伴随矩阵的两个性质

２０１４年１０月　湘南学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｘｉａｎｇｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　０ｃｔ．．２０１４　Ｖｏ１．３５　Ｎｏ．５　第３５卷第５期　伴随矩阵的两个性质　游兴中，徐雪枫，颜小强，赵　坚　（长沙理工大学数学与计算科学学院，湖南长沙；　４１００１４）　摘为ｎ阶矩阵Ａ的伴随矩阵，则Ａ的特征向量也是Ａ　的特征向量且Ａ　可以表示成　的多项式．　ｍ　关键词：伴随矩阵；特征向量；循环矩阵　中图分类号：Ｏ１５１．２１　文献标识码：Ａ　ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２－８１７３．２０１４．０５．００５　要：若　本文中的矩阵均为复数域　上的矩阵，Ａ　为矩阵４的伴随矩阵，Ａ　表示４的转置，ｒ（ａ）表示Ａ的秩，，，　为几阶单位矩阵．文［１］研究了伴随矩阵的若干性质，本文对伴随矩阵的性质做进一步的研究．　％　０　。　％　０　ｎ　，　０　定义ｌ　形如　的矩阵称为一个ｎ阶循环矩阵　设Ａ为定义１中的ｎ阶循环矩阵，则　＝ｎ。，　＋。　（　）＋。　（Ｚ　］＋…＋。　一。（，　）．令Ｐ＝（　，ｎ。－　），贝　［　）＝Ｐ　，　＝　，２，　ｆｎ，若ｒ（Ａ）＝ｎ；　…，ｎ一１，Ｐ　＝，　．因此Ａ：ａｏ，　＋口１Ｐ＋０２尸　＋…＋ａｎ－ｉＰ　为Ｐ的多项式矩阵．于是可得　引理１　若Ａ，日为凡阶循环矩阵，则Ａ＋Ｂ，ＡＢ也是ｎ阶循环矩阵．　引理２［　若Ａ为ｎ（凡　２）阶矩阵，Ａ　为矩阵Ａ的伴随矩阵，则（ｉ）Ａ　Ａ＝ＡＡ　－－Ｉ　Ａ　ｌ　；　（ｉｉ）ｒ（Ａ　）＝｛１，若ｒ（Ａ）＝ｎ一１；　【ｏ若　（　）＜　一１．　，引理３　若ｎ阶矩阵　满足ｒ（ａ）＝１，则存在ｎ维非零列向量　，　，使得Ａ＝　且ｔｒ（Ａ）＝　的某一列．　，其中　为　证明　设Ｏｔ，（１　）为　的列向量组．因为ｒ（Ａ）：１，所以必有Ａ的某一列为非零向量，不妨设　＝　≠　０，且对　（２　）存在数　使得　＝　，令　＝（１，　：，…，ｋ　）　，则Ａ＝ｔｘｖ　，此时显然有ｔｒ（Ａ）＝　，于是结　论成立．　定理４设　为ｎ阶矩阵　的伴随矩阵，若　是　的属于特征值Ａ的特征向量，则　是　的属于特征值　ｋ的特征向量，其中ｋ＝　证明显然有　（Ａ≠０），ｔｒ（Ａ　）或０．　＝Ａ　０［，于是４　Ａａ＝Ａ　Ａ　，因此由引理２（ｉ）得Ｉ　ｌ　Ｏｔ＝ＡＡ　Ｏ１．　（１）若，（　）：ｎ，则４可逆，所以Ａ≠０，因此　：—　，从而　是Ａ　的属于特征值　的特征向量．　（２）若ｒ（Ａ）＝ｎ一１，则ｌ　Ａ　ｌ：０．由引理２得Ａ　Ａ：ＡＡ　：０且ｒ（ａ　）＝１．由引理３得Ａ　＝／．Ｌｖ　，其中　，　收稿日期：２０１４—０４—０３：修回日期：２０１４—０５—１４　基金项目：长沙理工大学精品课程建设项目（ＫＣ１ｌ１９）和大学生研究性学习和创新性实验计划项目　作者简介：游兴中（１９６８一），男，湖南桃源人，教授，博士，研究方向：群论．　・２０・　游兴中，徐雪枫，颜小强，赵坚：伴随矩阵的两个性质　为非零列向量，　为Ａ的某一列且ｔｒ（Ａ　）＝　．若Ａ≠０，则Ａ　Ｏｔ：０，所以Ｏｌ是Ａ　的属于特征值０的特　征向量；若Ａ＝０，则Ａａ＝０．由ＡＡ　＝０得　＝０，于是　为齐次线性方程组Ａｘ＝０的基础解系，因此存在非　零数口使得Ｏｔ＝ａｔｘ．于是Ａ　ＯＬ＝ｕ　（　）＝ａｔｚｖ　ｔｘ＝ｔｒ（ａ　）ａｌＸ＝ｔｒ（ａ　）ＯＬ，所以Ｏｌ是Ａ　的属于特征值ｔｒ（Ａ　）　的特征向量．　（３）若ｒ（ａ）＜ｎ～１，由引理２（ｉｉ）得ｒ（ａ　）＝０，于是Ａ　＝０，此时ＯＬ是Ａ　的属于特征值０的特征向量．　定理５设Ａ　为ｎ阶矩阵Ａ的伴随矩阵，则Ａ　可以表示成Ａ的多项式．　证明（１）令　Ａ）＝Ａ　＋ｎ　Ａ　＋…＋０　Ａ＋。　为Ａ的特征多项式，由哈密顿一凯莱定理　Ａ）＝Ａ　＋　ａ．１Ａ　＋…＋Ｏ￣ｎ１Ａ＋。　，　＝０．若ｒ（Ａ）：　，则Ａ可逆且０　＝（一１）　ｌ　Ａ　Ｉ≠０，于是Ａ～＝　＝『＿（Ａ　＋ａ１Ａ　－＋　ｕ　Ｐ　…＝　（　＋ａ，ｎ１＿，　）为Ａ的多项式，从而Ａ　＝ｌ　Ａ　Ｉ　Ａ　为Ａ的多项式．　，，ｄ　、　ｌ　　一（２）若ｒ（／４）＝ｎ一１，则存在可逆矩阵Ｐ，使得Ｐ　ＡＰ＝Ｉ　０　１　Ｉ，其中Ａ。＝ｌ　。．　Ｉ为ｍ阶可逆矩　＝　件　ｆ，Ｊ１　Ｐ　］　Ｉ，　／　广　阵，　为ｎ　阶的Ｊｏｒｄａｎ块，Ｊ＝　０　。’．　为ｎ—ｍ阶Ｊｏｒｄａｎ块．因为ＡＡ　＝Ａ　Ａ＝０．所以　１　０　．（Ｐ一　ＡＰ）（Ｐ一。Ａ　Ｐ）＝（Ｐ一　Ａ　Ｐ）（Ｐ一　ＡＰ）＝０．　￣ｐ－ｌＡ＊ｐ＝　２），其中　为ｍ阶矩阵，则　０．，］／　：日ｌ　、Ｂ，　Ｂ　＝　曰，　／Ｂ　０ｌ　　０．，　］＝。．　］　］　．因为（Ｐ　ＡＰ）　＝Ｐ　Ａ　（Ｐ　）　＝Ｐ　Ａ　Ｐ，　０　由Ａ　可逆可得　＝Ｏ，Ｂ２＝０，Ｂ３＝。，于是ｐ－１Ａ＊ｐ＝　・　］　：ｆ，０　Ｉ　Ａ　Ｉ　Ｊ　／Ｊ　］　．，　＝，所以Ｂ４＝ｌ　Ａ１　Ｉ　Ｊ　．记ｔ＝凡一ｍ，则　（一１）”　Ｉ　Ａ１　Ｉ　Ｊ　．　欲证Ａ　可以表示成Ａ的多项式，只要证　）　可以表示成（Ａ　．，］的多项式，即找到多项式ｇ（　），　使得ｇ（ａ　）＝０，ｇ（Ｊ）＝（一１）”　ｌ　。Ｉ．，￡～．设ｈ（　）为Ａ　的特征多项式，ｇ（　）＝（一１）　。２（／－１ｈ（　），则ｇ（４　）　＝（一１）　Ａｔ１一　ｈ（ａ１）：０，ｇ（Ｊ）＝（一１）　ｊｔ－１ｈ（Ｊ）．可设ｈ（　）＝　＋ｂｌ　一　＋…＋ｂ．，ｉ　＋（一１）　Ｉ　Ａｌ　Ｉ，因　为当　多项式．　ｔ时Ｊ　＝０，所以ｇ（Ｊ）＝（一１）　Ｉ　Ａ　ｌ，一　＝（一１）”　Ｉ　Ａ　Ｉ．，　，从而证明了Ａ　可以表示成Ａ的　（３）若ｒ（ａ）＜ｎ一１，则由引理２（ｉｉ）得ｒ（ａ　）＝０，于是Ａ　＝０，此时Ａ　显然可以表示成Ａ的多项式．　推论６若Ａ为循环矩阵，则Ａ　也是循环矩阵．特别地，若Ａ可逆，则Ａ　也是循环矩阵．　１　证明　由定理５可知，Ａ　可以表示成Ａ的多项式，且若Ａ可逆，则Ａ～＝　Ａ　．于是由理１得结论成立．　参考文献：　［１］刘佑林．伴随矩阵若干性质［Ｊ］．湘南学院学报，２００９，３Ｏ（５）：３１—３２．　［２］北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组．高等代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３　（下转第２５页）　・２ｌ・　周　芸，刘　卉，陶李明：纳米钯ｌ／四丁基氟化铵体系催化合成对甲基肉桂酸丁酯的研究　参考文献：　［１］赵娟，赵佳睿，康小林，何尚锦．．Ａ－￣－４￣学法制备含有肉桂酸酯基团的线性聚合物的研究［Ｊ］．离子交换与吸附，２０１２，　２８（３）：２７７—２８１．　［２］Ｓｃｈａｄｔ　Ｍ，Ｓｃｈｍｉｔｔ　Ｋ．Ｓｕｒｆａｃｅ—Ｉｎｄｕｃｅｄ　Ｐａｒａｌｌｅｌ　Ａｌｉｇｎｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｌｉｑｕｉｄ　Ｃｒｙｓｔａｌｓ　ｂｙ　Ｌｉｎｅａｒｌｙ　Ｐｏｌｙｍｅｒｉｚｅｄ　Ｐｈｏｔｏｐｏｌｙｍｅｒｓ［Ｊ］．Ｊｐｎ　Ｊ　Ａｐ—　ｐｌ　Ｐｈｙｓ，１９９２，３１（７）：２１５５—２１６４．　［３］申凯华，李晓莲，崔东熏．一种含螺吡喃和肉桂酸酯双光功能基团的光致变色染料的合成与性能［Ｊ］．高等学校化学学报，　２００５，２６（５）：９３５—９３８．　［４］于涛，彭增辉，阮圣平，宣丽．双酚Ａ双肉桂酸酯光控取向膜［Ｊ］．液晶与显示，２００３，６（１８）：４０５—４１０．　［５］黄骏廉，邵正中，潘宝荣．带支链环氧肉桂酸酯树脂的光固化反应动力学研究［Ｊ］．感光科学与光化学，１９８８，３：３６—４１．　［６］叶永达，龚本民．提高聚乙烯醇肉桂酸酯光致抗蚀剂性能的途径［Ｊ］．化学通报．１９８０，２：１５—１７．　［７］孙振宇，陈　莎，黄长靓，赵燕飞，张宏晔，李科学：化学，２０１１．４１（８）：１３６６—１３７１．　紫，刘志敏．高能量超声辅助制备负载型贵金属纳米催化材料［Ｊ］．中国　Ｓｔｕｄｙ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ　ｏｆ　Ｂｕｔｙｌ　３一ｐ—ｔ０ｌｙｌａｃｒｙｌａｔｅ　ｗｉｔｈ　Ｎａｎｏ－Ｐｄ／ＴＢＡＦ　Ｓｙｓｔｅｍ　ａｓ　Ｃａｔａｌｙｓｔ　Ｚｈｏｕ　Ｙｕｎ，Ｌｉｕ　Ｈｕｉ，Ｔａｏ　Ｌｉｍｉｎｇ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｃｈｅｍｉｓｔｒｙ　ａｎｄ　Ｌｉｆｅ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｘｉａｎｇｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｚｈｏｕ　４２３０００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｐｄ　ｎａｎｏｐａｒｔｉｃｌｅｓ　ｗｅｒｅ　ｇｅｎｅｒａｔｅｄ　ｉｎ　ｓｉｔｕ　ｆｒｏｍ　ＰｄＣ１２　ｉｎ　ｔｅｔｒａｂｕｔｙｌａｍｍｏｎｉｕｍ　ｆｌｕｏｒｉｄｅ　（ＴＢＡＦ・３Ｈ２Ｏ）．Ｂｕｔｙｌ　３－ｐ－ｔｏｌｙｌａｃｒｙｌａｔｅ　ｗａｓ　ｓｙｎｔｈｅｓｉｚｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｒｅａｃｔｉｏｎ　ｏｆ　１一ｉｏｄｏ一４一ｍｅｔｈｙｌｂｅｎｚｅｎｅ　ａｎｄ　ｂｕｔｙｌ　ａｃｒｙｌａｔｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｐｒｅｓｅｎｃｅ　ｏｆ　ｎａｎｏ—ｐｄ／ＴＢＡＦ　ａｓ　ｃａｔａｌｙｓｔ．Ｔｈｅ　ｒｅａｃｔｉｏｎ　ｗａｓ　ｒｅａｄｉｌｙ　ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ　ｗｉｔｈ　ｇｏｏｄ　ｙｉｅｌｄ　ｕｎｄｅｒ　ｍｉｌｄ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｔｈｅ　ｃａｔａｌｙｔｉｃ　ｓｙｓｔｅｍ　ｃｏｕｌｄ　ｂｅ　ｒｅｃｏｖｅｒｅｄ　ａｎｄ　ｒｅｕｓｅｄ　ｓｅｖｅｒａｌ　ｔｉｍｅｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｒｅａｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｄｕｃｔ　ｗａｓ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅｄ　ｗｉｔｈ　ＮＭＲ　ａｎｄ　ＭＳ　ｓｐｅｃｔｒａ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｎａｎｏ—ｐａｌｌａｄｉｕｍ；ｔｅｔｒａｂｕｔｙｌａｍｍｏｎｉｕｍ　ｆｌｕｏｒｉｄｅ；ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ；ｂｕｔｙｌ　３－ｐ—ｔｏｌｙｌａｃｒｙｌａｔｅ　≯　≯　≯　≯　ｐ　（上接第２ｌ页）　Ｔｗｏ　Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ａｄｊｏｉｎｔ　Ｍａｔｒｉｘ　Ｙｏｕ　Ｘｉｎｇｚｈｏｎｇ，Ｘｕ　Ｘｕｅｆｅｎｇ，Ｙａｈ　Ｘｉａｏｑｉａｎｇ，Ｚｈａｏ　Ｊｉａｎ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｃｈａｎｇｓｈａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ　４１００１４，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＩｆＡ　ｉｓ　ｔｈｅ　ａｄｊｏｉｎｔ　ｍａｔｉｒｘ　ｏｆ　ａ　ｍａｔｉｒｘ　Ａ　ｏｆ　ｄｅｇｒｅｅ　ｎ．ｔｈｅｎ　ａｎ　ｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒ　ｏｆＡ　ｉｓ　ａｌｓｏ　ａｎ　ｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒ　ｏｆＡ　ａｎｄ　Ａ　ｃａｎ　ｂｅ　ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ　ａｓ　ａ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ　ｏｆＡ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ａｄｊｏｉｎｔ　ｍａｔｒｉｘ；ｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒ；ｃｙｃｌｉｃ　ｍａｔｒｉｘ　・２５・