第三章 函数的应用3.1 函数与方程
3.1.1方程的根与函数的零点
班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________
课后练习
【基础过关】
1．在区间上有零点的一个函数为
A.C.
B.D.
2．方程的解所在的区间为
A. B. C. D.
3．函数的零点所在的大致区间是
A. B. C. D.
4．函数有两个零点、,且,则
A.C.
,,
B.D.
,
5．若函数
是 .
的零点为2,那么函数的零点
6．根据下表，能够判断有实数解的区间是 .
-1 0 1 2 3
-0.677 -0.530
3.011 3.451
5.432 4.0
5.980 5.241
7.651 6.2
(1)(-1,0) (2)(0,1) (3)(1,2) (4)(2，3)
7．已知二次函数个小于1，求
实数的取值范围.
有两个零点，一个大于1，一
8．已知函数恒有零点.
(1)求的取值范围；
(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为-4，求的值.
【能力提升】
判断函数f(x)=x-3+ln x的零点的个数.
答案
【基础过关】 1．C
【解析】本题考查二分法判断零点的基本方法.由题知对A有对B，故在
上存在零点，故选C.
，故在
上没有零点；对C，
恒成立，故没有零点；
，
2．C
【解析】本题主要考查判断函数零点的方法，关键是构造函数，转化为确定函数的零点位于
的区间. 3．C 【解析】∵
，f(2)＝2＋lg2－3＝lg2－1＜0，
，f(3)＝3＋lg3－3＝lg3＞0，
又f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数，故选C.
4．C
f(x)＝(x－2)(x－5)－1的图象为f(x)＝(x－2)(x－5)的图象向下平移【解析】数形结合，
1个单位，逆向思维为f(x)＝(x－2)(x－5)的图象中坐标系的x轴上移1个单位，则在新坐标系中得到f(x)＝(x－2)(x－5)－1的图象.由图易得出结论.
5．0，
【解析】∵函数有一个零点是2，
∴，
∴，
∵，
∴函数的零点是0，.
6．(2)
【解析】令F(x)＝f(x)－g(x)，F(－1)＝－0.147＜0，F(0)＝－0.44＜0，F(1)＝0.542＞0，F(2)＝0.739＞0，F(3)＝0.759＞0，所以F(0)•F(1)＜0，f(x)＝g(x)有实数解的区间是(2). 7．设
，有两种情况.
第一种情况，如图，
解得.
第二种情况，如图，此不等式组无解.
综上，m的取值范围是.
8．(1)当m＋6＝0时，函数为f(x)＝－14x－5，显然有零点，当m＋6≠0时，由
，得
二次函数有零点. 综上，
.
，∴
且m≠6时，
(2)设，是函数的两个零点，
则有，，
∵，即，
∴，解得m＝－3，且当m＝－3时，m≠－6，△＞0符合题意，∴m＝－3.
【能力提升】
方法一 在同一平面直角坐标系中画出函数y=ln x,y=-x+3的图象,如图所示.
由图可知函数y=ln x与y=-x+3的图象只有一个交点,即函数f(x)=x-3+ln x只有一个零点.
方法二 因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线,又f(3)=ln 3>0,f(2)=-1+ln 2=ln<0,所以f(3)·f(2)<0,故函数f(x)=x-3+ln x在区间(2,3)内有零点. 又f(x)=x-3+ln x在(0,+∞)内是增函数,所以函数f(x)只有一个零点.
3.1.2用二分法求方程的近似解
班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________
课后练习
【基础过关】
1．函数的零点落在内，则的取值范围为
A. B. C. D.
2．若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度0.04)为 ( ) A.1.5
B.1.25
C.1.375
D.1.437 5
3．设f(x)=3x+3x-8,若用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)内的近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根所在的区间为 A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能确定 4．以下函数图象中,不能用二分法求函数零点的是
5．用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实数根时,取区间中点x0=2.5,那么下一个有根区间是 .
6．在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,最多称 次就可以发现这枚假币.
7．利用二分法求的一个近似值(精确度0.01).
8．已知函数0.01) 【能力提升】
在上为增函数，求方程的正根.(精确度为
利用计算器,求方程lg x=3-x的近似解(精确度0.1).
答案
【基础过关】 1．B
【解析】∵f(x)＝2x＋m，∴2x＋m＝0，即
，
∴，解得0＜m＜2.
2．D
【解析】由参考数据知f(1.406 25)·f(1.437 5)<0,且1.437 5-1.406 25=0.031 25<0.04,所以方程的一个近似解可取为1.437 5,故选D. 3．B
【解析】∵f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,∴f(1.5)·f(1.25)<0,因此方程的根所在的区间为(1.25,1.5). 4．D
【解析】本题考查二分法的定义.根据定义利用二分法无法求不变号的零点,故选D. 5．(2,2.5)
【解析】∵f(2)<0, f(2.5)>0,∴下一个有根区间是(2,2.5). 6．4
【解析】将26枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那13枚金币里面;从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面;将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那3枚金币里面;从这3枚金币中任拿出2枚,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一枚是假币,若不平衡,则质量小的那一枚是假币.综上可知,最多称4次就可以发现这枚假币.
2
7．令f(x)=x-3,因为f(1)=-2<0,f(2)=1>0,所以函数在区间(1,2)内存在零点x0,即为取区间(1,2)为二分法计算的初始区间,列表如下:
,
因为1.734 375-1.726 562 5=0.007 812 5<0.01,所以可取1.734 375为的一个近似值.
8．由于函数在(－1，＋∞)上为增函数，故在(0，＋∞)上也单调递增，因
，所以方程的正根在(0，
此f(x)＝0的正根最多有一个.因为f(0)＝－1＜0，
1)内，取(0，1)为初始区间，用二分法逐步计算，列出下表：
区间 (0，1) (0，0.5) (0.25，0.5) (0.25，0.375) (0.25，0.3125) (0.25，0.28125) (0.265625，0.28125) (0.2734375，0.28125) 中点值 0.5 0.25 0.375 0.3125 0.28125 0.265625 0.2734375
中点函数近似值
0.732 －0.084 0.328 0.124 0.021 —0.032 —0.00543
因为｜0.2734375－0.28125｜＝0.0078125＜0.01，所以方程的根的近似值可取为0.2734375，即f(x)＝0的正根约为0.2734375. 【能力提升】
分别画出函数y=lg x和y=3-x的图象,如图
在两个函数图象的交点处,函数值相等.因此,这个点的横坐标就是方程lg x=3-x的解.由函数y=lg x与y=3-x的图象可以发现,方程lg x=3-x有唯一解,且这个解在区间(2,3)内. 设f(x)=lg x+x-3,则函数f(x)的零点即为方程lg x=3-x的解,记为x1,利用计算器计算得: f(2)<0,f(3)>0⇒x1∈(2,3); f(2.5)<0,f(3)>0⇒x1∈(2.5,3); f(2.5)<0,f(2.75)>0⇒x1∈(2.5,2.75); f(2.5)<0,f(2.625)>0⇒x1∈(2.5,2.625); f(2.562 5)<0,f(2.625)>0⇒x1∈(2.562 5,2.625);
因为2.625-2.562 5=0.062 5<0.1,所以方程lg x=3-x的近似解可取为2.625.