17.解直角三角形 综合练习

解直角三角形 综合练习

【例题精选】：

23, 求

例1、在ABC中, C = 90,

sinActgB。

解: 方法一, 设A对边BC = 2a, 斜边AB为3a, 由勾股定理, AC = 数的定义, ctg

BBC2a2,即ctgB5AC55a 。

5a, 由三角函

方法二;

∵

2sinA3, 由同角三角函数关系式, sin2Acos2A1, 得

2cosA13253, 则

2sinA2tgA35cosA553。又∵

A与B互为余角, ∴sinA = cosB, tgA = ctgB, ∴ctgB = tgA

=

255。

说明: 当直角三角形中已知一个三角函数求其它三角函数值时, 用小三角形法, 即方法一是比较简单的, 因为三角函数的定义是比值, 因此可设一份为一个常量, 设出比值, 再去计算。用同角三角函数关系式计算也应当会, 只是计算起来麻烦一些。

12,ABC5的周长为

例2、在ABC中, C = 90, tgA45cm, 求BC的长。

解: 设BC = 12x, AC = 5x, 则AB = 13x, 则题意, 12x + 5x + 13x = 45cm, 30x =

45,

32, ∴

3182(cm)

∴x = BC =

12例3、在ABC中, C = 90, a15,b35, 求A及SABC。

解: ∵C = 90, a15,b35

∴tgA153533, 又∵A为锐角, ∴A = 30,

∴

SABC1115ab15353222。

说明: 当已知边求角时, 可利用三角函数的定义, 这里已知两直角边, 可以求锐角的正切或余切值, 再去求角。

cos237tg15·ctg15tg48cos253ctg42tg45

例4、求值:

分析: 所给的三角函数中, 只有45的三角函数是特殊角的三角函数值, 其它都不是特殊的三角函数值, 应当分析这些三角函数值之间的关系, 由分析可以看出37与53角互为余角, 因为互为余角的余函数相等, 因此tg48与ctg42也相等, 再进行计算就可以了。

解：cos237tg15·ctg15tg48cos253ctg42tg45cos237cos253tg15·ctg15tg48ctg42tg45cos237sin237tg15·ctg15tg48tg48tg451113

说明: 互为余角余函数相等的结论, 可用于角的转化, 通过转化, 才能找到解题的思路, 才能找到解决问题的突破口, 这也是提高自己解题能力的一个重要方面。因此运用数学思想解决数学问题应当自觉的去做。

例5、在ABC中, ACB = 90, AB = 6, = 2, 求A的正弦值。

分析: 由已知, ACB = 90, CDAB于

CDAB于D, AD

D, 这在几何中是

个很典型的几何图形, 这个图形中, 有ACD∽CDB, ACD∽ACB, CDB∽ACB, 还有BCD = A, ACD = B等, 因此求A的正弦值, 可以用角的代换, 即求BCD的正弦, 或通过相似求边再求A的正弦。

解: 方法一, ∵ACB = 90, CDAB于D, ∴ACD∽ABC, AC2 = AD·AB, AC2 = 2×6,

AC23,

∴

CD2322212422

∴

sinACD226AC233。

方法二, A与BCD同为ACD的余角, ∴A = BCD

∵BD = 6－2 = 4, BCD∽ABC,

BC2 = 4×6, BC = 26。

∴

sinAsinBCDBD46BC263。

例6、已知a = sin20, b = sin40, 则下列正确的是 A．2a < 1 <2b C．1 > 2a > 2b

B．2a > 1 > 2b D．1 < 2a < 2b

分析: 从已知出发思考不太好想, 但换个角度, 从结论出发去想, 看a、b间的联系, 将各项除以2, 结论为A、

a1111bababab2, B、2, C、2, D、2。因为

a = sin20, b

1= sin40, 因此2可想成

sin30, 由正弦函数当角从0到90间是函数随角的增加而增加,

从而确定要选定的结果。

1sin402, ∴

解: 由正弦函数的增减性, 得sin20sin30sin40, 即

sin202a < 1 < 2b

应选A。

说明: 思考问题的方法, 可以从已知去想, 也可以从结论倒推去想, 只有不断变化转化各种思考问题的方式, 才不会死板的解决问题, 而变得更加灵活了。

例7、等腰三角形两边长分别为10, 13, 求底角的余弦。

分析: 等腰三角形两边长为10, 13, 没有具体指明是腰还是底, 通过分析, 10可以做腰, 10也可以做底, 这样区分两种情况分别求底角的余弦, 辅助线可以做底边上的高, 这样就构造出直角三角形了。

解: 情况一, 若腰为10, 底为13, 做底边上的高后, 将底边分为各为6.5的两部分。

65.0.6510。

设底角为

,则cos若情况二, 腰为13, 底为10, 做底边上的高以后, 将底边分为各为5的两部分, 则底角余弦为

cos513。

说明: 由于题目中所给的条件不明确, 所以应当分两种情况进行讨论, 分类讨论的思想, 也是很重要的一种数学思想, 它要求我们思考问题应当全面, 不可以重复也不可以漏掉。

有关等腰三角形的问题, 底边上的高是常加的辅助线之一, 因为等腰三角形底边上的高也是底边的中线, 也是顶角的平分线, 这样形的问题转化为直角三角形的问题去解决。

可以把等腰三角

例8、从1.5米高的侧高仪上, 测得塔顶仰前进10米, 又测得塔顶仰角为60, 求塔高。

角为45, 向塔

分析: 由实际测量问题画出示意图, 即已知ABC = 45,  ADC = 60, BD = 10, ACB = 90, 塔高即AC + CE, CE为1.5米,

解: 设AC为x, ∵ABC = 45, ∴AC = BC = x, 又∵ADC = 60, ctg60

DC3x3

DCx, ∴

由题意

x3x103

310x13

∴x1553

∴AE155315.165.53

答: 塔高为165.53米。

例9、我国领海权12海里, 在东西方向平直海岸线上相距18.9海里有A、B两个雷达站, 同时测得一外舰K, K在A的北偏东西45, 问是否要向敌军舰发出警告？

分析: 由题意画出示意图, 求出K到AB的确定。

解: 做KCAB于C, 设KC为x, 则BC = KC = x, 在RtACK中, KAC = 60,

30, K在B的北偏

31732.。

距离, 再根据题意

ctg60

AC3,ACxx3, ∴3xx18.9,解得x1198.3

答: K与AB距离小于12, 应当发警告。

例10、四边形ABCD中, AB = BC, AD = 7, tgA = 2, 求CD长。

分析: 为了利用tgA = 2的条件, 可延长AD、构造为直角三角形。

解: 延长AD, BC交于H, 设CD为x, A = HCD, tgA = 2, 则DH = 2x, ∴HC =

5x, ∴

D = B = 90,

BC交于一点H,

HB = 25x,AB5x

由题意5x225x272x2

解得

x73

答: CD7长为3。

说明: 这里为充分利用题目所给条件, 将原来图形扩形为新的直角三角形。

【综合练习】：

1、选择题:

(1)直角三角形ABC中, A = 90, C3,b2,则sinB的数值为

2A．

3 B．2 C．

105 D．3

(2)若tg·tg50 = 1, 则锐角等于

A．40 B．50 C．

150 (3)下列命题中正确的是

A．sin72 = cos72

B．A + B = 90, 则cosA = cosB

1C．ABC中, a∶b∶c = 1∶2∶3, 则

sinA3

D．若A + B = 90, 则sinA = cosB

(4)当45 <  < 90, 下列各式正确的是

A．sincos B．sincos

C．tgctg D．tg1

D．

140

2、在ABC中, C = 90, tgB6, 求sinA。

3、在ABC中, A = 30, B = 45, 45所对边为8, 求30角所对的线段长。 4、在直角ABC中, B = 60, a + c = 9, 求b。 5、等腰ABC中, AB = AC = 5,

sinA。

SABC5, 求

6、ABC中, AB = AC, ADBC于D,

cosB36, AB = 12, 求BAC的正弦。

35, 求ABC7、在直角三角形ABC中, SABC96, C = 90,

sinA的三边长。

8、电视塔建立在20米高的小山顶上, 从水平面上一点D测得塔顶A的仰角为60, 测得塔基B的仰角为30, 求电视塔高AB。

9、若矩形纸片ABCD的宽AB = 6, E为AB上一点, 沿CE折叠后, B恰落在AD上, 设为F, 若ECF =, 求DF长。

【答案与提示】：

1、

(1)C。特别要注意, 题目中给的是A为90。

(2)A。用同角三角函数关系式去想, 因为有tg50·ctg50 = 1, 则ctg50 = tg40。

(3)A。因为互为余角的余函数相等。

(4)A。可以用特殊值的方法, 用试验的方法, 可以设角60, 满足题意的条件, 而去思考。

2、提示, 可由tgB6, 设AC6a,BCa,则AB7a, 再由三角函数定义得

sinA77。

3、提示, 做CDAB交AB于D, 将原来三角形ABC分割为两个直角三角形。因为45角所对边为8, 则CD = 4。再用勾股定理解直角三角形, 得BC44、提示, 设30所对直角边为x, 则斜边为2x, 另一直角边为求得x = 3, 所以b33。

2。

3x, 由题意x + 2x = 9,

5、作BDAC交AC于D, ∵

BD2AB5。

SABC5, ∴AC = BD结果为10, ∴BD = 2。

∴

sinA6、作BEAC于E, 设BD题意BC·AD = AC·BE, ∴

3x, AB = 6x, 则AD33x, 6x = 12, x = 2, 则AD233, 由

43·233 = 12·BE, ∴BE211, ∴

sinBACBE21111AB126。

7、∵RtABC面积为

13x·4x962, x = 4, 即

1AC·BC96296, 则, 设

BC = 3x, AB = 5x, 则BC = 4x, ∴

AC = 16, BC = 12, AB = 20。

8、由题意, 画草图, ∵ADC = 60, A = 30, 设DC = a, 则

AD = 2a, AC3a, BDC = 30, ∴BC = 20, BD = 40, DC =

203, ∴a203,AC3·20360

AB = 60－20 = 40

答: 电视塔高AB为40米。

9、提示: 折叠的问题要注意的是折叠后的图形与原来的图形全等, 且折线是两个图形的对称轴。由题意CEF≌CEB, ∴ECB =, 则DCF = tg

902, 又∵

AB = CD = 6, ∴

902DFDC, DF = DC·tg9026ctg2

【综合练习二】：

1、ABC中,

sinA31cosB022, 则ABC是

A．等腰三角形 B．等边三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

2、计算

12cos55sin55sin351

3、计算: tg25·tg35·tg45·tg55·tg65

4、利用含30角的直角三角形, 求15角的四个三角函数值。

ABC中, C = 90, D, E是BC上两点, ABC5、

11ADCAEC23, BD = 11, DE = 5,

求AC。

【提示或解答】：

1、B。∵

sinA32时, A = 60,

cosB12时, B = 60, 由绝对值的非负性, 得到三个

角都为60, 应为等边三角形。

2、提示: 将第一个根号内1变为sin255cos255

2cos55sin551sin35∴原式 =

sin55cos551sin35sin551

3、提示: ∵25 + 65 = 90, 35 + 55 = 90, 由余角的正切函数与余切函数相等,

∴tg25·tg35·tg45·tg55·tg65

= tg25·tg35·tg45·ctg35·ctg25

= 1

4、提示: 在ABC中, C = 90, = 60, 延长CA到D, 使AD = AB, 为a, 则AB = 2a,

AC3a, BDC

A = 30, B 连BD。设BC = 15。

∴

tg15BCa23DC2a3a

ctg15123tg15

又∵

BDBCDC222622·a2

sin15BCBDa62a624

cos15624

2AEBE·DE80，AE = 5、提示: 先证ADE∽BAE, AD = BD = 11, BE = 16,

45，ABAD·AE445DE5, 设

EC = x, AC = y

4422516xy2222ABBCAC5222xyAE80

8x,y88.5解得

∴AC长为8.8。