2020届高三数学（文）每日一练
题号 答案 13. 14. 15. 16.
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则a的取值范围为( ) A.(－∞，1] C.(－∞，3]
1＋2i
2.z是z＝的共轭复数，则z的虚部为( )
1－i1A.－
23C.－
2
1
3.已知点M且角θ的终边所在的直线过点M，则tan θ3，a在函数y＝log3x的图象上，＝( )
1A.－
3C.－3
4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为( )
2
A. 154C. 15
2B. 51D. 51B.±
3D.±3 1B. 23D. 2B.[1，＋∞) D.[3，＋∞)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.设函数f(x)＝x·ln x，则曲线y＝f(x)在点(1，0)处的切线方程为( ) A.y＝－x－1 C.y＝－x＋1
an＋2，n是奇数，
6.已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为( )
2an，n是偶数，
B.y＝x＋1 D.y＝x－1
A.1 121 C.1 123
B.1 122 D.1 124
7.两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的可以是( )
1 窗口 6 11 … A.25，26 C.，65
x2y2
8.已知F1，F2是双曲线E：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点M在双曲线E上，
ab1
MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则双曲线E的离心率为( )
4
A.C.
ex＋1
9.函数f(x)＝(其中e为自然对数的底数)的图象大致为( )
x（ex－1）
15 313 2
3B. 2D.2 B.33，34 D.72，73
2 7 12 … 过道 3 8 13 ... 4 9 14 ... 5 10 15 ... 窗口
10.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0).将f(x)的图象向左平移
π
个单位长度后所得3
图象对应的函数为偶函数，则关于函数f(x)，下列命题正确的是( )
ππ
A.函数f(x)在区间－，上有最小值
63π
B.函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x＝ 12ππ
C.函数f(x)在区间－，上单调递增
63π
D.函数f(x)的图象的一个对称中心为，0
3
11.如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论错误的是( )
A.直线A1C1与AD1为异面直线 B.A1C1∥平面ACD1 C.BD1⊥AC
8
D.三棱锥D1ADC的体积为
3
12.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是( )
A.(－∞，－1)∪(0，1) C.(－∞，－1)∪(－1，0)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知向量a＝(1，1)，b＝(－2，3)，若ka－b与b垂直，则实数k＝________.
x＋y≥1，
14.若x，y满足约束条件x＋2y≤2，目标函数z＝2x＋3y的最小值为2，则a＝________，
x≤a，z的最大值是________.
15.已知三棱锥PABC中，AB⊥平面APC，AB＝42，PA＝PC＝2，AC＝2，则三棱锥PABC外接球的表面积为________.
16.在△ABC中，∠ABC＝90°，延长AC到D，使得CD＝AB＝1，若∠CBD＝30°，则AC＝________.
B.(－1，0)∪(1，＋∞) D.(0，1)∪(1，＋∞)
（答案解析）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则a的取值范围为( ) A.(－∞，1] C.(－∞，3]
B.[1，＋∞) D.[3，＋∞)
解析：选B 法一：集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1∈A即可，所以a≥1.故选B.
法二：集合A＝{x|x≤a}，B＝{1，2，3}，a的值大于3时，满足A∩B≠∅，因此排除A、C.当a＝1时，满足A∩B≠∅，排除D.故选B.
1＋2i2.z是z＝的共轭复数，则z的虚部为( )
1－i1A.－
23C.－
2
1B. 23D. 2
1＋2i（1＋2i）（1＋i）－1＋3i1313
解析：选C z＝＝＝＝－＋i，则z＝－－i，所以z
222221－i（1－i）（1＋i）3
的虚部为－.故选C.
2
1
3.已知点M且角θ的终边所在的直线过点M，则tan θ3，a在函数y＝log3x的图象上，＝( )
1A.－
3C.－3
1B.±
3D.±3
11
，a在函数y＝log3x的图象上，所以a＝log3＝－1，即解析：选C 因为点M331－1
，－1，所以tan θ＝＝－3，故选C. M31
3
4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为( )
2
A. 15
2B. 5
4C. 151D. 5
11
解析：选A 由题意可得邪田的面积S＝×(10＋20)×10＝150，圭田的面积S1＝×8
22S1202
×5＝20，则所求的概率P＝＝＝.故选A.
S15015
5.设函数f(x)＝x·ln x，则曲线y＝f(x)在点(1，0)处的切线方程为( ) A.y＝－x－1 C.y＝－x＋1
B.y＝x＋1 D.y＝x－1
解析：选D f′(x)＝ln x＋1，∴切线的斜率k＝f′(1)＝1，则曲线y＝f(x)在点(1，0)处的切线方程为y＝x－1.故选D.
an＋2，n是奇数，
6.已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为( )
2an，n是偶数，
A.1 121 C.1 123
B.1 122 D.1 124
解析：选C 由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是1×（1－210）10×9
首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为＋10×1＋×
21－22＝1 123.故选C.
7.两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的可以是( )
1 窗口 6 11 … A.25，26 C.，65
B.33，34 D.72，73
2 7 12 … 过道 3 8 13 ... 4 9 14 ... 5 10 15 ... 窗口 解析：选C 设靠左、右窗的座位号码分别为an，bn，则由火车上的座位号码规律可得，an＝5n－4，bn＝5n.因此33号与72号都不是靠左窗的座位号，所以选项B和D均不符合；25号与65号都是靠右窗的座位号码，所以25号，26号是不相邻的，号与65号是相邻的.故选C.
x2y2
8.已知F1，F2是双曲线E：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点M在双曲线E上，
ab1
MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则双曲线E的离心率为( )
4
A.15 3
3B. 2
C.13 2
D.2
解析：选A 如图，由题意知F1(－c，0)，因为MF1与x轴垂直，且Mb21
在椭圆上，所以|MF1|＝.在Rt△MF2F1中，sin∠MF2F1＝，所以tan∠MF2F1
a4b2
a|MF1|1b21
＝＝，即＝＝，又b2＝c2－a2，所以15c2－15a2－2ac＝0，|F1F2|2c2ac1515两边同时除以a2，得15e2－2e－15＝0，又e>1，所以e＝
15.故选A. 3
ex＋1
9.函数f(x)＝(其中e为自然对数的底数)的图象大致为( )
x（ex－1）
解析：选D 法一：由题意得函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).∵f(－x)＝ex＋11＋exex＋1
＝－＝＝f(x)， －
－x（ex－1）x（1－ex）x（ex－1）
∴函数f(x)为偶函数，可排除选项A、C.
ex＋1（ex－1）＋212
又f(x)＝＝＝＋，
xx（ex－1）x（ex－1）x（ex－1）
12[（x＋1）ex－1]
∴f′(x)＝－2－2x，∴x>0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，可排除选项B.
xx（e－1）2
故选D.
1ex＋11
法二：由题意得函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).f(x)＝·x，易知y＝和xe－1xex＋1ex＋11
y＝x均为奇函数，所以函数f(x)是偶函数，可排除选项A、C.当x→＋∞时，→0，x
xe－1e－1ex＋1
→1，所以→0，则可排除B.故选D.
x（ex－1）
10.(2019·河北六校联考)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0).将f(x)的图象向左平移π
个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数，则关于函数f(x)，下列命题正确的是( ) 3ππ
A.函数f(x)在区间－，上有最小值
63π
B.函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x＝ 12ππ
C.函数f(x)在区间－，上单调递增
63－
π
D.函数f(x)的图象的一个对称中心为，0
3解析：选C 将f(x)的图象向左平移
π
个单位长度后所得图象对应的函数为g(x)＝3
ππ2π
sin2x＋＋φ＝sin2x＋＋φ，又g(x)为偶函数，－π＜φ＜0，所以φ＝－，故f(x)
633πππ2πππππ
＝sin2x－.f＝sin－＝sin＝1，故排除D；f＝sin2×－＝0，故排
2636312126πππ2ππππ2ππππ
除B；当－＜x＜时，－＜2x＜，－－＜2x－＜－，即－＜2x－＜
63333663626πππ
，故函数f(x)在区间－，上单调递增，选C. 26311.如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论错误的是( )
A.直线A1C1与AD1为异面直线 B.A1C1∥平面ACD1 C.BD1⊥AC
8
D.三棱锥D1ADC的体积为
3
解析：选D 对于A，直线A1C1⊂平面A1B1C1D1，AD1⊂平面ADD1A1，D1∉直线A1C1，则易得直线A1C1与AD1为异面直线，故A正确；
对于B，因为A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，所以A1C1∥平面ACD1，故B正确；
对于C，连接BD(图略)，因为正方体ABCDA1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，所以BD1⊥AC，故C正确；
114
对于D，三棱锥D1ADC的体积V三棱锥D1ADC＝××2×2×2＝，故D错误.综
323上.故选D.
12.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是( )
A.(－∞，－1)∪(0，1) C.(－∞，－1)∪(－1，0)
B.(－1，0)∪(1，＋∞) D.(0，1)∪(1，＋∞)
f（x）
解析：选A 令F(x)＝，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F′(x)＝
xxf′（x）－f（x）f（x）
，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，所以F(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，
x2xf（x）
根据对称性，F(x)＝在(－∞，0)上单调递增，又f(－1)＝0，f(1)＝0，数形结合可知，
x
使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知向量a＝(1，1)，b＝(－2，3)，若ka－b与b垂直，则实数k＝________. 解析：因为ka－b与b垂直，所以(ka－b)·b＝ka·b－b2＝k－13＝0，所以k＝13. 答案：13
x＋y≥1，
14.(2019·山东枣庄薛城区月考改编)若x，y满足约束条件x＋2y≤2，目标函数z＝2x＋
x≤a，3y的最小值为2，则a＝________，z的最大值是________.
x＋y≥1，
解析：x，y满足约束条件x＋2y≤2，的可行域如图，目标函
x≤a数z＝2x＋3y经过可行域内的点A时，z取得最小值，经过点B时，
x＋y＝1，
z取得最大值.由解得A(1，0).又点A在直线x＝a上，
2x＋3y＝2
x＝1，117
1，，则z的最大值是z＝2×1＋3×＝. 可得a＝1.由解得B222x＋2y＝2
7
答案：1
2
15.已知三棱锥PABC中，AB⊥平面APC，AB＝42，PA＝PC＝2，AC＝2，则三棱锥PABC外接球的表面积为________.
解析：∵PA＝PC＝2，AC＝2，∴PA⊥PC，又AB⊥平面PAC，∴把三棱锥PABC放在如图所示的长方体中，且长方体的长、宽、高分别为2，2，42，则三棱锥PABC的外接球即长方体的外接球，长方体的体对角线即长方体外接球的直径，易得长方体体对角线的长为（2）2＋（2）2＋（42）2＝6，则外接球的半径R＝3，∴外接球的表面积S＝4πR2＝36π.
答案：36π
16.在△ABC中，∠ABC＝90°，延长AC到D，使得CD＝AB＝1，若∠CBD＝30°，则AC＝________.
BD
解析：如图，设AC＝x(x>0)，在△BCD中，由正弦定理得＝sin∠BCDCD
，所以BD＝2sin∠BCD，
sin∠CBD
1
又sin∠BCD＝sin∠ACB＝，
x
22222所以BD＝.在△ABD中，(x＋1)＝1＋x－2··cos(90°＋30°)，
xx2x＋4
化简得x2＋2x＝2，即x3＝2，故x＝32，故AC＝32.
x答案：32