第五讲 整数分拆
整数分拆这一讲属于奥数七大重点专题——计数的基础；培养同学们有序思考问题的能力——思考问题时要按照一定的顺序，才能做到不重复不遗漏。
本讲涉及到三方面的内容：
1. 与整数分拆相关的计数问题（这是本讲的重点）；
2. 与整数分拆相关的应用题（如何分析题意把实际问题转化成数学问题）； 3. 与整数分拆相关的最值（最大与最小）问题（数论中最值问题的基础）；
一、 与整数分拆相关的计数问题
数数计数最重要的是按照一定的顺序，才能做到不重复不遗漏。
超常123班学案一：将15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？
分析与答：本题相当于把15拆成4个互不相同的非0自然数相加，问有多少种不同的分拆方法？（注意不能有0，否则就不是4堆了）
15=1+2+3+9（注意拆分顺序：几个数由小到大排列或有大到小排列保证不重复）
=1+2+4+8（注意变化顺序：尽可能多的固定前面的数，变化最后两个数，并且按顺序依次调整，保证不遗漏）
=1+2+5+7（1、2开头的已经没有了，即变化后两个数已经调整不出来其他结果，再按顺序调整倒数第三个数） =1+3+4+7
=1+3+5+6（只变化后三个数已经调整不出来了，最后再调整第一个数） =2+3+4+6
小结：本题不难，希望同学们通过本题理解整数分拆的枚举顺序。有序枚举，不重不漏。
例1：从1~12这十二个自然数中选取，把26分拆成四个不同自然数之和。
分析与答：体会本题和上题的区别：上题没有给范围，而这道题要求数的范围在1~12之间。这时孩子们通常会有两种入手角度：
（1）26=1+2+11+12 （2）26=12+11+2+1
那么哪个角度拆分起来既容易且迅速呢？是第二种。方法一里26=1+后三个数，相当于把25分拆成后三个数的和，而方法而里26=12+后三个数，
所以，一般地，相当于把14分拆成后三个数的和，明显14较容易分拆一些。
如果没有限定数的范围，按照从小到大的分拆顺序相对容易些，而限定数的范围，按照从大到小相对容易些。
26=12+11+2+1=12+10+3+1=12+9+4+1=12+9+3+2=12+8+5+1
=12+8+4+2=12+7+6+1=12+7+5+2=12+7+4+3=12+6+5+3 ——10种 =11+10+4+1=11+10+3+2=11+9+5+1=11+9+4+2=11+8+6+1
=11+8+5+2=11+8+4+3=11+7+6+2=11+7+5+3=11+6+5+4 ——10种 =10+9+6+1=10+9+5+2=10+9+4+3=10+8+7+1=10+8+6+2
=10+8+5+3=10+7+6+3=10+7+5+4 ——8种 =9+8+7+2=9+8+6+3=9+8+5+4=9+7+6+4 ——4种 =8+7+6+5 ——1种 共33种拆法
小结：一般地，如果没有限定数的范围，按照从小到大的分拆顺序相对容易些，而限定数的范围，按照从大到小相对容易些。
例2：把70分拆成11个不同的非零自然数之和，这样的分拆方式一共有多少种？请将这些分拆方式一一写出。
分析与答：体会本题和以上例题的区别：这道题要求拆成11个不同的非0自然数，个数较多，而70的大小又有限，可以考虑最小的11个互不相同的非0自然数之和为：1+2+3+……+11=66，那么现在的任务是将剩下的70‐66=4分配到适当的加数上，并且还要满足这11个数互不相等。
4=4=1+3=2+2=1+1+2=1+1+1+1即4可以整体加到某一个数上，也可以分拆成1和3加到某两个数上，也可以分成1,1和2加到某三个数上……但要注意不同的构造方式可能会得到相同的结果。
把4整体加到某一个数上（只能加到后四个数之一，否则会重复）可以得到四个不同的结果：
70=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+15 =1+2+3+4+5+6+7+8+9+14+11 =1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11 =1+2+3+4+5+6+7+12+9+10+11
将4拆成1+3，可以构造出一种不同的拆法 70=1+2+3+4+5+6+7+8+9+13+12
其他的方法构造出来的都与以上重复。故符合题意的分拆方式共5种。 小结：当分拆成的个数较多时，一般考虑最小的情况，然后把多出的补到适当的数上。
例3：100最多能写成多少个不同的非零自然数之和？
分析与答：整数分拆与最值的结合。希望加数的个数最多，和又有限，为100，就得让每个加数都尽量小，又要求是互不相同的自然数，易想到从1开始的连续自然数的连加：最小的14个互不相同的自然数之和1+2+3+……+14=105＞100，所以100不可能写成14个互不相同的自然数的和；1+2+3+……+13=91，100‐91=9，可以把多出的9补到某些数上，只要不出现重复即可，如：1+2+3+……+22=100。所以100最多能写成13个互不相同的自然数之和。
小结： 想说明100最多能写成13个互不相同的自然数之和：这属于一道构造与论证的基础题。应该从两方面说明：一方面：要论证 100不可能写成14个互不相同的自然数的和；另一方面：要构造一种把100写成13个互不相同的自然数之和的方案。
例3变式：100最多能写成多少个不同的非零自然数的平方之和？ 分析与答：希望加数的个数最多，和又有限，为100，就得让每个加数都尽量小，又要求是互不相同的自然数，易想到从1开始的连续自然数的平方和的连加：12+22+32+42+52+62=91，12+22+32+42+52+62+72=140 首先，最小的7个连续的平方数和超过100，说明100不可能表示成7个连续自然数的平方和，那么6个能否办到呢？可以这样考虑：140‐100=40，如果40是某个数的平方，那么在12+22+32+42+52+62+72去掉40即可，但
40只能写成22+62，说明100最多只能写成5个互不相同的自然数的平方和。即
12+32+42+52+72=100
补充题（类似学案4，把数字改小些）：将63表示为两个或两个以上的连续自然数的和，共有多少种不同的方法？
分析与答：体会本题与以上题目的区别：本题不限定个数，但要求为连续自然数之和，连续自然数，即公差为一的等差数列。当项数为奇数项是，有中项定理：和=中间数×项数；当项数为偶数时，可以把中项定理理解成：和=中间两数之和×对数（如1+2+3+4=（2+3）×2对）
本题可以采取“以平均数为中心，向两边递推的方法”。 63=1×63=3×21=7×9
1×63可以理解成1对63，即63=31+32
3×21可以理解成中间数是21，一共3个数：20,21,22 也可以理解成3对21, 即8,9,10,11,12,13
7×9可以理解成中间数为7，一共9个数：3,4,5,6,7,8,9,10,11 也可以理解成中间数为9，一共7个数：6,7,8,9,10,11,12 一共5组。 注：（1）本题很多孩子凭数感会找到一些，但找不全。
（2）3×21也可以理解成21对3，但中间数为1和2，前后各推10个数，会出现负数，7×9也一样。
例6：求满足下列条件的最小自然数：它既可以表示为9个连续自然数的和，又可以表示为10个连续自然数的和，还可以表示为11个连续自然数的和。
分析与答：9个连续自然数的和=中间数×9，即是9的整数倍；
10个连续自然数的和=（首项+末项）×10÷2=（首项+末项）×5，即是5的整数倍；或者可以理解为中间两数之和
11个连续自然数的和=中间数×11，即是11的整数倍。
这个自然数既是5，又是9还是11的倍数，那么它应为5×9×11=495的倍数（本质上是5、11、9的最小公倍数）可以采取“以平均数为中心，向两边递推的方法”。
495÷10=49.5即45,46,47,48,49（49.5）50,51,52,53,54
495÷9=55，即51,52,53,54,55,56,57,58,59
495÷11=45，即40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50
二、 与整数分拆相关的应用题
一定要透彻分析题意，把实际问题转化成整数分拆问题。
例4：有3张扑克牌，牌面数字都是10以内的正整数（即非零自然数）。把这三张牌洗好后，分发给小明，小亮，小光三人。每个人把自己牌的数字记下后，再重新洗牌，发牌，记数，这样反复几次后，三人依次各记录的数字和依次为13,15,23.问：这三张牌得数字分别为多少？
分析与答：首先，要把实际问题转化成整数分拆问题。
遇到相对复杂的问题时可以自己举一些小例子来帮助分析理解题意。比
如假设这这3张牌是1、2、3，假设游戏进行了两轮。
明 亮 光
第一轮：1 3 2 第二轮：2 1 3 两轮后数字和：3 4 5
我们分析到：所有人的数字和为3+4+5，所有人的数字和还可以表示成（1+2+3）×2，每一轮三个数字均出现一次，每轮的数字和就是三张牌得数字和，所有人的数字和可以用三张牌的数字和×轮数来表示。
那么我们再看原题虽然三张牌的数字和未知，轮数未知，但13+15+23=51 一定是三张牌的数字和×轮数，51=3×17，说明进行了3轮游戏，每一轮的数字和为17。
这样这道题就转化成整数分拆问题了：相当于17分拆成10以内（本题不够严密，按括1+0）的自然数相加，数字可重复（因为扑克牌每个数字都有4张），找到合适的分拆方法，使分拆成的三个数字每个数字用三次（游戏进行三轮，每轮每个数字出现一次，所以每个数字共出现三次），恰好可以凑成13,15,23。
17=10+6+1=10+5+2=10+4+3=9+7+1=9+6+2=9+5+3=9+4+4=8+8+1=8+7+2 =8+6+3=8+5+4=7+7+3=7+6+4=7+5+5=6+6+5
共15组，但只有9+5+3满足要求：3+5+5=13,3+3+9=15,5+9+9=23。
例5：
（1）把7个相同的球放到3个相同的盒子里，有多少种方法？ （2）把7个相同的球放到3个不同的盒子里，有多少种方法？ （3）把7个相同的球放到7个相同的盒子里，有多少种方法？ （4）把7个不同的球放到3个不同的盒子里，有多少种方法？
超常123班学案3：把7个相同的球放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放一个球，有多少种方法？
这几道题放到一块讲，希望同学们先仔细读题，体会它们之间的区别和联系。
（1）把7个相同的球放到3个相同的盒子里，有多少种方法？
分析与答：相当于让我们把7分拆成不超过3个自然数（可以相同，相当于某两个盒子装的个数一样多）问有多少种不同的分拆方法？ （注：拆成1个数相当于都放到1个盒子里，拆成2个数相当于分放到2个盒子里，因为只有3个盒子，所以最多拆成3个数的和） 7=7
=1+6=2+5=3+4
=1+1+5=1+2+4=1+3+3=2+2+3 共8种。
（3）把7个相同的球放到7个相同的盒子里，有多少种方法？
分析与答：与上题类似，相当于让我们把7分拆成不超过7个自然数（可以相同，相当于某两个盒子装的个数一样多）问有多少种不同的分拆方法？
（注：最多拆成7个数的和，是因为有7个盒子） 7=7
=1+6=2+5=3+4
=1+1+5=1+2+4=1+3+3=2+2+3 =1+1+1+4=1+1+2+3=1+2+2+2 =1+1+1+1+3=1+1+1+2+2 =1+1+1+1+1+2 =1+1+1+1+1+1+1 共15种。
小结：以上2道题类型相同：相同的球放到相同的盒子，本质上就是整数分拆，最多拆成的个数就是盒子的数目。
（2）把7个相同的球放到3个不同的盒子里，有多少种方法？
分析与答：希望孩子们体会本题和上两题的不同之处：举个例子，对于上两题而言，盒子是相同的，把7个球都放到某个盒子里是同一种方法，对本题而言，盒子是不同的，把7个球都放到不同的盒子里是不同的方法。 先考虑把7个相同的球放到2个不同的盒子里，有多少种方法？
第一个盒子可以放0~7个球，共8种，当第一个盒子放好时，把剩余的放到第二个盒子里，即第二个也相应放好了。所以共8种。
总结成公式：把N个相同的球放到2个不同的盒子里，有N+1种方法.
然后再 把7个相同的球放到3个不同的盒子的问题。
设三个盒子为A，B，C。考虑第一个盒子A，里面可能放0~7个球，所以本题有8类情况，思路是把每种情况的个数都算出来，再相加。（这其实就是我们今后要系统学习的加法原理）
当A里放0个球时，相当于把7个球放到B,C两个盒子里，有8种方法； 当A里放1个球时，相当于把6个球放到B,C两个盒子里，有7种方法； 当A里放2个球时，相当于把5个球放到B,C两个盒子里，有6种方法； ……
当A里放7个球时，相当于把0个球放到B,C两个盒子里，有1种方法； 所以，共8+7+6+5+4+3+2+1=36种不同的方法。 总结成公式：把N个相同的球放到个不同的盒子里，有（N+1）+N+……3+2+1
种方法.
小结：把N个相同的球放到2个不同的盒子里，有N+1种方法.
把N个相同的球放到个不同的盒子里，有（N+1）+N+……3+2+1种方法.
超常123班学案3：把7个相同的球放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放一个球，有多少种方法？
分析与答：比较学案和例题的不同之处：多了一个条件而已：每个盘子至少放一个球，而刚才的题目相当于允许有盘子空着。学习数学应该培养的能力之一就是把遇到的问题和已经会解决的问题对比练习，把它转化成已经解决的问题。每个盘子至少放一个球，怎样才能转化成允许有盘子空着呢？
每个盘子提前分一个！这样相当于有7‐3=4个相同的球放到3个不同的盘子里，允许有盘子空着，有多少种方法？（有不分的相当于实际分一个；再分一个的相当于实际分得两个，等等）
有5+4+3+2+1=15种分法。
变式：把10个相同的球放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放两个球，有多少种方法？
分析与答：显然每个盘子提前分两个。还剩10‐2×3=4个。这样相当于有4个相同的球放到3个不同的盘子里，允许有盘子空着，有多少种方法？
有5+4+3+2+1=15种分法。
（4）把7个不同的球放到3个不同的盒子里，有多少种方法？
分析与答：本题要用到我们将来要学习的乘法原理，目前稍作了解即可，将来会系统的重点学习。完成这个任务分7步：先放第一个球，因为有3个不同的盒子，故有3中方法，再放第二个球，仍然有3种方法，每个球都有3种方法，分步完成用乘法：3×3×3×3×3×3×3=37=2187种方法。本
小结：本系列题目可以看做是组合计数的启蒙，是我们四年级将要学习的非常重
要的加法原理、乘法原理、排列、组合的基础。我们等到四年级后解决本类题目有更为巧妙更为简捷的方法。
三、 与整数分拆相关的最值问题
最值问题属于高年级数论模块的一个重点，本讲的例题是最值问题的基础题。 和一定，差小积大；差大积小。 积一定，差小和小；差大和大。
例7：（1）将12分拆成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何分拆？
分析与答：12=1+11 1×11=11 =2+10 2×10=20 =3+9 3×9=27 =4+8 4×8=32 =5+7 5×7=35
=6+6 6×6=36 从上往下看两个数的和一定（都是12），这两个数越接近，即它们的差距越小，乘积越大；反之，差距越大，乘积越小。简称为： 和一定，差小积大；差大积小。
补充题：比较大小：A=987654321×1234567，B=987654322×123456788
分析与答：两个数和一定987654321+1234567=987654322+123456788，987654321和1234567差距小，所以乘积大，即A＞B
例8：在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1这10个数的每相邻两个数之间都填上一个加号或减号，组成一个算式。要求同时满足以下条件：（1）算式结果等于41；（2）这个算式的所有减数（即前面填了减号的数）的乘积尽可能大。那么这些减数的最大乘积是多少？
分析与答：回顾上一讲整数分拆：可以用分组法求出减号组之和。 设填加号的数之和为A，填减号的数之和为B，则 A+B=10+9+8+……+2+1=55 A‐B=41
根据和差问题基本公式：B=（55‐41）÷2=7
即填减号的数之和为7，当这两数为3和4时，差距最小，乘积最大，为12.
，要使这三个数乘积最补充小练：把32拆成三个自然数之和（可相同）
大，应该怎么拆？
32÷3=10……2 32=10+11+11
小结：拆成多个数时，先除法，再把余数补上。
例7：（2）将144分拆成两个自然数的积，再求出这两个自然数的和，要使这个和最小，应该如何分拆？
分析与答：144=1×144 1+144=145 =2×72 2+72=74 =3×48 3+48=51 =4×36 4+36=40 =6×24 6+24=30 =8×18 8+18=26 =9×16 9+16=25 =12×12 12+12=24 从上往下看，两个数乘积一定（都是144），两个数越接近，即差距越小，和越小；反之，差距愈大，和愈大。简称为： 积一定，差小和小；差大和大。
补充题：（本讲超常班没有本类型的题，特此补充一下。）
（1） 把33拆成若干个不同自然数之和，要使这些数乘积最大，应该怎么
拆？
（2） 把32拆成若干个不同自然数之和，要使这些数乘积最大，应该怎么
拆？
（3） 把31拆成若干个不同自然数之和，要使这些数乘积最大，应该怎么
拆？
分析与答：比较此题和刚才题目的不同之处：刚才的题目明确限定拆成数的个数，而此题要求拆成若干个，可以举一些简单的小例子，自己总结体会一下拆分原则。
（1）显然不能拆出+1，因为×1=数本身，造成浪费；
（2）不拆出4或4以上的数，比如拆出+6，不如换成+3+3，因为前者相当于×6，而后者相当于×3×3=×9，再如拆出+5，不如换成+3+2，因为前者相当于×5，而后者相当于×3×2=×6，4可以换成2+2，效果一样；
（3）综上，只拆2和3，那么2PK3谁赢了？6=2+2+2=3+3,而2×2×2=8,3×3=9，说明多拆3更有效。
总结一下拆分原则：多三少二，无其他
（1）33÷3=11,33=3+3+……3，共11个，此时乘积最大，为3×3×……×3=311；
（2）32÷3=10……2,33=3+3+……3+2，共10个3，一个2，此时乘积最大，为3×3×……×3×2=310×2；
（3）31÷3=10……1,因为不拆一，可以把一个3和1放到一起看做2+2，即33=3+3+……3+2，共9个3，两个2，此时乘积最大，为3×3×……×3×2=22×
39
小结：把一个数拆成若干个不同自然数之和，要使这些数乘积最大的拆分原则是：多三少二，无其他。至于3和2的个数的判断，注意例题中第三类易错。
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容