7第七章 傅里叶变换

第七章 傅立叶变换

§7.0 引言

7.0.1 “变换”的概念

在数学上，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常采用“变换”手段。

例如初等数学中的利用对数将较复杂的乘、除运算化为较简易的加、减运算的做法，事实上就是一种变换，可称他为对数变换。详细说即，为求两数A与B之积AB（商A/B），可使用对数变换、变换后的加（减）法运算、反对数变换三个步骤来完成：

（1）、对数变换：对已知的A、B分别求出对数lgA、lgB； （2）、变换后的加（减）法运算：求出两个对数的和lgAlgB (差lgAlgB)； （3）、反对数变换：求出上述和（差）的反对数，即是AB（A/B）：

ABlg1(lgAlgB) (A/Blg1(lgAlgB))。

这种方法总起来说是根据定理：“积（商）的对数等于对数的和（差）：lg(AB)lgAlgB (lg(A/B)lgAlgB)”得出的。下图直观说明了对数变换的内在关系：

乘（除）运算

常规域中的运算： 正实数A，B 积AB（商A/B）

对数变换lg（·） 反对数变换lg-1（·）

变换后之域中的运算： 对数lgA、lgB 对数和 lgA+lgB=lg(AB)

加（减）运算 ( 对数差lgA-lgB=lg(A/B) )

从数确定其对数值的变换称为正变换，从对数值确定其反对数值的变换称之为反变换或逆变换。数与其对数值在一定条件（即A、B为正实数）下是一一对应的。变换前的数常称为变换后的数的象原，变换后的数常称为变换前的数的象。

再例如解析几何中的坐标变换、复变函数中的保角变换等都属于这种变换，后面要谈的积分变换也是这样一类变换。

当然，说变换方法能化复杂运算为简单运算，不仅仅是因为变换后的运算较简单，实际上还依赖于变换及反变换容易进行，或者虽不易进行，但却可行，并且已由人们造表（如对数表、积分变换表等），通过查表而显得容易罢了。另外，人们使用变换方法，有时并不是为了计算和求解容易，而是为了研究的容易。这时使用变换常常是为了容易提取研究对象的信息、规律。也即并不是为了直接去求解，而是通过变换建立一种数学模型，以供研究。这时并不追求变换与反变换的快、易，而是追求在正变换后而反变换前的象集中容易显示信息、容易分析研究问题而已,此时甚至用不着去考虑反变换。例如自动控制理论中采用拉普拉斯变换建立数学模型—传递函数—后，立足于复频域中作研究的方法就是如此。

7.0.2 “积分变换”的概念

式子

F()f(t)K(t,)dt （1）

ab被用来定义函数f(t)的积分变换。其中K(t,)是已知的关于t和的一个二元函数，称为积分变换的核。

1

若a和b的值是有限的，则称F()是f(t)的有限积分变换，否则称为无限积分变换。可见，所谓积分变换，就是通过含有参变量的积分，把一个函数变成另一个函数的变换。或者说，就是把某函数类A中的函数f(t)通过上述积分的运算变成另一函数类B中的函数F()。积分变换又称为运算微积。f(t)称为象原函数，F()称为f(t)的象函数，在一定条件下，它们是一一对应的，而变换是可逆的。当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换。如

 傅立叶变换 F() 拉普拉斯变换 F() 汉克尔变换 F()f(t)eitdt ；

f(t)e00tdt ；

f(t)tJn(t)dt ，

这里Jn(t)是第一类n阶贝塞尔函数； 梅林变换 F()

0f(t)t1dt ，

等等。

从泛函的角度看，积分变换是一类泛函。傅立叶变换和拉普拉斯变换都是一种泛函。这只要将（1）式改写成

bF()或改写成

， f(t)K(t,)dtF[f(t),] （当f看作变量，看作参变量时）

1ab F()[f(t)]K(t,)dtF2[f(t)] （当f看作变量，干脆被看作常量时），

a即可明白。要注意F、F1、F2等是不同的映射，它们包含着不同的被看作是不动的部分。所谓看作参

变量，即暂时看作常量（更妥当点，应说成“现时看作常量”，至于以后，不排斥人们去考虑它作为变量）。也就是说，暂时固定 ，可将()K(t,)dt看作泛函算符，这一算符再作用到函数f(t)上，结果得出的

ab是对应于函数f(t)的一个数F[f(t),]。

还可以把积分变换看成是一类映射(因线性空间的映射称为算子，故线性空间的积分变换也说成是积分算子)。如前面就曾说（1）式将函数f(t)变换成另一个函数F()。这其实就是把看作变量后而言的。

2

§7.1 傅立叶积分与傅立叶定理

7.1.1 从傅立叶级数到傅立叶积分

傅立叶级数能将周期函数进行谐波分解，而傅立叶积分能将非周期函数进行谐波分解。说得更详细些，即傅立叶级数能将一个周期函数表示成无穷多个离散的频率为基频整数倍的谐函数之和，而傅立叶积分则能将一个非周期函数表示成整个连续的频率区间上的谐函数的积分。傅立叶级数还可表示成复数形式，由此又可导出傅立叶积分的复数形式，随之便产生了一种积分变换——傅立叶变换及其逆变换。

以上所说的傅立叶级数及傅立叶积分，只限于对函数进行谐函数或由它导出的复数形式（既虚指数函数e）的分解。这种情况下，所说傅立叶级数及傅立叶积分可看作是狭义的。其实，以谐函数或虚指数函数作为函数分解的基底，只是一种特例。更一般地，可以任一种正交函数作为基底进行傅立叶分解。这里正文主要讨论狭义的傅立叶级数及傅立叶积分，关于广义的针对一般正交函数的傅立叶分解，我们将在附录中给出初步的讨论。

在数学分析课程中学习傅立叶级数时，我们已知有如下定理： 傅立叶级数定理：任一个以T为周期的周期函数fT(t)，如果在[条件（简称狄氏条件，即函数在[值点），那么在[itTT（Dirichlet）,]上满足狄利克雷22TT,]上满足：①.连续或只有有限个第一类间断点；②.只有有限个极22TT,]上就可以展成傅立叶级数。在fT(t)的连续点处，其傅立叶级数的三角形式为 22afT(t)02(an1ncosntbnsinnt) (n1,2,3,) （2） 其中 212， （） TTT22 a0TfT(t)dt （3） T22 an2TfT(t)cos(nt)dt （4） T2T2 bn2TfT(t)sin(nt)dt （5） T2T称为角频率或圆频率，称为频率；式（3）、（4）、（5）称为函数fT(t)的傅立叶系数。 由（3）、（4）、（5）这三个式子可见，傅立叶系数an（可将a0合并到an中去，合并后n0,1,2,3,）和bn都是n（或n）的函数，其中an是n的偶函数，即有

anan；

而bn是n的奇函数，即有

bnbn。

如果把式（2）中的同频率项合并，则式（2）可改写成（根据三角函数二角和公式：cos()coscossinsin）：

3

fT(t)也即

A0A1cos(t1)A2cos(2t2) 2A0fT(t)Ancos(ntn) （6）

2n1其中

, n1,2,3, （7） AnbnArctgnan2an2bnA0a0由式（7）可见，An是n的偶函数，即有

AnAn；

而n是n的奇函数，即有

nn。

如果将式（6）化为式（2），系数关系为：  anAncosn, n1,2,3, bnAnsinn由式（6）可见，任何满足狄氏条件的周期函数可分解为一系列谐函数分量之和。其中第一项

a0A0A0是常2A0a01T数项，它是周期函数的直流分量。结合（3）式看，可知它实际上就是函数fT(t)2TfT(t)dt，

22T2TT在区间[,]内的平均值。式中第二项A1cos(t1)称为基波分量或一次谐波分量，它的角频率（可

22称之为基波角频率或简称为基角频）与原周期函数的相同，A1是基波振幅，1是基波初相位。式中第三项A2cos(2t2)称为二次谐波分量，它的频率是基波频率的二倍，A2是二次谐波振幅，2是其初相位。……。一般而言，Ancos(ntn)称为n次谐波分量，其角频率为n，其振幅为An，其初相位为n。（6）式表明，周期函数可被分解为各次谐波之和，并且这些谐波的角频率是基波角频的整数倍。

以上的式（2）或式（6）称为傅立叶级数的三角形式或傅立叶级数的实数形式。这种形式虽意义比较明确，却运算不便，因而常把实数形式转换为（虚）指数形式或称复数形式。这只要利用欧拉公式

eicosisin 或

cos即可：

1i1(eei)，sini(eiei) 22a0fT(t)(ancosntbnsinnt)

2n1a011[an(einteint)bni(einteint)] 2n122a011[(anibn)eint(anibn)eint] （8） 2n122如果令

4

a01T c02TfT(t)dt （9）

2T2cn1(anibn)2TT12[TfT(t)cosntdti2TfT(t)sinntdt]T2212TfT(t)[cosntisinnt]dtT212TfT(t)eintdt (n1,2,3,)T2 cnTT （10）

11(anibn)2TfT(t)eintdt (n1,2,3,) （11） 2T2TT而c0、cn、cn可合写成一个式子：

1int cn2TfT(t)edt (n0,1,2,) （12）

T2若又令

nn (n0,1,2,)

则（2）式从而（8）式可写成

fT(t)c0或

fT(t)或

[ceinn1ntcneint] (n1,2,3,)

nceinnt (n0,1,2,) （13）

12inintf(t)[f()ed]e T （14） TTTn2这就是傅立叶级数的（虚）指数形式或说傅立叶级数的复数形式。cn称为函数fT(t)的复傅立叶系数。

①T为了与后续要讲的傅立叶变换的符号统一，可将复傅立叶系数“cn”写成“F(n)”或“F(n)”（注意，在后面要讲的傅立叶变换中，是变量，而这里傅立叶级数中的却是常量，变量是n，所以不妨随着n而把常量的带到F(n)中去以n做为自变量）。

由式（10）、式（11），我们还容易得出如下的一些系数关系：

|cn||cn|cncn1212anbnAn； 22（即 cn和cn是共轭复数）；

bnbArctgnn； ananArg cnArctg ①

虚指数ei的样子看起来，整个式子带一个i，好象是个纯虚数，但由欧拉公式又恰可说明它一般是个复数而不是虚数，

int注意这个i是作为e的指数而不是作为一个系数。从函数角度看，虚指数函数e说成是复指数也是对的。

是实变量t的复函数。当然，将虚指数

5

cn|cn|eiArg cn|cn|ein在（13）式中，单独一项cneint1Anein 2int（或写作cneint）并非谐波分量，而是一虚指数函数，只有下标为n和n的两项之和才组成一个谐波分量，即在复数形式中，第n次谐波为cnecneint（或写作

cneintcneint）。这是因为有

11AneineintAneineint 2211i(ntn) AneAnei(ntn)

22 Ancos(ntn)

cneintcneint这也显示了同一个n的两个复数加起来能得到一个实数，从而说明了为什么可以将一个实函数f(t)展开为复数。这还说明了另一层意义：虽然在复数形式中引用n从而出现了n，但这并不表示存在着什么负频率（考虑频率物理意义，频率应该总是非负的），而只是将实的第n次谐波分量分写成两个复数项后出现的一种数学形式。

总之，由上可知，任意周期函数fT(t)可被分解为许多不同频率的虚指数函数e量的复数幅值（又称为复数幅度或复数振幅）为cn。

以上讨论了周期函数的傅立叶分解（或说展开）。下面讨论非周期函数的傅立叶分解。 任何一个非周期函数f(t)都可被看作是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的。为了说明这

int的线性组合，其各

TTTT,)之内等于f(t)，而在[,)之外按周期延2222拓到整个数轴上，如图1所示。显然，T越大，fT(t)与f(t)相等的范围也越大，这表明当T时，周期函数fT(t)便可转化为非周期

f(t) 函数f(t)，即有

limfT(t)f(t)

一点，我们作周期函数为T的函数fT(t)，使其在[T这样，在（14）式中令T时，结果就可以看成是 f(t)的展开式，即

f(t)limTn[1TT2T2o t fT()eind]eint。 （18）

fT1(t)当n取一切整数时，n所对应的点便均匀地分布在整个 数轴上。若两个相邻点的距离以n表示，即

nnn1或

2 To t fT2(t)fT2(t)o 图1

2， n则当T时，有n0。故（18）式又可写为

Tf(t)lim1[n0n2T2T2t fT()eind]eintn （19）

当t固定时，

1[2T2T2fT()eind]eint是参数n的函数，记为T(n)，即

12T(n)[TfT()eind]eint。

22T利用T(n)可将（19）式写成

6

f(t)limn0nT(n)n （20）

显然，当n0，即T时，T(n)(n)，这里

1[fT()eind]eint， 2从而f(t)可以看作是(n)在(,)上的积分：

(n) f(t)也即

(n)dn （21）

1f(t)[f()eind]eintdn

2由于当T时，上述推导中的再不象在前面讨论傅立叶级数时那样被看作参（变）量是固定的（即在讨论过程中暂时固定），而是认作频率间隔n（∵nnn1n(n1)）而成变量（即作为积分过程变量）趋于0，即意味着不连续变量nn趋于一连续变量，于是上式也可写成

1 f(t)[f()eid]eitd （22）

22（还可直接认识刚才所说的：当T时，成为变量而趋于0，于是n仍就是变量，且当不

T趋于0时，n是离散变量；而当趋于0时，n就成为一连续变量，记这连续变量为）。

另外，不妨还可将（22）式中的又写成，而使（22）式改写成 1f(t)[f()eid]eitd （23） 2这样做的理由是：

①. 首先，根据数学分析原理，在（21）式中，因为是定积分，改变积分变量n为，是不受影响

的，即f(t)()d成立，这就直接导致（23）式。

②. 就物理意义而言，一量被称为频率，不在于它在一式中是否用某一符号出现，而在于它在存在有频率概念的式子（如谐函数、虚指数函数）中的相对位置。如在Ancos(ntn)中，频率是n而不是，又如在eint中，频率是n而不是。于是在（22）式中，既然正好占领了那个位置，所以指的就是频率。虽然在（22）式的推导过程中，不是，但在过程之外，与毕竟可以在同一根频率轴上取值，所以不妨将写成，以使过程之外的使用中符号根据意义统一。

式（23）称为函数f(t)的傅立叶积分公式。

7.1.2 傅立叶积分定理

应该指出，上式只是我们不讲究条件由（18）式就其右端从形式上推出来的，是不严格的。那么一个非周期函数f(t)在什么样的条件下，可以用傅立叶积分公式来表示呢？下面就给出一个相关的定理：

傅立叶积分定理：若f(t)在(,)上满足下列条件：①.f(t)在任一有限区间上满足狄利克雷（Dirichlet）条件；②.f(t)在无限区间(,)上绝对可积(即积分f(t)dt收敛)，则在f(t)的连续12代替左端的f(t)。 点t处，有f(t)

[f()eid]eitd成立，而在f(t)的间断点t处，应以f(t0)f(t0)来2该定理的证明可见菲赫金哥尔茨《数学分析原理》或《微积分学教程》。这里从略。 7.1.3 傅立叶积分的三角形式

上述傅立叶积分公式还可以化成三角形式。

7

（23）式是f(t)的傅立叶积分公式的虚指数形式，利用欧拉公式，可将它转化为实三角形式。因为

f(t)121212[f()eid]eitd f()ei(t)d]d

[[f()cos(t)dif()sin(t)d]d，

考虑到积分

f()sin(t)d是的奇函数，故有

[f()sin(t)d]d0，

从而

1 f(t)2又考虑到积分

[f()cos(t)d]d （24）

f()cos(t)d是的偶函数，故（24）式可写为

f(t)1[0f()cos(t)d]d （25）

这就是f(t)的傅立叶积分公式的实三角形式。 【注】：

对于傅立叶级数及傅立叶积分，f(t)不限于是实函数，也可以是以实变量t为自变量的复变函数。这种情形下，傅立叶级数及傅立叶积分（包括后面要谈的傅立叶变换）的定义和性质都成立。

8

§7.2 傅立叶变换与傅立叶逆变换

我们已知，若函数f(t)满足傅立叶积分定理中的条件，则在f(t)的连续点处下式成立：

1 f(t)2从该式出发，若设

[f()ei d]ei td 。

F()则有

f(t)ei tdt ，

f(t)12F()ei td 。

从这两个式子可见，f(t)和F()通过指定的积分运算可以互相表达，也就是说，二者可以互逆变换。于是我们引出如下定义。

定义：设函数f(t)满足傅立叶积分定理中的条件，则在f(t)的连续点处，表达式

F()及

f(t)ei tdt （26）

1F()ei td （27） f(t)2都有存在意义。那么这时就称（26）式为函数f(t)的傅立叶变换式，记为

F()F [f(t)]FT[f(t)] 或 f(t)F()，

并称函数F()为f(t)的傅立叶变换，还称函数F()为f(t)的象函数；称（27）式为函数F()的傅立

叶逆变换式，记为

f(t)F -1[F()]FT[F()] 或 f(t)F()，

并称函数f(t)为F()的傅立叶逆变换，还称函数f(t)为F()的象原函数。

【注】：

1. 傅立叶变换及其逆变换中的函数f(t)不限于实函数，也可是t的复函数，这时本章给出的傅立叶变换及其逆变换的定义和性质仍成立。这在上节末尾已提及，特在此强调指出一下；

2. 求一个函数的傅立叶变换（或傅立叶逆变换）实际属于求一个含参数的广义积分； 3. 使用傅立叶变换式（26）和傅立叶逆变换式（27）时，总默认是在f(t)的连续点处成立； 4. 在不考虑函数在间断点处取值的意义下，f(t)与F()是一 一对应的，因此称象函数F()和象原函数f(t)构成了一个傅氏变换对，可表为：f(t)F()。但注意使用这种表达式时，两边的函数不能随意互换位置，因为我们总是固定认为右方函数是左方函数经傅立叶变换的结果，而左方函数是右方函数经傅立叶反变换的结果。记号F 、F 、FT和FT可看作是算符。

-1

5. 傅立叶逆变换也即函数f(t)的傅立叶积分；从对函数的分解表示角度看，傅立叶积分或说傅立叶逆变换式就是函数f(t)的傅立叶分解或说傅立叶分析。

6. 虽然表面看去，在上述（26）和（27）式这样以角频率出现的傅立叶变换及其逆变换定义形式

1），从而显得对称2性不好，但其实如果将这种定义形式中的角频率按2化为频率，就成为系数对称的形式：

下，其正变换式和逆变换式中的系数因子不同（即在正变换中为1，而在逆变换中为

9

F()f(t)ei2 tdt，f(t)F(v)ei2 td。

有的文献在角频率形式下将傅立叶变换和逆变换定义成系数对称式 ：

F()12f(t)ei tdt，f(t)12F()ei td，

但这种定义在频率形式下就反而会系数不对称。我们考虑到频率比角频率具有更直接的物理意义，故选择了前一定义形式。

7. 注意F()中的自变量是，但是由于（26）式中参变量前跟有一个复常数i，这导致算出的F()的式子中，i总是伴随同时出现而呈i、(i)22（这里右边虽未见i，但由其左边可知总可因此化出i来）等形式，故有的文献常把F()记为F(i)。当然，如果在某一使用中先已记为F()而后又想使用后一记法时，就不应写成F(i)，而应写成如F1(i)或G(i)等。因为改变了自变量后，算子也就变了，“F”变成“F1”或“G”了。这就犹如可以把“f(x)(ax)3axb”改记成“h(ax)(ax)3axb”时，是同一个道理。

§7.3 广义函数

在§2中我们定义了古典意义下的傅立叶变换。但有许多在物理学和工程技术中重要的函数不满足前述的傅立叶积分定理的条件，如常数、单位阶跃函数、符号函数、周期函数等，就不满足定理中的绝对可积条件（即不满足条件：

f(t)dt）；又如我们下面马上要讲到的函数，它不是普通意义上的函数，

而是广义函数中奇异函数中的一种，严格说来，它谈不上在一点的值，所以也就谈不上满足傅立叶积分定

理的条件。为了使这些函数也能进行傅立叶变换，须引入广义函数的概念，这样站在一个更一般的角度去考虑问题，人们便发现了适于广义函数的傅立叶变换。本课程不便就一般的、系统的广义函数理论去深入讨论，只是主要针对其中的函数进行讨论，并且结合函数对广义函数的概念给一初步的介绍，以本课程够用为限度。之所以讨论函数，是因为我们将会看到，利用函数及其傅立叶变换可以求出诸如上述的常数、单位阶跃函数、周期函数等重要函数的傅立叶变换，并且使得许多变换的推导大大地简化。

7.3.1 函数的定义

函数首先是由英国物理学家狄拉克（Dirac）在研究量子力学时提出的。现在函数的定义有多种，

我们介绍最主要的三种。

1). 函数的狄拉克定义: 函数是指满足如下性质的函数：

0, 当tt0时 （28.1）(1). (tt0)(28) ， 当tt时 （28.2） 0 

(29)(2). (tt0)dt1 2). 函数的弱极限形式定义: 这种定义把函数视为弱收敛函数序列或弱收敛含参数函数的弱极

n(t)或含参数的函数(t,)弱收敛于函数(t)（或者说成，函数(t)为该序列或限。所谓函数序列该含参数函数的弱极限），是说对于任意的在(a,b)内连续的函数f(t)分别都有

lim或

lim0anabf(t)n(t)dtbaf(t)(t)dt （30）

bbf(t)(t,)dtf(t)(t)dt （31）

a弱其中n(t)、(t,)及(t)均被设为在(a,b)内有定义，(a,b)也可为(,)。分别记为

n(t)(t)，(t,)(t)。

10

弱

也可分别记为

n①

limn(t)(t)，lim(t,)(t)。

弱弱0（30）或（31）中左、右两边的积分未必存在。为保证积分存在，对于n(t)或(t,)、(t)要附加条件，如n(t)、(t,)是可积的；当积分区间为(,)时，n(t)、(t,)要局部可积（即在任一有限区间上可积），(t)在某一有限区间外等于0。有了弱极限概念，函数便可被定义为一类普通函数序列

n(tt0)或普通含参数函数(tt0,)的弱极限：

(tt0)limn(tt0)

n弱或

(tt0)lim(tt0,)

0弱其中n(tt0)或(tt0,)须分别满足

lim或

lim例如

0nf(t)n(tt0)dtf(t0), （32）

f(t)(tt0,)dtf(t0)②。 （33）

t t00, 1 (tt0,), t0tt0 (33.1)

0 , tt0就是这样一个满足式（33）的具体的普通含参数函数。

3). 函数的积分形式定义: 所谓函数(tt0)是指满足如下条件的函数，即对任意一个在区间

③

(,)上连续的函数f(t)，都有

【注】：

f(t)(tt0)dtf(t0)④。 （34）

函数的积分形式定义还可等价地表述为

设f(t)C(,)，对于(a,b)(,)，

b(1)若 t(a,b), 则f(t)(tt0)dt0;0a b(2) 若t0(a,b), 则f(t)(tt0)dtf(t0).a上述三种函数定义，站在经典数学分析的立场上均不可思义，是经典数学分析所不允许的。因为对

于第一个定义，怎么能定义一个函数在一点的值为呢？这不合经典函数定义。经典函数只说函数的极限可以为，不能针对函数值而言。不仅如此，即使不考虑（28.2）式，仅由（28.1）式与（29）式二者联立来看，就存在着经典意义下的微分和积分间的矛盾，即由（28.1）式看去，(tt0)应是一个“几乎 ①

定义中的0还可以推广为0或0等。

②

满足（32）和（33）式这样的普通函数序列n(t 有的文献，如[6]，对这里的假设更弱：

t0)和普通含参数函数(tt0,)分别称为型序列和型含参数函

数。这类型序列和型含参数函数具体地有很多。

③

f(t)是任意一个在tt0处连续且变化不太快（缓变）的函数。

f(t)f()(t)df(t)(t)。这在后面

④

函数的积分形式定义还可改写成另一形式并借卷积来表示：

学习了卷积概念后，根据卷积定义就知显然成立。更多的有关叙述参见§5中卷积性质2.9（即“与函数的卷积性质”)。A.V.奥本海姆《信号与系统》(第二版)就把译本P94。

f(t)f(t)(t)这个式子看作是通过卷积定义函数,见该书的刘树棠中

11

处处”为零的函数，而几乎处处为零的函数的勒贝格积分必为零，这与（29）式矛盾。因此不能认为(tt0)为一几乎处处为零的函数，从而（29）式中所写的积分也不能被认为是通常的勒贝格积分。对于第二个定义，函数被看成普通函数序列或普通含参数函数的极限，而且这极限也与普通极限不同。普通极限是要收敛到一个定值（这里包括指值域由定值所组成的那样的函数）才认为存在极限。而函数的弱极限形式的定义(tt0)lim(tt0,)如果被看作普通极限运算(tt0)lim0弱0(tt0,)的话，那么再由例

如（33.1）式且取00，则(tt0)lim(tt0,)lim001，可见其极限普通意义下为，不

是定值。这在普通意义下被认为极限不存在，也就无所谓存在一个等同于这个极限的普通函数。对于第三个定义，人们当初的考虑是，既然函数(tt0)在t0点处的值为，它在t不等于t0的范围又是趋于0的，因而它不能简单地象普通函数那样作加、减、乘、除运算。只有积分时才能得到定值。因此，它的运算总要经过（34）式那样的积分式才能作用于另一函数f(t)。这第三个定义关键是人们认识到要确定函数，

~不一定非要去能确定它在每点t的函数值不可，而是可以让函数和某个函数集F中的函数f(t)发生“关

~联”，当对F中的每个f(t)按某种方式（如按（34）式）定出了一个值（如按（34）式这个值是f(t0)），那就确定了函数。也就是说，这是用一个量去关联其它某类中的任意量的效果来定义这个量（那种某类中的任意量常被称为测试函数）。但是（34）式中的积分也和普通的积分不同，普通积分遇到函数值为时就不可积，且积分限若为0到0，积出为0，但在（34）式中的积分却可得到f(t0)。

总之，三个定义都不能用常义来理解。不过相比之下，第三个定义更接近严密的定义，使用也更广泛些。到了广义函数理论中，我们便知，第三个定义就是说用泛函f(f,)来确定函数。最简单的泛函是连续线性泛函，它类似于（34）式那样与其它一族函数关联并有连续、线性性质。广义函数就是确定在某些具体的函数空间上的连续线性泛函，函数则是广义函数中的一种。正由于（34）式左边那样的积分作用太象广义函数了，甚至若为普通函数时，与相当的泛函T(f)fdt就是广义函数的特别的一

”

类，因此在广义函数论中，人们干脆对于一般的广义函数T:f(f,),也形式地写成但这里(t)实际上可能并非局部可积的普通函数，从而这里的“(t)”及积分“(f,)f(t)(t)dt。

完全是形式的，只是一种简便的记号而已。如此，也就有了在形式上完全被广义函数论承认的关于函数的积分形式的定义（34）式。自然，有了第三个定义的广义函数论解释后，再定义弱极限，第二个定义也就严密了。

【注】：函数在物理学界常又被称为脉冲函数或冲激函数①，它借助第一个定义来表达。当然，由上可知，更严格的定义应是第三个定义。那么第三个定义应用到物理上，可有一种什么样的物理意义呢？解释当然不止一种。其中一种是：第三定义被称为函数的抽样（或筛选）性质，它表示了函数于普通函数乘积的积分可将普通函数在脉冲出现时刻的函数值抽取出来。因此常又将函数称为式抽样函数或冲激抽样函数。

以上我们只是粗略地谈了谈广义函数的概念，而没有展开严格的广义函数理论，因此本节后面有关函数性质的证明，只是借助普通函数形式的形式上的“证明”。

最后，说说第三个定义的使用问题。第三个定义，今后讨论函数的性质时，总是用积分效果是否相同去比较，从而证明或推导函数的性质。

7.3.2 函数的主要性质

（1）.相乘性质

若f(t)在tt0处连续，则有

f(t)(tt0)f(t0)(tt0)

①

严格地说，称为单位（强度的）脉冲函数或单位（强度的）冲激函数。此因

(tt0)dt的值（即函数的积分值）

被定义为函数的强度，而由（29）式知函数的强度为1。另外，如果A为常数，则A(tt0)表示发生在t0处、强度为A的脉冲函数。 12

证明：设(t)为在tt0处连续的任意函数，根据函数的积分形式定义，有

(t)[f(t)(tt0)]dt[(t)f(t)](tt0)dt

 (t0)f(t0)

f(t0) 

（2）.对称性质（又称偶函数性质）

(t)(tt0)dt

(t)[f(t0)(tt0)]dt

(tt0)(t0t)

（3）.缩放性质（又称相似性质或尺度变换性质）

t1(att0)(t0)，a0

aa（4）.[(t)]的表达式

设(t)及(t)为连续函数，且(t)0只有单根tm (m1,2,3,,N)，则

[(t)]（5）.

(ttm) (t)mm1N(t2a2)1[(ta)(ta)], (a0) 2a1[(ta)(ta)]。 2t若a0，则t(t2)(t)。

[(ta)(tb)]

（6）.

1[(ta)(tb)], (ab)。 abt(t)0; (tt0)(tt0)0。

（7）.函数的导数

函数的导数(tt0)可按下面的运算性质来定义:

对于f(t)C1(,)，从形式上考虑如下的分部积分法①：

f(t)(tt0)dtf(t)d(tt0)

t0)|f(t)(tf(t)(tt0)dt

f(t0),

我们就称满足式子

f(t)(tt0)dtf(t0)的函数(tt0)为(tt0)的导数。

类似地，定义(tt0)的n阶导数(n)(tt0)如下：

对于在tt0处具有连续的n阶导数的函数f(t)，它满足

 ①

f(t)(n)(tt0)dt(1)nf(n)(t0)。

保持分部积分法在广义函数上可用，这几乎就是广义函数的本质所在。参见齐民友《广义函数与数学物理方程》P39，江泽坚、孙善利《泛函分析》P257，夏道行等《实变函数论与泛函分析》P478.

13

（8）.函数的导数性质

(t)(t) t(t)(t) (n)(t)(1)n(n)(t)

（9）.积分性质

t0(t)dt(t)dt

012(ta)(tb)dt(ab)①

1, tt0②③

(tt)dtu(tt), 式中（称为单位阶跃函数）。 u(tt)0000, tt0最后，关于函数的认识多说一句。这就是，站在函数分解的角度上看，我们曾经说过可以把傅立叶

变换理论（严格说，应就其中的傅立叶积分或傅立叶逆变换而言）看作是一种关于函数的“傅立叶分析”，现在站在同样的角度看，我们也可以把函数理论看作是一种与傅立叶分析并列的关于函数的“分析”，参见附录3。

§7.4 广义函数的傅立叶变换

7.4.1 函数的傅立叶变换

F[(t)](t)eitdteit|t01

F[(tt0)](tt0)eitdteit|tt0eit0

F[(n)(t)](i)n FF11[1](t)

[eit0](tt0)④

①

(ab)为(t)在点ab处的取值，不要误认为(t(ab))。

②

反之，单位阶跃函数u(tt0)的导数等于函数，即

du(tt0)(tt0)。

dt③

单位阶跃函数的一个用途：[参见祝同江《工程数学—积分变换》P30]

单位阶跃函数是一个很有用的函数，利用它可以把许多分段定义的函数写成单一等式的形式。 例如，函数

t, t0tt, t0

就可表为

tt[2u(t)1]。

又如符号函数

1, t0sgnt1, t0

就可表为

sgnt2u(t)1。

1i(tt0)e(tt0)，所以该式等价于一个广21i(tt0)i(tt0)d2(tt0)，还常写成(tt0)ed。后者又常被看作函数的积分表义积分：e2④

由于将该式展开来写就是F1[eit0]12eit0eitd14

7.4.2 周期函数的傅立叶变换

前面说过，周期函数不满足傅立叶积分定理中的绝对可积条件（即不满足条件：

f(t)dt），所

以无法直接对周期函数进行傅立叶变换，引入广义函数的函数后，利用函数及其傅立叶变换就可以求

出周期函数的傅立叶变换了。

前面在讨论周期函数的傅立叶级数展开时得到的（12）和（13）那一对式子，即

1复傅立叶系数：cnT傅立叶级数： fT(t)T2T2fT(t)eintdt (n0,1,2,)

intncen (n0,1,2,)

其实也形成了一个变换对，它们互相表达。这时复傅立叶系数式子可称为正变换，傅立叶级数式子可称为逆变换。我们不妨给它们一个全称，分别称为傅立叶级数变换和傅立叶级数逆变换。而且正如前面已经讲过的，为了与傅立叶变换的符号统一，可将复傅立叶系数“cn”写成“F(n)”或“F(n)”（注意，在傅立叶变换中，是变量，而这里傅立叶级数中的却是常量，变量是n，所以不妨随着n而把常量的带到F(n)中去以n做为自变量）。也称F(n)为fT(t)的象函数，称fT(t)为F(n)的象原函数。同时还可以把上面二式分别记为

F(n)Fn[fT(t)]， 和

fT(t)Fn1[F(n)]。

注意，不要以为对于周期函数而言，傅立叶变换就是傅立叶级数变换。换句话说，不要以为当把傅立叶变换用到周期函数时，傅立叶变换F()就等于复傅立叶系数F(n)。这二者是不相同的。

在此，我们先严格根据傅立叶变换的定义对周期函数fT(t)进行傅立叶变换，看看是一个什么样的结果。

首先考虑把周期函数fT(t)展成傅立叶级数：

fT(t)nF(n)ein0t （式中02①

） T对上式两边取傅立叶变换，并考虑到F(n)不是时间t的函数，有

F() 再利用前面我们已得到的广义积分

F(n)e[in0t]eitdt

nnF(n)ei(n0)tdt

ei(tt0)d2(tt0)，上式就可写成 F()n2F(n)(n) 0这就是周期函数的傅立叶变换。

可见，对于周期函数fT(t)，F()与F(n)是不同的，换言之，F[fT(t)]Fn[fT(t)]。

之所以不同，详细原因如下：

虽然当初引入傅立叶变换时是把非周期函数看作由某个周期函数当T求极限转化而来，如此的确使得周期函数当作非周期函数特例时，从而傅立叶级数也成为傅立叶积分的一种在“能够由之转换而得” 示形式，其实它不过就是e①

i t0的傅立叶逆变换（或(tt0)的傅立叶积分）表示而已。

注意用到傅立叶级数和傅立叶变换上时，含义不同。用在前者时是作为固定量，用在后者时是作为变量。而这里由于我们用到了傅立叶级数且随后又要用到傅立叶变换，为避免混淆，所以这里在使用傅立叶级数时干脆将这一固定量改写成“0”。

15

意义下的特例。但是，傅立叶系数和傅立叶变换式却是分别从傅立叶级数和傅立叶积分中取出一部分子式来定义的，而且各自选取的子式并不恰好是直接通过极限运算就能相互对应的那一对式子，而是一方不按另一方的子式划分、组合方式而重新进行了不同的划分、组合后再求极限转化而成的。这具体地说，可考

1察§1中（18）式向（19）式的变更。在（18）式中，子式

TT2T2fT()eind原是作为复傅立叶系数，以

它的模和幅角去分别刻画各频率谐波分量的幅值和初相位（虽然不是直接刻画，而是F(n)cn但只相差一个常数

1An，211而已）。但是到了（19）式时，该子式中积分号前的离开了原来的位置，通过2Tn①111和n两因子而分放到了（19）式两端。这就相当于原来的子式除以一个n的关系变成

T222而成为一个新的子式

1Tn2这个新的子式因而就不是原来子式所代表的复傅立叶系数，而是一个所谓的相对复傅立叶系数，其模刻画的是各频率谐波分量的相对幅值，而非原先的真正幅值。傅立叶变换式即是T时的相对复傅立叶系数，其模就是T时的极限情况下的各频率谐波分量的相对幅值的刻画。

F(n)F(n)可见，F()并不是F(n)的极限结果，而是（或）的极限结果，即还有如下的关系：

n/21/TT2T2fT()eindT2T2fT()eind。

F()limF(n)limF(n)T T1/TT小结一下上述结果，即：

一个周期函数的傅立叶变换不是一个连续函数，而是一系列等距的函数，即式

F()n2F(n)(n)

0所表达；周期函数的F()与F(n)是不同的，前者是T时的相对复傅立叶系数，后者即（绝对的）复傅立叶系数；这里的讨论说明，利用函数就能使傅立叶变换既可用于非周期函数也可用于周期函数。

§7.5 傅立叶变换的性质

7.5.1 线性性质

定理1：

设F[f1(t)]F1()，F[f2(t)]F2()，，为常数，则 F[f1(t)f2(t)]F1()F2()； F1[F1()F2()]f1(t)f2(t)

此性质表明：傅立叶变换和傅立叶逆变换都是线性变换，也即函数线性组合的傅立叶变换等于各函数傅立叶变换的线性组合。

定理1证明：根据傅立叶变换及逆变换的定义显然可得。■

①

如果将角频率n按2用频率表出，可知这里除以一个

n就相当于除以频率。 216

7.5.2 平移性质

定理2：

时延定理：F[f(tt0)]e频移定理：F1it0F[f(t)]eit0F()； 1[F(0)]ei0tF[F()]ei0tf(t)。

时延定理表明：f(t)的平移引起频谱的相位改变（为何这样说？因为时延定理右边可写成

eit0F()F()ei()eit0F()ei[()t0]，可见在频域中所有频率分量相应滞后或超前一相位t0），

相位的滞后或超前与频率成正比，不过f(t)的平移并不改变傅立叶变换幅值的大小。也即若信号f(t)保持波形不变沿t轴移动，则振幅频谱不变（因为eit0F()F()），但相位频谱却要发生变化。可见，信号在时域中的时延和在频域中的相移一一对应，也即一信号在时域中整体延迟一时间t0，则在频域中信号的所有频谱分量都将被给予一个对频率成线性关系的相移t0，反之也成立。

频移定理又称调制原理，它还可以等价地表为：F[f(t)ei0t]F(0)。它表明：将函数f(t)乘

以指数函数ei0t，则f(t)的频谱函数沿轴右移0。用信号处理的语言来解说也就是，选择一高频载波信号（即迅变信号）ei0t，去调制（即相乘）一低频被调信号（即慢变信号）f(t)，就可以把原先低频范围的被调信号的频率搬移到所需的高频范围（所得结果是以低频信号为包络的高频信号）。可见结果信号（称为已调信号）的包络线呈现被调信号的信息。

定理2证明：令utt0，则

F[f(tt0)]f(tt0)eitdtf(u)ei(ut0)dueit0f(u)eiudueit0F();F[f(t)ei0t]f(t)ei0teitdtf(t)ei(0)tdtF(0).■



7.5.3 缩放性质（又称相似性质或尺度变换性质）

定理3：

此性质表明：若时域函数f(t)在时域上沿t轴压缩（取a1时）a倍（即压缩到原来的1/a倍），则其频谱函数F()在频域上沿轴将扩展a倍，同时其幅值将减小a倍（即减小到原来的1/a倍）；若时域函数f(t)在时域上沿t轴扩展（取0a1时）1/a倍，则其频谱函数F()在频域上沿轴将压缩1/a倍，同时其幅值将增大1/a倍；此外，如果a是负数，则f(at)、F(/a)都还有一个左右翻转的关系。这一性质不难从信号的角度来理解，因为信号的波形压缩a倍，相当于信号随时间变化加快a倍，所以它所包含的频率分量增加a倍，也就是说频谱展宽a倍；同时根据能量守恒原理，各频率分量的大小必然减小a倍（即使得曲线下的面积保持不变）；若a1，可知信号在时域相对于纵轴反转，则在频域中频谱也相对于纵轴反转（见后面的翻转性质）。还可以从另一角度描述缩放性质，见后面的面积性质）。

定理3证明：对要证的定理3第一式的左边令atu，即有t

F[f(at)]F11F()，a为非零实常数。 aa1tf()，a为非零实常数。 aa[F(a)]u。但注意换元后的积分上下限还需根据a的正负号a17

才能具体确定，这就是，当a0时，t对应于u；当a0时，t却对应于u。故需加以区分。为此有：

当a0时，

uaiuu11d()f(u)eaduF()； aaaaF[f(at)]f(at)eitdtf(u)ei当a0时，

F[f(at)]f(at)eitdtf(u)eiuaiu111d(u)f(u)eaduF()。 aaaa于是综合a0和a0两方面的结果，有

F[f(at)]定理3第一式证毕。对于定理3第二式，类似可证。■

1F() aa定理3’：

若函数既有平移又有缩放时，则有 b1iF[f(atb)]F[f(a(t))]eaF()，a为非零实常数。 aaaF1b[F(ab)]F1b1itt [F(a())]eaf()，a为非零实常数。aaab

7.5.4 翻转性质

定理4：

定理4证明：此性质是缩放性质的特例，只要在缩放性质中令a1即得证。■

F[f(t)]F() F1[F()]f(t)

7.5.5 面积性质

定理5：

f(t)dtF(0)  F()d2 f(0) 

此性质表明：f(t)所包围的面积等于F()在原点处的值；f()所包围的面积等于f(t)在原点处的

值乘以2。要注意的是，

f(t)dt与

F()d这两个面积是不相等的。但是，模的平方下的面积有直

18

接联系，即见后面的Parseval等式：

1f(t)dt22F()d。

2另外，从面积性质这一角度也可以说明尺度变换特性：如果f(0)和F(0)各自等于f(t)和F()曲线的最大值，又设和B分别是f(t)和F()的等效宽度（所谓等效宽度，是将曲线包围的面积等同于高度取曲线最大值的一矩形面积所求出的矩形宽度。即：等效宽度曲线包围的面积/曲线最大值），那么由面积性质可推得F(0)/f(0)及B2f(0)/F(0)，由此二式联立可解得：B2/。该式说明，信号的等效脉宽（即时域等效宽度）与占有的等效带宽（即频域等效宽度）成反比，若要压缩信号的持续时间，则不得不以展宽频带作代价。所以在通信系统中，通信速度和占用频带宽度是一对矛盾。

【注：面积性质其实是后面要讲的n阶矩性质的特例】

定理5证明：只要在傅立叶变换定义式中令0，就得第一式；而在傅立叶逆变换定义式中令t■

0，就得第二式。

7.5.6 微分性质

定理6：

定理6证明：证第一式；由傅立叶变换定义，并利用分部积分可得

df(t)df(t)]eitdtdtdttf(t)eitif(t)eitdt t若f(t)、df(t)都可进行傅立叶变换，且当t时，f(t)0，则 dF[df(t)]iF[f(t)]； dt若f(t)、tf(t)都可进行傅立叶变换，则 dF()F[itf(t)]。 dF[if(t)eitdt 〈由条件“

t时f(t)0”可得：

itf(t)0） t时，f(t)eiF[f(t)]dF()dit证第二式：f(t)edtitf(t)eitdtF[itf(t)]。■ dd 推论：

若f(t)、f(t)、…、f(n)(t)都可进行傅立叶变换，且当t时，f(k)(t)0，k0,1,2,,n1，则 F[f(n)(t)](i)nF[f(t)]； 若f(t)、tf(t)、…、tnf(t)都可进行傅立叶变换，则 dnF()(i)nF[tnf(t)]。 nd19

7.5.7 积分性质

定理7：

定理7证明：

tt时域积分性质：若F[f(t)]F()，则 F[f()d]tF()F(0)(); i特例：若F[f(t)]F()，且当t时，tf()d0则 F()； i频域积分性质：若F[f(t)]F()，则 f(t)F1[F()d]f(0)(t)； itF[f()d]t特例：若F[f(t)]F()，且当时，F()d0则 F1[F()d]f(t)。 itF[f()d][f()d]eitdt

f()[u(t)edt]d f()F[u(t)]d

[f()u(t)d]eitdt①

itf(){[1()]ei}d if()1iedif()()eid

①

显然，积分

tf()d总可以等价地表为

tf()dttf()u(t)d甚至f()u(t)df()u(t)d，即

f()u(t)d。

f()u(t)d其实正是所谓的卷积f(t)u(t)，所以这一恒等式也被说成：积分

tf()d可表为f(t)与阶跃函

数的卷积，即20

tf()df(t)u(t)。

F()()f()eid

iF()F()() iF()F(0)()。 i至于时域积分性质特例的证明，显然根据时域积分性质及面积性质就可得出。 关于频时域积分性质及其特例的证明，略。■

7.5.8 对称性质

定理8：

此性质表明：若时域函数F(t)具有与f(t)的频域函数F()相同的形式时，则F(t)的频域函数2f()除了自变量前的系数1和因变量前的系数2外也具有与函数f(t)相同的形式。不过，称定理8中的式子F[F(t)]2 f()为对称性质，其实只适用于f(t)为偶函数时。因为这时该式呈

若F[f(t)]F()，则 F[F(t)]2 f()。 F[F(t)]2 f()的形式，其中系数2只影响纵坐标的尺度，而不影响函数的基本特征。

11it定理8证明：因为f(t)令tt1，得f(t1)再令t11且t，F()ed，F()eit1d。

2211i1t则得f(1)。再令，得1F(t)edtf()F(t)eitdt。即F[F(t)]2 f()。

22此即定理8中的第一个式子。另一个式子可类似证得。■

7.5.9 变换的多次作用（即变换的乘积运算）

定理9：

F1[F[f(t)]]f(t)； 1F[F[F()]]F()。 （上述两式又称为傅立叶变换的对偶关系） F[F[f(t)]]2 f(t)； F1F()； 2F[F[F()]]2 F()； 1F1[F1[f(t)]]f(t)。 21[F1[F()]]此性质的后四个式子表明：对一元函数连续作两次傅立叶变换或逆变换，即得其“镜象”（除了纵坐标差一个系数外）。与之类似，对二元函数连续作两次二维傅立叶变换或逆变换，即得其“倒立象” （除了纵坐标差一个系数外）。

定理9证明： 证第一及第二式：

21

证法之一是可由傅立叶变换及反变换定义（其实即基于傅立叶积分定理）直接得出第一及第二两式；证法之二即

f(t)eitdt1F(u)eiutdu]eitdt

2〈中括号内的付氏逆变换式积分变1F(u)ei(u)tdtdu 2u1F(u)2(u)du

〈根据函数的积分表示形式 2[F(u)(u)du

F()

就必然能用傅立叶变换定义式由

证第三式：

(tt0)12ei(tt0)d，

f(t)，

这就证明了若傅立叶逆变换定义式成立，则傅立叶变换定义式成立。也即若能用傅立叶逆变换定义式由F()求出

f(t)求出F()。也即第二式成立。同样可证第一式成立。

F[F[f(t)]]F[F()]F()eitdF()ei(t)d2 f(t)。

证第四式：

F1[F1[F()]]F11[f(t)]21f(t)edt2itf(t)ei()tdt

1F()。2证第五式：

F[F[F()]]F[F()eitd]F[F()ei(t)d]F[2 f(t)]

2f(t)eitdt

2f(t1)ei(t1)d(t1)

22证第六式：

f(t1)ei()t1d(t1)

f(t1)ei()t1d(t1)

2 F()

F1[F1[f(t)]]1(2)2e[f(t1)eit11dt1]d

it12(2)12f(t1)(tt1)dt1

(2)21f(t1)(t1(t))dt1 21f(t) 2f(t1)ei(tt1)ddt1

（第三、四、五式也可以象第六式那样用函数来证，而第六式也可以象第三、四、五式那样用变量代换方法来证）■

推论：

22

F1FF F 11

推论的证明：由定理9中的第一及第二式直接可推出。■

7.5.10 正、反变换的转换

定理10：

F[f(t)]2F

1[f(t)]

定理10证明：

在定理9的第三式两边同乘F1F1F[F()] 2F[f(t)]2F1[f(t)] 1F1[f(t)]F[f(t)] 21[F()]，即得定理10的第一式；

在定理9的第四式两边同乘F，即得定理10的第二式； 在定理10的第一式将t换成t，即得定理10的第三式； 在定理9的第六式两边同乘F，即得定理10的第四式。■

7.5.11 n阶矩性质

定义：称

tnf(t)dt为函数f(t)的n阶矩。

矩在力学和统计学中都是重要的特征量。例如，一阶矩在力学里表示静力矩，在概率论中表示随机变量的统计均值（数学期望）；二阶矩在力学上可表示转动惯量或惯量矩，在概率论中表示均方值。

一个函数的一阶矩与零阶矩之比，给出了该函数的矩心坐标：

t

tf(t)dtf(t)dt(i2)([F(1)(0)F(0)]

定理11：

n nndF() tf(t)dti dn0

 2dnf(t)n F()dn idtnt0

矩定理表明函数f(t)的n阶矩全由f(t)的傅立叶变换F()在0附近的性态决定。或者说，F()在原点附近的性态包含了关于函数f(t)的各阶矩的信息。矩定理实际上是傅立叶变换导数定理（即微分性质）的一种应用。

定理11证明：面积性质的证明是直接在傅立叶变换的定义式中令参变量为零而得。与其方法完全相同，只不过这里是直接在傅立叶变换的微分式中令参变量为零而得:

dnF()(i)nF[tnf(t)]可明白写成 频域微分的傅立叶变换nddnF()nnit(i)tf(t)edt dn

23

令0，即得

dnF()(i)nnd0tnf(t)dt

此即所要证的第一式；

时域微分的傅立叶变换F[f(n)(t)](i)nF[f(t)]两边同取傅立叶逆变换可等价写为

dnf(t)12dtn(i)nF()eitd

令t0，即得

2dnf(t)indtnt0nF()d

此即所要证的第二式；■

7.5.12 奇偶虚实性

引理：

引理证明：由复变函数理论，显然可得。 ■

设F()F()ei()FR()iFI()，则 F()()arctgIFR() F()FR()FI() 22

定理12：

设时域函数f(t)为复函数f(t)fR(t)ifI(t)，相应的频域函数F()为复函数F()FR()iFI()，其中下标R和I分别指实部和虚部，F()F[f(t)]，则 F()[fR(t)cos tfI(t)sin t]dti[fI(t)cos tfR(t)sin t]dt FR()IF()[fR(t)cos tfI(t)sin t]dt； [fI(t)cos tfR(t)sin t]dt； 12f(t)12[FR()cos tFI()sin t]di[FI()cos tFR()sin t]d fR(t)

121fI(t)2[FR()cos tFI()sin t]d； [FI()cos tFR()sin t]d。 要注意的是：FR()F[fR(t)]，FI()F[fI(t)]。 （上述FR()F[fR(t)]这一性质意味着：一个实值函数的傅立叶变换并不等于把此实值函数作成的复值函数的傅立叶变换的实部。这里所谓“作成的”即物理学中常见的“f(t)dfRe[g(t)]”的做法。但是容易证明如下定理：若f(t)dfRe[g(t)]，） F[f(t)]F()，F[g(t)]G()，则F()[G()G*()]。

24

12

定理12证明[12]：

在傅立叶变换定义式F()tf(t)ei tdt中将ei 按欧拉公式eicosisin展开，得

F()[f(t)cos tif(t)sin t]dt

再将定理条件式

f(t)fR(t)ifI(t)代入上式，得 F() tf[fR(t)cosI(t)sin t]dti[fI(t)cos tfR(t)sin t]dt；

再将此式与定理条件式F()FR()iFI()对比，得

FR()[fR(t)cos tfI(t)sin t]dt； ………①

F()I[fI(t)cos tfR(t)sin t]dt； ………②

在傅立叶逆变换定义式

f(t)1 t2F()eid中将ei t按欧拉公式eicosisin展开，得

f(t)12[F()cos tiF()sin t]d

再将定理条件式F()FR()iFI()代入上式，得

f(t)12)sin t]di1[FR()cos tFI(2[FI()cos tFR()sin t]d

再将此式与定理条件式

f(t)fR(t)ifI(t)对比，得

f(t)1R2[FR()cos tFI()sin t]d；

f1I(t)2[FI()cos tFR()sin t]d。

再看F[fR(t)]和F[fI(t)]：

F[fR(t)]fR(t)ei tdt[fR(t)cos tifR(t)sin t]dt

此与①式比较显然二者不相等；

F[fI(t)] tfI(t)eidt[fI(t)cos tifI(t)sin t]dt

此与②式比较显然二者不相等。■

推论： 若f(t)是t的实函数，则实部F R()是的偶函数，虚部FI()是

的奇函数，模F()是的偶函数，幅角()是的奇函数。

推论的证明：

由定理12知，FR()[fR(t)cos t0sin t]dtfR(t)cos tdt………①

FR()[fR(t)cos( t)0sin( t)]dtfR(t)cos tdt………②

由①、②两式得

FR()FR()，即FR()为偶函数；

又由定理12知，FI()[0cos tfR(t)sin t]dtfR(t)sin tdt………③

25

FI()由③、④两式得

[0cos( t)fR(t)sin( t)]dt22fR(t)sin tdt………④

FI()FI()，即FI()为奇函数；

在上述基础上再由引理知

F()FR()FI()

[FR()]2[FI()]2 [FR()]2[FI()]2

F()，

故这时

F()为偶函数；

()arctgFI() FR()FI()

FR()同样在上述基础上再由引理知

arctgarctgFI() （这里用到恒等式arctg(x)arctgx）

FR()()，

故这时()为奇函数。■

【注：设复函数f(t)的实部和虚部分别为fR(t)和fI(t)，即

f(t)fR(t)ifI(t)，

将fR(t)与fI(t)分别写成各自的偶部与奇部之和，即

fR(t)fRe(t)fRo(t) fI(t)fIe(t)fIo(t)，

于是有

f(t)fRe(t)fRo(t)i[fIe(t)fIo(t)]

fRe(t)ifIe(t)fRo(t)ifIo(t) （A） fe(t)fo(t)其中fe(t)和fo(t)分别为f(t)的偶部和奇部，它们是

fe(t)fRe(t)ifIe(t) fo(t)fRo(t)ifIo(t) i[ifRo(t)fIo(t)]

对（A）式取傅立叶变换，得

F()[fRe(t)ifIe(t)fRo(t)ifIo(t)]eitdt

[fRe(t)ifIe(t)fRo(t)ifIo(t)](costisint)dt

[fRe(t)costifIe(t)costfRo(t)costifIo(t)cost

ifRe(t)sintfIe(t)sintifRo(t)sintfIo(t)sint]dt根据奇偶函数乘法（见附录1函数奇偶性的定理2）及奇函数对称积分等于0（见附录1函数奇偶性的定理7），可判断上式的中括号里中间四项为奇函数，从而这四项积分为0。所以上式可写成

F()[fRe(t)costifIe(t)costifRo(t)sintfIo(t)sint]dt （B）

fe(t)costdtifo(t)sintdt

26

Fe()Fo()

（注意Fo()ifo(t)sintdt中的函数fo(t)sint对t而言虽是偶函数，但对而言确是奇函数，从而

ifo(t)sintdt对而言是奇函数，所以我们可以用奇函数符号Fo()来记它。）

根据（B）式，就可以对傅立叶变换对f(t)与F()之间的实虚奇偶关系作全面讨论。f(t)与F()之间的实虚奇偶关系小结如下

f(t)  fe(t)  fo(t)  fRe(t)  fRo(t)  ifIe(t)  ifIo(t)

F()Fe()Fo()FRe()FRo()iFIe()iFIo()

其中双箭头联系着的两个函数构成傅立叶变换对。】

7.5.13 共轭性质

定理13： F[f*(t)]F*() F[f*(t)]F*() F[F*()]2 f*(t)

F[F*()]2 f*(t)

定理13证明：

F[f*(t)]f*(t)eitdt[f(t)ei()t]*dtF*()；

F[f*(t)]f*(iti(t)tt)edt[f(t)e]*dt[f(t1)ei1]*dt1

[f(t1)eit1]*dt1F*()；

F[F*()]F*()eitd[F()eit]*d2 f*(t)；

F[F*()]F*()eitd[F()eitd]*2[1F[F()]]*2 f*(t)。■

推论： 若f(t)是t的实函数，则F()是厄米对称复函数，即F()F*()； 若f(t)是t的纯虚函数，则F()是反厄米对称复函数，即 F()F*(7.5.14 Parseval定理

定理14： 若F[f1(t)]F1()，F[f2(t)]F2()，则

f*11(t)f2(t)dt2F1()F*2()d； (A) 

fdt11(t)f2(t)2 (B) F1()F2()d； f(t)2dt1F()2d； (C) 27

此性质的（A）式表明：除了一个系数的差别外，傅立叶变换具有保内积性，因为根据内积的定义：

1F1(),F2()；此性质的（C）式表

2明：除了一个系数的差别外，傅立叶变换具有保范数性，因为可分别定义函数f(t)和F()的范数为

1f(t)f,f和F()F(),F()，那么将（C）式开方后就得f(t)F()。范数可理

2解为长度。

（B）式可以看作是（A）式的变形（参见证明中（B）式的另一证法）。（C）式和（D）式分别是（A）式和（B）式的特例。通常Parseval定理指的是（C）式，而（A）可被称为广义Parseval定理。 f1(t),f2(t)f1(t)f2*(t)dt，（A）式可写成f1(t),f2(t)实际应用中，积分

f(t)dt和

2F()d都可以表示某种能量，Parseval定理（C）式也表明，

2对能量的计算既可在t域上进行，也可在域上进行，两者完全等价。换言之，在t域上的能量与在域

上的能量相等。所以（C）式有时也称为能量积分定理或瑞利（Rayleigh）定理。

【注：特别注意，对于(A)式，F2*()并不是f2*傅立叶变换。】

定理14证明： 证（A）式：

f1(t)f2*(t)dtf1(t)[12F2()eitd]*dt

121212证（B）式：

f1(t)[F2*()eitd]dt

[f1(t)eitdt]F2*()d

（A）式得证; F1()F2*()d，

f1(t)f2(t)dtf1(t)[12F2()ei(t)d]dt

121212f1(t)[F2()eitd]dt

[f1(t)eitdt]F2()d

（B）式得证； F1()F2()d，

（B）式另一证法：（B）式还可以利用（A）式及共轭性质中的第二式来证明，即首先由共轭性质中的第二式有

F[f2*(t)]F2*()，然后把这式子代替这里定理14的条件F[f2(t)]F2()（即将前者的f2*( )当成后者的

f2( )以及将前者的F2*( )当作后者的F2( )）而代入（A）式中就得

1f1(t)[f2*(t)]*dtF1()[F2*()]*d， 2消掉共轭符号即得

证（C）式： 28

f1(t)f2(t)dt12F1()F2()d，此即（B）式；

在（A）式中取证（D）式： 在（B）式中取

f1(t)f2(t)f(t)，即可得（C）式； f1(t)f2(t)f(t)，即可得（D）式。■

§5.卷积：

1. 卷积概念：

1.1卷积的定义：

给定定义在(,)上的函数f1(t)及f2(t)，称由如下含参变量t的广义积分所确定的函数

g(t)f1()f2(t)d

为函数f1(t)与f2(t)的卷积（或褶积），记为f1(t)f2(t)，即

f1(t)f2(t)g(t)f1()f2(t)d。



2. 卷积性质：

2.1线性性质：

设c1,c2为任意常数，则[c1f1(t)c2f2(t)]f3(t)c1f1(t)f3(t)c2f2(t)f3(t)。

2.2平移不变性：

设f1(t)与f2(t)的卷积为f1(t)f2(t)g(t)f1()f2(t)d，则 f1(t)f2(t)f1()f2(t)d  2.3可结合性：

f1()f2(t)dg(t)。 [f1(t)f2(t)]f3(t)f1(t)[f2(t)f3(t)]。 2.4可交换性：

f1(t)f2(t)f2(t)f1(t)。 证明：

f1(t)f2(t)f1()f2(t)df1(t)f2()d()



f2()f1(t)df2()f1(t)df2(t)f1(t)。■



2.5坐标缩放性：

设g(t)f1(t)f2(t)，则 29

f1(at)f2(at)1g(at)。 a【注】：可见，虽然g(t)f1(t)f2(t)，但g(at)f1(at)f2(at)。

2.6卷积的微积分性质：

ddf(t)df(t)[f1(t)f2(t)]1f2(t)f1(t)2； dtdtdt t[f1()f2()]d[f1()d]f2()f1()[f2()d]。 tt2.7卷积的微积分性质推广：

卷积高阶导数或多重积分的运算规律为：设s(t)f1(t)f2(t)，则 s(m)f1(n)(t)f2(mn)(t)， 这里m,n取正整数时为导数的阶数，取负整数时为多重积分的重数。 2.8卷积的微积分抵消性质：

df1(t)tf1(t)f2(t)f2()d。 dt 2.9与函数的卷积性质：

f(t)(tt0)(tt0)f(t)f(tt0)； f(t)(t)(t)f(t)f(t)； f(t)(n)(tt0)(n)(tt0)f(t)f(n)(tt0)； f(t)(n)(t)(n)(t)f(t)f(n)(t)。 【注】：这里第二行的式子可看成是用卷积表达的函数的第三定义（即函数的积分形式定义），参见§3中（34）式的脚注。

2.10与单位阶跃函数的卷积性质：

tf(t)u(t)f()d，（u(t)为单位阶跃函数）。  2.11卷积定理：

若给定两个函数f1(t)，f2(t)，记F1()F[f1(t)]，F2()F[f2(t)]，则 F[f1(t)f2(t)]F1()F2()； 1F[f1(t)f2(t)]F1()F2()。 2 3. 卷积应用：

3.1为什么时域上一般总是用卷积描述输入-系统-输出关系？

解答1: [姜常珍《信号分析与处理》P34-35]

在线性时不变系统中，系统的零状态响应可以看作是不同时刻接入的冲激响应之和。为方便，用符号

30

表示输入与输出的对应关系。

因为 (t)h(t) 由线性系统的齐次性可得

x()(t)x()h(t)

由系统的时不变性可得

x()(t)x()h(t)

再由系统的迭加性可得

x()(t)dx()h(t)d

上式左边即为输入x(t)，右边则表示其对应的响应。所以，系统的零状态响应可表示为

y(t)x()h(t)dx(t)h(t)。

解答2: [郑君里，应启珩，杨为理《信号与系统》（第二版）上册P58] 由于任意信号可以用(t)信号的组合表示，此应用到任意输入信号上，即

x(t)x()(t)d (即输入信号的分析)

若把它作用到冲激响应为h(t)的线性时不变系统(或说把冲激响应为h(t)的线性时不变系统作用于它),则系统的响应为

y(t)H[x(t)]H[x()(t)d]

x()H[(t)]d

 其中H[]表示加入系统作用后的结果。

以上推导还可写成

x()h(t)d

x(t)h(t)，

y(t)H[x(t)]H[x(t)(t)] x(t)H[(t)] x(t)h(t)。

3.2卷积与特征方程的关系

3.3相关函数

§6.傅立叶变换的应用：

1．用傅立叶变换解微分方程：

(1)． 解常微分方程：

基本步骤：

（1）.对常微分方程两边取傅立叶变换，得象函数的代数方程； （2）.解代数方程得出象函数；

（3）.取象函数的傅立叶逆变换，求出象原函数（即常微分方程的解）。

(t)bx(t)cx(t)f(t)的解，其中a、b、c为常数，f(t)为已知函数。 例：求ax

31

解：对方程两边取傅立叶变换得

(a2ibc)X()F()

解出这一代数方程，得象函数

X()对上式取傅立叶逆变换得

F() 2aibcx(t)F1[X()]12F()itea2ibcd

（当具体给出f(t)后，可求得F()，代入上式就能求得x(t)）。解毕。

(2)． 解偏微分方程：

考虑二元偏微分方程，方程的未知量是二元函数u(t,x)。

基本步骤：

（1）.先把未知函数u(t,x)的两个自变量的某一个仍看作自变量（称为保留自变量），而把另一个看作参变量，即把二元函数u(t,x)看作含参变量的一元函数，例如把x看作参数；

（2）.对方程两端关于保留自变量取傅立叶变换。在此过程中，自然假设u(t,x)作为t的一元函数满足傅立叶变换微分性质的条件，且对x的偏导数满足

u(t,x)u(t,x)]eitdt

xxit u(t,x)edt x F [u(t,x)]

xF [d其实可以改写成，因为t变量已被傅立叶变换这种含参变量的广义xdx定积分灭掉了，虽然积分过程又引入了一个参变量，但这积分过程不会引入关于导数。这样通过傅立

d叶变换就把偏微分方程变成了未知函数的象函数的常微分方程；另外，这里改写成的问题，也可完

xdx全依据含参变量积分的一个定理来说明，即关于含参变量积分，有如下微分性质（也称为积分微分运算可交换性）公式

其中第二和第三个等式右边的

dddf(x,y)dyf(x,y)dy。 ccdxx（3）.利用初始条件及边界条件解常微分方程，得出象函数；

（4）.求象函数的傅立叶逆变换，得到原定解问题的解。

例：求沿无限长杆的热传导偏微分方程的初值问题

u2u0 (x,0t)， ① tx2u(0,x)f(x) (x)。 ②

的解。

解：

由于x定义在全数轴上，而t只定义在半数轴上，而傅立叶变换要求被变换函数应定义在全数轴上，故不应作关于t的傅立叶变换，而只应作关于x的傅立叶变换。

设F [u(t,x)]U(t,k)，F [f(x)]F(k)。 对式①和式②两端关于x取傅立叶变换得

dUk2U0， dtU(0,k)F(k)。

32

这是常微分方程的初值问题，k是方程中的参变量。后续求解常微分方程略。解毕。

附录1：函数的一些一般性质

1.函数的奇偶性：

定义：对x，如果f(x)f(x)，则称f(x)为偶函数，常记为fe(x)；

33

对x，如果f(x)f(x)，则称f(x)为奇函数，常记为fo(x)；

定理1：奇、偶函数的定义域必是关于数轴原点对称的区域。

证明：由定义，显然如此。（硬要证的话，可用反证法）■

定理2：在共同的定义域上，两个偶（奇）函数的和、差仍为偶（奇）函数，两个偶函数或两个奇函数的积、商是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数。总之，写得简捷些，有：

偶偶偶； 奇奇奇；

偶偶偶；

奇奇偶； 偶奇奇； 奇偶奇。 （助记：对于奇偶函数的乘除，可把偶函数比作正号，奇函数比作负号，奇、偶函数乘除关系与正负数乘除关系是一样的）

证明： 设F(x)fe1(x)fe2(x)，由偶函数的定义可得

F(x)fe1(x)fe2(x)fe1(x)fe2(x)

上式右边正是F(x)，于是证明了两偶函数的和差仍为偶函数；

又设F(x)fo1(x)fo2(x)，由奇函数的定义可得

F(x)fo1(x)fo2(x)[fo1(x)][fo2(x)][fo1(x)fo2(x)]

上式右边正是F(x)，于是证明了两奇函数的和差仍为奇函数；

又设F(x)fe1(x)fe2(x)，由偶函数的定义可得 F(x)fe1(x)fe2(x)fe1(x)fe2(x)

上式右边正是F(x)，于是证明了两偶函数的积商为偶函数；

又设F(x)fo1(x)fo2(x)，由奇函数的定义可得 F(x)fo1(x)fo2(x)[fo1(x)][fo2(x)]fo1(x)fo2(x)

上式右边正是F(x)，于是证明了两奇函数的积商为偶函数；

又设F(x)fe1(x)fo2(x)，由奇函数和偶函数的定义可得 F(x)fe1(x)fo2(x)fe1(x)[fo2(x)]fo1(x)fo2(x)

上式右边正是F(x)，于是证明了奇函数与偶函数的积商为奇函数。■

定理3：对于定义域关于原点对称的任一函数f(x)，f1(x)f(x)f(x)必为奇函数，

f2(x)f(x)f(x)必为偶函数。

证明：

f1(x)f(x)f(x)f(x)[f(x)]f1(x)， f2(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f2(x)。■

定理4：定义域关于原点对称的任何一个函数f(x)都可以唯一分解为一个奇函数与一个偶函数之和。分解法是：

34

对已知的f(x)，设f(x)fo(x)fe(x)，则其中的fo(x)和fe(x)可分别由下式求得

1fo(x)[f(x)f(x)]，

21fe(x)[f(x)f(x)]。

2证明：可分解性由上一定理直接可得。下面证明分解的唯一性： 设

f(x)fo1(x)fe1(x)fo2(x)fe2(x)，并假设fo1(x)fo2(x)，fe1(x)fe2(x)，从而

fo1(x)fo2(x)fe2(x)fe1(x) ① fo1(x)fo2(x)fe1(x)fe2(x) ②

根据“偶偶偶”及偶函数定义，由上式可推知 将①、②两式联立，可解得

fo1(x)fo2(x)，fe1(x)fe2(x)。

这与原假设矛盾，从而证明了分解的唯一性。■

定理5：m个奇函数与n个偶函数相乘（或相除），它们的积（或商）当m为奇数时为奇函数，当m为偶数时为偶函数。（可见积商与n无关）。

证明：

m为偶数时，由定理2，不管n是多少，全体偶函数的积（或有乘有除）是个偶函数。奇函数可以分别一对一相乘得m/2个偶函数，进而还由定理2知全体函数相乘的偶数；若m为奇数，抽出一个奇函数后，剩下函数中含偶数个奇函数，由刚才的论证知剩余函数相乘得一偶函数，然后又由定理2知最后结果是奇函数。■

定义：

a把积分限对称于坐标原点的积分

aaf(x)dx叫做对称积分；又把其中积分限只在正的一边的积分

f(x)dx叫做正限积分。

0

定理6：偶函数的对称积分等于正限积分的两倍，即

aaeaf(x)dx2fe(x)dx。

0证明：

由偶函数定义有

00eaf(x)dxafe(x)dx

ex0

x ay0f(x)d(x)(y)dy （令yx）

ayafe

可将

fe(y)dy

0ay改记为x，对积分值无影响，于是得

0

由此有

afe(x)dxfe(x)dx

035

a0eaeaf(x)dxaaf0(x)dxfe(x)dx

0a

fe(x)dxfe(x)dx

0a

2fe(x)dx。■

0a定理7：奇函数的对称积分等于0，即

afo(x)dx0。

证明：

由奇函数定义，得

00oaf(x)dxfo(x)dx

ax0 0x afoo(x)d(x)

faa0(x)dx

故有

a0ofo(x)dx

aaf(x)dxafa0o(x)dxfo(x)dx

0a

fo(x)dxfo(x)dx0。■

0

附录2：

附录3：关于傅立叶分析、分析、小波分析

如果我们站在对函数f(t)的分解表示角度上看，就可以把傅立叶变换理论（严格说，指其中的傅立叶积分或傅立叶逆变换）看作是函数f(t)的傅立叶分解或说傅立叶分析。同样，也可将函数理论看作是函数f(t)的分解或说分析。

傅立叶分析只是一种纯频域的分析方法，它在频域的定位性是完全准确的（即频域分辨率达到最高），但在时域无任何定位性（无分辨率）。也即傅立叶变换反映的是整个信号全部时间下的整体频域特征，而不能提供任何局部时间段上的频率信息。相反，当一个函数用函数展开时，它在时间域的定位性是完全准确的，而在频域却无任何定位性（或说分辨率）。也即分析所反映的只是信号在全部频率域上的整体

36