有关两道幂等阵的解法探究

例1、设AFnn,A2A,AA1A2Ak,秩（A）=秩（A1）+秩（A2）+……+秩（

Ak）。试证明：

A2Ai1,2,,k. AiAj01ij2

ii证明：方法一：令A0EA

则A0(EA)(EA)(EA)E2AAEAA0

222A0A0，知A0是幂等阵，

2有秩A0 +秩(EA0) = n =秩E=秩（A0Ak）

则EA0A A0A1Ak

秩（EAi）= 秩（A0A1Ai1Ai1Ak） 秩A0秩Ai1秩Ai1秩Ak

= 秩A0秩Ai1秩Ai秩Ai1秩Ak秩Ai

即秩（EAi）+秩Ai秩A0秩Ai1秩Ai秩Ai1秩Ak= n 又秩（EAi）+秩Ai秩（EAi+ Ai）=秩E=n

秩（EAi）+秩Ai=

n。 即Ai为幂等阵，即A2Ai1,2,,k.

ii2、秩（EAi-Aj）=秩(A0Ai1Ai1Aj1Aj1Ak) 秩A0秩Ai1秩Ai1秩Aj1秩Ak

秩A0秩Ak秩Ai秩Ajn(秩Ai秩Aj)n秩(AiAj) 秩(EAAj)+秩(AA)j nii 又秩(EAiAj)+秩(AiAj)秩En 秩(EAAj)+秩(AA)jii (AiAj)为幂等阵。

即(AiAj)AiAjAiAjAjAi0

又AiAjAiAiAjAi(AjAi)AiAjAi(AiAj)Ai(AjAi)AiAjAiAjAi AiAj0

2 n2方法二：令VPn，那么AVA1VA2VAkV （1）

维AV秩A秩A1秩Ak

维A1V维AkV维(A1VAkV)维AV

维AV维(A1V)维(AkV)维(A1VAkV) （4） 由（1）、（4）得AVA1VA2VAkV 取V的一组基1,2,,n， 则VL(1,2,,n)AiVL(Ai1,Ai2,,Ain)AijAV,AijA V

2 AijAAijAA(A)(A1Ak)A

(A1Ak)AijA1AijAijAkAij

0A1Aij(AiAi)jAkAij

直和的零向量分解唯一 有AmAij022(mi)

由于j的任意性，有AmAi0

再由(AiAi)j0，由于j的任意性，有AiAi0

22AiAi2(i1,2,,k)

例题2、设A1,A2,,Ak是k个n阶实对称阵，1kn且A1AkE。证明下面两个条件等价： （1）A1,A2,,Ak都是幂等阵(AA) （2005年 合肥工业大学） （2）R(A1)R(A2)R(Ak)n（R(A)表示A的秩）。 证明：（1）（2）

由于AiAi (i1,2,k) 秩AitrAi(i1,2,k)

其中trAi表示Ai的逆，即Ai的主对角线上元素之和

kkiik22 秩AtrAi1i1tr(Ai)trEn

i1 （2）（1）

设秩Airi(i1,2,k) 令BA1A2Ai1Ai1Ak

由于Ai是实对称阵 存在正交阵T，使得

1 …… ①

AriiT0T'01 但1 EABTriiriB0T'BT1T'000 1 再用T'左乘，T右乘②式两边， 则

riE0B101

1 …… ③

B1ri111 秩B=秩B1nri

另一方面秩B秩(A1A2Ai1Ai1Ak)

秩A1秩Ai1秩Ai1秩Aknri 秩B秩B1nir …… ④ 由③④式得1i1ri0,1ri1

1 将它们代入①得A1 iTT'00…… ②

其中B1T'BT

AiAi，由i的任意性，Ai都是幂等阵。 定理1.设是数域P上线性空间V的线性变换，且22，

则 （1）Ker()=()|V,Im()=()|V （2）VKer()Im()

（3）若是V的一个线性变换，则Ker()、Im()是-子空间的充要条件是 定理3.设是数域P上的线性空间V的线性变换，则下列命题等价： （1）2

（2）的特征值只有1和0，且VV1V0,其中V1和V0分别是的1和0的特征子空间 （3）VIm()Im() 幂等变换的几个等价表示 证明：\"(1)(2)\"设由22，是的特征值，则有()（为的特征向量）

22知，()()(())()(())

22()0 为非零向量

()01或0

2又V1|()Im() V0|()0Ker() 由定理1，VIm()Ker() 即VV1V0

\"(2)(1)\"如果的特征值只能是1和0，且VV1V0

V,有唯一的1V1Im(),唯一的2V0Ker() 使得12

有(1)1,(2)0

()()((12))((12))(12)((1)(2))

((1)(2))(10)(10)(10)1(1)110 由的任意性，得()0，即\"(1)(3)\"设22

 由(2)，VV1V0 V,有()(())

()Im(),()Im()

有VIm()Im()

设Im()Im()，则1,2V使得(1)()(2) 从而()2(1)(1),()()(2)(2)(2)0(2)0 0,即Im()Im()0

又0(0)()(0)

0Im()Im()

因此Im()Im()=0 从而VIm()Im()

\"(3)(1)\"如果VIm()Im()，则Im()Im()=0

V,有()()[()()]Im() ()()()[()]Im()

()()()()()()

2()()Im()Im()=0

从而()()0

由的任意性，()20即2

性质1.设A是n级幂等矩阵，则对a(a0,1),AaE是可逆矩阵 证明：由AA

(AaE)[A(a1)E]AAa(a1)Ea(a1)E

22当a0且a1时，(AaE){1a(a1)1[A(a1)E]}E

因此AaE可逆，且其逆矩阵为

a(a1)[A(a1)E]

性质2.设A为幂等矩阵，则A可以对角化 证明： 性质3.设A是幂等矩阵，则A的秩等于A的迹

证明：因为A的特征值只能是1和0，设A的秩为r，则A与设1,2,n为A的全部特征值，则trA12n

Ir00相似 0相似矩阵有相同的特征值，而Ir00的全部特征值为r个1 0trA12nr 即A的秩等于A的迹

性质4.设A是秩为r的幂等矩阵则ACB，其中BCEr,C是秩为r的nr矩阵 证明: A与Ir00相似，即存在可逆矩阵P使得 00IrAP0001Ir1PPIr0P 00P1IrAP0IrIrIr11BCI0PPI0BI0P,CPr令rr,则秩（C）=且rEr

000性质5.可逆幂等矩阵为单位矩阵 证明：A为幂等矩阵，AA,即AAA 又A可逆，两边同时左（右）乘A1,得

AAAE

即A为单位矩阵

12