距离和角度计算(一)

距离和角度计算（一）

一. 教学内容

距离和角度计算（一）

二. 重点、难点

(0,]1. 两条异面直线所成的角2，平移其中一条与另一条相交，组成三角形解三角形求值。

2. 直线与平面所成的角

ABB（1）AH于HABH为AB与所成角

（2）a//ba与所成角＝b与所成角

3. 两条异面直线的距离

（1）公垂线

（2）l于A，a过A作ABl于B ∴ AB为距离

ιaAαB 【典型例题】 [例1] 正方体AC1中棱长为a D1MC1G1A1DB1NH1CAEBHG （1）求异面直线BA1与CC1所成角 （2）求异面直线BC与AA1所成角

（3）求异面直线A1B与B1C所成角

（4）求异面直线A1B与AC1所成角

（5）求异面直线MN与AC所成角（M、N为D1C1，C1B1中点）

（6）求异面直线C1E与D1B所成角（E为BC中点）

（7）求异面直线A1B与B1C的距离

（8）求异面直线A1C1与BD的距离

（9）求异面直线AC1与BB1的距离

（10）求异面直线AE与DD1的距离

解：

（1）BB1//CC1A1BB145 ∴ BA1与CC1所成角45°

（2）AA1BC ∴ BC与AA1所成角为90°

（3）A1B//D1C D1CB为正 ∴ A1B与B1C所成角为60°

（4）A1B//C1G 在AC1G中 AC13a C1G2a AG5a

∴ AC1G90 ∴ AC1与A1B所成角为90°

1//2BDMN（5） BDAC ∴ MN、AC所成角为90°

//（6）D1BC1H EC1H中

EC155aEHaCH3a2 2 1

cosEC1H1515arccos5 ∴ C1E与D1B所成角为5

（7）B1AA1BO

B1O22aa2为公垂线 ∴ 距离为2

（8）A1C1中点X，BD中点为Y XYa为公垂线 ∴ 距离为a

（9）AC1中点为K，BB1中点为F

KF22aa2为公垂线 ∴ 距离为2

（10）过D作，D作DPAE于P

DP252a5a55为公垂线 ∴ 距离为

[例2] 四面体ABCD，棱长均为a（正四面体）

（1）求异面直线AD、BC的距离

（2）求AC、BD所成的角

（3）E、F为BC、AD中点，求AE、CF所成角 AFBKECHD 解：

（1）E、F为BC、AD中点，连AE、DE、BF、CF

ADE中

AEDE3a2 F为等腰AED底边中点 ∴ EFAD

同理，EFBC ∴ EF为AD、BC中垂线 ∴

EFAE2AF22a2

（2）H为CD中点 EH//BD

EHaaFH2 FH//AC 2

EHF为两条异面直线AC、BD所成角 cosEHF0 EHF90

（3）K为DE中点 连FK FK//AE

CF与FK所夹锐角为异面直线AE、CF所成角

CF3a2

FK713CKCE2EK2aAEa4 24

323272aaa21616cosCFK4333222aarccos243 ∴ 所成角为

[例3] P为ABC所在平面外一点，E为PA中点，且BEAC，PCAC，PAa，PCb（ab），求异面直线BE、PC的距离。 PEFCAB EF//ACEFBEBEACEF为PC、BE公垂线EF//ACEFPC解：F为PC中点连EF PCAC

a2b22∴ BE、PC距离为

[例4] 求证两条平行直线与同一平面所成角相等，已知a//b，平面，求证：a、b与所成角相等。

（1）a ∴ b 均为90°

（2）a或a//b或b//均为0

（3）a、b与斜交

如图：AC于C aE ∴ AEC为a与所成角 bF ∴ BFD为b与所成角

AC//BDAE//BFEACFBD且方向相同ACEBDF90AECBFD abBACDEFαBD于D

【模拟试题】

1. a，P，d(P,)d1，d(P,a)d2则有（ ）。

A. d1d2 B. d1d2 C. d1d2 D. d1d2

2. 与空间四边形四个顶点等距的平面有（ ）个。

A. 1 B. 5 C. 7 D. 10

3. a//b//c，d(a,c)17，d(b,c)25，a、b确定平面，d(c,)15，则d(a,b)（A. 28 B. 12 C. 28或12 D. 以上均不正确

4. 正方体AC1中，E、F为AB、B1B中点，求A1E、C1F所成的角。

）

【试题答案】

1. C 2. C 3. C

4.

证：H在A1B1上，

B1H1A1B14 M为A1B1中点 ∴ A1E//BM//HF

∴ HF与C1F所成角等于异面直线A1E，C1F所成的角

设棱长为a

C1F5517aHFaC1Fa2，4，4

C1FH中，cosC1FH22arccos5 ∴ A1E，C1F所成角为5 D1C1MB1A1HDFCAEB