函数单调性的判断和证明

课题：《函数单调性的判断和证明》 教学目标：

1.知识教学目标：进一步利用图像法判断函数单调性 ，会求复合函数的单调区间，熟练掌握函数单调性证明的步骤. 2.能力训练目标：培养学生数形结合，辩证思维能力，加强化归转化能力的训练.

3.情感渗透目标：培养学生用练习的观点观察、分析、解决问题

教学重点：函数单调性的判断和证明。 教学难点：复合函数单调性的判断。 教学过程：

一、 复习旧知（叫学生回答） 1. 函数单调性的定义 2. 判断函数单调性的方法 3. 证明函数单调性的方法，步骤。 二、 例题讲解

1、用图像判断函数单调性 例1、 判断下列函数的单调性。

(1)yx1(2)y

:（1)如图1,函数y=x1在-，上递增，在解1+上递减。1， ）如图 2，函数y2的减区间为-，（22和2，+，无增区间。x22x-2

注：（1）例1叫学生上黑板画图像，检验学生对分段函数图像及图像平移的掌握程度，再利用图像判断函数单调性。

(2)根据函数的图像写出函数的单调区间时，注意区间的端点，单调区间不能用“∪”连接，用“和”或者“，”． 2、已知函数y例x22x3,判断函数的单调区间.

分析：复合函数单调性判断方法“同增异减”

解：此函数的定义域为-1-，

令u+.3，x22x3,则yu又函数ux222x3在,1上递减，在3,上递增，y=u是增函数函数y=x2x3的减区间是,1,增区间是3, 注意：判断函数单调区间时应先求函数的定义域。

1 x 例3、证明函数 y 在区间1,上是增加的。

x证明：任取x1,x21,,且x1f(x1)f(x2)(x1

11)(x2)x1x211(x1x2)(xx212)

xx(xx)xx12121

(x1x2)(1

1xx1)2

x1x21(x1x2)()x1x2

x,x121,,且x1x2x1x20,x1x21

f(x1)f(x2)0,f(x1)f(x2)1函数f(x)x在1，+上是增加的.

x提问：此函数在其它区间的单调性是怎样的？（学生分组讨论，5分钟后叫学生回答） 引入此函数的图像：

学生看图像回答以上函数单调性。

ayx(a0)的函数，其图在此向学生简单介绍“双对勾函数”，形如x像类似于上图，两个拐点处的横坐标分别为a。

注：通过例3让学生进一步熟练证明函数单调性的步骤，而且向学生引入一个新函数（双对勾函数）。 三、小结：

1、熟练应用函数图像判断函数单调性。 2、学会判断复合函数单调性。 3、掌握用定义证明函数单调性步骤。 4、了解双对勾函数。

四、当堂检测

1、函数y1x1 （ ）

A 在（-1，+∞）内单调递增 B 在（-1，+∞）内单调递减 C 在（1，+∞）内单调递增 D 在（1，+∞）内单调递增

2、在区间（-∞，0）上为增函数的是 （ ）

122yyxy2xy A B D x x C 3、函数f(x)x4ax2在区间(-∞，6]内递减，则a的取值范围是________

24、已知函数y=5、证明函数y

x21,判断此函数的单调性。x在0，+是增加的。