一、选择题
1．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(0,2)C．(1，＋∞) D．(0,1)
【解析】 将所给方程x2＋ky2＝2转化为标准形式，即＋＝1，因为焦点在y轴上，所以有＞2，于是0＜k＜1.【答案】 D
2．双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为( )
A. B.C. D．2
【解析】 由题意知＝，∴＝3，∴e＝＝.【答案】 B
3．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，准线为l1，l2，两顶点为A1，A2，如图2－5－4所示．已知F1F2＝10，A1A2＝6，若双曲线右支上一点P到l2的距离是5，则PF2为( )
图2－5－4
A. B.C. D.
【解析】 由已知得a＝3，c＝5，则双曲线的离心率e＝，由圆锥曲线的统一定义得＝，
∴PF2＝.
【答案】 B
4．过双曲线M：x2－＝1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率是( )
A. B.C. D.
【解析】 直线l的方程为y＝x＋1与渐近线y＝bx的交点
为C(，)，AC的中点为(，)，在渐近线y＝－bx上，则＝－b·，b＝3，c＝＝，e＝＝.
【答案】 A二、填空题
5．已知双曲线的两焦点为F1，F2，焦距为2，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，又PF1－PF2＝4，则△F1PF2的面积为________．
【解析】 由题意知
由①得PF＋PF－2PF1·PF2＝16，把②代入得PF1·PF2＝2，∴S△F1PF2＝PF1·PF2＝1.
【答案】 1
6．如图2－5－5，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝________.
图2－5－5
【解析】 由椭圆的对称性可知，P1与P7，P2与P6，P3与P5关于y轴对称，故P1到右焦点的距离与P7到左焦点的距离是相等的，同理可得，P2到右焦点的距离与P6到左焦点的距离是相等的，P3到右焦点的距离与P5到左焦点的距离是相等的，由椭圆的定义知，|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝7a＝35.
【答案】 35三、解答题
7．如图2－5－6所示，已知椭圆的左右两个焦点分别为F1，F2，且椭圆的长轴长为10，焦距为6，P为椭圆上一点，且满足cos∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
图2－5－6
【解】 由椭圆的定义，PF1＋PF2＝10，①在△F1PF2中，由余弦定理
F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2·cos∠F1PF2，即PF＋PF－PF1PF2＝36，②①2－②整理得PF1·PF2＝24，
因此S△F1PF2＝PF1·PF2·sin∠F1PF2＝×24× ＝8.
8．已知点A(1,2)在椭圆＋＝1内，F的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P使|PA|＋2|PF|最小．
【解】 如图所示，∵a2＝16，b2＝12，∴c2＝4，c＝2.
∴F为椭圆的右焦点，并且离心率e＝＝.
设P到右准线的距离为d.则|PF|＝d，d＝2|PF|.
∴|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d.
由几何性质可知，当P点的纵坐标(横坐标大于零)与A点的纵坐标相同时，|PA|＋d最小．
把y＝2代入＋＝1，得x＝(x＝－舍去)．即点P(，2)为所求．
9．离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设＋＝1(a＞b＞0)是优美椭圆．
关于“优美椭圆”的下列性质请给予证明．(1)过椭圆的右焦点F作x轴的垂线交椭圆于P、Q两点，则·＝0(O为原点)；
(2)若A是椭圆的左顶点，B、C是短轴两个顶点，F是右焦点，则A，B，C，F四点共圆．
【证明】 (1)∵e＝，
∴e是方程x2＋x－1＝0的根，
∴e2＋e－1＝0，
即()2＋－1＝0，∴a2－c2＝ac，即b2＝ac.又∵P(c，)，Q(c，－)，∴·＝c2－＝＝＝0.
(2)由b2＝ac，∴|OB|2＝|OA||OF|，∴△FBO∽△BAO，∴∠FBA＝90°，同理∠FCA＝90°，
∴A、B、C、F四点共圆．
10．(2012·安徽高考)如图，F1、F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．
【解】 (1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝.(2)方法一 a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程为y＝－(x－c)，将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B(c，－c)，所以|AB|＝·|c－0|＝c.
由S△AF1B＝|AF1|·|AB|·sin∠F1AB
＝a·c·＝a2＝40，解得a＝10，b＝5.
方法二 设|AB|＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.
由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得，t＝a.由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知，a＝10，b＝5.