2） B、（3，2） C、（3，3） D、（2，3） 2、（2007•临沂）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A⇒B⇒C⇒M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
A、 B、
C、 D、
3、（2009•济南）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（ ）
A、1.6 B、2.5 C、3 D、3.4
4、一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米（ ） A、50 B、50或40 C、50或40或30 D、50或30或20 5、菱形具有而矩形不具有性质是（ ） A、对角线相等 B、对角线互相平分 C、对角线互相垂直 D、对角线平分且相等 6、（2009•绥化）在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED．正确的是（ ）
A、②③ B、③④ C、①②④ D、②③④ 7、（2009•长沙）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是（ ）
A、2 B、4 C、2 D、4 8、（2008•连云港）已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是（ ）
A、 B、
C、 D、
9、（2007•潍坊）如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为（ ）
A、5cm B、8cm C、9cm D、10cm 10、（2007•陕西）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，则图中全等的直角三角形共有（ ）
A、6对 B、5对 C、4对 D、3对 11、（2006•宿迁）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′=30°，则∠AED′等于（ ）
A、30° B、45° C、60° D、75° 12、（2006•恩施州）矩形ABCD中的顶点A、B、C、D按顺时针方向排列，若在平面直角坐标系内，B、D两点对应的坐标分别是（2，0）、（0，0），且A、C两点关于x轴对称，则C点对应的坐标是（ ） A、（1，1） B、（1，﹣1） C、（1，﹣2） D、（，﹣） 13、（2006•大兴安岭）如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（ ）
A、3对 B、4对 C、5对 D、6对 14、（2005•武汉）将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′=60°，则∠AED的大小是（ ）
A、60° B、50° C、75° D、55° 15、（2005•泸州）如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，计算耕地的面积为（ ）
22
A、600m B、551m
22
C、550m D、500m 16、（2005•福州）如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（ ）
A、 C、
B、 D、
17、（2004•绍兴）如图，一张矩形纸片沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD等于（ ）
A、108° B、114° C、126° D、129° 18、（2004•北京）如图，点A、D、G、M在半⊙O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形．设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是（ ）
A、a＞b＞c B、b＞c＞a C、c＞a＞b D、a=b=c
19、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，则∠AEF=（
A、60° B、70° C、75° D、80°
20、矩形具备而平行四边形不具有的性质是（ ） A、对角线互相平分 B、邻角互补 C、对角相等 D、对角线相等
21、矩形一个内角的平分线把矩形的一边分成3cm和5cm，则矩形的周长为（ ） A、16cm B、22cm或26cm C、26cm D、以上都不对
22、矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A、对角相等 B、对边相等 C、对角线相等 D、对角线互相平分
23、如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E是CD上一点，且AE=AB，则∠CBE的度数是（ ）
A、30° B、22.5° C、15° D、10°
24、矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，则对角线AC与边BC所成的角是（ ） A、15° B、30° C、45° D、60°
25、矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A、对边相等 B、对角线互相平分
）
C、对角线互相垂直 D、对角线相等
26、如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD=8，DF=4，则菱形ABCD的边长为（ ）
A、8 B、8 C、8 D、8
27、如图，矩形的长与宽分别为a和b，在矩形中截取两个大小相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成一个没有空隙的圆柱，则a和b要满足什么数量关系（ ）
A、=C、=
B、=D、=
28、如图，把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（ ）
A、△EBD是等腰三角形，EB=ED B、折叠后∠ABE和∠CBD一定相等 C、折叠后得到的图形是轴对称图形 D、△EBA和△EDC一定是全等三角形 二、填空题（共2小题） 29、（2006•河南）如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置上．若OB=
，
，求点A′的坐标为 _________ ．
30、（2001•南京）在矩形ABCD中，A（4，1），B（0，1），C（0，3），则点D的坐标为 _________ ．
答案与评分标准
一、选择题（共28小题）
1、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（ ） A、（2，2） B、（3，2） C、（3，3） D、（2，3） 考点：坐标与图形性质；矩形的性质。
分析：本题可在画出图后，根据矩形的性质，得知第四个顶点的横坐标应为3，纵坐标应为2．
解答：解：如图可知第四个顶点为：
即：（3，2）． 故选B．
点评：本题考查学生的动手能力，画出图后可很快得到答案． 2、（2009•济南）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（ ）
A、1.6 B、2.5 C、3 D、3.4
考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质。 专题：计算题。
分析：利用线段的垂直平分线的性质，得到EC与AE的关系，再由勾股定理计算出AE的长． 解答：解：连接EC，由矩形的性质可得AO=CO， 又因EO⊥AC，
则由线段的垂直平分线的性质可得EC=AE， 设AE=x，则ED=AD﹣AE=5﹣x，
222
在Rt△EDC中，根据勾股定理可得EC=DE+DC，
222即x=（5﹣x）+3， 解得x=3.4． 故选D．
点评：本题考查了利用线段的垂直平分线的性质、矩形的性质及勾股定理综合解答问题的能力，在解上面关于x的方程时有时出现错误，而误选其它选项．
3、一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米（ ） A、50 B、50或40 C、50或40或30 D、50或30或20
考点：等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质。 专题：分类讨论。
分析：本题中由于等腰三角形的位置不确定，因此要分三种情况进行讨论求解，①如图（1），②如图（2），③如图（3），分别求得三角形的面积．
解答：解：如图四边形ABCD是矩形，AD=18cm，AB=16cm； 本题可分三种情况： ①如图（1）：△AEF中，AE=AF=10cm； S△AEF=•AE•AF=50cm；
2
②如图（2）：△AGH中，AG=GH=10cm； 在Rt△BGH中，BG=AB﹣AG=16﹣10=6cm； 根据勾股定理有：BH=8cm； ∴S△AGH=AG•BH=×8×10=40cm；
③如图（3）：△AMN中，AM=MN=10cm； 在Rt△DMN中，MD=AD﹣AM=18﹣10=8cm； 根据勾股定理有DN=6cm； ∴S△AMN=AM•DN=×10×6=30cm．
故选C．
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键在于能够进行正确的讨论． 4、（2009•长沙）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是（ ）
22
A、2 B、4 C、2 D、4
考点：矩形的性质；等边三角形的判定与性质。 专题：计算题。
分析：本题的关键是利用等边三角形和矩形对角线的性质求长度． 解答：解：因为在矩形ABCD中，所以AO=AC=BD=BO，
又因为∠AOB=60°，所以△AOB是等边三角形，所以AO=AB=2， 所以AC=2AO=4． 故选B．
点评：本题难度中等，考查矩形的性质． 5、（2007•潍坊）如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为（ ）
A、5cm B、8cm C、9cm D、10cm 考点：矩形的性质。 分析：∵△CDE的周长=CD+DE+EC，又EC=AE，∴周长=CD+AD． 解答：解：∵ABCD为矩形，∴AO=OC． ∵EF⊥AC， ∴AE=EC． ∴△CDE的周长=CD+DE+EC=CD+DE+AE=CD+AD=10（cm） 故选D．
点评：本题的关键是利用线段垂直平分线的性质求出AE=CE，进而求三角形的周长． 6、（2006•宿迁）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′=30°，则∠AED′等于（ ）
A、30° B、45° C、60° D、75°
考点：矩形的性质；翻折变换（折叠问题）。 分析：根据折叠的性质求∠EAD′，再在Rt△EAD′中求∠AED′． 解答：解：根据题意得：∠DAE=∠EAD′，∠D=∠D′=90°． ∵∠BAD′=30°， ∴∠EAD′=（90°﹣30°）=30°．
∴∠AED′=90°﹣30°=60°． 故选C．
点评：已知图形的折叠，就是已知图形全等，就可以得到一些相等的角． 点评：本题是一道结论开放题，掌握矩形的性质，很容易得到答案． 7、（2005•泸州）如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，计算耕地的面积为（ ）
A、600m
2
C、550m 考点：矩形的性质。 专题：应用题。
分析：要计算耕地的面积，只要求出小路的面积，再用矩形的面积减去小路的面积即可． 解答：解：30×20﹣30×1﹣20×1+1×1 =600﹣30﹣20+1 =551（平方米）
答：耕地的面积为551平方米．
2
2
B、551m
2
D、500m
故选B．
点评：解答此题的关键是正确求出小路的面积，要注意两条小路重合的面积最后要加上． 8、（2005•福州）如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（ ）
A、 C、
B、 D、
考点：矩形的性质。
分析：本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，得出结论． 解答：解：∵四边形为矩形， ∴OB=OD=OA=OC， 在△EBO与△FDO中，∠EOB=∠DOF，OB=OD，∠EBO=∠FDO，△EBO≌△FDO， ∴阴影部分的面积=S△AEO+S△EBO=S△AOB，
∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的， ∴S△AOB=S△OBC=S矩形ABCD．
故选B．
点评：本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质． 9、（2004•北京）如图，点A、D、G、M在半⊙O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形．设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是（ ）
A、a＞b＞c B、b＞c＞a C、c＞a＞b D、a=b=c 考点：矩形的性质；垂径定理。
分析：本题主要根据矩形的性质以及垂径定理进行做题．
解答：解：连接OM、OD、OA、根据矩形的对角线相等，得BC=OA，EF=OD，NH=OM．再根据同圆的半径相等，得a=b=c． 故选D．
点评：此题主要能够根据矩形的对角线相等把线段进行转换，根据同圆的半径相等即可证明．
10、如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD=8，DF=4，则菱形ABCD的边长为（ ）
A、8 B、8 C、8 D、8
考点：垂径定理；菱形的性质；矩形的性质。 分析：根据菱形的性质和勾股定理求解． 解答：解：如图，连接OM，
根据菱形的对角线互相垂直平分，得OD=4，即圆的半径是8， 在直角△AOM中，OM=8，AM=4 根据勾股定理，得OA=4， 在直角△AOD中，根据勾股定理得到：AD==8 即菱形的边长是8． 故选D．
点评：综合运用了菱形的性质以及勾股定理． 11、（2006•河南）如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置上．若OB=
，
，求点A′的坐标为 （） ．
考点：坐标与图形性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）。 分析：由已知条件可得：BC=1，OC=2．设OC与A′B交于点F，作A′E⊥OC于点E，易得△BCF≌△OA′F，那么OA′=BC=1，设A′F=x，则OF=2﹣x．利用勾股定理可得A′F=，OF=，利用面积可得A′E=A′F×OA′÷OF=，利用勾股定理可得OE=，所以点A’的坐标为（解答：解：∵OB=
，
）．
∴BC=1，OC=2 设OC与A′B交于点F，作A′E⊥OC于点E ∵纸片OABC沿OB折叠 ∴OA=OA′，∠BAO=∠BA′O=90° ∵BC∥A′E ∴∠CBF=∠FA′E ∵∠AOE=∠FA′O ∴∠AOE=∠CBF
∴△BCF≌△OA′F ∴OA′=BC=1，设A′F=x ∴OF=2﹣x ∴A′F=，OF= ∵A′E=A′F×OA′÷OF= ∴OE=
∴点A’的坐标为（故答案为：（
）．
）．
点评：解决本题的关键是利用三角形的全等得到点A′所在的三角形的一些相关的线段的长度，进而利用面积的不同表示方法和勾股定理得到所求的点的坐标．