2020届高三数学(文)小题每日一练(含部分往年真题)+答案详解 (25)

题号 答案 13. 14. 15. 16.

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1.已知集合U＝{x|4x2－4x＋1≥0}，B＝{x|x－2≥0}，则∁UB＝( ) A.(－∞，2) 1C.2，2

a－3i2.已知＝b＋2i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则复数z＝a－bi在复平面内对应的

i点在( )

A.第一象限 C.第三象限

3.已知直线a⊥平面α，则“直线b∥平面α”是“b⊥a”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

n即，4.数学界有名的“角谷猜想”：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半2如果n是奇数，则将它乘3加1(即3n＋1)，不断重复这样的运算，经过有限次运算后，一定可以得到1.如果对正整数a按照上述规则施行变换后得到的第4个数为1(注：1可以多次出现)，则这样的a的所有不同取值的个数为( )

A.1 C.3

5.据统计，2019年春节期间，甲、乙两个抢红包群抢红包的金额(单位：元)的茎叶图如图所示 ，其中甲群抢得红包金额的平均数是88元，

B.2 D.4

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B.第二象限 D.第四象限 B.(－∞，2]

11

－∞，∪，2 D.22

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 乙群抢得红包金额的中位数是元，则m，n的等差中项为( )

A.5 C.7

6.已知向量a＝(2，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则向量a在a＋b方向上的投影为( ) A.65 5

B.－

65 5B.6 D.8

C.13

D.－13

x－y≥0，

7.在不等式组x＋y－2≤0，所表示的平面区域内随机取一点P，则点P到直线l：x＝

y＋1≥0－1的距离小于或等于1的概率为( )

1

A. 21C. 8

121

8.已知f(x)＝x3＋ax2＋(b－4)x(a>0，b>0)在x＝1处取得极值，则＋的最小值为( )

3ab3＋22A.

3C.3

9.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为( )

673A. 2 0201C. 3

2π

10.先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐5π1

标缩短到原来的，得到函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，|φ|<的图象.已知函

42数g(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的图象的对称轴方程是( )

2π

A.x＝4kπ＋，k∈Z

52π

C.x＝2kπ＋，k∈Z

5

7π

B.x＝4kπ＋，k∈Z

107π

D.x＝2kπ＋，k∈Z

52 019B. 6 0612 020D. 6 061B.3＋22 D.22 1B. 41D. 16

11.已知抛物线C：x2＝3y的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，其中|AF|

点A在第一象限，若弦AB的长为4，则＝( )

|BF|A.1 C.3

12.已知在四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝BD＝2，平面ABD⊥平面BDC，则四面体ABCD的外接球的表面积为( )

20πA.

322πC.

3

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

πππ

13.曲线f(x)＝sinx＋在点P，f处的切线方程为________.

222

m

14.已知直线l1：mx＋y＋4＝0和直线l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m，n＞0)互相垂直，则的

n取值范围为________.

15.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.

1an

16.已知数列{an}满足a1＝－，an＋1＝(n∈N*)，则an＝________，数列{an}中最

98an＋1大项的值为________.

B.6π D.8π 1B.2或 21D.3或 3

（答案解析）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1.已知集合U＝{x|4x2－4x＋1≥0}，B＝{x|x－2≥0}，则∁UB＝( ) A.(－∞，2) 1C.2，2

B.(－∞，2]

11

－∞，∪，2 D.22

解析：选A 由4x2－4x＋1≥0，得x∈R，所以U＝R.又B＝{x|x－2≥0}＝{x|x≥2}，所以∁UB＝(－∞，2).故选A.

a－3i

2.已知＝b＋2i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则复数z＝a－bi在复平面内对应的

i点在( )

A.第一象限 C.第三象限

B.第二象限 D.第四象限

解析：选B 法一：由已知得a－3i＝(b＋2i)·i＝－2＋bi，由复数相等的充要条件可得

a＝－2，所以z＝a－bi＝－2＋3i，所以复数z＝－2＋3i在复平面内对应的点(－2，3)在第b＝－3，

二象限.故选B.

a＝－2，a－3iai－3i2

法二：由＝b＋2i得，2＝－3－ai＝b＋2i，由复数相等的充要条件得

iib＝－3，

则z＝－2＋3i，所以复数z＝－2＋3i在复平面内对应的点(－2，3)在第二象限.故选B.

3.已知直线a⊥平面α，则“直线b∥平面α”是“b⊥a”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析：选A 因为直线a⊥平面α，直线b∥平面α，所以b⊥a，所以充分性成立；由直线a⊥平面α及b⊥a可以推得b∥α或b⊂α，所以必要性不成立.故选A.

n

即，4.数学界有名的“角谷猜想”：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半2如果n是奇数，则将它乘3加1(即3n＋1)，不断重复这样的运算，经过有限次运算后，一定可以得到1.如果对正整数a按照上述规则施行变换后得到的第4个数为1(注：1可以多次出现)，则这样的a的所有不同取值的个数为( )

A.1 C.3

B.2 D.4

an，an是偶数，

解析：选B 依题意，引入数列{an}，其中a1＝a∈N*，an＋1＝2当a4

3an＋1，an是奇数.

＝1时，a3＝2；当a3＝2时，a2＝4；当a2＝4时，a1＝8或a1＝1.

因此，满足题意的a的所有不同取值的个数为2.故选B.

5.据统计，2019年春节期间，甲、乙两个抢红包群抢红包的金额(单位：元)的茎叶图如图所示 ，其中甲群抢得红包金额的平均数是88元，乙群抢得红包金额的中位数是元，则m，n的等差中项为( )

A.5 C.7

B.6 D.8

解析：选B 因为甲群抢得红包金额的平均数是88，所以78＋86＋84＋88＋95＋（90＋m）＋92

＝88，

7

解得m＝3.

因为乙群抢得红包金额的中位数是，所以n＝9. m＋n3＋9

所以m，n的等差中项为＝＝6.故选B.

22

6.已知向量a＝(2，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则向量a在a＋b方向上的投影为( ) A.65 5

B.－

65 5

C.13 D.－13

解析：选A 因为a⊥b，所以a·b＝12＋3m＝0，解得m＝－4，所以b＝(6，－4)，a·（a＋b）

所以a＋b＝(8，－1)，所以向量a在a＋b方向上的投影为=

|a＋b|＝

65

.故选A. 5

x－y≥0，

7.在不等式组x＋y－2≤0，所表示的平面区域内随机取一点P，则点P到直线l：x＝

y＋1≥0－1的距离小于或等于1的概率为( )

1

A. 21C. 8

1B. 41D. 16

x－y≥0，

解析：选C 画出不等式组x＋y－2≤0，所表示的平面区域如图

y＋1≥0中阴影部分所示，作出直线l：x＝－1.易得A(－1，－1)，B(3，－1)，1

C(1，1)，则阴影部分的面积为×4×2＝4.易知满足条件的点P恰好落

2

11

在△OAM内(含该三角形的边界)，且△OAM的面积为×1×1＝，∴点P到直线l：x＝－

221

21

1的距离小于或等于1的概率为＝.故选C.

48

121

8.已知f(x)＝x3＋ax2＋(b－4)x(a>0，b>0)在x＝1处取得极值，则＋的最小值为( )

3ab3＋22

A.

3C.3

B.3＋22 D.22

1

解析：选C 由f(x)＝x3＋ax2＋(b－4)x(a>0，b>0)，得f′(x)＝x2＋2ax＋b－4.由题意得

3212a＋b121211＋×＋(2a＋b)＝f′(1)＝12＋2a＋b－4＝0，则2a＋b＝3，所以＋＝＝

abab33ab3

5＋2b＋2a≥15＋2 ab3

最小值为3.故选C.

2b2a212b2a·＝3，当且仅当a＝b，即a＝b＝1时，等号成立.故a＋b的ab

9.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为( )

673A. 2 0201C. 3

解析：选D i＝1，a＝

2 019B. 6 0612 020D. 6 061

111111，S＝；i＝2，a＝，S＝＋＝×1×41×44×71×44×73

111－1＋1－1；…；i＝2 020，a＝，S＝×4473（3×2 020－2）（3×2 020＋1）

1111－1＋1－1＋1－1＋…＋＝1×1－＝－4477103×2 020－23×2 020＋133×2 020＋12 0202 020

，结束循环.此时输出S＝.故选D. 6 0616 061

10.先将函数f(x)的图象向右平移

2π

个单位长度，再将所得函数图5

1

象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)＝Asin(ωx＋

4π

φ)A>0，|φ|<的图象.已知函数g(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)

2

的图象的对称轴方程是( )

2π

A.x＝4kπ＋，k∈Z

52π

C.x＝2kπ＋，k∈Z

5

7π

B.x＝4kπ＋，k∈Z

107π

D.x＝2kπ＋，k∈Z

5

T9ππ

解析：选D 法一：设g(x)的最小正周期为T，由题意和题图可知A＝2，＝－＝

4205π9π9π

，∴T＝π，∴ω＝2，∴g(x)＝2sin(2x＋φ).∵g(x)的图象过点，∴＋φ＝2kπ，241020π2ππ2π2π

＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z.又|φ|<，∴φ＝－，∴g(x)＝2sin2x－.将函252552π12π数g(x)＝2sin2x－的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，得到y＝2sinx－5522π12π

的图象，再将y＝2sinx－的图象向左平移个单位长度，得到f(x)＝

552π7π2π2π1π11π

2sinx＋－＝2sinx－的图象.令x－＝kπ＋，k∈Z，则x＝2kπ＋，

2525552527π

k∈Z.∴函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝2kπ＋，k∈Z.故选D.

5

9πkπ

法二：由题图可知，函数g(x)的图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，将函数 g(x)

2022π

的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位长度后得到f(x)的图

5象，故f(x)的图象的对称轴方程为x＝

2π7π9πkπ

×4－＝＋2kπ，k∈Z.故选D. ＋55220

11.已知抛物线C：x2＝3y的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，其中|AF|

点A在第一象限，若弦AB的长为4，则＝( )

|BF|

A.1 C.3

1B.2或 21D.3或 3

3

解析：选D 法一：由题意可设直线l的方程为y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2).联立，

4x2＝3y，x1＋x2＝3k，得∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝3整理得，4x2－12kx－9＝0，∴9y＝kx＋4，x1x2＝－4，1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝3(1＋k2)＝4，∴k＝±3|AF|3.设＝λ，当k＝时，过点A，B3|BF|3

|AE|3分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为M，N，过点B作BE⊥AM于点E，则＝，

|BE|3|AE|2＋|BE|2＝|AB|2＝16，所以|AE|＝2.|AB|＝|AF|＋|BF|＝(λ＋1)|BF|＝4，|AF|－|BF|＝(λ－1)|BF|＝|AE|＝2，∴D.

法二：设直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝

2p33

＝2＝4，解得cos θ＝±，∴直线22cosθcosθ（λ＋1）|BF|λ＋131

＝＝2，∴λ＝3.同理，当k＝－时，可求得λ＝.故选

33（λ－1）|BF|λ－1

l的倾斜角θ＝30°或θ＝150°.当θ＝30°时，过点A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为M，N，过点B作BE⊥AM于点E，则|AF|＝|AM|，|BF|＝|BN|，∴|AF|－|BF|＝|AE|1|AF||AF|

＝|AB|＝2，又|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＝3，|BF|＝1，因此＝3.同理，当θ＝150°时，得2|BF||BF|1

＝.故选D. 3

12.已知在四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝BD＝2，平面ABD⊥平面BDC，则四面体ABCD的外接球的表面积为( )

20πA.

322πC.

3

B.6π D.8π

解析：选A ∵AB＝AD＝BC＝CD＝BD＝2，∴△ABD与△BDC均是边长为2的正三角形.设正三角形BDC的中心为O1，四面体ABCD的外接球的球心为O，外接球的半径为R，M为BD的中点，连接AM，CM，OA，OO1，则OO1⊥平面BDC，AM⊥BD，又平面ABD⊥平面BDC，所以AM⊥平面BCD，∴AM∥OO1，AM⊥MO1.过O作OG⊥AM于点G，易知G为△ABD的中心，可得OG∥MO1.∵MA＝MC＝313

×2＝3，∴MG＝MO1＝×3＝，233

233

GA＝，∴四边形MO1OG为正方形，∴OG＝MO1＝.在直角三角形AGO中，GA2＋

33GO2＝OA2，即20π

.故选A. 3

22

23＋3＝R2，R2＝5，∴四面体ABCD的外接球的表面积S＝4πR2＝

333

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

πππ

13.曲线f(x)＝sinx＋在点P，f处的切线方程为________.

222

ππππ

解析：∵f(x)＝sinx＋＝cos x，∴f′(x)＝－sin x，∴f′＝－sin＝－1，又f2222π

＝0，∴所求切线方程为y－0＝－x－，即2x＋2y－π＝0.

2答案：2x＋2y－π＝0

m

14.已知直线l1：mx＋y＋4＝0和直线l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m，n＞0)互相垂直，则的

n取值范围为________.

m

解析：因为l1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(－n)＝0，得n＝m2＋2m，因为m＞0，所以＝

nm111m0，1. ＝，则0＜＜，故的取值范围为2nm2＋2mm＋2m＋22

1

0， 答案：2

15.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.

解析：根据丙的说法可知，丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则根据乙的说法可知，乙的卡片上的数字是2和3，从而甲的卡片上的数字是1和3，此时满足甲的说法；若丙的卡片上的数字是1和3，则根据乙的说法可知，乙的卡片上的数字是2和3，从而甲的卡片上的数字是1和2，此时不满足甲的说法.综上，甲的卡片上的数字是1和3.

答案：1和3

1an

16.(2019·广东揭阳期末改编)已知数列{an}满足a1＝－，an＋1＝(n∈N*)，则an＝

98an＋1________，数列{an}中最大项的值为________.

8an＋1an1

解析：本题考查构造等差数列求通项.由题意知an≠0，由an＋1＝得＝＝

an8an＋1an＋1

111111

＋8，整理得－＝8，即数列a是公差为8的等差数列，故＝＋(n－1)×8＝8nanana1nan＋1an1－17，所以an＝.当n＝1，2时，an＜0；当n≥3时，an＞0，则数列{an}在n≥3时是

8n－171

递减数列，故{an}中最大项的值为a3＝.

7

答案：

11

8n－177