空间角的求法精品(教学案)

空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。

一、异面直线所成角的求法 异面直线所成的角的范围：090 （一）平移法

【例1】已知四边形ABCD为直角梯形，AD//BC，ABC90，PA平面AC，且BC2，

PAADAB1，求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小。

【解】过点C作CE//BD交AD的延长线于E，连结PE，则PC与BD所成的角为PCE或它的补角。

CEBD2，且PEPA2AE210 PPC2CE2PE23 由余弦定理得 cosPCE2PCCE6PC与BD所成角的余弦值为

（二）补形法

3 6ABDC【变式练习】已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC中点。求异面直线AB1

与BC1所成角的余弦值。

【答案】

A1 B1 D A

B

C C1

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二、直线与平面所成角 直线与平面所成角的范围：090 方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）

【例2】如图，在三棱锥PABC中，APB90，PAB60，ABBCCA，点P在平面ABC

内的射影O在AB上，求直线PC与平面ABC所成的角的大小。

【解】连接OC，由已知，OCP为直线PC与平面ABC所成角

设AB的中点为D，连接PD,CD。

PCABBCCA，所以CDAB

ABAPB90,PAB60，所以PAD为等边三角形。

不妨设PA2，则OD1,OP3,AB4

CD23,OCOD2CD213 在RtOCP中，tanOCP

【变式练习1】如图，四棱锥SABCD中，AB//CD，BCCD，侧面SAB为等边三角形。

OP339 OC1313ABBC2，CDSD1，求AB与平面SBC所成的角的大小。

【解】由AB平面SDE知，平面ABCD平面SDE

作SFDE，垂足为F，则SF平面ABCD，SF作FGBC，垂足为G，则FGDC1 连结SG，则SGBC，又BCFG，SG故BC平面SFG，平面SBC平面SFG 作FHSG，H为垂足，则FH平面SBC SDSE3 DE2FGG

FHSFFG2121，即F到平面SBC的距离为

SG7721 7由于ED//BC，所以ED//平面SBC，故E到平面SBC的距离d也为

设AB与平面SBC所成的角为，则sin

d2121，则arcsin EB77 专业知识--整理分享

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【变式练习2】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC1，PC23，

PDCD2，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。

【解】过点P作PECD于点E，连接BE

ADPD,ADDC，则平面PDC平面ABCD

PE面ABCD，则PBE是直线PB与平面ABCD所成角

CDPD2,PC23PDC120PE3,DE1 在RtBCE中，BEBC2CE210PBBE2PE213 PE39 PB13 在RtBPE中，sinPBE

三、二面角的求法 二面角的范围：0180

求二面角的大小，关键在于找出或作出二面角的平面角。从找平面角的角度出发，有以下几种方法： （一）定义法：

在棱上选一恰当的“点”（一般是选一个特殊的点，如：垂足、中点等），过这一“点”在两个半平面内作棱的垂线，两垂线所成的角即为二面角的平面角。（一般在找出角后，利用三角形求解） 【例3】在三棱锥PABC中，APBBPCAPC60，求二面角APBC的余弦值。 【解】在PB上取PQ1，作MQPB交PA于M，

作QNPB交PC于N

Q N B A P M 1cosMQN

3

C 【变式练习】如图，点A在锐二面角MN的棱MN上，在面内引射线AP，使AP与MN所成

角PAM45，与面所成角的大小为30，求二面角MN的大小。

【解】在射线AP上取一点B，作BH于点H，作HQMN于Q

PB sinBQH

2，则MN为45 2MQHAN 专业知识--整理分享

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（二）利用三垂线

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 从半平面内的任一点A出发向另一个半平面引一条直线AH，过H作棱l的垂线HG，垂足为

G，连AG，则由三垂线定理可证lAG,故AGH就是二面角l的平面角。

三垂线定理是求解二面角问题的最常用的方法，其关键是寻找或求作一条垂线，即从第一个半平面内的某一个点出发，且垂直于另一个半平面。

【例4】如图，在三棱锥PABC中，APB90，PAB60，ABBCCA，点P在平面ABC

内的射影O在AB上，求二面角BAPC的大小。

【解】过AB中点D作DEAP于E，连接CE， 由已知可得，CD平面PAB 据三垂线定理可知，CEPA 则CED为BAPC的平面角

易知，若AB1，则DE3，CD23 在RtCDE中，tanCED

【变式练习】在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABBB11，直线BC1与平面ABC成30

角，求二面角BB1CA的正弦值。

【解】由直三棱柱性质得平面ABC平面BCC1B1，过A作AN平面BCC1B1， B 1垂足为N，则AN平面BCC1B1（AN即为我们要找的垂线） 在平面BCB1内过N作NQ棱BC1，垂足为Q，连QA 则NQA即为二面角的平面角。

N A1 Q B C C1 PCABCD232 DE3A AB1在平面ABC内的射影为AB，CAAB CAB1A，又ABBB11，得AB12

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直线BC1与平面ABC成30角

2，则RtB1AC中，由勾股定理得AC2 BCB30，又BC11AQ1，在RtBAC中，AB1,AC2，得AN6 3sinAQNAN6 AQ36 3即二面角BB1CA的正弦值为

从不直接找出平面角的角度出发，主要有两种方法：面积法（面积射影法），向量法。 （三）面积法（面积射影法）

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cosS射S）求出二面角的大小。

 C A D 求证：cos

S射S

 E 【例5】 如图，E为正方体ABCDA1BC11D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成锐角

的余弦值。

【答案】所求二面角的余弦值为

A1

B1

D C B E

D1

2 3A

C1

【变式练习】如图，S是正方形ABCD所在平面外一点，且SD面ABCD，AB1，SB3。

求面ASD与面BSC所成二面角的大小。

【答案】45

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四、真题演练 1．（山东）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为

9，底面是边长为3的正三角形，若P4为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（ ）

A.5 B. C. D. 123462．（大纲）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（ ）

A.2132 B. C. D. 33333．（山东）如图所示，在三棱锥PABQ中，PB平面ABQ，BABPBQ,D,C,E,F分别是

AQ,BQ，AP,BP的中点，AQ2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH。

（1）证明：AB∥GH；

（2）求二面角DGHE的余弦值。

4．（陕西）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面

ABCD,ABAA12。

（1）证明：A1C平面BB1D1D；

（2）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小。

A

D O B C A 1D 1 C

1

B 1 专业知识--整理分享

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05．（湖南理）如图在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD∥BC，BAD90，ACBD，

BC1,ADAA13

（1）证明：ACB1D；（2）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值。

6．（四川理）如图，在三棱柱ABCA1B1C中，侧棱AA1底面ABC，ABAC2AA1，BAC120，

D,D1分别是线段BC,B1C1的中点，P是线段AD的中点．

（1）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面ADD1A 1；（2）设（1）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角AA1MN的余弦值．

7．如图，在四棱锥SABCD中，ADCAC1A1PDBD1B1BC且ADCD；平面CSD平面ABCD，CSDS，

CS2AD2；E为BS的中点，CE2,AS3．求：

（1）点A到平面BCS的距离；（2）二面角ECDA的大小。

【解】（1）

AD//BC，且BC平面BCS AD//平面BCS

BA则A点到平面BCS的距离等于点到平面BCS的距离 平面CSD平面ABCD，ADCD 故AD平面CSD，从而ADSD 由AD//BC，得BCDS 又由CSDS知DS平面BCS 从而DS为点A到平面BCS的距离

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ECDS WORD格式-可编辑

RtADS中DSAS2AD2312 （2）如图，过E作EGCD，交CD于点G，又过G点作GHCD交AB于H

故EGH为二面角ECDA的平面角，记为，过E作EF//BC，交CS于点F，连结GF 平面ABCD平面CSD，GHCD 易知GHGF，故2EGF

1CS1 2由于E为BS边中点，故CF在RtCFE中，EFCE2CF2211

EF平面CSD，又EGCD

故由三垂线定理的逆定理得FGCD，从而又可得CGF:CSD 因此

GFCF，而在RtCSD中，CDCS2SD2426 DSCD故GFCF11 DS2CD63EF3，可得EGF FG3

在RtFEG中，tanEGF故所求二面角的大小为6

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