桂林中学2016届高三数学12月月考试题
（理科附解析）
桂林中学2016届高三年级12月月考数学试题（理科） 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间：120分钟． 第Ⅰ卷选择题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则= A.B.C.D.
2．已知为实数，为虚数单位，若为实数，则 A．B．C．D．
3．下列函数中,既是偶函数,又在单调递增的函数是 A．B．C．D．
4．已知函数f（x）=，则函数f（x）的零点为 A．，0B．﹣2，0C．D．0
5．已知双曲线的一条渐近线与直线2x+y-3=0垂直，则双曲线的离心率是 A．B．C．D．
6．设是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于
A．B．C．D．
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是
A．B．C．D．7
8．运行如图所示的程序框图的相应程序.为使输出的S为，则
判断框中填入的是 A.?B.? C.?D.?
9．设，若，，，则下列关系式中正确的是 A．B．C．D．
10．直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上.若AB=BC=1,∠ABC=120o,AA1=2,则球O的表面积为 A．B．C．D．
11．已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣11=0，在区间[﹣4，6]上任取实数m，则直线l：x+y+m=0与圆C相交所得△ABC为钝角三角形（其中A、B为交点，C为圆心）的概率为 A．B．C．D．
12．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2015，则不等式 exf（x）＞ex+2014（其中e为自然对数的底数）的解集为
A．（2014，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2014，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（0，+∞） 第II卷非选择题
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．设向量，,若方向相反,则实数的值是_________． 14．二项式（x+2）6的展开式的第二项的系数为12，则实数__________．
15．已知实数，满足条件，若目标函数的最小值为5，则其最大值为_______．
16．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是_______． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 设函数，其中向量，，x∈R．
（Ⅰ）求的最小正周期与单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面积为，求的值． 18、（本小题满分12分） 设数列的前项和为，且满足,． （Ⅰ）数列的通项公式； （Ⅱ）设,求证：．
19.（本小题满分12分）
某网络营销部门为了统计某市网友11月11日在某网店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图（1））： 网购金额
（单位:千元）频数频率 合计
若网购金额超过千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为． （Ⅰ）试确定，，，的值，并补全频率分布直方图（如图（2））．
（Ⅱ）该营销部门为了进一步了解这名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定人，若需从这人中随机选取人进行问卷调查．设为选取的人中“网购达人”的人数，求的分布列和数学期望．
20．（本小题满分12分）
在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，． （Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）设是棱的中点，，，求二面角。 21．（本小题满分12分）
已知椭圆的右焦点，点在椭圆C上. （I）求椭圆C的标准方程；
（II）直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，过原点O作直线l的垂线，垂足为P，如果△OAB的面积为（为实数），求的值. 22.(本小题满分12分） 已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；
（Ⅲ）若，在（e=2.71828…）上存在一点，使得成立，求的取值范围．
桂林中学2016届高三年级12月月考数学试题（理）答案 一．选择题： 题号1234567101112 答案ABDDADACCBBD
2．【解析】，所以，故选B．
4．解：当x≤1时，3x﹣1=0；解得，x=0；当x＞1时，1+log2x=0，解得，x=（舍去）；故函数f（x）的零点为0；故选D．
5．【解析】A解析：双曲线的一条渐近线与直线2x+y-3=0
垂直，
所以双曲线的渐进线的斜率为：，又双曲线的渐近线方程为：，
所以，则双曲线的方程为：，
可得：，所以双曲线的离心率，故选：A 6.【解析】， ，
，，故选D．
7．A【解析】：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体， 正方体的棱长为2，故体积为：2×2×2=8，
三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，故体积为：××1×1×1=， 故几何体的体积V=8﹣= 9.C
10.【解析】在如图所示的直三棱柱A1B1C1－ABC中，O为其外接球的球心．
设外接圆的半径是r,由正弦定理得 在△OAE中，OA＝R，OE＝h2=，AE＝1， ∴OA2＝OE2＋AE2，即R2＝3＋1=4，,,故选B．
11．解：圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣11=0的圆心为（1，﹣2），半径为4，
∴圆心到直线l：x+y+m=0的距离为d=
∵直线l：x+y+m=0与圆C相交所得△ABC为钝角三角形， ∴＜4×，∴﹣3＜m＜5，长度为8，∵区间[﹣4，6]的长度为10，
∴所求的概率为=，故选B．
12．解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R）， 则g（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定义域上单调递增，
∵exf（x）＞ex+2014，∴g（x）＞2014，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=2015﹣1=2014，
∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：D． 二．填空题：13、14、115、1016、[﹣6，0] 14.【解析】由题意，二项式展开的第二项为， 令，解得 15.10
16．解：由题意，|f（x）|≥ax﹣1恒成立，等价于y=ax﹣1始终在y=|f（x）|的下方，即直线夹在与y=|﹣x2+4x|=x2﹣4x（x≤0）相切的直线，和y=﹣1之间，所以转化为求切线斜率．
由，可得x2﹣（4+a）x+1=0①，
令△=（4+a）2﹣4=0，解得a=﹣6或a=﹣2， a=﹣6时，x=﹣1成立；a=﹣2时，x=1不成立， ∴实数a的取值范围是[﹣6，0]． 三．解答题：
17．解：（1）．﹣﹣2分
∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣3分 令．∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分 （2）由，，∵0＜A＜π， ∴．∴．﹣﹣﹣6分，﹣﹣﹣7分
∴在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分 由，∴．﹣﹣10分
18．证明：（1）∵∴……………1分 ∵……①
∴当时，……②（没有n≥2扣1分） ∴①-②得,………………4分
∵,∴………5分（没有验证n=1成立扣1分） 是首项为2，公比为的等比数列，………6分 (3)∵∴………8分
（或者由公式计算得，公式对得1分，化简对得1分） ………10分
(说明：也可以) ∴
………………12分
19、解：（1）根据题意，有 解得…………………2分 ，．………4分
补全频率分布直方图如图所示．………6分 （2）用分层抽样的方法，从中选取人，则 其中“网购达人”有人，“非网购达人”有人．……………7分
故的可能取值为0，1，2，3； ，，
，．…………………………10分 所以的分布列为： ．……………………12分
20．（1）证明：因为平面平面，平面平面， 所以平面…………………1分 又平面，所以…………………2分 又，，所以PD⊥平面…………………3分
而平面PCD，故平面PCD⊥平面…………………4分 （2）取AD中点O,连接PO,， ，,……5分
如图，以O为原点建立空间直角坐标系， 设，则， ，，， ，则得
，…………………7分 设平面PEC的一个法向量， 由得
令，则…………………9分 ，，设平面PEC的一个法向量， 由得，令，则………………10分 设二面角的大小为，则
故二面角的余弦值为………………12分 21、解：(I)由题意知：．……………1分 根据椭圆的定义得：， 即．……………2分 所以．……………3分
所以椭圆C的标准方程为．……………4分 (II)由题意知：的面积， 整理得．……………5分
①当直线l的斜率不存在时，l的方程是． 此时，，所以．……………6分
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是，
设，．
由可得．……………7分 显然，则……………8分 因为，， 所以
．……………9分 所以，……………10分 此时，．
综上所述，为定值．……………12分
22．解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），………1分
∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，………………2分 ∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．………3分
（Ⅱ），定义域为（0，+∞），……………4分 ①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0， ∵x＞0，∴x＞1+a
令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．…………………5分
②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，…………………6分
综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，
在（a+1，+∞）上单调递增．
当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．…………………7分
（Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，
即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0， 即函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．…………………8分
由（Ⅱ），①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减， ∴，∴，
∵，∴；…………………9分
②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增， ∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，…………………10分
③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，
∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2
此时不存在x0使h（x0）≤0成立．…………………11分
综上可得所求a的范围是：或a≤﹣
2．…………………12分