第十一章 三角形习题集
第1课时 三角形的边——三边关系 姓名：___________
☆知识导学
1．若三角形的两边长分别为a，b(a＞b)，则第三边长x的取值范围是_______________________． 2．三角形具有___________，四边形具有_____________． ☆习题演练
1．已知三角形ABC三边a、b、c满足（a-b）2+|b-c|=0，则△ABC的形状是（ ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．以上都不对 2．不能组成一个三角形的三条线段的长度是（ ）
A．3，3，3 B．3，6，2 C．3，4，3 D．3，5，7
3．（2012•海南）一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm
4．（2013•南通）有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2012•肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ） A．16 B．18 C．20 D．16或20 6．下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的内角中至少有两个锐角 B．三角形的内角中至少有两个钝角 C．三角形的内角中至少有一个直角 D．三角形的内角中至少有一个钝角 7．图中有______个三角形，用符号表示这些三角形：__________________________．
第7题图
第13题图
8．在△ABC中，已知两条边a=6，b=7，则第三条边c的取值范围是_________________．
9．若三角形的两边长分别为3和5，且周长为奇数，则第三边可以是________（只填符合条件的一个即可）． 10．（2012•哈尔滨）一个等腰三角形的两边分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是________________． 11．若三角形的两边长分别为3和5，则它的周长l的取值范围是________________．
12．（提高题）△ABC的边长均为整数，且最大边的边长为7，那么这样的三角形共有________个． 13．如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木条（图中的AB，CD两根木条），这样做的数学道理是_____________________________．
14．用一条长为20cm的铁丝围成一个等腰三角形能围成有一边长为6cm的等腰三角形吗？为什么？
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第2课时 三角形的高、中线与角平分线 姓名：___________
☆知识导学
如图，完成下面几何语言的表达： （1）∵AD是△ABC的高（已知）
∴AD⊥BC，∠______=∠______=90º． （2）∵AE是△ABC的中线（已知） ∴______=______=
B
A
1______， ______=2______=2______． 2D F E
C
（3）∵AF是△ABC的角平分线（已知）
∴∠______=∠______=☆习题演练
1．如图所示的△ABC中，线段BE是三角形AC边上的高的是（ ）
1∠______， ∠______=2∠______=2∠______． 2
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形三条高都在三角形的内部．
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
3．如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（ ） A．2 B．3 C．6 D．不能确定
第3题图
第4题图
第6题图
4．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④S△ADE= S△CDE，其中结论正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．三角形中的角平分线、中线、高都是三条特殊的__________（填直线、射线、线段）．
6．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点B的坐标是（1，-4），过点B作AC边上的高线，则垂足D点的坐标是________．
7．（提高题）AD是△ABC的一条高，如果∠BAD=65°，∠CAD=30°，则∠BAC=______________．
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8．如图，在△ABC中，已知CD是角平分线，∠A=70°，∠B=50°，求∠BCD的度数．
9．如图， AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．
10．如图，△ABC的边BC上的高为AD，且BC=9cm，AD=2cm，AB=6cm． （1）画出AB边上的高CE； （2）求CE的长．
11．如图，D，E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE的周长相等．设BC=a，AC=b，AB=c．求AE，BD的长（用含a，b，c的代数式表示）．
B
C
D
A
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第3课时 三角形的内角 姓名：___________
☆知识导学
如图，延长BC至D，过点C作CE//AB ∵CE//AB
∴∠ECD=∠______（_________________________________________） ∠ECA=∠______（_________________________________________）
∵∠ECD+∠ECA+∠ACB=180°（___________________） ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换） 归纳：三角形的内角和等于____________． ☆习题演练 1．在△ABC中，
（1）若∠A=40°，∠C=35°，则∠B=_______，△ABC是__________三角形． （2）若∠A=70°，∠B=∠C，则∠B=_______°．
（3）若∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2，则△ABC是__________三角形．
2．如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．10° D．15°
A
E
B
C D
第2题图 第4题图 第5题图 3．在△ABC中，∠B与∠C的角平分线交于O点，若∠A=50°，则∠BOC=（ ） A．130° B．50° C．25° D．115°
4．将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
5．（2012•梅州）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（ ） A．150° B．210° C．105° D．75°
6．（2005•长沙）在△ABC中，若∠A=38°36′，∠B=57°36′，则∠C=_________度． 7．已知△ABC中，∠A=2（∠B+∠C），则∠A的度数为________度．
8．（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_________．
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9．如图，在△ABC中，∠ABC=∠C，BD平分∠ABC，∠A=36º，求∠BDC的度数．
10．如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．
11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E．求证：∠CFE=∠CEF．
12．如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=40°，求∠XBA+∠XCA的度数．
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C
E
F
A
D
B
13．如图，B岛在A岛的南偏西45°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向．从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？
14．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线， （1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．
（2）若∠B=α，∠C=β，（α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）
15．已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE，DF分别是△ADC的高和角平分线（∠C＞∠DAC），若∠B=80°，∠C=40°． （1）求∠DAE的度数；
（2）试猜想∠EDF、∠C与∠DAC有何关系？并说明理由．
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第4课时 三角形的外角 姓名：___________
☆知识导学
1．如图，延长QR至T，
∵∠PRQ+∠P+∠Q=180º（__________________________） 又∵∠PRQ+∠PRT=180º（__________________________） ∴∠PRT =∠P+∠Q
可得：三角形的一个外角等于__________________的两个内角的和．
∵∠PRT =∠P+∠Q
∴∠PRT ＞∠P，∠PRT ＞∠Q
可得：三角形的一个外角大于_______________________________．
2 Y
3 Z X 1
Q
R
T
P
2．如图，∵∠1=∠XYZ+∠YZX，∠2=_______+_______，∠3=_______+_______．
∴∠1+∠2+∠3=（∠XYZ+∠YZX）+（______+______）+（______+______） =2（_____+______+______）=2×_____°=_____°．
归纳：三角形的外角和等于____________． ☆习题演练
1．如图，（1）若∠A=50º，∠B=70º，则∠ACD=_________． （2）若∠A=40º，∠ACD =130º，则∠B =_________． （3）若∠B=80º，∠ACD =135º，则∠A =_________． 2．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（ ） A．75° B．90° C．105° D．120°
B
α
A
B
C
D D
C A
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 3．一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ） A．165° B．120° C．150° D．135°
4．如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A的度数是（ ） A．61° B．60° C．37° D．39° 5．如图，∠1、∠2、∠3的大小关系为（ ）
A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2 C．∠3＞∠2＞∠1 D．∠1＞∠2＞∠3 6．如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P=_______度． M N
P
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
A B
B E
D
A
C
7．如图，点D，B，C点在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°，则∠1= _______度．
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8．三角形三个内角之比为3∶4∶5，则它的三个外角之比为____________．
9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边BC上E处，折痕为CD，则∠EDB=_________°．
10．如图，在△ABC中，∠A=α．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2； …；∠A2011BC与∠A2011CD的平分线相交于点A2012，得∠A2012，则∠A2012=____________．
11．如图，已知D为△ABC边BC延长线一点，DF⊥AB于F，且交AC于E，∠A=34°，∠D=42°．求∠ACD的度数．
12．一个零件的形状如图中阴影部分．按规定∠A等于90°，∠B、∠C应分别等于29°和21°． （1）检验人员度量得∠BDC=141°，就断定这个零件不合格．你能说明理由吗？
（2）你知道∠B、∠C、∠BDC三个角之间有何关系吗？请写出你的结论．（不需说明理由）
13．如图，在△ABC中，∠1=100°，∠C=80°，∠2=
1∠3，BE平分∠ABC．求∠4的度数． 2
14．如图，已知∠BAD=∠CBE=∠ACF，∠FDE=48°，∠DEF=°，求△ABC各内角的度数．
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15．如图，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于E点． 求证：∠E=
16．如图①，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒m个单位长度沿x轴的正方向运动，点B以每秒n个单位长度沿y轴正方向移动．
（1）若|m+2n-5|+|2m-n|=0，试分别求出1秒后，A、B两点的坐标；
（2）如图②，设∠4的邻补角和∠3的邻补角的平分线相交于点P．试问：在点A、B运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
17．已知：在△ABC和△XYZ中，∠A=40°，∠Y+∠Z=95°，将△XYZ如图摆放，使得∠X的两条边分别经过点B和点C．
（1）当将△XYZ如图1摆放时，则∠ABX+∠ACX=_______度；
（2）当将△XYZ如图2摆放时，请求出∠ABX+∠ACX的度数，并说明理由；
（3）能否将△XYZ摆放到某个位置时，使得BX、CX同时平分∠ABC和∠ACB？为什么？
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1∠A． 2y B y B 1 3 A 图1 P O x O 4 2 A 图2 x A Z
Y B Y
X
图1
A X B C Z
图2
第5课时 多边形的内角和、外角和 姓名：___________
☆知识导学
1．过点A作出下列多边形的对角线，各将多边形分成几个三角形？完成表格：
多边形 三角形个数 内角和 3 1 1×180º 4 5 6 7 … … … n A A A A
归纳：（1）从n边形的一个顶点出发可以引_______条对角线，把n边形分成________个三角形． （2）n边形的内角和等于___________．（其中n≥3）
2．从与每个内角相邻的两个外角中分别取1个相加，得到的和称为多边形的外角和．
2
1
1 4
3 2
3
∠1＋∠2＋∠3=________°， ∠1＋∠2＋∠3＋∠=________°
归纳：n边形的外角和等于__________． ☆习题演练
1．八边形的内角和是（ ）
A．540° B．720° C．900° D．1080° 2．一个多边形的内角和等于720°，这个多边形的边数是（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 3．下列各角不是多边形的内角和的是（ ）
A．1800° B．540° C．1900° D．1440° 4．正六边形的每个内角都是（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120° 5．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8
6．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 7．一个多边形的各个内角都等于108°，它是_______边形．
8．一个多边形的内角和是1440°，则这个多边形是______边形，过其中一个顶点可以作_______条对角线，这个多边形共有___________条对角线．
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9．如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加_______，外角和__________． 10．（2013•乐山）如图，在四边形ABCD中，∠A=45°．直线l与边AB，AD分别相交于点M，N，则∠1+∠2=_________．
第9题图 第10题图
11．如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出______个三角形． 12．已知一个多边形的内角和是1440°，求这个多边形的边数．
13．若两个多边形的边数之比为1∶2，内角和的度数之比为1∶3，求这两个多边形的边数．
14．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
15．如图，四边形ABCD中，如果∠A与∠C互为补角，求证：∠B与∠D也互为补角．
16．如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4，求x的值．
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17．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和．
18．已知一个多边形的最小的一个内角是120°，比它稍大的一个内角是125°以后依次每一个内角比前一个内角多5°，且所有内角的和与最大的内角的度数之比是63∶8，试求这个多边形的边数．
19．如图所示，小明从A点出发，沿直线前进8米后左转40°，再沿直线前进8米，又左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发点A时， （1）整个行走路线是什么图形？ （2）一共走了多少米？
20．如图，BC⊥CD，∠1=∠2=∠3，∠4=70°，∠5=∠6． （1）求证：AC⊥BD；
（2）求四边形ABCD各内角的度数；
（3）若AC=8，BD=6，求四边形ABCD的面积．
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