《曲线和方程》概念解析及运用

【内容提要】“曲线和方程”是高中数学数形结合思想的完美体现，它对解析几何的教学有着深远的影响。同时，在教学过程中，《曲线和方程》概念的解析比较理论化、抽象化，学生在掌握过程中有一定的困难，故在教材对概念解析的基础上，本文从多个角度，多个层次来剖析此概念，使概念更加系统、清晰、明朗，同时通过概念的解析，本文有介绍了两个作用在具体解题中的应用。

【关键字】 高中数学 曲线 方程 概念解析

“曲线和方程”是几何中的“形”与代数中“数”的统一，是“静止”的曲线与“运动”的点的对立和统一。把曲线看成是动点的轨迹，蕴涵了用运动的观点看问题的思想方法；把曲线看成方程的几何表示，方程看作曲线的代数反映，又包含了对应与转化的思想方法。同时，“曲线和方程”是高中数学数形结合思想的完美体现，这对解析几何的教学有着深远的影响。 一、新教材高二（上）指出：在直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f (x, y) = 0 的实数解建立了如下的关系：

1、曲线上的点的坐标都是这个方程的解； 2、以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

同时，强调指出：条件①阐明了曲线上的所有点都适合这个条件而无一例外，表示曲线具有纯粹性，或者说方程具有完备性。也就是说曲线上不存在哪一个点的坐标不是方程的解,即曲线上的所有点没有掺假。条件②阐明了适合条件的所有点都在曲线上毫无遗漏，表示曲线具有完备性，或者说方程具有纯粹性。也就是说这个方程的解为坐标的点没有哪一个不在曲线上,即曲线没有漏掉一个以方程的解为坐标的点。（纯粹：即单纯，意为不搀杂别的成分。 完备：意为应该有的全都有了。）

我们可选用集合的角度来考虑问题:如果直角坐标平面内曲线C上的点所组成的集合记作

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A，方程f (x, y) = 0的解为坐标的点记作集合B,那么条件①说明AB，条件②说明BA，两条件合起来就是A = B，这时才能说明曲线C是方程f (x, y) = 0的曲线，方程f (x, y) = 0是曲线C的方程。

我们亦可选用充分条件、必要条件及充要条件的角度来考虑问题：由条件①可知，曲线C上的点的坐标是方程f (x, y) = 0的解的充分不必要条件；由条件②可知曲线C上的点的坐标是方程f (x, y) = 0的解的必要不充分条件；只有条件①②同时成立，我们才能说曲线C上的点的坐标是方程f (x, y) = 0的解的充要条件。

最后,我们还可选用映射的角度来考虑问题:在平面中建立直角坐标系,那么平面上的点M与实数对（x,y）就建立了一一对应的关系。点的运动形成了曲线C，与曲线C相对应的为实数对（x,y），在实数对中x与y的约束关系就形成了方程f (x, y) = 0，对应关系如下：

点M 按某种规律运动 曲线C

坐标（x,y） x,y的制约条件方程 f(x, y)=0

条件①说明曲线上的点的坐标到方程f(x, y) = 0的解的对应能构成一个映射,对于任意的曲线C上的点M(x0,y0)都有f(x0,y0)0；条件②说明方程f(x, y) = 0的解为坐标的点到曲

数学教学 线上的点的对应也能构成一个映射,即对于满足方程f(x, y) = 0任意的一组解x1,y1为坐标的

点P(x1,y1)肯定落在曲线C上(任意的一组解

1)xy02)xy03)xy04)xy0

x1,y1满足方程f(x1,y1)0)。结合一一映射的

概念：f:AB是从集合A到集合B是映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做集合A到集合B的一一映射。由上面分析可得，只有同时具备了条件①和条件②，曲线C上的点的坐标才与方程f (x, y) = 0的解之间构成一一映射。

以上我们从不同的角度来分析了曲线和方程的概念，这个概念的实质是一一对应,即作为曲线C的点集M/P(M)和方程f (x, y) = 0的解集(x,y)/f(x,y)0之间的一一对应,二者缺一不可。这一对应关系即可通过方程研究曲线的性质，又可以深刻认识方程的几何背景。

通过曲线和方程概念的讲解，我们就可应用它的两个作用。

1、判定作用 要判定或证明方程f (x, y) = 0是曲线C的方程，曲线C是方程f (x, y) = 0的曲线，只要判定它们之间是否都满足条件①②，或者证明条件①②都成立。

2、性质作用 如果已知方程f (x, y) = 0是曲线C的方程，曲线C是方程f (x, y) = 0的曲线，那么定义中条件①②就是性质，即条件①②都成立。更进一步而言，我们就可通过曲线的方程来研究曲线的几何性质。

二、由于曲线和方程的对应关系比较抽象，学生不易理解，在教学过程中，我们可结合具体的例子以及多个角度来考虑问题，使学生彻底弄清曲线和方程的内在联系，从而归纳出曲线和方程的一般概念，强调两个条件缺一不可。下面我们可用具体问题来加深概念的理解： 例1、以下方程分别表示的是图中的哪一个图像，为什么？

变形１：

Ａ、请找出一个方程与曲线，使它们之间的关系符合条件①而不符合条件②。

Ｂ、请找出一个方程与曲线，使它们之间的关系符合条件②而不符合条件①。

Ｃ、请找出一个方程与曲线，使它们之间的关系既符合条件①又符合条件②。

变形２：请另外举出分别满足Ａ、Ｂ、Ｃ的方程和曲线。

通过上例的讨论可以得到：只有条件①②共同成立时，方程才是曲线的方程，曲线才是方程的曲线。两个条件中只满足一个的情况下，方程和曲线就不能对号入座了。

例2．Ⅰ）已知坐标满足方程f (x, y) = 0的点都在曲线Ｃ上，那么……（ ）

A 曲线Ｃ上的点的坐标都适合方程f (x, y) = 0

B 凡坐标不适合f (x, y) = 0的点都不在Ｃ上

C 不在Ｃ上的点的坐标必不适合f (x, y) = 0

D 不在Ｃ上的点的坐标有些适合f (x, y) = 0，有些不适合f (x, y) = 0

Ⅱ）若曲线C上的点的坐标均为方程f (x, y) = 0的解,则以下说法正确的是… ( )

A 方程f (x, y) = 0的曲线是C B 曲线C的方程是f (x, y) = 0 C 坐标不满足方程f (x, y) = 0的点

不在曲线C上

D 曲线C上的点的坐标不满足方程 f

(x, y) = 0

以上两个问题都是建立在曲线和方程概念理解的基础上才能解决的问题,我们可从三个方面来解决问题:

1、从简易逻辑来考虑：

若原命题成立，则它的逆否命题肯定成立。故Ⅰ、Ⅱ两题的答案显然均为C。 2、从集合角度来考虑：

分析问题Ⅰ：设坐标满足方程f (x, y) = 0

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数学教学 的点的集合记为A(x,y)/f(x,y)0，把曲线C上的点的集合记为BM/P(M),则由题意可得AB，故对于xA来说肯定有xB。反之，若xB则xA就不一定成立了，也就是说xB则xA，而xA则不能推出xB。故可以排除选项A，B，D。

例3、出方程x11(y1)所表示的曲线。

分析：要做出曲线，先要对方程进行讨论，再研究曲线存在的范围，曲线的截距，曲线的对称性等基本性质。

解：1）曲线的范围：要使方程有意义，必须 满足23、从反例来考虑：

分析问题Ⅰ：假设方程f (x, y) = 0为

yx，曲线C为y2x，即可说明问题。

分析问题Ⅱ：假设曲线C为y2x，方程f (x,

y) = 0为yx，即可说明问题。 图：

x1或x1x10 即  20y21(y1)0

通过方程的讨论，确定方程的曲线的几何性质，反映出了方程和曲线的内在联系。

总之，曲线与方程的概念，建立了数与形的联系，达到了数形结合与统一，从而形成解析几何基本方法的基础，为后面已知条件求曲线方程以及通过方程研究曲线的性质作好了铺垫。在教学中我们要循循诱导，精心启发，创造思维情景让学生去观察、去探索、去发现新问题、去解决新问题，进而培养学生的创造性思维。

2）曲线的对称性：以x代x，方程不变，故曲线关于y对称。

3）曲线的截距：令y0得x1或x1；令x0方程11(y1)无实数截，即曲线和y轴不相交；当x1时，原方程可化为

2(x1)2(y1)21 即曲线为右半圆。曲线如

（上接第35页）两极分化；③只重视部分优生，功与自信。它不但能激发学生学习的积极性，还

忽视全体学生；④学生层次分明，教师教法单一；⑤缺乏思想引导，学生心理负担过重；⑥教学分层与考查不配套。对这些不利因素在教学实践中要注意克服。此外，课后做好学生的思想工作，与家长密切配合，与班主任的协调，教师的责任心，教态，语言，作风，人格等都会对分层次教学产生一定的影响。在进行分层次教学的实践中值得注意。

实行分层次教学，对学生的正确评价以及恰当的心理辅导同样是不和缺少的。分层次教学符合学生的学习心理，因为其立足点是面向全体学生，因而必须使教学目标设定适合每一个层次学生的“最近发展区”，从而使学生有可能获得成

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能培养学生勇于克服困难的毅力，因为分层次教

学实际上是引进了“竞争”机制，从而学生在内心深处就意识到了拼搏、探索、进步的必然性。但同时，在进行分层次教学的同时，教师必须认识到学生毕竟还是学生，他们还是区别与成人的成熟的，引导与鼓励是不可或缺的，特别是在困难、挫折面前，他们更需要老师的支持与信任。因此培养学生健康的心理是与分层次教学密不可分的，也可以说是健康的心理是实施分层次教学的关键。

数学教学 最后需要指出的是分层次教学对教师的要求更高，教师工作量更大．需要教师有强烈的责任心，求实、创新的工作作风。面对学生“参差不齐”的实际水平，在普通高中数学教学中正确地运用“分层次教学”，可使学生的学习目的性

更明确，自觉性更强，学习兴趣更浓厚，达到缩小两极分化，大面积提高数学教学质量的目的。分层次教学是一种新的操作难度大的工作，有待在今后的实践中探讨与改进。

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