展示数学思维过程的教学案例及分析
摘要：高等数学教学中普遍存在着“注重灌输，忽视思考；注重分数，忽视能力；注重继承，忽视创新”的现象，这样的教学效果越来越脱离了当今社会科技进步的需要。我们认为数学教学应该是数学思维活动的教学而不仅仅是数学知识的教学，本文通过展示一些教学案例，揭示其中的数学思维过程，以便带动学生做数学式思考，提高教学效果。
关键词：教学方法学习能力思维过程 引言
随着社会的进步和科学技术的发展，数学在实际生活中起着越来越重要的作用，因此，“高等数学”作为高校非数学专业必修课之一，如何做好它的教学己成为高校数学教师必须面对与思考的一个重要问题。同时，我们发现“高等数学”课程的教学中普遍存在着“注重灌输，忽视思考；注重分数，忽视能力；注重继承，忽视创新”的现象，这里涉及到教学理念、教学方法、教学策略等多方面内容，本文仅就如何提高学生的学习能力方面谈谈自己的体会与看法。学生的学习能力也可体现在多个角度，比如基础知识理解能力、数值问题的计算能力、实际问题的转化能力等，本文拟通过几则案例展示数学的思维过程的教学，以达到培养学生的思维能力。
学生在学习过程中最有兴趣的是那些概念定理是如何产生的，证明是如何想到的。一些悟性好的学生往往只需要点拨一下就能豁然开朗。悟性不太好的学生则需要把思维活动的详细过程展示给他。这个过程中教师应该通过数学知识的载体，让学生领会数学的思想，提高思维和分析能力，引导他们解决他们的疑惑。在教材本身而言，它的“思维活动”是静态的，引进一个定义，然后给出相关定理和方法，接着给予证明，最后就是例题。虽然内容完整，叙述清晰，逻辑严密，但学生看不到知识发展的过程，缺乏活动的思维，因此教师的角色任务是引导学生思维。所以在授课过程中，不能和盘托出自己关于某类问题总结的经验，如果仅仅是把自己思维整理的过程省略而直接灌输结论，那看起来效率很高，实际上只培养了学生的套用能力，而不是思维能力，就有可能培养出高分低能学生。
一、不同层次问题的教学思维活动展示
1.常规问题展示常规思考
对于常规问题，要带领学生自己总结规律，形成一个体系，在下次遇到类似的问题时会很自然地采用常规方法解决。
比如证明不等式的题型在高等数学的检测中是常规题型，有很多方法可以用，最常见的是将不等式的“左右两边相减”，再判断其符号。
例1求证：当时，有
分析1将不等式“左右相减”，以定其符号。于是设，求并判别其符号，这里因为是分式求导比较麻烦，因此可通过恒等变形设。讲解过程中，这种恒等变形的辅助函数，不要直接给出，否则学生只能知其然而不知其所以然。又由于，只需证明在时单调递增（即），就有。
证明1：设，则设，此时，的符号不能明显看出，因此继续考察它的导数。
，当时，，所以在时单调递增，从而，于是也在单调递增，进而得到，即
2.常规问题展示创新思考
引导学生重视常规而又不墨守成规，寻找变异、善于从多个角度、全方位考虑问题，鼓励学生主动地、地给出新方法、新见解，对每一个习题进行反思，培养学生善于引伸，善于把问题“改头换面”。还谈上面例1的证明不等式，它虽然是一道常规习题，然而也可以用稍微新颖一些的方法证明。
分析2本题要证明的不等式左端含有指数函数，因为指数函数非常易于用幂级数表达，而不等式的右端项，如果分子分母颠倒一下，也很容易用幂级数表示，因为几乎所有的学生都可以记得。于是，想到了将不等式变形成，这样左右两端展开的幂级数就可以对应项想比较了。
证明2：由于 ， 。
两个幂级数展开式的前三项相等，而左端的幂级数展开式的一般项与右端的幂级数展开式的一般项进行比较时，发现，所以得到
二、特殊问题“求同”思考
在高等数学的教学过程中，教师要提高学生的学习能力和探究能力，必须善于引导学生发现数学的一致性，发现并深刻认识数学的内在一致性是培养学生创造性思维的重要方面，它帮助学生进行“求同”思维。很多问题正如现实世界一样，看起来花花绿绿各不相同，但如果大胆剥开扑簌迷离的外衣，还会露出相似的内涵。也就是说，应对各种各样问题的时候，要思考对某些数学结论如何推广，或修正一些条件是否能得出相应的结论。这是学生提出问题的开始，而这个“求同”思维的开始，往往会给学生带来惊喜的发现，大量的一致性给数学以惊人的和谐美，同时，在得到一致性结论的过程中，可能就会有新的方法要发现和应
用，正所谓“殊途同归”，所以我们一直享受着一位组合界数学大师Erdǒs的描述“世界上真正的无序是不存在的”。
总结
在这样的引导下，经历猜想、试验、归纳、抽象的思维过程，尽力地去发现数学而不只是接受数学。学生的思维结构形成和发展与历史上数学家在该问题上的思维结构相似，对于培养学生提出问题、解决问题的积极创造能力是很重要的，所以教师应该在教学中应注重来龙去脉和思路的指引，如概念应有引入过程、定理应有产生过程、证明应有寻思过程、方法应有比较和尝试的过程。教学的过程就是为学生创设一个知识再发现的情景，给予恰当的指导领着学生去观察、试验、猜想、分析、综合等一系列的思维方式来发现数学知识。若能做到生动的展示数学思维过程，定可以激发学生的探索精神，既能领悟知识还能掌握数学的思想方法，为创造性的思维提供了条件。
参考文献：
[1] 同济大学数学教研室主编，高等数学(上册)[M]．北京：高等教育出版社，2002．
[2] 同济大学数学教研室主编，高等数学(下册)[M]．北京：高等教育出版社，2002．
[3] 平艳茹，张汉林，工科高等数学中洛必达法则的教学思考[J]，高等数学研究(2007)，10(5)，P：55-58.
[4] 杨宏林，丁占文等，关于高等数学课程教学改革的几点思考[J]，数 学 教 育 学 报（2004），13（12）P：74-76.
本课题收上海电力学院教改项目“解析几何可视化教学方法改革的研讨”资助。
注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。